初升高數(shù)學(xué)銜接講義第5講充分條件與必要條件（教師版+學(xué)生版）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

命題的概念：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.
命題的形式：數(shù)學(xué)中命題常寫成“若，則”或者“如果，那么”，通常我們把命題中的叫做命題的條件，叫做命題的結(jié)論.
四種命題：
（1）對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫作互逆命題，其中一個命題叫作原命題，另一個命題叫作原命題的逆命題. 原命題為“若，則”,則逆命題為“若，則”.
（2）一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定,我們把這樣的兩個命題叫作互否命題,如果把其中一個命題叫作原命題,那么另一個命題叫作原命題的否命題. 原命題為“若，則”,則否命題為“若，則”.
（3）一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定,我們把這樣的兩個命題叫作互為逆否命題,如果把其中一個命題叫作原命題,那么另一個命題叫作原命題的逆否命題. 若原命題為“若，則”,則逆否命題為“若,則”.
充分條件和必要條件
定義：一般地，“若，則”為真命題，是指由通過推理可以得出.這時我們就說，由可以推出，記作.并且說，是的充分條件，是的必要條件.
相反，“若，則”為假命題，那么由條件不能推出結(jié)論，記作.此時，我們就說不是的充分條件，不是的必要條件.
充要條件：如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均是真命題，即既有，又有，就記作.此時，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡稱充要條件.
重點剖析：
對充分條件的理解
設(shè)集合，.
若,則是的充分條件;若,則不是的充分條件.
我們說是的充分條件，是指由條件可以推出結(jié)論，但并不意味著只能由這個條件才能推出結(jié)論，一般來說，對給定的結(jié)論，使得成立的條件是不唯一的.例如：.但是,當(dāng)時,也可以成立,故“”是“”的充分條件.
對必要條件的理解
設(shè)集合，.
若,則是的必要條件;若,則不是的必要條件.
我們說是的必要條件，是指以為條件可以推出結(jié)論，但并不意味著由條件只能推出結(jié)論.一般來說，對給定的條件，由可以推出的結(jié)論是不唯一的.例如：若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對邊分別相等.另外，若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的一組對邊平行且相等.顯然這兩個命題都是正確的.
3.證明命題充要性時，既要證明原命題成立（充分性），又要證明它的逆命題成立（必要性）.
判斷下列說法是否是命題.如果是命題，判斷其真假.
；
垂直于同一條直線的兩條直線平行么？
；
武漢市坐落于湖北??；
若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等.
【答案】（1）不是；（2）不是；（3）假命題；（4）真命題；（5）假命題.
把下列命題寫成“若，則”的形式,并判斷其真假.
實數(shù)的平方是非負數(shù)；
底邊相等且高相等的兩個三角形是全等三角形；
能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除；
弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并平分弦所對的弧.
【答案】
（1）若一個數(shù)是實數(shù)，則這個數(shù)的平方是非負數(shù)，是真命題；
（2）若兩個三角形底邊相等且高相等，則這兩個三角形全等，是假命題；
若一個數(shù)能被6整除，則它既能被3整除，也能被2整除，是真命題；
若一條直線是弦的垂直平分線，則這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧，是真命題.
下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中的是的充分條件？
若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；
若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；
若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
若，則；
若，則；
若為無理數(shù)，則為無理數(shù).
【答案】（1）（2）（3）（5）中是的充分條件，（4）（6）中不是.
下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中的是的必要條件？
若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；
若兩個三角形相似，則兩個三角形的三邊成比例；
若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形為菱形；
若，則；
若，則；
若為無理數(shù)，則為無理數(shù).
【答案】（1）（2）（4）中是的必要條件，（3）（5）（6）中不是.
下列各題中，哪些是的充要條件？
四邊形是正方形，四邊形的對角線互相垂直且平分；
兩個三角形相似，兩個三角形三邊成比例；
：，；
是一元二次方程的一個根，.
【答案】（2）（4）
設(shè)，.若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【解析】由得，解得，即，
由得，解得，
是的充分不必要條件，，，
?，
，解得，所以的取值范圍為.
求證：一元二次方程有一正根和一負根的充要條件是.
【證明】充分性：若，則一元二次方程的判別式，
所以方程一定有兩不等實根，設(shè)為，則，
所以方程的兩根異號，即方程有一正根和一負根；
必要性：若一元二次方程有一正根和一負根，設(shè)為，根據(jù)韋達定理得，即.
綜上可知，一元二次方程有一正根和一負根的充要條件是.
求關(guān)于的一元二次不等式對于一切實數(shù)都成立的充要條件.
【答案】
【解析】必要性：若一元二次不等式，即對于一切實數(shù)都成立，
則，解得；
充分性：若，則，
即一元二次不等式對于一切實數(shù)都成立.
綜上可知，不等式對于一切實數(shù)都成立的充要條件是.
已知全集，非空集合，.
當(dāng)時，求；
命題，命題，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）當(dāng)時，，
，
又，；
（2），，
若是的必要不充分條件，則?，
所以，解得或，
所以的取值范圍為.
跟蹤訓(xùn)練
“”是“”的（）
充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若，則或，即，
若，則，即，
所以“”是“”的必要不充分條件，故選B.
設(shè)，則“”是“”的（）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由得，由得，即，
，，
是的必要不充分條件，
即“”是“”的必要不充分條件，故選B.
設(shè)，；若是的必要不充分條件，則實數(shù)應(yīng)滿足（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若是的必要不充分條件，則?，
所以，且，即，故選B.
設(shè)實數(shù)滿足（其中），.若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由得，
是的必要不充分條件，?，
，解得，所以的取值范圍是.
已知，.“”是“”的必要條件，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由“”是“”的必要條件可知，
所以，解得，所以的取值范圍是.
已知條件，條件.若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【解析】由得，由得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
是的充分不必要條件，?，
或，解得或，
綜上可知，的取值范圍為.
已知是非零實數(shù)，且，求證：的充要條件為.
【證明】充分性：若，則，即成立；
必要性：若，則，即成立.
綜上所述，的充要條件為.

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