TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27964" 【題型1 含乘方的分式乘除混合運算】 PAGEREF _Tc27964 \h 2
\l "_Tc19221" 【題型2 分式的加減混合運算】 PAGEREF _Tc19221 \h 2
\l "_Tc5486" 【題型3 整式與分式的相加減運算】 PAGEREF _Tc5486 \h 3
\l "_Tc13540" 【題型4 分式加減的實際應用】 PAGEREF _Tc13540 \h 3
\l "_Tc7277" 【題型5 比較分式的大小】 PAGEREF _Tc7277 \h 4
\l "_Tc4034" 【題型6 分式的混合運算及化簡求值】 PAGEREF _Tc4034 \h 4
\l "_Tc1254" 【題型7 分式中的新定義問題】 PAGEREF _Tc1254 \h 5
\l "_Tc4413" 【題型8 分式運算的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc4413 \h 6
\l "_Tc23906" 【題型9 整數(shù)指數(shù)冪的運算】 PAGEREF _Tc23906 \h 8
\l "_Tc18471" 【題型10 科學計數(shù)法表示小數(shù)】 PAGEREF _Tc18471 \h 8
【知識點1 分式的乘除法法則】
分式是分數(shù)的擴展，因此分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似：
1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：ab×cd=acbd
2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。即：ab÷cd=ab×dc=adbc
3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（ab）n=anbn
4）運算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級從左至右依次計算。有括號的，先算括號中的，在算括號外的。
注：上述所有計算中，結果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式
【知識點2 分式的加減法則】
1）同分母分式：分母不變，分子相加減ac±bc=a±bc
2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減ab±dc=acbc±bdbc=ac±bdbc
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①計算結果中，分子、分母若能約分，要約分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②運算順序中，加減運算等級較低。若混合運算種有乘除或乘方運算，先算乘除、乘方運算，最后算加減運算。
【題型1 含乘方的分式乘除混合運算】
【例1】（2022·全國·八年級課時練習）a+ba?b2÷a+ba?b2×a+ba?b的結果是（ ）
A．a(chǎn)?ba+bB．a(chǎn)+ba?bC．a(chǎn)+ba?b2D．1
【變式1-1】（2022·全國·八年級課時練習）（1）?n22m?4m25n3=________；
（2）(a2?b)5?(b2?a)6?(1ab)7=________；
（3）(?3ab3c2)2÷(?3b2ca)3=________；
（4）(?y2x)2?(?3x2y)3÷(?3x2ay)2=________；
（5）(c3a2b)2÷(c4a3b)2÷(ac)4=________．
【變式1-2】（2022·全國·八年級專題練習）[?a7b23(a+b)]?(a2?b2)4a2÷[a2(b?a)2]3
【變式1-3】（2022·湖南長沙·七年級階段練習）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實數(shù)，且a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw，則a2x2+b2y2+c2z2+d2w2的值為______ ．
【題型2 分式的加減混合運算】
【例2】（2022·浙江杭州·九年級專題練習）對于任意的x值都有2x+7x2+x?2=Mx+2+Nx?1，則M，N值為（ ）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
【變式2-1】（2022·上海市久隆模范中學七年級期中）計算：2y2+3y+2y+1?y2?y?5y+2?3y2?4y?5y?2+2y2?8y+5y?3
【變式2-2】（2022·全國·中考模擬）計算下列各式：
（1）1a?b+1a+b+2aa2+b2+4a3a4+b4 ；
（2）x2+yzx2+(y?z)x?yz+y2?zxy2+(z+x)y+zx+z2+xyz2?(x?y)z?xy ；
（3）x3?1x3+2x2+2x+1+x3+1x3?2x2+2x?1?2(x2+1)x2?1
（4）(y?x)(z?x)(x?2y+z)(x+y?2z)+(z?y)(x?y)(x+y?2z)(y+z?2x)+(x?z)(y?z)(y+z?2x)(x?2y+z) ．
【變式2-3】（2022·河南省淮濱縣第一中學八年級期末）已知實數(shù)x，y，z滿足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+yz+x＝11，則x+y+z的值為（ ）
A．12B．14C．727D．9
【題型3 整式與分式的相加減運算】
【例3】（2022·貴州銅仁·八年級期末）計算：11?x?1?x的結果是________．
【變式3-1】（2022·山東臨沂·中考模擬）化簡：（a+2+52?a）?2a?4a+3=_______．
【變式3-2】（2022·福建福州·八年級期末）已知：P=x+1，Q= 4xx+1．
(1)當x>0時，判斷P-Q與0的大小關系，并說明理由；
(2)設y=3P?Q2，若x是整數(shù)，求y的整數(shù)值．
【變式3-3】（2022·河北·中考真題）由1+c2+c?12值的正負可以比較A=1+c2+c與12的大小，下列正確的是（ ）
A．當c=?2時，A=12B．當c=0時，A≠12
C．當c12D．當cN
【分析】根據(jù)n>1可得M>1,01,0N，
故答案為：M>P>N．
【點睛】本題考查了不等式的性質和利用作差法比較兩個代數(shù)式的大小，作差法比較大小的方法是：如果a?b>0，那么a>b；如果a?b=0，那么a=b；如果a?bc，那么a>b>c．
【變式5-2】（2022·全國·九年級競賽）已知x，y，z是三個互不相同的非零實數(shù)，設a=x2+y2+z2，b=xy+yz+zx，c=1x2+1y2+1z2，d=1xy+1yz+1zx．則a與b的大小關系是_______；c與d的大小關系是______．
【答案】 a>b c>d
【分析】根據(jù)題意利用作差法進行整式與分式的加減運算，并將結果與0比較大小即可確定兩數(shù)間的大小關系.
【詳解】解：∵x，y，z是三個互不相同的非零實數(shù)，
∴a?b=x2+y2+z2?xy+yz+zx=12x?y2+y?z2+z?x2>0．
∴a>b．
又c?d=1x2+1y2+1z2?1xy+1yz+1zx=121x?1y2+1y?1z2+1z?1x2>0，
∴c>d．
故答案為：a>b和c>d.
【點睛】本題考查式子的大小比較，用作差法得到代數(shù)式，運用完全平方公式配成完全平方的形式，根據(jù)x，y，z是互不相等的非零實數(shù)，證明代數(shù)式大于0，得到a與b，c與d的大小關系．
【變式5-3】（2022·內蒙古·呼和浩特市國飛中學八年級期末）若a＞0，M=a+1a+2，N=a+2a+3．
（1）當a=3時，計算M與N的值；
（2）猜想M與N的大小關系，并證明你的猜想．
【答案】（1）M＝45，N＝56；（2）M＜N；證明見解析.
【分析】（1）直接將a=3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加減以及乘除運算法則，進而合并求出即可．
【詳解】（1）當a=3時，M=3+13+2=45，N=3+23+3=56；
（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：
M﹣N=a+1a+2?a+2a+3 =(a+1)(a+3)?（a+2）2(a+2)(a+3) =?1（a+2）（a+3）．
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴?1（a+2）（a+3）＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N．理由如下：
MN=a+1a+2?a+3a+2=a2+4a+3a2+4a+4．
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴a2+4a+3a2+4a+4＜1，∴MN＜1，∴M＜N．
【點睛】本題考查了分式的加減以及乘除運算，正確通分得出是解題的關鍵．
【題型6 分式的混合運算及化簡求值】
【例6】（2022·天津東麗·八年級期末）計算
（1）4a3b?b2a4÷1a2
（2）aa?1÷a2?aa2?1?1a?1
【答案】（1）23a；（2）aa?1
【分析】（1）先將除法寫成乘法，再計算乘法，分子、分母約分化為最簡分式；
（2）先將除法寫成乘法，計算乘法得到最簡分式，再與后一項相減即可得到答案.
【詳解】（1）原式＝4a3b?b2a4?a2＝23a；
（2）原式＝aa?1?(a+1)(a?1)a(a?1)?1a?1=a+1a?1?1a?1=aa?1.
【點睛】此題考查分式的混合運算，先將除法化為乘法，再約分結果，再計算加減法.
【變式6-1】（2022·廣東惠州·模擬預測）先化簡，再求值：1﹣x?2yx+y÷x2?4xy+4y2x2?y2，其中x＝﹣2，y＝12．
【答案】﹣yx?2y，16．
【分析】原式利用除法法則變形，約分后兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結果，之后將x、y代入計算即可求得答案．
【詳解】解：原式＝1﹣x?2yx+y?x+yx?yx?2y2=1?x?yx?2y＝﹣yx?2y，
當x＝﹣2，y＝12時，原式＝16．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練的掌握分式的運算法則是解本題的關鍵，在解題的時候，要注意式子的整理和約分．
【變式6-2】（2022·江蘇·南京玄武外國語學校八年級期中）已知分式 A ?(a+1?3a?1)÷a2?4a+4a?1
（1）化簡這個分式；
（2）當 a＞2 時，把分式 A 化簡結果的分子與分母同時加上 4 后得到分式 B，問：分式 B 的值較原來分式 A 的值是變大了還是變小了？試說明理由；
（3）若 A 的值是整數(shù)，且 a 也為整數(shù)，求出符合條件的所有 a 值的和．
【答案】（1）a+2a?2；（2）原分式值變小了，見解析；（3）11
【分析】（1）根據(jù)分式混合運算順序和運算法則化簡即可得；
（2）根據(jù)題意列出算式A?B=a+2a?2?a+6a+2，化簡可得A?B=16(a?2)(a+2)，結合a的范圍判斷結果與0的大小即可得；
（3）由A=a+2a?2=1+4a?2可知，a?2=±1、±2、±4，結合a的取值范圍可得．
【詳解】解：（1）A=(a+1?3a?1)÷a2?4a+4a?1
=a2?1?3a?1×a?1(a?2)2
=(a+2)(a?2)a?1×a?1(a?2)2
=a+2a?2；
（2）變小了，理由如下：
∵A=a+2a?2，
∴B=a+6a+2，
∴A?B=a+2a?2?a+6a+2=16(a?2)(a+2)；
∵a>2，
∴a?2>0，a+2>4，
∴A?B>0，
∴分式的值變小了；
（3）∵A是整數(shù)，a是整數(shù)，
則A=a+2a?2=1+4a?2，
∴a?2=±1、±2、±4，
∵a≠1，
∴a的值可能為：3、0、4、6、-2；
∴3+0+4+6+(?2)=11；
∴符合條件的所有a值的和為11．
【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．
【變式6-3】（2022·全國·八年級單元測試）已知 x,y 為整數(shù)，且滿足 1x+1y1x2+1y2=?231x4?1y4 ，求 x+y 的值．
【答案】x+y的值為0或±1.
【分析】根據(jù)平方差公式和約分法則把原式化簡，根據(jù)取整法則解答即可．
【詳解】解：∵(1x+1y)(1x2+1y2)=?23(1x4?1y4)，
∴(1x+1y)(1x2+1y2)=?23(1x2+1y2)(1x2?1y2)，
∴(1x+1y)=?23(1x2?1y2)，
∴(1x+1y)1+23(1x?1y)=0，
∴1x+1y=0或1+231x?1y=0，
∴x+y=0或1x?1y=?32，
由1x?1y=?32，得x=2y2?3y=22y?3，
由于 x，y 為整數(shù)，
當y=1時，x為整數(shù)-2，則x+y=-1；
當y=-1時，x為-25，不是整數(shù)，不符合題意，舍去；
當y=2時，x為整數(shù)-1，則x+y=1；
當y=-2時，x為-12，不是整數(shù)，不符合題意，舍去；
綜上，x+y的值為0或±1．
【點睛】本題考查的是分式的混合運算，掌握平方差公式是解題的關鍵．
【題型7 分式中的新定義問題】
【例7】（2022·北京昌平·八年級期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：x+1x?1=x?1+2x?1=x?1x?1+2x?1=1+2x?1，則x+1x?1是“和諧分式”．
(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是 （填序號）；
①x+33 ② x?5x ③ x?1x+2 ④x+1x2
(2)請將“和諧分式”x2+6x+3x+3化為一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫出化簡過程；
(3)應用：先化簡x?xx+1÷x2?3xx2?9?x+1x2+6x，并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．
【答案】(1)②③
(2)x+3?6x+3，過程見解析
(3)1?3x+6，當x=?5,?7,?9，該式的值是整數(shù)，
【分析】（1）由“和諧分式”的定義對①②③④變形即可得；
（2）根據(jù)“和諧分式”的定義進行變形即可求解；
（3）將原式變形為1?3x+6，根據(jù)題意求得x的值，根據(jù)分式有意義的條件取舍即可求解．
【詳解】（1）解：①x+33=1+x3，不是“和諧分式”，
②x?5x=1?5x，是“和諧分式”，
③x?1x+2=x+2?3x+2=1?3x+2，是“和諧分式”，
④x+1x2 =1x+1x2，不是“和諧分式”，
故答案為：②③；
（2）解：x2+6x+3x+3
=x+32?6x+3
=x+3?6x+3；
（3）解：x?xx+1÷x2?3xx2?9?x+1x2+6x
=xx+1?xx+1·x+3x?3xx?3·x+1xx+6
=x2x+1x+3x?3x2x+1x?3x+6
=x+3x+6
=x+6?3x+6
=1?3x+6，
∵1?3x+6為整數(shù)，
∴x+6 =±1,±3，
∴當x=?3,?5,?7,?9時，1?3x+6是整數(shù)，
又∵x≠0,?1,3,?3,?6．
∴x=?5,?7,?9時，原式的值是整數(shù)．
【點睛】本題主要考查分式的化簡及分式有意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算法則及對和諧分式的定義的理解．
【變式7-1】（2022·江蘇·八年級）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“n階分式”，例如分式3x+1與3x1+x互為“3階分式”.
（1）分式10x3+2x與 互為“5階分式”；
（2）設正數(shù)x,y互為倒數(shù)，求證：分式2xx+y2與2yy+x2互為“2階分式”；
（3）若分式aa+4b2與2ba2+2b互為“1階分式”（其中a,b為正數(shù)），求ab的值.
【答案】（1）153+2x；（2）詳見解析；（3）12
【分析】（1）根據(jù)分式的加法，設所求分式為A，然后進行通分求解即可；
（2）根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關系，將x，y進行消元，然后通過分式的加法化簡即可得解；
（3）根據(jù)1階分式的要求對兩者相加進行分式加法化簡，通過通分化簡即可得解.
【詳解】（1）依題意，所求分式為A，即：10x3+2x+A=5，
∴A=5?10x3+2x=15+10x3+2x?10x3+2x=153+2x；
（2）∵正數(shù)x,y互為倒數(shù)
∴xy=1，即x=1y
∴2xx+y2+2yy+x2=21y1y+y2+2yy+1y2=21+y3+2y3y3+1=2(1+y3)1+y3=2
∴分式2xx+y2與2yy+x2互為“2階分式”；
（3）由題意得aa+4b2+2ba2+2b=1，等式兩邊同乘(a+4b2)(a2+2b)
化簡得： a(a2+2b)+2b(a+4b2)=(a2+2b)(a+4b2)
即：2ab+8b3=4a2b2+8b3
∴4a2b2?2ab=0，即2ab(2ab?1)=0
∴ab=12或0
∵a,b為正數(shù)
∴ab=12.
【點睛】本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的通分約分運算知識是解決此類問題的關鍵.
【變式7-2】（2022·江蘇·灌南縣揚州路實驗學校八年級階段練習）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱分式N是分式M的“關聯(lián)分式”．如1x+1與1x+2，因為1x+1?1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2，所以1x+2是1x+1的“關聯(lián)分式”．
(1)已知分式2a2?1，則2a2+1______2a2?1的“關聯(lián)分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式1x2+y2的“關聯(lián)分式”時，用了以下方法：
設1x2+y2的“關聯(lián)分式”為N，則1x2+y2?N=1x2+y2×N，
∴1x2+y2+1N=1x2+y2，
∴N=1x2+y2+1．
請你仿照小明的方法求分式a?b2a+3b的“關聯(lián)分式”．
(3)①觀察（1）（2）的結果，尋找規(guī)律，直接寫出分式y(tǒng)x的“關聯(lián)分式”：______；
②用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：
若4n?2mx+m是4m+2mx+n的“關聯(lián)分式”，求實數(shù)m，n的值．
【答案】(1)是
(2)a?b3a+2b
(3)①yx+y；②m=?34n=14
【分析】（1）根據(jù)關聯(lián)分式的定義進行判斷；
（2）仿照題目中給到的方法進行求解；
（3）①根據(jù)（1）（2）找規(guī)律求解；
②由①推出的結論，類比形式求解即可.
（1）
解：∵2a2?1-2a2+1=4(a2?1)(a2+1)，2a2?1×2a2+1=4(a2?1)(a2+1)
∴2a2+1是2a2?1的“關聯(lián)分式”
故答案為：是
（2）
解：設a?b2a+3b的“關聯(lián)分式”為N，則a?b2a+3b?N=a?b2a+3b×N，
∴a?b2a+3b+1N=a?b2a+3b，
∴N=a?b3a+2b．
（3）
解：①設yx的“關聯(lián)分式”為N，則yx?N=yx×N，
∴yx+1N=yx，
∴N=yx+y．
故答案為：yx+y；
②由題意，可得4m+2=4n?2mx+m=mx+n+4m+2，
整理得n?m=1,n+3m=?2.
解得m=?34n=14．
【點睛】本題是創(chuàng)新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運算是解決本題的關鍵.
【變式7-3】（2022·江西南昌·八年級期末）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個分式互為“n和分式”．例如：5x+1+5xx+1=5，我們稱兩個分式5x+1與5xx+1互為“5和分式”．解答下列問題：
（1）分式4x+1與分式________互為“4和分式”；
（2）分式2xx+y與分式2yx+y互為“________和分式”；
（3）已知xy=1，兩個分式1x+1與1y+1是否是“n和分式”？如果是，請求出n的值；如果不是，請說明理由；
（4）若分式3xx+y2與3yx2+y互為“3和分式”（其中x，y為正數(shù)），求xy的值．
【答案】（1）4xx+1；（2）2；（3）是，1x+1與1y+1是“1和分式”，即n=1；（4）xy=1
【分析】（1）設這個分式為W，根據(jù)題意可知W+4x+1=4，然后求解即可得到答案；
（2）根據(jù)2xx+y+2yx+y=2，即可求解；
（3）根據(jù)xy=1，則1y+1=11x+1=x1+x，即可得到1x+1+1y+1=1；
（4）由題意可得3xx+y2+3yx2+y=3然后求解xy即可.
【詳解】解：（1）設這個分式為W，
根據(jù)題意可知W+4x+1=4
W=4?4x+1=4x+4?4x+1=4xx+1
（2）2xx+y+2yx+y=2x+2yx+y=2
∴2xx+y與2yx+y互為“2和分式”
（3）∵xy=1，
∴y=1x
∴1y+1=11x+1=x1+x
∴1x+1+1y+1=1x+1+xx+1=x+1x+1=1
∴1x+1與1y+1互為“1和分式”
∴n=1
（4）∵3xx+y2與3yx2+y互為“3和分式”
3xx+y2+3yx2+y=3
3xx+y2+3yx2+y=3x+y2x2+y
3x2y2=3xy
xy=1
【點睛】本題主要考查了分式的加法運算，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.
【題型8 分式運算的規(guī)律探究】
【例8】（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學八年級期中）對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1?14，計算：f（12006）+ f（12005）+ f（12004）+ …f（13）+ f（12）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
【答案】2006
【分析】首先根據(jù)fx=11+x可以得到f1x=x1+x=1?11+x，分別把f(12006)，f(12005)以及f(12)表示出來，其余的f1,f2,用fx=x1+x表示即可求解．
【詳解】∵fx=11+x
∴f1x=11+1x=11+xx=x1+x=1?11+x
原式=1-12007+1-12006+1-+1?13+12+12+13++12005+12006+12007
=?12007+12007+?12006+12006+?12005+12005++?13+13+12+12+2005
=2006
故答案是：2006．
【點睛】本題主要考查分式的計算以及分式的代數(shù)求值，準確的根據(jù)已知條件表示出f1x=1?11+x是求解本題的關鍵．
【變式8-1】（2022·安徽安慶·七年級期末）觀察以下等式：
第1個等式：232?4×2?1?41=21；
第2個等式：442?4×2?2?42=22；
第3個等式：652?4×2?3?43=23；
第4個等式：862?4×2?4?44=24；
第5個等式：1072?4×2?5?45=25；……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個等式：___________；
(2)寫出你猜想的第n個等式：__________（用含n的等式表示），并證明．
【答案】(1)1282?4×2?6?46=26
(2)2n(n+2)2?4×2?n?4n=2n，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題目中前5個等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，從而可以寫出第6個等式；
（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來，并運用分式的混合運算法則計算等號的右邊的值，進而得到左右相等便可．
(1)
解： 1282?4×2?6?46=26；
(2)
解：2n(n+2)2?4×2?n?4n=2n，理由如下：
左邊=2nn2+4n×n+4n=2n+4×n+4n=2n=右邊，
∴等式成立．
【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點，寫出相應的等式，并證明猜想的正確性是解答本題的關鍵．
【變式8-2】（2022·江蘇泰州·八年級期中）【探究思考】
（1）探究一：
觀察分式x?1x的變形過程和結果，x?1x=xx+?1x=1?1x．
填空：若x為小于10的正整數(shù)，則當x=_______時，分式x?1x的值最大．
（2）探究二：
觀察分式a2+2a?2a?1的變形過程和結果，
a2+2a?2a?1=a?12+4a?3a?1=a?12+4a?1+1a?1=a?1+4+1a?1=a+3+1a?1．
模仿以上分式的變形過程和結果求出分式x2+2x?1x?1的變形結果．
【問題解決】
（3）當?2

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10.1 分式

版本： 蘇科版

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