（新知銜接）專題03 分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算和簡便運(yùn)算（七大考點(diǎn)講練+難度分層練）（含答案）2024年新六年級(jí)數(shù)學(xué)暑假銜接講義（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（新知講練+高頻易錯(cuò)點(diǎn)+七大考點(diǎn)講練+難度分層練）
編者的話：
同學(xué)你好，這份講義包含：
①新課講授知識(shí)精講：從復(fù)習(xí)到預(yù)習(xí)，典例精講，理解知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用方法，逐步掌握新課內(nèi)容！結(jié)合變式訓(xùn)練提升知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用能力，自學(xué)效果也很好！
②高頻易錯(cuò)點(diǎn)撥精講：對(duì)常考題型易錯(cuò)點(diǎn)內(nèi)容指點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和運(yùn)用，查漏補(bǔ)缺，給出解決方案，提高學(xué)生的解題謹(jǐn)慎度、細(xì)心度！
③考點(diǎn)精講練：對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行細(xì)致劃分，逐個(gè)學(xué)習(xí)新知，學(xué)生理解更透徹，結(jié)合變式演練，舉一反三訓(xùn)練，掌握知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用技巧！
④【基礎(chǔ)夯實(shí)+沖刺拔高】真題練：結(jié)合近兩年?？颊骖}，易錯(cuò)題，經(jīng)典題型等進(jìn)一步鞏固所學(xué)內(nèi)容，提升解題能力，熟悉考點(diǎn)考察題型，達(dá)到事半功倍！
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8456" 考點(diǎn)一：分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法 PAGEREF _Tc8456 \h 5
\l "_Tc29985" 考點(diǎn)二：分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算中單位“1”的量連續(xù)增加或減少問題 PAGEREF _Tc29985 \h 8
\l "_Tc16532" 考點(diǎn)三：結(jié)合線段圖解決實(shí)際問題 PAGEREF _Tc16532 \h 10
\l "_Tc19123" 考點(diǎn)四：求比一個(gè)量多幾分之幾和少幾分之幾的問題 PAGEREF _Tc19123 \h 11
\l "_Tc23519" 考點(diǎn)五：較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算應(yīng)用題 PAGEREF _Tc23519 \h 14
\l "_Tc31479" 考點(diǎn)六：分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算簡便運(yùn)算的計(jì)算 PAGEREF _Tc31479 \h 15
\l "_Tc16968" 考點(diǎn)六：判斷簡便運(yùn)算算式中運(yùn)用的運(yùn)算律 PAGEREF _Tc16968 \h 18
\l "_Tc26933" 考點(diǎn)七：比較分?jǐn)?shù)乘法簡便運(yùn)算算式結(jié)果大小 PAGEREF _Tc26933 \h 19
\l "_Tc32193" 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練 PAGEREF _Tc32193 \h 20
\l "_Tc25686" 能力拔高練 PAGEREF _Tc25686 \h 26
1.知道分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序與整數(shù)混合運(yùn)算的順序相同，能熟練進(jìn)行分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算；理解整數(shù)乘法運(yùn)算定律對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法同樣適用，并能應(yīng)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算。
2.在觀察、遷移、嘗試練習(xí)、交流反饋等活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力及思維的靈活性。
3.在自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，讓學(xué)生體會(huì)算法的多樣性及學(xué)習(xí)的樂趣。
重點(diǎn)：會(huì)計(jì)算分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，能利用乘法的運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算。
難點(diǎn)：根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活地運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算。
提問：
（1）分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序和整數(shù)混合運(yùn)算的順序是否相同？
（2）整數(shù)乘法運(yùn)算定律能不能推廣到分?jǐn)?shù)？
知識(shí)點(diǎn)1：分?jǐn)?shù)乘加、乘減的運(yùn)算順序
問題：一個(gè)畫框的尺寸如右圖，做這個(gè)畫框需要多長的木條？
列式：
① ②
分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序和整數(shù)混合運(yùn)算的順序相同嗎？你會(huì)自己計(jì)算這兩道算式嗎？
通過計(jì)算你有什么發(fā)現(xiàn)？
發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序與整數(shù)混合運(yùn)算的順序相同。
知識(shí)點(diǎn)2：整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)乘法
問題：1. 觀察每組的兩個(gè)算式，看看它們有什么關(guān)系。
從這些算式中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

小結(jié)：
知識(shí)點(diǎn)3：運(yùn)用乘法的運(yùn)算定律，進(jìn)行簡便計(jì)算
一、分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算
1. 運(yùn)算順序
分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序相同，即：
先算乘法，后算加減法；
如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。
2. 運(yùn)算定律
整數(shù)乘法的運(yùn)算定律對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法也同樣適用，包括：
乘法交換律：a×b=b×a
乘法結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
這些定律可以幫助我們簡化復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算。
二、分?jǐn)?shù)乘法簡便運(yùn)算
1. 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)
分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算。
計(jì)算方法：用分子乘整數(shù)的積作分子，分母不變。能約分的可以先約分，再計(jì)算。
2. 分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)
分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義是求一個(gè)分?jǐn)?shù)的幾分之幾是多少。
計(jì)算方法：用分子相乘的積做分子，用分母相乘的積做分母。如果含有帶分?jǐn)?shù)，需要先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計(jì)算。
3. 簡便運(yùn)算技巧
在計(jì)算過程中，能約分的要先約分，這樣可以減少計(jì)算量，使計(jì)算更加簡便。
如果分?jǐn)?shù)乘法算式中含有帶分?jǐn)?shù)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再計(jì)算。
分?jǐn)?shù)化簡的方法是：分子、分母同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)，得到最簡分?jǐn)?shù)。
4. 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)
分子、分母同時(shí)乘或者除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。這是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可以在簡便運(yùn)算中靈活應(yīng)用。
一、分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)
運(yùn)算順序混淆
學(xué)生在進(jìn)行分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算時(shí)，容易混淆運(yùn)算順序，尤其是當(dāng)題目中同時(shí)包含乘法和加減法時(shí)。
易錯(cuò)點(diǎn)：未按照“先乘除后加減”的原則進(jìn)行計(jì)算，或者未先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容。
解決方法：強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序的重要性，通過大量練習(xí)加深理解。
分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘時(shí)的約分錯(cuò)誤
學(xué)生在將整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，容易誤將整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子進(jìn)行約分，而不是與分母約分。
易錯(cuò)點(diǎn)：整數(shù)與分?jǐn)?shù)的約分對(duì)象混淆。
解決方法：明確整數(shù)只能與分?jǐn)?shù)的分母進(jìn)行約分，通過實(shí)例進(jìn)行說明和練習(xí)。
分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)的計(jì)算錯(cuò)誤
學(xué)生在計(jì)算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)，容易忽略分子乘分子、分母乘分母的規(guī)則，或者忘記將結(jié)果約分到最簡形式。
易錯(cuò)點(diǎn)：分子與分母的計(jì)算混淆，或者忘記約分。
解決方法：強(qiáng)調(diào)分子乘分子、分母乘分母的規(guī)則，并在計(jì)算后提醒學(xué)生約分。
二、分?jǐn)?shù)乘法簡便運(yùn)算易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)
帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤
在進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)乘法時(shí)，學(xué)生容易忘記將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為假分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，或者轉(zhuǎn)換過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。
易錯(cuò)點(diǎn)：帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換不準(zhǔn)確。
解決方法：強(qiáng)調(diào)帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換的必要性，并通過練習(xí)鞏固轉(zhuǎn)換技巧。
簡便運(yùn)算技巧的應(yīng)用錯(cuò)誤
學(xué)生在嘗試應(yīng)用簡便運(yùn)算技巧時(shí)，容易混淆不同的情況，或者在不適當(dāng)?shù)那闆r下使用這些技巧。
易錯(cuò)點(diǎn)：簡便運(yùn)算技巧的使用不當(dāng)。
解決方法：明確各種簡便運(yùn)算技巧的使用條件和范圍，并通過實(shí)例進(jìn)行說明和練習(xí)。
對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解不足
學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)理解不足，導(dǎo)致在簡便運(yùn)算中無法正確應(yīng)用這些性質(zhì)。
易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解不深刻。
解決方法：加強(qiáng)對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)和練習(xí)，使學(xué)生深入理解這些性質(zhì)并能夠靈活應(yīng)用。
考點(diǎn)一：分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法
【典例精講】（2024六上·瑤海期末）直接寫出得數(shù)。
【答案】
6
???????
【思路點(diǎn)撥】除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘，分子與分子相乘的積做分子，分母與分母相乘的積作分母，能約分的要約分；乘百分?jǐn)?shù)可以將百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)再計(jì)算；分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算與整數(shù)相同。
【變式演練01】（2024六上·確山期末）直接寫得數(shù)。
60÷80%= 0.125××8= （+）×12= -×=
【答案】60÷80%=75 0.125××8= （+）×12=5 -×=
【思路點(diǎn)撥】在含有百分?jǐn)?shù)的計(jì)算中，可以把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)或分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行計(jì)算即可；
分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母，能約分的要約分；
乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換兩個(gè)因數(shù)的位置，積不變；0.125××8=0.125×8×；
乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加；（+）×12=×12+×12=3+2=5。
【變式演練02】（2024六上·淮濱月考）選擇合適的方法計(jì)算。
①＋8×②×－×
③－86×④36×（＋－）
【答案】解：＋8×
=＋
=1
×－×
=×（－）
=×
=
－86×
=12－（87－1）×
=12－87×＋1×
=12－11＋
=1
36×（＋－）
=36×＋36×－36×
=16＋30－10
=46－10
=36
【思路點(diǎn)撥】整數(shù)乘法分配律推廣到分?jǐn)?shù)：a（b＋c）=ab＋ac
第一題：沒有括號(hào)，不同級(jí)運(yùn)算，先算乘法，再算加法；
第二題：有相同因數(shù)，可以使用乘法分配律的逆運(yùn)用進(jìn)行簡便運(yùn)算；
第三題：因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)較大，可以想到約去分母，而因數(shù)86只需要寫成87－1就可以利用乘法分配律進(jìn)行簡便運(yùn)算；
第四題：通過觀察可知括號(hào)外的數(shù)是括號(hào)內(nèi)分?jǐn)?shù)的分母的倍數(shù)，因此利用乘法分配律去掉括號(hào)后計(jì)算將更簡便。
考點(diǎn)二：分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算中單位“1”的量連續(xù)增加或減少問題
【典例精講】（2024六上·坪山期末）一條6米長的彩帶，先剪去，再剪去米，還剩（）米。
A．5.2B．4.8C．3.2D．1.2
【答案】C
【規(guī)范解答】解：先剪去的長度：6×=2.4（米）
還剩的長度：6-2.4-=3.2（米）
故答案為：C。
【思路點(diǎn)撥】彩帶長×=第一次剪去的長度，彩帶長-第一次剪去的長度-第二次剪去的長度=還剩的長度。
【變式演練01】（2024六上·東源期末）兩根同樣長的鐵絲，第一根剪去m，第二段剪去，（）剩余的鐵絲長。
A．第一段B．第二段C．一樣D．無法比較
【答案】D
【規(guī)范解答】解：因?yàn)閮筛F絲的總長未知，所以剩余的長度無法比較大小。
故答案為：D。
【思路點(diǎn)撥】剩下的長度=鐵絲的總長-用去的長度，因?yàn)閮筛F絲的總長未知，所以剩余的長度無法比較大小。
【變式演練02】（2024六上·慈溪期末）兩條同樣長2米的繩子，第一條截去米，第二條截去全長的，這兩條繩子剩余的部分一樣長。（）
【答案】錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：第一條：2－=（米）
第二條：2×（1-）
=2×
=（米）
>
所以第一條繩子剩余的部分比第二條長。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路點(diǎn)撥】“第一條截去米”中的“”是具體的長度，全長－截去的長度=剩余的長度；
“第二條截去全長的”中的“”表示把繩子全長看作單位“1”平均分成5份，截去的占其中的2份，所以：1－截去的份數(shù)=剩余部分占全長的份數(shù)，全長×（1－截去的份數(shù)）=剩余的長度；最后比較兩條繩子的剩余長度即可解答。
【變式演練03】（2023六上·丘北月考）一桶水有5L，先用去，又用去了L，還剩4.6L。（）
【答案】錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：5×（1-）-
=4-
=3.5（L）
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路點(diǎn)撥】這桶水先用去的升數(shù)=這桶水的升數(shù)×先用去幾分之幾，所以還剩的升數(shù)=這桶水的升數(shù)-先用去的升數(shù)-再用去的升數(shù)。
考點(diǎn)三：結(jié)合線段圖解決實(shí)際問題
【典例精講】（2024六上·?？谄谀┛磮D列式計(jì)算。
【答案】解：20×（1+）
＝20×
＝24（人）
【思路點(diǎn)撥】女生的人數(shù)=男生的人數(shù)×（1+女生比男生多幾分之幾），據(jù)此列式作答即可。
【變式演練01】（2023六上·期末）看圖列式計(jì)算。
【答案】解：168×（1＋）
＝168×
＝216（t）
【思路點(diǎn)撥】已知白菜的重量和土豆的重量比白菜多，求土豆有多少噸。把白菜的重量看作單位“1”，白菜的重量×（1+土豆的重量比白菜多的分率）=土豆的重量。
【變式演練02】（2023六上·郯城月考）看圖列式計(jì)算。（每題3分，共6分）
（1）
（2）
【答案】（1）解：75×（1＋）
=75×
=125（朵）
（2）解：140××
=100×
=50（棵）
【思路點(diǎn)撥】（1）玫瑰花的朵數(shù)=菊花的朵數(shù)×（1＋多的分率）；
（2）松樹的棵數(shù)=柳樹的棵數(shù)×，其中，柳樹的棵數(shù)=楊樹的棵數(shù)×。
考點(diǎn)四：求比一個(gè)量多幾分之幾和少幾分之幾的問題
【典例精講】（2024六上·沐川期末）算式20×（1－）可以解決下面的（）問題。
A．一條繩子用去20m，用去的比剩下的少，剩下多少米？
B．一條繩子長20m，用去了m，還剩下多少米？
C．一條繩子長20m，用去它的后，還剩下多少米？
D．一條繩子長20m，另一條繩子的長度是它的，另一條繩子長多少米？
【答案】C
【規(guī)范解答】解：A項(xiàng)中，求剩下多少米，列式是：20÷（1-）；
B項(xiàng)中，求還剩下多少米，列式是：20-；
C項(xiàng)中，求還剩下多少米，列式是：20×（1-）；
D項(xiàng)中，求另一條繩子長多少米，列式是：20×。
故答案為：C。
【思路點(diǎn)撥】A項(xiàng)中，剩下的長度=用去的長度÷（1-用去的比剩下的少幾分之幾），據(jù)此列式作答即可；
B項(xiàng)中，還剩下的長度=繩子的長度-用去的長度，據(jù)此列式作答即可；
C項(xiàng)中，還剩下的長度=繩子的長度×（1-用去幾分之幾），據(jù)此列式作答即可；
D項(xiàng)中，另一條繩子的長度=這條繩子的長度×另一條繩子的長度是這條繩子的幾分之幾，據(jù)此列式作答即可。
【變式演練01】（2023六上·福田月考）紅球的個(gè)數(shù)比白球多，白球比紅球少（）。
A．B．C．D．
【答案】B
【規(guī)范解答】解：÷（1+）
=÷
=
故答案為：B。
【思路點(diǎn)撥】把白球看作單位“1”，紅球就是（1+）。求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾，方法是：兩個(gè)數(shù)的差÷比后面的數(shù)。
【變式演練02】（2024六上·天臺(tái)期末）比30噸多是噸。
56平方米比平方米少
【答案】55；64
【規(guī)范解答】解：30×（1+）
=30×
=55（噸）
56÷（1-）
=56÷
=64（平方米）
故答案為：55；64。
【思路點(diǎn)撥】求比一個(gè)量多幾分之幾是多少，用這個(gè)量×（1+幾分之幾）
一個(gè)量比另一個(gè)量少幾分之幾，那么另一個(gè)量=這個(gè)量÷（1-幾分之幾）。
【變式演練03】（2024六上·英山期末） m比24m多；60kg比 kg少 40%；75m增加是 m。
【答案】28；100；90
【規(guī)范解答】解：24×（1+）
=24×
=28（m）
60÷（1-40%）
=60÷60%
=100（kg）
75×（1+）
=75×
=90（m）
故答案為：28；100；90。
【思路點(diǎn)撥】求比一個(gè)數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少，用乘法計(jì)算，這個(gè)數(shù)×（1+幾分之幾）=對(duì)應(yīng)的數(shù)；
已知比一個(gè)數(shù)少百分之幾的數(shù)是多少，要求這個(gè)數(shù)，用除法計(jì)算，一個(gè)數(shù)÷（1-百分之幾）=這個(gè)數(shù)；
求一個(gè)數(shù)增加幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算，一個(gè)數(shù)×（1+幾分之幾）=對(duì)應(yīng)的數(shù)。
考點(diǎn)五：較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算應(yīng)用題
【典例精講】（2024六上·天臺(tái)期末）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是：一根一尺長的木棒（尺，中國古代長度單位），今天截取它的一半，明天接著截取它剩下的一半，即這樣一直取下去，永遠(yuǎn)也取不完。照這樣計(jì)算，取完3天后，這根木棒還剩下尺。
【答案】
【規(guī)范解答】解：1×（1-）=（尺）
×（1-）=（尺）
×（1-）=（尺）
故答案為：。
【思路點(diǎn)撥】取完1天后還剩下的長度=木棒的長度×（1-截取幾分之幾），取完2天后還剩下的長度=取完1天后還剩下的長度×（1-截取幾分之幾），取完3天后還剩下的長度=取完2天后還剩下的長度×（1-截取幾分之幾），據(jù)此作答即可。
【變式演練01】（2024六上·丹江口期末）甲乙丙三個(gè)小組共植樹144棵，甲組植了總數(shù)的，乙組和丙組植樹的棵數(shù)之比是5∶3，丙組植了多少棵樹？（4分）
【答案】解：144×（1-）
=144×
=80（棵）
80×=30（棵）
答：丙組植了30棵樹。
【思路點(diǎn)撥】乙組和丙組植樹的棵數(shù)=甲乙丙三個(gè)小組共植樹的棵樹×（1-甲組植了總數(shù)的幾分之幾），所以丙組植樹的棵樹=乙組和丙組植樹的棵數(shù)×，據(jù)此代入數(shù)值作答即可。
【變式演練02】（2024六上·蒲城月考）某村收獲的小麥放在甲、乙兩個(gè)倉庫，已知甲、乙兩個(gè)倉庫共有小麥400噸，甲倉庫運(yùn)出100噸后，甲倉庫剩余小麥質(zhì)量是乙倉庫的，原來甲、乙兩倉庫各有小麥多少噸？
【答案】解：400－100=300（噸）
3＋2=5
300×=180（噸）
300×＋100
=120＋100
=220（噸）
答：甲倉庫有小麥220噸、乙倉庫有小麥180噸。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“甲倉庫運(yùn)出100噸后”可知甲、乙兩個(gè)倉庫現(xiàn)有小麥400－100=300（噸），
再根據(jù)“甲倉庫剩余小麥質(zhì)量是乙倉庫的”可知：甲倉庫剩余小麥占2份，乙倉庫占3份，兩個(gè)倉庫現(xiàn)有小麥一共平均分成3＋2=5份，那么根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義可知甲倉庫剩余小麥占兩個(gè)倉庫現(xiàn)有小麥總量的，乙倉庫小麥占兩個(gè)倉庫現(xiàn)有小麥總量的，因此，兩個(gè)倉庫現(xiàn)有小麥×乙倉庫占的份數(shù)=乙倉庫原有小麥數(shù)量，兩個(gè)倉庫現(xiàn)有小麥×甲倉庫剩余小麥占的份數(shù)=甲倉庫剩余小麥數(shù)量，甲倉庫剩余小麥數(shù)量＋甲倉庫運(yùn)出的小麥數(shù)量=甲倉庫原有小麥數(shù)量。
考點(diǎn)六：分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算簡便運(yùn)算的計(jì)算
【典例精講】（2024六上·三門期末）遞等式計(jì)算。

【答案】解：
=÷
=
=0.75+0.2
=0.95
=（+）×
=1×
=
=7.2×-7.2×
=4-2.7
=1.3
=（2.5×0.4）×（×8.5）
=1×
=
=20÷[×]
=20÷
=60
【思路點(diǎn)撥】在沒有小括號(hào)，只有乘除法的計(jì)算中，要按照順序從左往右依次計(jì)算；
在沒有小括號(hào)，既有乘除法，又有加減法的計(jì)算中，要先算乘除法，再算加減法；
乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）；
小數(shù)的連乘計(jì)算中，可以把乘起來是整數(shù)的數(shù)利用乘法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便計(jì)算；
在既有小括號(hào)，又有中括號(hào)的計(jì)算中，要先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算中括號(hào)外面的。
【變式演練】（2024六上·鄆城期末）脫式計(jì)算，能簡算的要簡算。

【答案】解：
=÷
=
=×（+）
=×
=
=÷[×]
=÷
=
=÷+
=+=
【思路點(diǎn)撥】在沒有小括號(hào)，只有乘除法的計(jì)算中，要按照順序從左往右依次計(jì)算；
乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）；
在既有小括號(hào)，又有中括號(hào)的計(jì)算中，要先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算中括號(hào)外面的；
在有小括號(hào)的計(jì)算中，要先算小括號(hào)里面的，再算小括號(hào)外面的。
考點(diǎn)六：判斷簡便運(yùn)算算式中運(yùn)用的運(yùn)算律
【典例精講】（2023六上·上思）計(jì)算時(shí)，運(yùn)用（）可以使計(jì)算簡便。
A．乘法交換律B．乘法結(jié)合律C．乘法分配律
【答案】C
【規(guī)范解答】解：（＋）×45
=×45＋×45
=20＋6
=26，應(yīng)用乘法分配律簡便運(yùn)算。
故答案為：C。
【思路點(diǎn)撥】乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相加；計(jì)算（＋）×45時(shí)，括號(hào)里面的兩個(gè)數(shù)分別與45相乘后，再把所得的積相加，是應(yīng)用乘法分配律簡便運(yùn)算的。
【變式演練01】6×- = ×（6-1）應(yīng)用了乘法分配律。（）（判斷正誤）
【答案】正確
【規(guī)范解答】解：6×-
=6×- ×1
= ×（6-1），應(yīng)用了乘法分配律。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】計(jì)算6×- 時(shí)，可以先用乘（6-1），應(yīng)用了乘法分配律。
【變式演練02】（2022六上·鎮(zhèn)原期中）計(jì)算87×=（86+1）×=86×+時(shí)，運(yùn)用了乘法分配律。（）（判斷正誤）
【答案】正確
【規(guī)范解答】解：這個(gè)計(jì)算過程用的是乘法分配律。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），據(jù)此作答即可。
【變式演練03】（2023六上·臨漳月考），這是運(yùn)用了乘法律；
，這是運(yùn)用了乘法律。
【答案】交換；分配
【規(guī)范解答】解：第一個(gè)算式運(yùn)用了乘法交換律；
第二個(gè)算式運(yùn)用了乘法分配律。
故答案為：交換；分配。
【思路點(diǎn)撥】乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變；
乘法分配律：一個(gè)相同的數(shù)分別同兩個(gè)不同的數(shù)相乘，積相加，等于這個(gè)相同的數(shù)乘另外兩個(gè)不同數(shù)的和。
考點(diǎn)七：比較分?jǐn)?shù)乘法簡便運(yùn)算算式結(jié)果大小
【典例精講】（2023六上·錢塘）在橫線上填上“>、；>
【規(guī)范解答】解：因?yàn)椋?，所以＞；
4.8×（）=4.8×＋4.8×，因?yàn)?.8＞1，所以4.8×（）＞4.8×。
故答案為：＞；＞。
【思路點(diǎn)撥】一個(gè)數(shù)（0和負(fù)數(shù)除外）除以小于1的數(shù)，所得的商大于原來的數(shù)；反之，商小于原來的數(shù)；一個(gè)數(shù)（0和負(fù)數(shù)除外）乘小于1的數(shù)，所得的積小于原來的數(shù)，反之，積大于原來的數(shù)。
【變式演練】（2023六上·惠陽月考）在橫線里填上“>”“；；＜
【規(guī)范解答】解：×（1+）=×=＜，＞，所以×（1+）＞；
25×（1-）=25×=10，25×1-=24，所以25×（1-）＜25×1-；
++＞，＜，所以++＞；
24×（+）=24×+24×，所以24×+＜24×（+）。
故答案為：＞；＜；＞；＜。
【思路點(diǎn)撥】先計(jì)算，再根據(jù)計(jì)算的結(jié)果比較大小。
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練
1．（2024六上·平湖期末）如下圖，要求一共有多少冊(cè)？列式錯(cuò)誤的是（）。
A．360÷8B．360÷5×8C．x=360D．360×(1-)
【答案】B
【規(guī)范解答】解：每份是：360÷5=72(冊(cè))
總冊(cè)數(shù)：72×8=576(冊(cè))
列成綜合算式就是：360÷5×8=576(冊(cè))
故答案為：B。
【思路點(diǎn)撥】由圖可知，全部平均分成8份，360冊(cè)占了其中的5份，因此可以先用除法求出每份是多少冊(cè)，再乘8就是總冊(cè)數(shù)。
2．（2024六上·天臺(tái)期末）算式：，這一過程運(yùn)用了（）。
A．乘法結(jié)合律B．加法結(jié)合律C．乘法分配律D．加法分配律
【答案】C
【規(guī)范解答】解：運(yùn)用了乘法分配律。
故答案為：C。
【思路點(diǎn)撥】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），據(jù)此作答即可。
3．（2024六上·坪山期末）下面各式中，與 ×10的值不相等的是（）。
A．（ + ）×5B． ×5+3
C． ×9+ D． ×9+1
【答案】D
【規(guī)范解答】解：×10=6；
A項(xiàng)：（＋）×5
=×5
=6；
B項(xiàng)：×5＋3
=3＋3
=6；
C項(xiàng)：×9＋
=×（9＋1）
=×10
=6；
D項(xiàng)：×9＋1
=5.4＋1
=6.4。
故答案為：D。
【思路點(diǎn)撥】A項(xiàng)：先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；
B項(xiàng)：先算乘法，再算加法；
C項(xiàng)：運(yùn)用乘法分配律簡便運(yùn)算；
D項(xiàng)：先算乘法，再算加法。
4．（2023·祁陽）1立方米的水結(jié)成冰，體積比水增加，這塊冰再融化成水，休粉減小。（）（判斷正誤）
【答案】正確
【規(guī)范解答】解：水結(jié)成冰的體積：1×（1+）=（立方米），
冰再融化成水減少的體積：（-1）÷=×=，
原題說法正確。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】求比一個(gè)數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少，方法是：這個(gè)數(shù)×（1+多的幾分之幾），據(jù)此求出冰的體積；求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾，方法是：兩個(gè)數(shù)的差÷比后面的數(shù)；據(jù)此求出冰再融化成水減少的體積。
5．（2023六上·漢川期中）一件商品，先漲價(jià)，后又降價(jià)，價(jià)格不變。（）（判斷正誤）
【答案】錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：1×（1＋）×（1-）
=×
=
＜1，價(jià)格降低。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路點(diǎn)撥】把這件商品的原價(jià)看作單位“1”，現(xiàn)價(jià)=原價(jià)×（1＋漲價(jià)的分率）×（1-降價(jià)的分率），然后和原價(jià)比較大小。
6．30米剪去它的，又增加剩下的，結(jié)果還是30米。（）（判斷正誤）
【答案】錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：30-30×
=30-15
=15（米）
15＋15×
=15＋7.5
=22.5（米）。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路點(diǎn)撥】結(jié)果還剩下的米數(shù)=第一次剩下的米數(shù)＋第一次剩下的米數(shù)×增加的分率；其中，第一次剩下的米數(shù)=30米-30×剪去的分率。
7．（2024六上·蕭山月考）小明一家都很喜歡吃糍粑，小明吃了千克的糍粑，媽媽比小明多吃了，爸爸比小明多吃了千克，媽媽吃了千克，爸爸吃了千克。
【答案】；
【規(guī)范解答】解：×（1+）
=×
=（千克）；
+=（千克）。
故答案為：；。
【思路點(diǎn)撥】媽媽吃的質(zhì)量=小明吃的質(zhì)量×（1+媽媽比小明多吃幾分之幾）；
爸爸吃的質(zhì)量=小明吃的質(zhì)量+爸爸比小明多吃的質(zhì)量。
8．（2024六上·天臺(tái)期末）一項(xiàng)工程，如果甲隊(duì)單獨(dú)做，10天完成；如果乙隊(duì)單獨(dú)做，15天完成，甲乙兩隊(duì)合做3天后，還剩下這項(xiàng)工程的；在這里，算式能解決的問題是。
【答案】；甲乙兩人合作完成這項(xiàng)工程的需要的天數(shù)
【規(guī)范解答】解：1-（+）×3=1-=；
算式能解決的問題是：甲乙兩人合作完成這項(xiàng)工程的需要的天數(shù)。
故答案為：；甲乙兩人合作完成這項(xiàng)工程的需要的天數(shù)。
【思路點(diǎn)撥】把這項(xiàng)工程看成單位“1”，那么甲乙兩隊(duì)合做3天后，還剩下這項(xiàng)工程的幾分之幾=1-兩隊(duì)每天一共完成這項(xiàng)工程的幾分之幾×3；
+表示兩隊(duì)每天一共完成這項(xiàng)工程的幾分之幾，那么能解決的問題是：甲乙兩人合作完成這項(xiàng)工程的需要的天數(shù)。
9．（2023六上·如皋月考）一塊長方形菜地，寬是3米，長比寬多，長是米。若長增加，寬增加，則現(xiàn)在的面積是原來菜地面積的；若長增加，寬減少。則現(xiàn)在的面積與原來菜地的面積的比是。
【答案】4；；1：1
【規(guī)范解答】解：3×（1＋）
=3×
=4（米）；
4×3=12（平方米）
4×（1＋）
=4×
=5（米）
3×（1＋）×5
=3××5
=20（米）
20÷12=；
4×（1＋）
=4×
=6（米）
3×（1-）
=3×
=2（米）
（6×2）：12=1：1。
故答案為：4；；1：1。
【思路點(diǎn)撥】求比單位“1”多或少幾分之幾的數(shù)是多少，用乘加或乘減計(jì)算；分別計(jì)算出變化后長方形的長、寬，長方形的面積=長×寬，然后求出面積，再寫出比。
10．（2024六上·深圳期末）學(xué)校的閱讀角準(zhǔn)備補(bǔ)充一些書籍，其中科普類書籍購買了240本，文學(xué)類書籍的數(shù)量比科普類多，學(xué)校采購了多少本文學(xué)類書籍？
【答案】解：240×（1+）
=240×
=336（本）
答：學(xué)校采購了336本文學(xué)類書籍。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件可知，把科普類的數(shù)量看作單位“1”，科普類的數(shù)量×（1+）=文學(xué)類的書籍?dāng)?shù)量。
11．（2024六上·亭湖期末）中國四大名著之一的《水滸傳》中梁山好漢共有108將，其中正將占總數(shù)的，其余是副將。這108將中男將105員，女將3員。
（1）副將有多少員?
（2）小莉根據(jù)上面的信息，解決了一個(gè)問題，下面虛線方框里是她列的算式：
根據(jù)這道算式，你認(rèn)為小莉解決了什么問題？寫在下面的橫線上。

【答案】（1）解：108×（1－）
=108×
=72（員）
答：副將有72員。
（2）女將比男將少幾分之幾或女將比男將少百分之幾？
【規(guī)范解答】解：（2）105-3表示女將比男將少的部分，然后除以105，表示女將比男將少幾分之幾或女將比男將少百分之幾？
故答案為：女將比男將少幾分之幾或女將比男將少百分之幾？
【思路點(diǎn)撥】（1）副將的人數(shù)=梁山好漢×（1-正將占總數(shù)的幾分之幾），據(jù)此代入數(shù)值作答即可；
（2）105表示男將，3表示女將，105-3表示男將比女將多的人數(shù)，所以（105-3）÷105解決的問題是女將比男將少幾分之幾或女將比男將少百分之幾？
能力拔高練
1．（2024六上·連南期末）學(xué)校合唱隊(duì)有男生24人，女生人數(shù)比男生多。女生有（）人。
A．32B．30C．16D．8
【答案】A
【規(guī)范解答】解：24×(1+)
=24×
=32(人)
故答案為：A。
【思路點(diǎn)撥】女生人數(shù)比男生人數(shù)多，是把男生人數(shù)看作單位“1”，那么女生人數(shù)就是男生人數(shù)的(1+)，求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算。
2．（2023六上·錢塘期末）笑笑同學(xué)在計(jì)算20-n×?xí)r，錯(cuò)誤地計(jì)算成了(20-n)×，比正確的得數(shù)少（）
A．10B．8C．15D．4
【答案】B
【規(guī)范解答】解：20-n×-（20-n）×
=20-n×-20×＋n×
=20-12
=8。
故答案為：B。
【思路點(diǎn)撥】計(jì)算（20-n）×?xí)r，運(yùn)用乘法分配律，（20-n）×=20×＋n×，然后再相減。
3.（2023六上·增城期末）一雙鞋的原價(jià)是200元，先將它的價(jià)格漲價(jià)，然后又降低，現(xiàn)在的價(jià)格（）。
A．與原價(jià)相等B．比原價(jià)高C．比原價(jià)低D．無法比較
【答案】C
【規(guī)范解答】解：200×（1＋）×（1-）
=200××
=220×
=198（元）
200元＞198元。
故答案為：C。
【思路點(diǎn)撥】現(xiàn)在的價(jià)格=原價(jià)×（1＋漲價(jià)的分率）×（1-降價(jià)的分率），然后和原價(jià)比較大小。
4．（2022六上·平橋期中）房價(jià)漲幅就是說目前的房價(jià)相比之前房價(jià)的上漲幅度，其計(jì)算公式如下：漲幅比例＝（現(xiàn)售房價(jià)﹣原售房價(jià)）÷原售房價(jià)。同理，降幅就是目前的房價(jià)相比之前房價(jià)的下降幅度。A市某樓盤9月份房價(jià)相對(duì)于8月份每平方米降幅為，該樓盤10月份相對(duì)于9月份每平方米漲幅為，下列判斷正確的是（）
A．10月份房價(jià)與8月份持平
B．10月份房價(jià)與8月份相比略有上漲
C．10月份房價(jià)與8月份相比略有下降
D．相比之下這三個(gè)月10月份房價(jià)最高
【答案】C
【規(guī)范解答】解：1×（1-）×（1＋）
=×
=
＜1。
故答案為：C。
【思路點(diǎn)撥】把8月份的房價(jià)看作單位“1”，10月份的房價(jià)=1×（1-降價(jià)的分率）×（1＋漲價(jià)的分率），然后比較大小。
5．（2023六上·方城月考）五(2)班有學(xué)生58人，選出男生人數(shù)的和5名女生參加學(xué)?；顒?dòng)，這時(shí)班級(jí)還剩47人，五(2)班原有男生人，女生人。
【答案】30；28
【規(guī)范解答】解：58-47-5=6（人），6÷=30（人），所以原來男生有30人，58-30=28（人），所以原來女生有28人。
故答案為：30；28。
【思路點(diǎn)撥】選出的男生人數(shù)=一共有學(xué)生的人數(shù)-選出后還剩的人數(shù)-選出女生的人數(shù)，所以原來男生人數(shù)=選出的男生人數(shù)÷選出的男生人數(shù)占幾分之幾，那么原來女生人數(shù)=一共有學(xué)生的人數(shù)-選出的男生人數(shù)。
6．（2023六上·離石期末）加工一批零件，第一天加工了這批零件的，第二天加工了剩下的，第二天加工了總數(shù)的，還剩沒加工。
【答案】；
【規(guī)范解答】解：第一問：（1-）×=×=；
第二問：1--=。
故答案為：；。
【思路點(diǎn)撥】第一問：把這批零件看作單位“1”，用1減去第一天用去的分率求出還剩的分率，用還剩的分率乘即可求出第二天加工了總數(shù)的幾分之幾。
第二問：用1減去第一天用去的分率，再減去第二天用去了總數(shù)的分率即可求出沒有加工的分率。
7．（2020六上·濱海期末）科技興趣小組人數(shù)在40~50之間，女生人數(shù)占全組總?cè)藬?shù)的，科技小組的男生有人。
【答案】20
【規(guī)范解答】解：40到50之間只有44是11的倍數(shù)，所以總?cè)藬?shù)是44人，男生人數(shù)：44-44×=44-24=20（人）。
故答案為：20。
【思路點(diǎn)撥】要把總?cè)藬?shù)平均分成11份，所以總?cè)藬?shù)是44人。用總?cè)藬?shù)乘女生占的分率求出女生人數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去女生人數(shù)求出男生人數(shù)。
8．用簡便方法計(jì)算。
41 × +51 × +61 ×
【答案】解：原式=（40+ ）× +（50+ ）× +（60+ ）×
=30+1+40+1+50+1
=123
【思路點(diǎn)撥】觀察數(shù)據(jù)可知，先把帶分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)與分?jǐn)?shù)相加的形式，然后應(yīng)用乘法分配律簡算，據(jù)此解答。
9．（2023六上·南海月考）有一批木材共重4038噸，第一次運(yùn)走，第二次運(yùn)走余下的，第三次運(yùn)走余下的，最后一次運(yùn)走余下的，這批木材還剩下多少噸？
【答案】解：4038×（1-）×（1-）×（1-）×……×（1-）
＝4038
＝4038
＝2（噸）
答：這批木材還剩下2噸。
【思路點(diǎn)撥】這批木材還剩下的質(zhì)量=這批木材的總質(zhì)量×剩下的分率。其中，剩下的分率=1-分別運(yùn)走的分率。
10．（2023六上·臨朐）根據(jù)要求選擇合適的信息并解答。
①陽光小學(xué)六年級(jí)有學(xué)生280人 ⑤五年級(jí)的人數(shù)比四年級(jí)多40人
②五年級(jí)的人數(shù)比四年級(jí)多⑥四年級(jí)有多少人？
③三年級(jí)人數(shù)比六年級(jí)少⑦二年級(jí)有多少人？
④六年級(jí)人數(shù)比二年級(jí)多⑧三年級(jí)有多少人？
（1）要求“二年級(jí)有多少人”需要選擇的信息是（）（填序號(hào)），畫出線段圖分析數(shù)量關(guān)系，只列算式或方程不解答。
（2）自己再選擇一個(gè)問題，根據(jù)問題選擇合適的條件解答。
我選擇的問題是（），信息是（）。（填序號(hào)）
我的解答：
【答案】（1）解：要求“二年級(jí)有多少人”需要選擇的信息是①④，
列式：280÷（1+）
（2）解：我選擇的問題是三年級(jí)有多少人，信息是①③。
我的解答：280×（1-）
=280×
=252（人）
答：三年級(jí)有252人。
【思路點(diǎn)撥】（1）二年級(jí)的人數(shù)看作單位1，六年級(jí)的人數(shù)÷六年級(jí)的人數(shù)對(duì)應(yīng)二年級(jí)人數(shù)的分率=二年級(jí)的人數(shù)；
（2）求比一個(gè)數(shù)少幾分之幾的數(shù)是多少，方法是：這個(gè)數(shù)×（1-少的幾分之幾）；據(jù)此解答，答案不唯一。

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