必考點(diǎn)1
探究分式值為整數(shù)問題
1．若x是整數(shù)，則使分式8x+22x?1的值為整數(shù)的x值有（ ）個(gè)．
A．2B．3C．4D．5
2．若x為整數(shù)，且4x+8x2?4的值也為整數(shù)，則所有符合條件的x的值有（ ）
A．6個(gè)B．5個(gè)C．4個(gè)D．3個(gè)
3．如果m為整數(shù)，那么使分式m+3m+1的值為整數(shù)的m的值有( )
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
4.當(dāng)x取何整數(shù)時(shí)，分式6x2?12x+61?x3的值是正整數(shù)
5.閱讀下列材料，解決問題：
在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者為了分子的次數(shù)告訴于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（或整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時(shí)頗為有效，現(xiàn)舉例說明．
材料1：將分式101x+10y11拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：101x+10y11=99x+11y+2x?y11=9x+y+2x?y11
材料2：將分式x2?x+3x+1拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母x+1，可設(shè)x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b
則x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b
∵對于任意x上述等式成立．
∴a+1=?1a+b=3解得：a=?2b=5．
∴x2?x+3x+1=(x+1)(x?2)+5x+1=x﹣2+5x+1．
這樣，分式x2?x+3x+1就拆分成一個(gè)整式x﹣2與一個(gè)分式5x+1的和的形式．
（1）將分式x2+6x?3x?1拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為 ．
（2）已知整數(shù)x使分式2x2+5x?20x?3的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x＝ ；
（3）已知一個(gè)六位整數(shù)20xy17能被33整除，求滿足條件的x，y的值．
必考點(diǎn)2
探究利用分式性質(zhì)求值問題
1.若a,b,c,d滿足ab=bc=cd=da,則ab+bc+cd+daa2+b2+c2+d2的值為（ ）
A．1或0B．?1 或0C．1或?2D．1或?1
2.已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，則m的值______．
3．若2x?y+4z=0，4x+3y?2z=0．則xy+yz+zxx2+y2+z2的值為______
4．已知三個(gè)數(shù)，x，y，z滿足xyx+y=?3,yzy+z=43,zxz+x=?43，則y的值是______
5．若x,y,z滿足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2018，則分式2017x+2017y+2017zx+3y的值為_______．
必考點(diǎn)3
探究分式的規(guī)律性問題
1.觀察下列等式：
第1個(gè)等式：a1=11×3=12×1?13
第2個(gè)等式：a2=13×5=12×13?15
第3個(gè)等式：a3=15×7=12×15?17
……
請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：________；
（2）用含有n的式子表示第n個(gè)等式：________（n為正整數(shù)）；
（3）求a1+a2+a3+…+a2019的值．
2.2．觀察下列等式：a1=n，a2=1﹣1a1，a3=1﹣1a2，…；根據(jù)其蘊(yùn)含的規(guī)律可得（ ）
A．a(chǎn)2013=nB．a(chǎn)2013=n?1nC．a(chǎn)2013=1n?1D．a(chǎn)2013=11?n
3．已知一列分式，x2y，?x5y3，x10y6，?x17y10,x26y15,?x37y21…，觀察其規(guī)律，則第n個(gè)分式是_______．
4．觀察下列等式：
1×12=1?12，
2×23=2?23，
3×34=3?34，
…
(1)依此規(guī)律進(jìn)行下去，第5個(gè)等式為 ，猜想第n個(gè)等式為 ；
(2)證明（1）中猜想的第n個(gè)等式．
5．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：11×2+1?21+1+1=1；
第2個(gè)等式：12×3+4?24+2+12=1；
第3個(gè)等式：13×4+9?29+3+13=1；
第4個(gè)等式：14×5+16?216+4+14=1；
第5個(gè)等式：15×6+25?225+5+15=1；
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個(gè)等式：______；
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式： ________（用含n的等式表示），并證明．
6．觀察下列等式：
1?45=12×15，2?86=22×16，3?127=32×17，……
（1）請寫出第四個(gè)等式： ；
（2）觀察上述等式的規(guī)律，猜想第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明其正確性．
7．觀察一下等式：
第1個(gè)等式：11=12+12，
第2個(gè)等式：13=14+112，
第3個(gè)等式：15=16+130，
第4個(gè)等式：17=18+156，
第5個(gè)等式：19=110+190，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個(gè)等式：________.
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：________(用含n的等式表示).
(3)證明(2)中的等式.
必考點(diǎn)4
探究分式方程的正負(fù)解問題
1．關(guān)于x的分式方程m2x?4=1?x2?x?2的解是正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m>?4且m≠0B．m2y?a至多有3個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（ ）
A．24B．12C．6D．4
3．若關(guān)于y的分式方程ayy?1?2=y?51?y的解為整數(shù)，且x2+2(a?1)x+9是一個(gè)完全平方式，則滿足條件的整數(shù)a的值為（ ）
A．±2B．4C．?2D．4或?2
4．若關(guān)于x的一元一次不等式組2x?43>x+12+x≤x+a4的解集為x4y?4≤3y+4有且只有三個(gè)偶數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)m的乘積為（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．已知，關(guān)于x的分式方程a2x+3?b?xx?5=1．
(1)當(dāng)a=2，b=1時(shí)，求分式方程的解；
(2)當(dāng)a=1時(shí)，求b為何值時(shí)分式方程a2x+3?b?xx?5=1無解；
(3)若a=3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程a2x+3?b?xx?5=1的解為整數(shù)時(shí)，求b的值．
5．對于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Pa,b，若點(diǎn)P'的坐標(biāo)為a+kb,b+ak（其中k為常數(shù)，且k≠0）則稱點(diǎn)P'為點(diǎn)P的“k系雅培點(diǎn)”；
例如：P3,2的“3系雅培點(diǎn)”為P'3+3×2,2+33，即P'9,3.
（1）點(diǎn)P6,1的“2系雅培點(diǎn)”P'的坐標(biāo)為 ；
（2）若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k系雅培點(diǎn)”為P'點(diǎn)，若在△OPP'中，PP'=2OP，求k的值；
（3）已知點(diǎn)Ax,y在第四象限，且滿足xy=?12；點(diǎn)A是點(diǎn)Bm,n的“?3系雅培點(diǎn)”，若分式方程m?3nx?3?cx+184x?12=1無解，求c的值.
必考點(diǎn)7
探究分式方程的增根問題
1．若分式方程1x?2+3=b?xa+x有增根，則a的值是（ ）
A．1B．0C．?1D．?2
2．如果在解關(guān)于x的方程x+1x+2?xx?1=kx+2x2+x?2時(shí)產(chǎn)生了增根，那么k的值為_____________．
3．若解關(guān)于x的分式方程x?1x+4=mx+4產(chǎn)生增根，則m＝_____．
4．當(dāng)m為何值時(shí)，分式方程mx+1?2x?1=3x2?1會(huì)產(chǎn)生增根．
5．關(guān)于x的方程：ax+1x?1－21?x＝1.
(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求這個(gè)方程的解；
(2)若這個(gè)方程有增根，求a的值．
6．已知關(guān)于x的分式方程2x?1+mxx?1x+2=1x+2
(1)若方程的增根為x=1，求m的值；
(2)若方程無解，求m的值．
7．已知關(guān)于x的分式方程x+ax?2?5x=1.
(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程無解，求a的值．
必考點(diǎn)8
分式方程的應(yīng)用
1．隨著期末考試來臨，李勇同學(xué)原計(jì)劃延時(shí)服務(wù)期間復(fù)習(xí)語文、數(shù)學(xué)、英語的時(shí)間為2:4:4，班主任李老師提醒要學(xué)科均衡，補(bǔ)短板．他便將數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間的20%分給了語文和英語，調(diào)整后語文和英語的復(fù)習(xí)時(shí)間之比為3:5．李勇同學(xué)非常刻苦，實(shí)際復(fù)習(xí)時(shí)還擠出部分休息時(shí)間分給了三個(gè)學(xué)科，其中20%分給了語文，余下的80%分別分給數(shù)學(xué)和英語，這樣語文的總復(fù)習(xí)時(shí)間與三科總復(fù)習(xí)時(shí)間比為1:4．若李勇同學(xué)最終希望使數(shù)學(xué)與英語總復(fù)習(xí)時(shí)間比為5:6，那么數(shù)學(xué)的總復(fù)習(xí)時(shí)間與最后三科總復(fù)習(xí)時(shí)間之比為__________．
2．杭州絲綢歷史悠久，質(zhì)地輕軟，色彩綺麗，早在漢代，就已通過“絲綢之路”遠(yuǎn)銷國外．小汪在網(wǎng)上開設(shè)杭州絲綢專賣店，專賣絲巾、旗袍等，發(fā)現(xiàn)一張進(jìn)貨單上的一個(gè)信息是：A款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)比B款絲巾多40元，花960元購進(jìn)A款絲巾的數(shù)量與花720元購進(jìn)B款絲巾的數(shù)量相同．
(1)問A，B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少元？
(2)小汪在銷售單上記錄了兩天的數(shù)據(jù)，如下表所示：
問：兩款絲巾的銷售單價(jià)分別是多少？
(3)根據(jù)（1）（2）所給的信息，小汪要花費(fèi)1400元購進(jìn)A，B兩款絲巾若干條，問：有哪幾種進(jìn)貨方案？根據(jù)計(jì)算說明哪種進(jìn)貨方案的總利潤最高．
3．兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程的13，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙隊(duì)單獨(dú)施工多少天完成全部工程？
(2)若甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，求甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為多少元？
(3)在（2）的條件下，若兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快______天能完成總工程．
4．A、B 兩港之間的距離為280千米．
(1)若從A港口到 B港口為順流航行，且輪船在靜水中的速度比水流速度快20千米/時(shí)， 順流所用時(shí)間比逆流少用4小時(shí)，求水流的速度；
(2)若輪船在靜水中的速度為v千米/時(shí)，水流速度為u千米/時(shí)，該船從 A港順流航行到 B港，再從 B港逆流航行返回到 A港所用的時(shí)間為t1；若輪船從A港航行到 B港再返回到 A港 均為靜水航行，且所用時(shí)間為t2，請比較t1與t2的大小，并說明理由．
5．某市為了做好“全國文明城市”驗(yàn)收工作，計(jì)劃對市區(qū)S米長的道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)進(jìn)行施工．
（1）已知甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同．若甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多改造30米，求甲、乙兩工程隊(duì)每天改造道路的長度各是多少米．
（2）若甲工程隊(duì)每天可以改造a米道路，乙工程隊(duì)每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．現(xiàn)在有兩種施工改造方案：
方案一：前12S米的道路由甲工程隊(duì)改造，后12S米的道路由乙工程隊(duì)改造；
方案二：完成整個(gè)道路改造前一半時(shí)間由甲工程隊(duì)改造，后一半時(shí)間由乙工程隊(duì)改造．
根據(jù)上述描述，請你判斷哪種改造方案所用時(shí)間少？并說明理由．
6．某小麥改良品種后平均每公頃增加產(chǎn)量a噸，原來產(chǎn)m噸小麥的一塊土地，現(xiàn)在小麥的總產(chǎn)量增加了20噸．
（1）當(dāng)a＝0.8，m＝100時(shí)，原來和現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量各是多少？
（2）請直接接寫出原來小麥的平均每公頃產(chǎn)量是 噸，現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量是 噸；（用含a、m的式于表示）
（3）在這塊土地上，小麥的改良品種成熟后，甲組收割完需n小時(shí)，乙組比甲組少用0.5小時(shí)就能收割完，求兩組一起收割完這塊麥田需要多少小時(shí)？
7．為響應(yīng)“綠色出行”的號(hào)召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距離上班地點(diǎn)27km，他乘坐公交車平均每小時(shí)行駛的路程比他自駕車平均每小時(shí)行駛的路程的2倍還多9km.他從家出發(fā)到上班地點(diǎn)，乘公交車所用的時(shí)間是自駕車所用時(shí)間的37.
（1）小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛多少千米？
（2）上周五，小王上班時(shí)先步行了6km，然后乘公交車前往，共用43小時(shí)到達(dá).求他步行的速度.
日期
A款絲巾（條）
B款絲巾（條）
銷售總額（元）
12月10日
4
6
2160
12月11日
6
8
3040
專題10.8 分式全章八類必考?jí)狠S題
【蘇科版】
必考點(diǎn)1
探究分式值為整數(shù)問題
1．若x是整數(shù)，則使分式8x+22x?1的值為整數(shù)的x值有（ ）個(gè)．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先將假分式8x+22x?1分離可得出4+62x?1，根據(jù)題意只需2x?1是6的整數(shù)約數(shù)即可．
【詳解】解：8x+22x?1=4(2x?1)+62x?1=4+62x?1
由題意可知，2x?1是6的整數(shù)約數(shù)，
∴2x?1=1,2,3,6,?1,?2,?3,?6
解得： x=1,32,2,72,0,?12,?1,?52，
其中x的值為整數(shù)有：x=0,1,?1,2共4個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分式的值是整數(shù)的條件，分離假分式是解此題的關(guān)鍵，通過分離假分式得到4+62x?1，從而使問題簡單．
2．若x為整數(shù)，且4x+8x2?4的值也為整數(shù)，則所有符合條件的x的值有（ ）
A．6個(gè)B．5個(gè)C．4個(gè)D．3個(gè)
【答案】B
【分析】先化簡分式，若4x+8x2?4的值為整數(shù)即4x?2的值為整數(shù)，故（x-2）為4的因數(shù)，由此確定整數(shù)x的值.
【詳解】原式＝4(x+2)(x?2)(x+2)=4x?2，
因?yàn)閤為整數(shù)，分式的值也為整數(shù)，且x≠-2，
所以分式4x?2的值分別為﹣2、﹣4、4、2、1時(shí)，得
X=0、1、3、4、6，
所以所有符合條件的x的值有5個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查分式的化簡，分式有意義的條件，根據(jù)分式的值為0確定分母的值，由此得出x的值，注意分母中雖約去了（x+2），但是要考慮到x≠-2，避免錯(cuò)誤.
3．如果m為整數(shù)，那么使分式m+3m+1的值為整數(shù)的m的值有( )
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【分析】分式m+3m+1=1+2m+1，討論2m+1就可以了，即m+1是2的約數(shù)即可完成.
【詳解】∵m+3m+1=1+2m+1
若原分式的值為整數(shù)，那么m+1=?2,?1,1，2
由m+1=?2得，m=?3；
由m+1=?1得，m=?2；
由m+1=1得，m=0；
由m+1=2得，m=1；
∴m=?3,?2,0,1，共4個(gè)
故選C
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并全面討論是解題關(guān)鍵.
4.當(dāng)x取何整數(shù)時(shí)，分式6x2?12x+61?x3的值是正整數(shù)
【答案】x=0或-1或-2或-5．
【分析】先把分式6x2?12x+61?x3進(jìn)行因式分解，然后約分，再根據(jù)分式的值是正整數(shù)，得出1?x的取值，從而得出x的值．
【詳解】解：6x2?12x+61?x3=61?x
∴要使61?x的值是正整數(shù)，則分母1?x必須是6的約數(shù)，
即1?x=1或2或3或6，
則x=0或-1或-2或-5．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式6x2?12x+61?x3的值是正整數(shù)，討論出分母1?x的取值．
5.閱讀下列材料，解決問題：
在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者為了分子的次數(shù)告訴于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（或整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時(shí)頗為有效，現(xiàn)舉例說明．
材料1：將分式101x+10y11拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：101x+10y11=99x+11y+2x?y11=9x+y+2x?y11
材料2：將分式x2?x+3x+1拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母x+1，可設(shè)x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b
則x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b
∵對于任意x上述等式成立．
∴a+1=?1a+b=3解得：a=?2b=5．
∴x2?x+3x+1=(x+1)(x?2)+5x+1=x﹣2+5x+1．
這樣，分式x2?x+3x+1就拆分成一個(gè)整式x﹣2與一個(gè)分式5x+1的和的形式．
（1）將分式x2+6x?3x?1拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為 ．
（2）已知整數(shù)x使分式2x2+5x?20x?3的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x＝ ；
（3）已知一個(gè)六位整數(shù)20xy17能被33整除，求滿足條件的x，y的值．
【答案】（1）x+7+4x?1；（2）2或4或﹣10或16；（3），x＝2、y＝9；x＝6、y＝2； x＝9、y＝5．
【分析】（1）將分子x2＋6x－3化為(x－1)(x＋7) ＋4，依據(jù)題意可解答；
（2）將分子2x2＋5x－20化為（2x＋11）＋13，根據(jù)題意可解答；
（3）由題意得出：200017+1000x+100y33＝6061+30x+3y+10x+y+433即可知10x＋y＋4為33的倍數(shù)，據(jù)此可解答．
【詳解】解：（1）x2+6x?3x?1
＝x2?x+7x?7+4x?1
＝xx?1+7x?1+4x?1
＝x?1x+7+4x?1
＝x+7+4x?1
答案為：x+7+4x?1；
（2）2x2+5x?20x?3
＝2x2?6x+11x?33+13x?3
＝2xx?3+11x?3+13x?3
＝x?32x+11+13x?3
＝2x+11+13x?3
∵分式2x2+5x?20x?3的值為整數(shù)，
∴13x?3是整數(shù)，
∴x－3＝±1或x－3＝±13，
解得：x＝2或4或﹣10或16，
故答案為：2或4或﹣10或16；
（3）200017+1000x+100y33
＝6061×33+4+30x×33+10x+3y×33+y33
＝33×6061+30x+3y+10x+y+433
＝6061+30x+3y+10x+y+433
∵整數(shù)20xy17能被33整除，
∴10x+y+433為整數(shù)，即10x＋y＋4＝33k，（k為整數(shù)）,
當(dāng)k＝1時(shí)，x＝2、y＝9符合題意；
當(dāng)k＝2時(shí)，x＝6、y＝2符合題意；
當(dāng)k＝3時(shí)，x＝9、y＝5符合題意．
【點(diǎn)睛】本題考查分離整數(shù)法解決分式的整數(shù)值問題，熟練掌握分式的化簡求值的方法是解題的關(guān)鍵．
必考點(diǎn)2
探究利用分式性質(zhì)求值問題
1.若a,b,c,d滿足ab=bc=cd=da,則ab+bc+cd+daa2+b2+c2+d2的值為（ ）
A．1或0B．?1 或0C．1或?2D．1或?1
【答案】D
【詳解】令ab=bc=cd=da=k,則a=bk,b=ck,c=dk,d=ak, 則a=ak4,且a≠0,則k=±1，當(dāng)k=1則ab+bc+cd+daa2+b2+c2+d2=1；當(dāng)k=-1，ab+bc+cd+daa2+b2+c2+d2=?1.
故選D.
2.已知a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，則m的值______．
【答案】為-1或3
【分析】根據(jù)題設(shè)知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，推出m-3=0，得到m=3．
【詳解】∵a+b+cd=a+b+dc=a+c+db=b+c+da=m，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
當(dāng)a+b+c+d=0時(shí)，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
當(dāng)a+b+c+d≠0時(shí)，
m-3=0，m=3，
綜上，m=-1或m=3．
故答案為：為-1或3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的值，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握分式有意義的條件，等式的基本性質(zhì)，分式值的意義及滿足條件．
3．若2x?y+4z=0，4x+3y?2z=0．則xy+yz+zxx2+y2+z2的值為______
【答案】?16
【分析】先由題意2x?y+4z=0 ，4x+3y?2z=0，得出用含x的式子分別表示y，z，然后帶入要求的式中，化簡便可求出.
【詳解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
將②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
將y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
將y= -2x，z=-x，代入上式
xy+yz+zxx2+y2+z2
=x·?2x+?2x·?x+?x·xx2+?2x2+?x2
=?2x2+2x2?x2x2+4x2+x2
=?x26x2
=?16
故答案為：?16
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目，得出用含x的式子表示y，z.本題較難，要學(xué)會(huì)靈活化簡.
4．已知三個(gè)數(shù)，x，y，z滿足xyx+y=?3,yzy+z=43,zxz+x=?43，則y的值是______
【答案】127
【分析】將xyx+y=?3,yzy+z=43,zxz+x=?43變形為x+yxy=?13,y+zyz=34,z+xzx=?34，得到1y+1x=?13,1z+1y=34,1x+1z=?34，利用(1z+1y)?(1x+1z)=32，求出1x=1y?32，代入1y+1x=?13即可求出答案．
【詳解】∵xyx+y=?3,yzy+z=43,zxz+x=?43，
∴x+yxy=?13,y+zyz=34,z+xzx=?34，
∴1y+1x=?13,1z+1y=34,1x+1z=?34，
∴(1z+1y)?(1x+1z)=32，
得1y?1x=32，
∴1x=1y?32，
將1x=1y?32代入1y+1x=?13，得2y=76，
∴y=127，
故答案為：127．
【點(diǎn)睛】此題考查分式的性質(zhì)，分式的變形計(jì)算，根據(jù)分式的性質(zhì)得到1y+1x=?13,1z+1y=34,1x+1z=?34是解題的關(guān)鍵．
5．若x,y,z滿足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2018，則分式2017x+2017y+2017zx+3y的值為_______．
【答案】?4033
【分析】根據(jù)題意，把兩個(gè)方程聯(lián)合組成方程組，然后兩方程相減得到x+3y=2017③，再把③整理，代入到①方程，得到2y?z=6050④，再由③?④，得到x+y+z=?4033，然后代入分式進(jìn)行求解，即可得到答案.
【詳解】解：根據(jù)題意，兩個(gè)方程了聯(lián)合組成方程組，有：
{3x+7y+z=1①4x+10y+z=2018②，
由②?①，得：x+3y=2017③，
∴x=2017?3y，
把x=2017?3y代入①，得：2y?z=6050④，
把③?④得：x+y+z=?4033；
∴2017x+2017y+2017zx+3y=2017(x+y+z)x+3y=2017×(?4033)2017=?4033；
故答案為：?4033.
【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組，以及求分式的值，熟練掌握解方程組的方法，正確得到x+3y=2017和x+y+z=?4033是解題的關(guān)鍵.
必考點(diǎn)3
探究分式的規(guī)律性問題
1.觀察下列等式：
第1個(gè)等式：a1=11×3=12×1?13
第2個(gè)等式：a2=13×5=12×13?15
第3個(gè)等式：a3=15×7=12×15?17
……
請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：________；
（2）用含有n的式子表示第n個(gè)等式：________（n為正整數(shù)）；
（3）求a1+a2+a3+…+a2019的值．
【答案】（1）a5=19×11=12×19?111；（2）an=12n?12n+1=1212n?1?12n+1；（3）20194039．
【分析】（1）根據(jù)前3個(gè)等式歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得出第5個(gè)等式；
（2）根據(jù)前3個(gè)等式歸納類推出一般規(guī)律即可得；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，分別可得a1,a2,a3,?,a2019的值，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】（1）第1個(gè)等式：a1=11×3=1(2×1?1)×(2×1+1)=12×12×1?1?12×1+1，
第2個(gè)等式：a2=13×5=1(2×2?1)×(2×2+1)=12×12×2?1?12×2+1，
第3個(gè)等式：a3=15×7=1(2×3?1)×(2×3+1)=12×12×3?1?12×3+1，
歸納類推得：第n個(gè)等式：an=12n?12n+1=1212n?1?12n+1（n為正整數(shù)），
則第5個(gè)等式：a5=12×5?1×2×5+1=12×12×5?1?12×5+1，
即a5=19×11=12×19?111；
（2）由（1）知，an=12n?12n+1=1212n?1?12n+1；
（3）由（2）得：a2019=12×12×2019?1?12×2019+1=12×14037?14039，
則a1+a2+a3+···+a2019，
=12×1?13+12×13?15+12×15?17+?+12×14037?14039，
=12×1?13+13?15+15?17+?+14037?14039，
=12×1?14039，
=12×40384039，
=20194039．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的規(guī)律性問題、有理數(shù)的乘法運(yùn)算律，依據(jù)題意，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
2.2．觀察下列等式：a1=n，a2=1﹣，a3=1﹣，…；根據(jù)其蘊(yùn)含的規(guī)律可得（ ）
A．a(chǎn)2013=nB．a(chǎn)2013=n?1nC．a(chǎn)2013=1n?1D．a(chǎn)2013=11?n
【答案】D
【詳解】試題分析：由a1=n，得到a2=1﹣=1﹣=，a3=1﹣=1﹣=﹣=，a4=1﹣=1﹣（1﹣n）=n，以n，，為循環(huán)節(jié)依次循環(huán)，∵2013÷3=671，∴a2013=．
考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算．
3．已知一列分式，x2y，?x5y3，x10y6，?x17y10,x26y15,?x37y21…，觀察其規(guī)律，則第n個(gè)分式是_______．
【答案】(?1)n+1xn2+1y12n(n+1)
【分析】分別找出符號(hào)，分母，分子的規(guī)律，從而得出第n個(gè)分式的式子．
【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)符號(hào)規(guī)律為：正負(fù)間或出現(xiàn)，故第n項(xiàng)的符號(hào)為：(?1)n+1
分母規(guī)律為：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n項(xiàng)為：y1+2+3+?+n=y12n(n+1)
分子規(guī)律為：x的次數(shù)為對應(yīng)項(xiàng)的平方加1，故第n項(xiàng)為：xn2+1
故答案為：(?1)n+1xn2+1y12n(n+1)．
【點(diǎn)睛】本題考查找尋規(guī)律，需要注意，除了尋找數(shù)字規(guī)律外，我們還要尋找符號(hào)規(guī)律．
4．觀察下列等式：
1×12=1?12，
2×23=2?23，
3×34=3?34，
…
(1)依此規(guī)律進(jìn)行下去，第5個(gè)等式為 ，猜想第n個(gè)等式為 ；
(2)證明（1）中猜想的第n個(gè)等式．
【答案】(1)5×56=5?56，n×nn+1=n?nn+1
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)給定的等式的變化找出變化規(guī)律，依此規(guī)律即可得出結(jié)論；
（2）利用統(tǒng)分的方法即可得出等式的左邊=等式右邊，此題得證．
【詳解】（1）解：第5個(gè)等式為5×56=5?56，猜想第n個(gè)等式為n×nn+1=n?nn+1；
故答案為：5×56=5?56，n×nn+1=n?nn+1；
（2）證明：∵等式左邊=n×nn+1=n2n+1，等式右邊=n?nn+1=n2+n?nn+1=n2n+1，
∴等式左邊=等式右邊
即n×nn+1=n?nn+1
證畢．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
5．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：11×2+1?21+1+1=1；
第2個(gè)等式：12×3+4?24+2+12=1；
第3個(gè)等式：13×4+9?29+3+13=1；
第4個(gè)等式：14×5+16?216+4+14=1；
第5個(gè)等式：15×6+25?225+5+15=1；
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個(gè)等式：______；
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式： ________（用含n的等式表示），并證明．
【答案】(1)16×7+36?236+6=1?16
(2)1n(n+1)+n2?2n2+n=1?1n
【分析】（1）觀察前幾個(gè)等式中數(shù)字的變化，即可寫出第6個(gè)等式；
（2）結(jié)合（1）即可寫出第n個(gè)等式，再利用分式的加減法法則，進(jìn)行驗(yàn)證，即可．
（1）
解：16×7+36?236+6=1?16，
故答案為：16×7+36?236+6=1?16；
（2）
1n(n+1)+n2?2n2+n=1?1n．
證明：左邊＝1n(n+1)+n2?2n2+n＝n2?1n(n+1)＝(n+1)(n?1)n(n+1)=n?1n=1?1n＝右邊，
所以等式成立．
故答案為：1n(n+1)+n2?2n2+n=1?1n．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．
6．觀察下列等式：
1?45=12×15，2?86=22×16，3?127=32×17，……
（1）請寫出第四個(gè)等式： ；
（2）觀察上述等式的規(guī)律，猜想第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明其正確性．
【答案】（1）4-168=42×18；（2）第n個(gè)等式是n?4nn+4=n2×1n+4，見解析．
【分析】（1）把前三個(gè)等式都看作減法算式的話，每個(gè)算式的被減數(shù)分別是1、2、3，減數(shù)的分母分別是5=1+4、6=2+4、7=3+4，減數(shù)的分子分別是4=4×1，8=4×2，12=4×3，差分別是被減數(shù)的平方和以減數(shù)的分母作分母，以1作分子的分?jǐn)?shù)的乘積；據(jù)此判斷出第四個(gè)等式的被減數(shù)是4，減數(shù)的分母是8，分子是4的4倍，差等于42與18的乘積；
（2）根據(jù)上述等式的規(guī)律，猜想第n個(gè)等式為：n?4nn+4=n2×1n+4，然后把等式的左邊化簡，根據(jù)左邊=右邊，證明等式的準(zhǔn)確性即可．
【詳解】解：（1）4-168=42×18
（2）第n個(gè)等式是n?4nn+4=n2×1n+4．
證明：∵左邊=n?4nn+4=n2+4n?4nn+4=n2×1n+4 =右邊，
∴等式成立．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：第n個(gè)等式為：n?4nn+4=n2×1n+4．
7．觀察一下等式：
第1個(gè)等式：11=12+12，
第2個(gè)等式：13=14+112，
第3個(gè)等式：15=16+130，
第4個(gè)等式：17=18+156，
第5個(gè)等式：19=110+190，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個(gè)等式：________.
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：________(用含n的等式表示).
(3)證明(2)中的等式.
【答案】(1)111=112+1132；(2)12n?1=12n+12n(2n?1)；(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)已知等式即可得；（2）根據(jù)等式規(guī)律可得到12n?1=12n+12n(2n?1)；（3）對等式右邊利用分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可驗(yàn)證.
【詳解】解：(1)111=112+1132；
(2)猜想：12n?1=12n+12n(2n?1)，
(3)證明：
右邊=12n+12n(2n?1)=2n?12n(2n?1)+12n(2n?1)=2n?1+12n(2n?1)=2n2n(2n?1)=12n?1，
左邊=12n?1，
∴左邊=右邊，原等式成立，
所以猜想正確，第n個(gè)等式為：12n?1=12n+12n(2n?1)
【點(diǎn)睛】本題主要考查規(guī)律探索和分式的運(yùn)算，能夠找到規(guī)律是解題關(guān)鍵.
必考點(diǎn)4
探究分式方程的正負(fù)解問題
1．關(guān)于x的分式方程m2x?4=1?x2?x?2的解是正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m>?4且m≠0B．m?7且a≠?4，
∴a的取值范圍為?723x+65?x2≥710至少有四個(gè)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的積為（ ）
A．3B．2C．6D．0
【答案】B
【分析】由分式方程的解可得a?4且a≠4，a≠3，再由不等式組的解集可得2a3?2>?2，則可求滿足條件的a的整數(shù)有1，2，即可求解．
【詳解】解：解分式方程axx?4+3x4?x=1得x=44?a，
∵ 44?a?0，且x≠4，
∴a?4且a≠4，a≠3，
解不等式組2a?3x3>23x+65?x2?710得?5?x?2，
解得a>0，
∴滿足條件的a的整數(shù)有1，2，
∴滿足條件的所有整數(shù)a的積為2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查含參分式方程的解、含參一元一次不等式組的解，熟練掌握一元一次不等式組的解法，分式方程的解法，注意增根的情況是解題的關(guān)鍵．
4．從?1，0，1，2，3，4，5這7個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，記為a,若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組x?12y?a至多有3個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（ ）
A．24B．12C．6D．4
【答案】B
【分析】先解一元一次不等式組，再根據(jù)不等式組至多有3個(gè)整數(shù)解，確定求出a的范圍；再解分式方程，根據(jù)分式方程有非負(fù)整數(shù)解，確定a的值即可解答．
【詳解】解：解不等式y(tǒng)+53≤y2得：y≥10，
解不等式y(tǒng)?3>2y?a得：y0，
解得a>4，
綜上，a=5．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程與不等式組，熟練掌握根據(jù)分式方程與不等式組解的情況求字母參數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
必考點(diǎn)6
探究分式方程的無解問題
1．若關(guān)于x的方程x+2x+3=mx+3無解，則m的值為( )
A．m=1B．m=?1C．m=2D．m=?2
【答案】B
【分析】先去分母方程兩邊同乘以x+3，根據(jù)無解的定義即可求出m．
【詳解】解：方程去分母得，x+2=m，
則x=m?2，
當(dāng)分母x+3=0即x=?3時(shí)，方程無解，
所以m?2=?3即m=?1時(shí)方程無解，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識(shí)記的內(nèi)容．分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
2．已知關(guān)于x的分式方程x?2x+2?mxx2?4=1無解，則m的值為（ ）
A．0B．0或?8C．?8D．0或?8或?4
【答案】D
【分析】先求出分式方程的解，無解時(shí)，解中的分母為0或解等于±2即可.
【詳解】解：由x?2x+2?mxx2?4=1得x=8m+4
∵分式方程無解
∴8m+4=±2或m+4=0
∴m=0或m=-8或?4
∴0或?8或?4
故答案為D.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的解和分式方程的解法，解答的關(guān)鍵在于解分式方程和分式無解的條件.另外，讓分式的解有意義是本題的易錯(cuò)點(diǎn).
3．已知關(guān)于x的分式方程mxx?2x?6+2x?2=3x?6無解，且關(guān)于y的不等式組m?y>4y?4≤3y+4有且只有三個(gè)偶數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)m的乘積為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】分式方程無解的情況有兩種，第一種是分式方程化成整式方程后，整式方程無解，第二種是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此確定m的值，不等式組整理后求出解集，根據(jù)有且只有三個(gè)偶數(shù)解確定出m的范圍，進(jìn)而求出符合條件的所有m的和即可．
【詳解】解：分式方程去分母得：mx+2(x?6)=3(x?2)，
整理得：(m?1)x?6=0，
分式方程無解的情況有兩種，
情況一：整式方程無解時(shí)，即m?1=0時(shí)，方程無解，
∴m=1；
情況二：當(dāng)整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①當(dāng)x=2時(shí)，代入(m?1)x?6=0，得：2m?8=0
解得：得m=4．
②當(dāng)x=6時(shí)，代入(m?1)x?6=0，得：6m?12=0，
解得：得m=2．
綜合兩種情況得，當(dāng)m=4或m=2或m=1，分式方程無解；
解不等式{m?y>4y?4≤3(y+4)，
得：{y0，
∴m?3n=6；
∵分式方程m?3nx?3?cx+184x?12=1無解，
∴x=3，
分式方程去分母可化簡為：4(m?3n)?(cx+18)=4x?12，
把m?3n=6，x=3代入上述方程，得：
4×6?(3c+18)=4×3?12
解得：c=2.
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的運(yùn)算法則，解分式方程，以及點(diǎn)的坐標(biāo)問題，解題的關(guān)鍵是掌握新定義的運(yùn)算法則，弄清題意，找到解題的突破口.
必考點(diǎn)7
探究分式方程的增根問題
1．若分式方程1x?2+3=b?xa+x有增根，則a的值是（ ）
A．1B．0C．?1D．?2
【答案】D
【分析】首先根據(jù)解分式方程的一般方法得出方程的根，然后根據(jù)增根的定義將增根代入方程的解求出a的值．
【詳解】解：∵分式方程1x?2+3=b?xa+x有增根，
∴x?2a+x=0，
∴x=2或?a，
當(dāng)x=2時(shí)，a=?2，
當(dāng)x=?a時(shí)不合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式增根，解題的關(guān)鍵是分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)分式方程有增根求出a的值．
2．如果在解關(guān)于x的方程x+1x+2?xx?1=kx+2x2+x?2時(shí)產(chǎn)生了增根，那么k的值為_____________．
【答案】?5或?12．
【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母時(shí)產(chǎn)生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先將分式方程去分母得整式方程，根據(jù)分式方程的增根適合整式方程，將增根代入整式方程可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程，可得答案．
【詳解】解：原方程變形為x+1x+2?xx?1=kx+2(x?1)(x+2)，
方程去分母后得：(x?1)(x+1)?x(x+2)=kx+2，
整理得：(k+2)x=?3，分以下兩種情況：
令x=1，k+2=?3，∴k=?5；
令x=?2，?2(k+2)=?3，∴k=?12，
綜上所述，k的值為?5或?12．
故答案為：?5或?12．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出關(guān)于k的方程是解題關(guān)鍵．
3．若解關(guān)于x的分式方程x?1x+4=mx+4產(chǎn)生增根，則m＝_____．
【答案】-5
【詳解】試題分析：根據(jù)分式方程增根的產(chǎn)生的條件，可知x+4=0，
解得x=-4，
然后把分式方程化為整式方程x-1=m，
解得m=-5
故答案為-5.
4．當(dāng)m為何值時(shí)，分式方程mx+1?2x?1=3x2?1會(huì)產(chǎn)生增根．
【答案】m=?32
【分析】先化分式方程為整式方程，把分母為零的x值代入整式方程，計(jì)算即可．
【詳解】將方程mx+1?2x?1=3x2?1去分母得到：
mx?1?2x+1=3，
整理，得m?2x=m+5，
∵分式mx+1?2x?1=3x2?1會(huì)產(chǎn)生增根，
∴x+1=0,x?1=0
解得x=1,x=?1，
當(dāng)x=1時(shí)，m?2=m+5，不存在；
當(dāng)x=?1時(shí)，2?m=m+5，
解得m=?32．
【點(diǎn)睛】本題考查的是含參分式方程有增根的問題，掌握增根的意義是解題的關(guān)鍵．
5．關(guān)于x的方程：ax+1x?1－21?x＝1.
(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求這個(gè)方程的解；
(2)若這個(gè)方程有增根，求a的值．
【答案】（1）x＝－2；（2）a＝－3.
【分析】（1）將a=3代入,求解3x+1x?1－21?x＝1的根,驗(yàn)根即可,
（2）先求出增根是x＝1，將分式化簡為ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.
【詳解】解：(1)當(dāng)a＝3時(shí)，原方程為3x+1x?1－21?x＝1,
方程兩邊同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解這個(gè)整式方程得x＝－2，
檢驗(yàn)：將x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程兩邊同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，則x－1＝0，解得x＝1，
將x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程,屬于簡單題,對分式方程的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)根是解題關(guān)鍵.
6．已知關(guān)于x的分式方程2x?1+mxx?1x+2=1x+2
(1)若方程的增根為x=1，求m的值；
(2)若方程無解，求m的值．
【答案】(1)?6
(2)?1或32或?6
【分析】（1）先把分式方程化為整式方程，再把x=1代入整式方程，即可求解；
（2）根據(jù)方程無解可得兩種情況：①m+1=0時(shí)，方程無解，②方程有增根，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：方程兩邊同時(shí)乘以x+2x?1，
去分母并整理得m+1x=?5，
∵x=1是分式方程的增根，
∴1+m=?5，
解得：m=?6；
（2）解：由（1）知，當(dāng)m+1=0時(shí)，該方程無解，此時(shí)m=?1；
當(dāng)m+1≠0時(shí)，要使原方程無解，
則x+2x?1=0，
解得：x=?2或x=1，
即?2m+1=?5或m+1=?5 ，
∴m=32或m=?6，
綜上，m的值為?1或 32 或?6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程無解的問題，把分式方程化為整式方程，理解分式方程產(chǎn)生增根的原因是解題的關(guān)鍵．
7．已知關(guān)于x的分式方程x+ax?2?5x=1.
(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程無解，求a的值．
【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2
【詳解】試題分析：（1）原方程化為整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；
（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；
（3）方程無解，可分為有增根和化成的整式方程無解兩種情況求解即可.
試題解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因?yàn)樵匠痰脑龈鶠閤＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因?yàn)樵质椒匠逃性龈?，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因?yàn)閤＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根為x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(3)①當(dāng)3－a＝0，即a＝3時(shí)，整式方程(3－a)x＝10無解，則原分式方程也無解；
②當(dāng)3－a≠0時(shí)，要使原方程無解，則由(2)知，此時(shí)a＝－2.綜上所述，a的值為3或－2.
點(diǎn)睛：分式方程有增根時(shí)，一定存在使最簡公分母等于0的整式方程的解．分式方程無解是指整式方程的解使最簡公分母等于0或整式方程無解．
必考點(diǎn)8
分式方程的應(yīng)用
1．隨著期末考試來臨，李勇同學(xué)原計(jì)劃延時(shí)服務(wù)期間復(fù)習(xí)語文、數(shù)學(xué)、英語的時(shí)間為2:4:4，班主任李老師提醒要學(xué)科均衡，補(bǔ)短板．他便將數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間的20%分給了語文和英語，調(diào)整后語文和英語的復(fù)習(xí)時(shí)間之比為3:5．李勇同學(xué)非?？炭啵瑢?shí)際復(fù)習(xí)時(shí)還擠出部分休息時(shí)間分給了三個(gè)學(xué)科，其中20%分給了語文，余下的80%分別分給數(shù)學(xué)和英語，這樣語文的總復(fù)習(xí)時(shí)間與三科總復(fù)習(xí)時(shí)間比為1:4．若李勇同學(xué)最終希望使數(shù)學(xué)與英語總復(fù)習(xí)時(shí)間比為5:6，那么數(shù)學(xué)的總復(fù)習(xí)時(shí)間與最后三科總復(fù)習(xí)時(shí)間之比為__________．
【答案】1544##15:44．
【分析】：設(shè)李勇同學(xué)原計(jì)劃延時(shí)服務(wù)期間復(fù)習(xí)語文、數(shù)學(xué)、英語的時(shí)間分別為2x,4x,4x，設(shè)他分給語文的時(shí)間為a，則分給英語的時(shí)間為45x?a，此時(shí)語文時(shí)間為：2x+a，英語時(shí)間為：4x+45x?a，依據(jù)語文英語時(shí)間的比值解得：a=11x20，此時(shí)各科學(xué)習(xí)時(shí)間分別為語文：51x20，數(shù)學(xué)：165x，英語：85x20，設(shè)擠出的休息時(shí)間為b，則第二次調(diào)整后語文時(shí)間為：51x20+15b，依據(jù)語文時(shí)間的比求出b=x，則總學(xué)習(xí)時(shí)間為：2x+4x+4x+x=11x，設(shè)此時(shí)他的數(shù)學(xué)時(shí)間為5c，則英語6c，依據(jù)數(shù)學(xué)英語時(shí)間和占總時(shí)間的34，求出c=34x，從而求出數(shù)學(xué)時(shí)間以及和總時(shí)間的比值．
【詳解】解：設(shè)李勇同學(xué)原計(jì)劃延時(shí)服務(wù)期間復(fù)習(xí)語文、數(shù)學(xué)、英語的時(shí)間分別為2x,4x,4x，
依題意：
他分給語文和英語的復(fù)習(xí)時(shí)間和為20%×4x=45x，剩余數(shù)學(xué)時(shí)間為80%×4x=165x，
設(shè)他分給語文的時(shí)間為a，則分給英語的時(shí)間為45x?a，
此時(shí)語文時(shí)間為：2x+a，
英語時(shí)間為：4x+45x?a，
依題意得：2x+a4x+45x?a=35，
解得：a=11x20，
故第一次調(diào)整后語文時(shí)間為：2x+11x20=51x20，
數(shù)學(xué)時(shí)間為：165x，
英語時(shí)間為：4x+0.8x?11x20=85x20，
設(shè)擠出的休息時(shí)間為b，
則第二次調(diào)整后語文時(shí)間為：51x20+15b，
依題意得：51x20+15b2x+4x+4x+b=14，
解得b=x，
則總學(xué)習(xí)時(shí)間為：2x+4x+4x+x=11x，
設(shè)此時(shí)他的數(shù)學(xué)時(shí)間為5c，則英語6c，
依題意得5c+6c=34×11x，
解得：c=34x，
故數(shù)學(xué)的總復(fù)習(xí)時(shí)間與最后三科總復(fù)習(xí)時(shí)間之比為：
5c11x=5×34x11x=1544，
故答案為：1544或15:44．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的實(shí)際應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是用代數(shù)式準(zhǔn)確表示出每次調(diào)整后各學(xué)科的時(shí)間，依據(jù)比例列方程求解．
2．杭州絲綢歷史悠久，質(zhì)地輕軟，色彩綺麗，早在漢代，就已通過“絲綢之路”遠(yuǎn)銷國外．小汪在網(wǎng)上開設(shè)杭州絲綢專賣店，專賣絲巾、旗袍等，發(fā)現(xiàn)一張進(jìn)貨單上的一個(gè)信息是：A款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)比B款絲巾多40元，花960元購進(jìn)A款絲巾的數(shù)量與花720元購進(jìn)B款絲巾的數(shù)量相同．
(1)問A，B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少元？
(2)小汪在銷售單上記錄了兩天的數(shù)據(jù)，如下表所示：
問：兩款絲巾的銷售單價(jià)分別是多少？
(3)根據(jù)（1）（2）所給的信息，小汪要花費(fèi)1400元購進(jìn)A，B兩款絲巾若干條，問：有哪幾種進(jìn)貨方案？根據(jù)計(jì)算說明哪種進(jìn)貨方案的總利潤最高．
【答案】(1)A款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是160元，則B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是120元
(2)A款絲巾的銷售單價(jià)是240元，則B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是200元
(3)有三種進(jìn)貨方案，方案一：購進(jìn)A款絲巾2條，購進(jìn)B款絲巾9條；方案二：購進(jìn)A款絲巾5條，購進(jìn)B款絲巾5條；方案三：購進(jìn)A款絲巾8條，購進(jìn)B款絲巾1條．選擇方案一利潤最高．
【分析】（1）設(shè)A款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是x元，則B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是(x?40)元，根據(jù)題意列出分式方程960x=720x?40，求解即可獲得答案；
（2）設(shè)A款絲巾的銷售單價(jià)是a元，則B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是b元，根據(jù)題意列出方程組并求解即可；
（3）設(shè)購進(jìn)A款絲巾m條，購進(jìn)B款絲巾n條，根據(jù)題意可列出方程160m+120n=1400，由m,n均為正整數(shù)，確定m,n的值，得到進(jìn)貨方案，再分別求出總利潤，比較即可確定答案．
【詳解】（1）解：設(shè)A款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是x元，則B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是(x?40)元，
根據(jù)題意，可得960x=720x?40，
解得x=160，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=160是該方程的解，
∴x?40=120，
∴A款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是160元，則B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是120元；
（2）設(shè)A款絲巾的銷售單價(jià)是a元，則B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是b元，
根據(jù)題意，可得4a+6b=21606a+8b=3040，
解得a=240b=200，
∴A款絲巾的銷售單價(jià)是240元，則B款絲巾的進(jìn)貨單價(jià)是200元；
（3）設(shè)購進(jìn)A款絲巾m條，購進(jìn)B款絲巾n條，
根據(jù)題意，可得 160m+120n=1400，
整理，可得4m+3n=35，
∴n=12?m?m+13，
∵m,n均為正整數(shù)，
∴m=2,n=9；m=5,n=5；m=8,n=1，
即有三種進(jìn)貨方案：
方案一：購進(jìn)A款絲巾2條，購進(jìn)B款絲巾9條，
則利潤為：(240?160)×2+(200?120)×9=880元；
方案二：購進(jìn)A款絲巾5條，購進(jìn)B款絲巾5條，
則利潤為：(240?160)×5+(200?120)×5=800元；
方案三：購進(jìn)A款絲巾8條，購進(jìn)B款絲巾1條，
則利潤為：(240?160)×8+(200?120)×1=720元；
綜上所述，選擇方案一利潤最高．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
3．兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程的13，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙隊(duì)單獨(dú)施工多少天完成全部工程？
(2)若甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，求甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為多少元？
(3)在（2）的條件下，若兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快______天能完成總工程．
【答案】(1)30
(2)甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元
(3)70
【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工x天完成全部工程，根據(jù)甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程的13求出甲隊(duì)單獨(dú)施工完成全部工程的天數(shù)，根據(jù)兩隊(duì)完成工程量的和等于總工程量列方程，求得乙隊(duì)單獨(dú)施工30天完成全部工程，注意分式方程要檢驗(yàn)；
（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為m元、n元, 根據(jù)甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，列方程組求解， 得到甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元；
（3）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)施工a天，乙隊(duì)單獨(dú)施工b天，根據(jù)兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元，兩隊(duì)完成工程量等于總工程量，列出0.3a+b≤28與a90+b30=1，求出a的取值范圍，根據(jù)最快完成總工程的要求，求出a+b的最小值即可．
【詳解】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工x天完成全部工程，
∵甲隊(duì)單獨(dú)施工完成全部工程的天數(shù)是30÷13=90（天），
∴13+1590+15x=1，
解得，x=30，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是所列方程的根，且符合題意，
故乙隊(duì)單獨(dú)施工30天完成全部工程；
（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為m元、n元,
∴4m+3n=420005m+6n=75000，
解得，m=3000n=10000，
故甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元；
（3）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)施工a天，乙隊(duì)單獨(dú)施工b天，
則0.3a+b≤28
∵a90+b30=1，
∴b=30?13a，
∴0.3a+30?13a≤28，
∴a≥60，
∵a+b=a+30?13a=23a+30，且a≥60，
∴23a+30≥60×23+30=70
∴在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快70天能完成總工程．
故答案為：70．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了工程問題，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握工作量與工作效率和工作時(shí)間的關(guān)系，總勞務(wù)費(fèi)與每天勞務(wù)費(fèi)和勞務(wù)時(shí)間的關(guān)系，解分式方程與二元一次方程組等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4．A、B 兩港之間的距離為280千米．
(1)若從A港口到 B港口為順流航行，且輪船在靜水中的速度比水流速度快20千米/時(shí)， 順流所用時(shí)間比逆流少用4小時(shí)，求水流的速度；
(2)若輪船在靜水中的速度為v千米/時(shí)，水流速度為u千米/時(shí)，該船從 A港順流航行到 B港，再從 B港逆流航行返回到 A港所用的時(shí)間為t1；若輪船從A港航行到 B港再返回到 A港 均為靜水航行，且所用時(shí)間為t2，請比較t1與t2的大小，并說明理由．
【答案】(1)水流的速度為4千米/時(shí)
(2)t1>t2，理由見解析
【分析】（1）設(shè)水流的速度為x千米/時(shí)，則輪船在靜水中的速度為x+20千米/時(shí)，利用時(shí)間差列出分式方程，解方程即可求解．
（2）根據(jù)題意，分別表示出t1與t2，根據(jù)分式的減法計(jì)算t1?t2，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)水流的速度為x千米/時(shí)，則輪船在靜水中的速度為x+20千米/時(shí)，根據(jù)題意得，
280x+20?x?28020+x+x=4，
解得：x=4，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解，
答：水流的速度為4千米/時(shí)；
（2）解：依題意，t1=280v+u+280v?u=560(v?u)(v+u)?ν,
t2=280×2v,
t1?t2=560(v?u)(v+u)?v?560v
=560v2vv?uv+u?560v?uv+uvv?uv+u
=560v(v?u)(v+u)?ν2?(ν?u)(v+u)
=560v(ν?u)(v+u)?u2
∵u>0，v>u，
∴t1?t2>0
即t1>t2．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，分式減法的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程與代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
5．某市為了做好“全國文明城市”驗(yàn)收工作，計(jì)劃對市區(qū)S米長的道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)進(jìn)行施工．
（1）已知甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同．若甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多改造30米，求甲、乙兩工程隊(duì)每天改造道路的長度各是多少米．
（2）若甲工程隊(duì)每天可以改造a米道路，乙工程隊(duì)每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．現(xiàn)在有兩種施工改造方案：
方案一：前12S米的道路由甲工程隊(duì)改造，后12S米的道路由乙工程隊(duì)改造；
方案二：完成整個(gè)道路改造前一半時(shí)間由甲工程隊(duì)改造，后一半時(shí)間由乙工程隊(duì)改造．
根據(jù)上述描述，請你判斷哪種改造方案所用時(shí)間少？并說明理由．
【答案】（1）甲工程隊(duì)每天道路的長度為180米，乙工程隊(duì)每天道路的長度為150米；（2）方案二所用的時(shí)間少
【分析】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天道路的長度為x米，根據(jù)“甲工程隊(duì)改造360米的道路與乙工程隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根據(jù)題意，分別表示出兩種方案所用的時(shí)間，再作差比較大小，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天道路的長度為x米，則甲工程隊(duì)每天道路的長度為x+30米，
根據(jù)題意，得：360x+30=300x，
解得：x=150，
檢驗(yàn)，當(dāng)x=150時(shí)，xx+30≠0，
∴原分式方程的解為：x=150，
x+30=180，
答：甲工程隊(duì)每天道路的長度為180米，乙工程隊(duì)每天道路的長度為150米；
（2）設(shè)方案一所用時(shí)間為：t1=12sa+12sb=(a+b)s2ab，
方案二所用時(shí)間為t2，則12t2a+12t2b=s，t2=2sa+b，
∴a+b2abS?2a+bS=(a?b)22ab(a+b)S，
∵a≠b，a>0，b>0，
∴a?b2>0，
∴a+b2abS?2a+bS>0，即：t1>t2，
∴方案二所用的時(shí)間少．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用以及分式的減法法則，找出等量關(guān)系，列分式方程，掌握分式的通分，是解題的關(guān)鍵．
6．某小麥改良品種后平均每公頃增加產(chǎn)量a噸，原來產(chǎn)m噸小麥的一塊土地，現(xiàn)在小麥的總產(chǎn)量增加了20噸．
（1）當(dāng)a＝0.8，m＝100時(shí)，原來和現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量各是多少？
（2）請直接接寫出原來小麥的平均每公頃產(chǎn)量是 噸，現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量是 噸；（用含a、m的式于表示）
（3）在這塊土地上，小麥的改良品種成熟后，甲組收割完需n小時(shí)，乙組比甲組少用0.5小時(shí)就能收割完，求兩組一起收割完這塊麥田需要多少小時(shí)？
【答案】（1）原來和現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量各是4噸，4.8噸；（2）ma20，ma+20a20；（3）兩組一起收割完這塊麥田需要2n2?n4n?1小時(shí)．
【分析】（1）設(shè)原來小麥平均每公頃產(chǎn)量是x噸，根據(jù)題意列出分式方程求解并驗(yàn)根即可；（2）設(shè)原來小麥平均每公頃產(chǎn)量是y噸，根據(jù)題意列出分式方程求解并驗(yàn)根即可；（3）由題意得知，工作總量為m+20,甲的工作效率為：m+20n，乙的工作效率為：m+20n?0.5，再由工作總量除以甲乙的工作效率和即可得出工作時(shí)間.
【詳解】解：（1）設(shè)原來平均每公頃產(chǎn)量是x噸，則現(xiàn)在平均每公頃產(chǎn)量是（x+0.8）噸，
根據(jù)題意可得：100x=100+20x+0.8
解得：x＝4，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝4時(shí)，x（x+0.8）≠0，
∴原分式方程的解為x＝4，
∴現(xiàn)在平均每公頃產(chǎn)量是4.8噸，
答：原來和現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量各是4噸，4.8噸．
（2）設(shè)原來小麥平均每公頃產(chǎn)量是y噸，則現(xiàn)在玉米平均每公頃產(chǎn)量是（y+a）噸，
根據(jù)題意得：my=m+20y+a
解得；y＝ma20，
經(jīng)檢驗(yàn)：y＝ma20是原方程的解，
則現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量是:ma20+a=ma+20a20
故答案為:ma20，ma+20a20；
（3）根據(jù)題意得：m+20m+20n+m+20n?0.5=n(n?0.5)2n?0.5=2n2?n4n?1
答：兩組一起收割完這塊麥田需要2n2?n4n?1小時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是根據(jù)題意列分式方程并求解，找出題目中的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.
7．為響應(yīng)“綠色出行”的號(hào)召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距離上班地點(diǎn)27km，他乘坐公交車平均每小時(shí)行駛的路程比他自駕車平均每小時(shí)行駛的路程的2倍還多9km.他從家出發(fā)到上班地點(diǎn)，乘公交車所用的時(shí)間是自駕車所用時(shí)間的37.
（1）小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛多少千米？
（2）上周五，小王上班時(shí)先步行了6km，然后乘公交車前往，共用43小時(shí)到達(dá).求他步行的速度.
【答案】（1）小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛27km；（2）小王步行的速度為每小時(shí)6km.
【分析】（1））設(shè)小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛xkm，則他乘坐公交車上班平均每小時(shí)行駛2x+9km.再利用乘公交車的方式平均每小時(shí)行駛的路程比他自用駕SS式平均每小時(shí)行駛的路程的2倍還多9千米和乘公交車所用時(shí)間是自駕車方式所用時(shí)間的37，列方程求解即可；
（2）設(shè)小王步行的速度為每小時(shí)ykm，然后根據(jù)“步行時(shí)間+乘公交時(shí)間=小時(shí)”列方程解答即可.
【詳解】解（1）設(shè)小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛xkm，則他乘坐公交車上班平均每小時(shí)行駛2x+9km.根據(jù)題意得：
272x+9=37?27x
解得：x=27
經(jīng)檢驗(yàn)，x=27是原方程的解且符合題意.
所以小王用自駕車上班平均每小時(shí)行駛27km；
（2）由（1）知：小王乘坐公交車上班平均每小時(shí)行駛2x+9=2×27+9=63（km）；
設(shè)小王步行的速度為每小時(shí)ykm，根據(jù)題意得：
6y+27?663=43
解得：y=6.
經(jīng)檢驗(yàn)：y=6是原方程的解且符合題意
所以小王步行的速度為每小時(shí)6km.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵在于弄清題意、找到等量關(guān)系、列出分式方程并解答.日期
A款絲巾（條）
B款絲巾（條）
銷售總額（元）
12月10日
4
6
2160
12月11日
6
8
3040

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