（新知銜接）專題04 圓的面積（二）（七大考點講練+難度分層練）（含答案）2024年新六年級數(shù)學暑假銜接講義（北師大版）-試卷下載-教習網(wǎng)

（新知講練+高頻易錯點+七考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復(fù)習到預(yù)習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內(nèi)容！結(jié)合變式訓(xùn)練提升知識點應(yīng)用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對?？碱}型易錯點內(nèi)容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節(jié)內(nèi)容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結(jié)合變式演練，舉一反三訓(xùn)練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎(chǔ)夯實+沖刺拔高】真題練：結(jié)合近兩年?？颊骖}，易錯題，經(jīng)典題型等進一步鞏固所學內(nèi)容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21240" 考點01：圓環(huán)的面積 PAGEREF _Tc21240 \h 6
\l "_Tc793" 考點02：求最大面積 PAGEREF _Tc793 \h 9
\l "_Tc8540" 考點03：圓的面積的應(yīng)用 PAGEREF _Tc8540 \h 11
\l "_Tc9805" 考點04：求關(guān)于圓的組合圖形的面積 PAGEREF _Tc9805 \h 14
\l "_Tc30012" 考點05：方中圓和圓中方的面積 PAGEREF _Tc30012 \h 17
\l "_Tc14429" 考點06：扇形的周長和面積 PAGEREF _Tc14429 \h 20
\l "_Tc17310" 考點07：用轉(zhuǎn)化法求組合圖形的圓的周長和面積 PAGEREF _Tc17310 \h 24
\l "_Tc13979" 基礎(chǔ)達標練 PAGEREF _Tc13979 \h 27
\l "_Tc10065" 能力拔高練 PAGEREF _Tc10065 \h 36
1.學習目標描述：能正確運用圓的面積公式計算圓的面積，并能運用圓面積知識解決一些簡單實際的問題。
2.學習內(nèi)容分析：本課是在學生學習了圓的周長、圓的面積計算公式及推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上進行教學的。本課從一個噴水頭轉(zhuǎn)動可以澆灌多大面積的農(nóng)田的實例出發(fā)，結(jié)合學生的生活經(jīng)驗引出圓的面積知識。學習本節(jié)課，不但可以加強學生對前面知識的進一步理解，同時
讓學生學會準確地應(yīng)用圓的面積計算公式解決一些簡單的實際問題。
3.學科核心素養(yǎng)分析：通過運用圓的面積公式解決簡單實際的問題，感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，體會數(shù)學的應(yīng)用價值，激發(fā)學生熱愛數(shù)學的情感。
新課導(dǎo)入
1.算一算。
2.求出下面各圓的面積。

新課講授
【典例精講01】農(nóng)場的草坪上安裝了許多自動噴水頭，噴射的距離為3米。
噴水頭轉(zhuǎn)動一周形成的是圓。
要求噴水頭轉(zhuǎn)動一周可以澆灌多大的面積，實際是求圓的面積。
噴水半徑是3米，噴水頭轉(zhuǎn)動一周，能灌溉多大面積的農(nóng)田？
已知圓的半徑求圓的面積時，可以直接利用圓的面積計算公式進行計算。
【典例精講02】量的圓形羊圈的周長是125.6m，這個羊圈的面積是多少平方米？

已知圓的周長求圓的面積，可以先求出圓的半徑，然后直接利用圓的面積公式計算。
像三角形，形狀變了。
下面是一種有意思的推導(dǎo)圓面積的方法。
這個三角形與原來的圓有什么關(guān)系呢？想一想，填一填。
它們的面積一樣，面積沒變。
這是一個由草繩編織成的圓形茶杯墊片。
歸納總結(jié)：
知識點01：圓環(huán)的面積
圓環(huán)的面積是指一個大的圓減去一個小的圓的面積，其公式為：
S = πR2 - πr2 = π(R2 - r2)，其中R為大圓的半徑，r為小圓的半徑。
知識點02：求最大圓的面積
在給定條件（如正方形、長方形等）下求最大圓的面積，關(guān)鍵在于確定圓的半徑。例如，在正方形中，最大圓的半徑等于正方形邊長的一半。一旦確定了半徑，就可以使用圓的面積公式S = πr2來計算。
知識點03：圓的面積的應(yīng)用
圓的面積公式在實際問題中有廣泛的應(yīng)用，如計算圓形水池的底面積、圓形花壇的面積等。在應(yīng)用時，需要注意單位的轉(zhuǎn)換和精確計算。
知識點04：求關(guān)于圓的組合圖形的面積
當遇到由圓和其他基本圖形（如長方形、三角形等）組成的組合圖形時，我們通常需要采用“分割法”或“添補法”來計算其面積。首先，將組合圖形分割成若干個基本圖形；然后，分別計算這些基本圖形的面積；最后，將這些面積相加或相減，得到組合圖形的面積。
知識點05：方中圓和圓中方的面積
方中圓：指在正方形中畫一個最大的圓。此時，正方形的面積與圓的面積之比為4:π（即正方形面積=4r2，圓的面積=πr2）。
圓中方：指在圓中畫一個最大的正方形。此時，正方形的對角線等于圓的直徑，因此：
正方形的面積=對角線2/2=2r2，而圓的面積=πr2，所以圓與正方形的面積之比為π:2。
知識點06：扇形的周長和面積
扇形周長：扇形周長 = 扇形半徑 × 2 + 弧長，其中弧長可以根據(jù)圓心角來計算，公式為：弧長 = (圓心角/360°) × 2πr。
扇形面積：扇形面積公式是S = (lR)/2 或 S = (1/2)θR2，其中R是底圓的半徑，l為扇形弧長，θ為圓心角（以弧度為單位）。
知識點07：用轉(zhuǎn)化法求組合圖形的圓的周長和面積
在求解復(fù)雜的組合圖形的圓的周長和面積時，我們可以嘗試使用“轉(zhuǎn)化法”。具體來說，就是將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的、已知的基本圖形，然后利用這些基本圖形的性質(zhì)來計算。例如，可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等方式將組合圖形轉(zhuǎn)化為一個或多個圓或其他基本圖形。
易錯知識點01：圓環(huán)的面積
易錯點：在計算圓環(huán)面積時，容易將內(nèi)外圓的半徑混淆，或者忘記計算的是差值。
正確方法：明確內(nèi)外圓的半徑，使用公式S = π(R2 - r2)進行計算，其中R為大圓半徑，r為小圓半徑。
易錯知識點02：求最大圓的面積
易錯點：在給定形狀內(nèi)求最大圓的面積時，容易誤判最大圓的半徑。
正確方法：根據(jù)給定形狀（如正方形、長方形等）確定最大圓的半徑，例如，在正方形中，最大圓的半徑等于正方形邊長的一半。然后，使用圓的面積公式S = πr2計算面積。
易錯知識點03：圓的面積的應(yīng)用
易錯點：在解決實際問題時，容易忽略單位換算或計算錯誤。
正確方法：注意單位換算，保持單位統(tǒng)一；計算時要細心，避免出現(xiàn)簡單的算術(shù)錯誤。
易錯知識點04：求關(guān)于圓的組合圖形的面積
易錯點：在分割或組合圖形時，容易漏掉或重復(fù)計算某部分面積。
正確方法：使用“分割法”或“添補法”時，要仔細分析圖形，確保每部分面積都被正確計算且沒有重復(fù)。
易錯知識點05：方中圓和圓中方的面積
易錯點：容易混淆方中圓和圓中方的面積公式，或者忘記比較兩者的面積比例。
正確方法：明確方中圓和圓中方的定義，記住各自的面積公式。對于方中圓，面積之比為4:π；對于圓中方，面積之比為π:2。
易錯知識點06：扇形的周長和面積
易錯點：在計算扇形周長時，容易忘記加上兩條半徑的長度；在計算扇形面積時，容易忘記除以2或?qū)A心角誤認為是角度值（非弧度值）。
正確方法：扇形周長 = 2r + l（其中l(wèi)為弧長），弧長 = (θ/360) × 2πr（其中θ為圓心角，以角度為單位）。扇形面積 = (1/2) × θ × r2（其中θ為圓心角，以弧度為單位）。注意單位換算和公式的正確使用。
易錯知識點07：用轉(zhuǎn)化法求組合圖形的圓的周長和面積
易錯點：在轉(zhuǎn)化過程中，容易忽略某些部分或改變圖形的性質(zhì)。
正確方法：在轉(zhuǎn)化過程中，要確保圖形的性質(zhì)不變，同時考慮所有相關(guān)部分。通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等方式將組合圖形轉(zhuǎn)化為一個或多個簡單的基本圖形（如圓、三角形、矩形等），然后利用這些基本圖形的性質(zhì)進行計算。
考點01：圓環(huán)的面積
【典例精講】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）求下圖中陰影部分的面積。
【答案】251.2cm2；28.5cm2
【思路點撥】第一個圖形是個圓環(huán)，根據(jù)圓環(huán)面積＝圓周率×（大圓半徑的平方－小圓半徑的平方），列式計算；
第二個圖形的面積＝圓的面積－正方形面積，圓的面積＝圓周率×半徑的平方，正方形可以看成2個等腰直角三角形，三角形的底＝圓的直徑，三角形的高＝圓的半徑，三角形面積＝底×高÷2，據(jù)此列式計算。
【規(guī)范解答】3.14×（122－82）
＝3.14×（144－64）
＝3.14×80
＝251.2（cm2）
3.14×52－（5×2）×5÷2×2
＝3.14×25－10×5÷2×2
＝78.5－50
＝28.5（cm2）
陰影部分的面積分別是251.2cm2，28.5cm2。
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧大連·期末）一個圓形花壇，小明沿著它的邊沿走一圈，一共走了157步。
（1）小明的平均步長是0.4米，這個圓形花壇的占地面積是多少平方米？
（2）有一條2米寬的石子路圍著花壇。如果每平方米按20元的費用計算，鋪這條石子路大約要花多少錢？
【答案】（1）314平方米（2）2763.2元
【思路點撥】（1）用小明的平均步長乘走的步數(shù)，計算出小明一共走了多少米，也就是這個圓形花壇的周長，根據(jù)圓的周長＝2πr，代入數(shù)值計算出圓形花壇的半徑，再利用圓的面積＝πr2，代入數(shù)值計算，所得結(jié)果即為這個圓形花壇的占地面積。
（2）先計算出這條石子路的面積，根據(jù)圓環(huán)的面積＝大圓面積－小圓面積，代入數(shù)值計算；用面積乘20，所得結(jié)果即為鋪這條石子路大約要花的費用。
【規(guī)范解答】（1）圓形花壇的半徑為：
0.4×157÷3.14÷2
＝62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（米）
圓形花壇的面積為：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方米）
答：這個圓形花壇的占地面積是314平方米。
（2）3.14×（10＋2）2－3.14×102
＝3.14×122－3.14×102
＝3.14×（122－102）
＝3.14×（144－100）
＝3.14×44
＝138.16（平方米）
138.16×20＝2763.2（元）
答：鋪這條石子路大約要花2763.2元。
【變式演練02】（23-24六年級上·陜西西安·期末）在世博園博覽會上，把一個直徑為8米的圓形展區(qū)的半徑向外延伸2米變成了一個新的圓形展區(qū)。新展區(qū)的面積比原來增加了多少平方米？
【答案】62.8平方米
【思路點撥】根據(jù)題意可知，原來圓形展區(qū)的半徑是8÷2＝4米，現(xiàn)在新的圓形展區(qū)的半徑是4＋2＝6米，求新展區(qū)的面積比原來增加了多少平方米，就是求圓環(huán)的面積；根據(jù)圓環(huán)的面積公式S環(huán)＝π（R2－r2），代入數(shù)據(jù)計算求解。
【規(guī)范解答】8÷2＝4（米）
4＋2＝6（米）
3.14×（62－42）
＝3.14×（36－16）
＝3.14×20
＝62.8（平方米）
答：新展區(qū)的面積比原來增加了62.8平方米。
【變式演練03】（23-24六年級上·四川成都·期末）本學期，我們學習了探究圖形的一些數(shù)學思想方法，結(jié)累了一定的關(guān)于圖形的活動經(jīng)驗。如：通過“猜想”、“實驗”等探索圓的周長，運用“轉(zhuǎn)化”、“極限”思想探索圓面積計算公式；又如：在綜合與實踐中運用“簡單情況找規(guī)律”解決比賽場次等生活中的數(shù)學問題。試試用學習的這些策略解決下面問題。
笑笑和淘氣分別從A、B處出發(fā)，分別沿一個大圓和一個小圓走一圈（如圖所示）。
（1）兩人走過的路程差是多少米？
（2）這兩個圓的面積相差多少平方米？
（3）如果這兩個圓之間的道寬2米不變，而大、小圓的半徑都增加的話，這兩個圓的周長差會增加嗎？為什么？
（4）如果這兩個圓之間的道寬2米不變，而大、小圓的半徑都增加的話，這兩個圓的面積差會增加嗎？為什么？
【答案】（1）12.56米
（2）75.36平方米
（3）不會增加；原因見詳解
（4）會增加；原因見詳解
【思路點撥】（1）大圓半徑＝2＋5＝7米；求兩人走過的路程差，就是求兩個圓的周長差；根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，代入數(shù)據(jù)，分別求出大圓周長和小圓周長，再用大圓周長－小圓周長，即周長差＝2π×（大圓半徑－小圓半徑）；
（2）求這個兩個圓的面積差，就是求圓環(huán)的面積，根據(jù)圓環(huán)的面積公式：面積＝π×（大圓半徑2－小圓半徑2），代入數(shù)據(jù)，即可解答；
（3）根據(jù)題意這兩個圓之間的道寬2米不變可知，大圓半徑增加的長度與小圓半徑增加的長度相同，大圓半徑與小圓半徑差不變，由此解答；
（4）大圓半徑和小圓半徑都增加，根據(jù)圓環(huán)的面積公式可知，半徑增加，那么大圓的半徑2與小圓半徑2的差都會增加，由此進行解答。
【規(guī)范解答】（1）2＋5＝7（米）
3.14×2×（7－5）
＝6.28×2
＝12.56（米）
答：兩人走過的路程差是12.56米。
（2）3.14×（72－52）
＝3.14×（49－25）
＝3.14×24
＝75.36（平方米）
答：這兩個圓的面積相差75.36平方米。
（3）這兩個圓的周長差不會增加；
根據(jù)周長差＝大圓周長－小圓周長＝2π×（大圓半徑－小圓半徑）；這兩個圓之間的道寬2米不變，即大圓半徑與小圓半徑差為2米，由此可知，圓的周長差不變。
（4）這兩個圓的面積差會增加；
面積差＝大圓面積－小圓面積＝2π×（大圓半徑2－小圓半徑2），這兩個圓之間的道寬2米不變，即大圓半徑與小圓半徑差為2米，但是大圓半徑2與小圓半徑2的差是不固定的，半徑增加，圓的面積差也就會增加。
考點02：求最大面積
【典例精講】（19-20六年級下·四川廣安·期末）在邊長相同的兩個正方形里分別畫一個最大的圓和一個最大的扇形，圓和扇形的面積比較（）。
A．圓面積大B．扇形面積大C．一樣大
【答案】C
【思路點撥】如下圖：

可用設(shè)數(shù)法解答，假設(shè)正方形邊長是2厘米，分別求出直徑為2厘米圓的面積和扇形面積，扇形面積可以轉(zhuǎn)化為半徑為2厘米的圓面積的，利用圓面積計算公式S＝2計算比較即可。
【規(guī)范解答】假設(shè)正方形邊長是2厘米。
圓的面積：3.14×（2÷2）2
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
扇形的面積：3.14×22÷4
＝12.56÷4
＝3.14（平方厘米）
因為3.14＝3.14，所以圓和扇形的面積一樣大。
故答案為：C
【考點評析】此題重點考查圓面積和扇形面積的計算方法，在正方形內(nèi)準確畫出最大的圓和扇形是解答此題的關(guān)鍵。
【變式演練01】（18-19六年級上·全國·課時練習）用10m長的鐵絲分別圍成圓、正方形，其中面積比較大的是（）。
A．正方形B．圓C．無法比較
【答案】B
【思路點撥】在周長相等的情況下，圓的面積大于正方形的面積。
【規(guī)范解答】根據(jù)分析可知，用10m長的鐵絲分別圍成圓、正方形，其中面積比較大的是圓。
故答案為：B
【考點評析】此題主要考查學生對圓面積的認識與了解。
【變式演練02】（2023·四川成都·小升初真題）在長為8厘米、面積為32平方厘米的長方形紙中畫有一個最大的半圓，半圓的面積是( )平方厘米。
【答案】25.12
【思路點撥】在長方形里面想要畫的最大的半圓，由半圓面積＝（r是半圓的半徑）可以得知半徑越大面積越大，而當半圓的半徑等于長方形的寬時，半圓的面積最大。注意：這時半圓的直徑是在長方形的長上面的，半圓的直徑要小于等于長方形的長才可以。已知長是8厘米、面積為32平方厘米，則這個長方形的寬＝長方形的面積÷長，則可以求出長方形的寬，則根據(jù)半圓的面積公式可以求半圓的面積。
【規(guī)范解答】長方形的寬：32÷8＝4（厘米）
半圓的直徑：4×2＝8（厘米）
則半圓的直徑＝長方形的長，則長方形的寬是半圓的半徑。
半圓的面積：3.14×42÷2
＝3.14×16÷2
＝25.12（平方厘米）
【變式演練03】（18-19六年級上·全國·課時練習）從一塊長5分米，寬4分米的長方形木板上鋸下一個最大的圓，剩下的木板是多少平方分米？
【答案】20－3.14×4＝7.44（平方分米）
考點03：圓的面積的應(yīng)用
【典例精講】（21-22六年級下·江蘇揚州·期末）學校里有一塊圓形草坪，AB為底面直徑，一只氣球在草坪的上方點O處。測得OA長5米，OB長3米。這塊草坪的占地面積可能是（）平方米。
A．B．10C．16D．24
【答案】B
【思路點撥】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，AB即圓形草坪的直徑最大長度也不可能超過（5＋3）米，最小的長度不會小于（5－3）米，據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】5＋3＝8（米）
8÷2＝4（米）
42π＝16π
即圓形草坪的面積小于16π。
5－3＝2（米）
2÷2＝1（米）
12π＝π
即圓形草坪的面積大于π。
所以滿足大于π小于16π的只有10π。
故答案為：B
【變式演練01】（2023·廣西柳州·小升初真題）樂樂經(jīng)常在門旁邊等媽媽下班回家。為了避免開門時撞到樂樂，媽媽想在門的下面與地面劃過的扇形軌跡放一張地毯，讓樂樂每次都站在地毯的外面。已知門的寬度是1米，打開的最大角度是90°（如圖），地毯的面積是( )平方米。
【答案】0.785
【思路點撥】根據(jù)題意可知，這個地毯的面積等于半徑是1米的圓面積的，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)據(jù)代入公式即可求出半徑是1米的圓面積，再根據(jù)分數(shù)乘法的意義，用這個圓面積乘，即可得到地毯的面積。
【規(guī)范解答】3.14×12×
＝3.14×1×
＝0.785（平方米）
地毯的面積是0.785平方米。
【變式演練02】（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）某鐘表的分針長10厘米。
（1）從1時到2時，分針針尖走過了多少厘米？
（2）從1時到2時，分針掃過的面積是多少平方厘米？
【答案】（1）62.8厘米
（2）314平方厘米
【思路點撥】（1）從1時到2時，經(jīng)過1小時，分針走了1圈，分針的長度相當于圓的半徑，根據(jù)圓的周長＝2×圓周率×半徑，列式解答即可；
（2）根據(jù)圓的面積＝圓周率×半徑的平方，列式解答即可。
【規(guī)范解答】（1）2×3.14×10＝62.8（厘米）
答：從1時到2時，分針針尖走過了62.8厘米。
（2）3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
答：從1時到2時，分針掃過的面積是314平方厘米。
【變式演練03】（22-23六年級上·河北邢臺·期中）如圖所示，長方形ABCD中有一長方形的池塘BEFG，F(xiàn)點有一棵樹，其余都是草地，其中EF＝3米，EC＝5米。有一只羊拴在E點，求當繩長為4米時，羊能夠吃到草的范圍是多少平方米？
【答案】13.345平方米
【思路點撥】根據(jù)題意可知，羊能吃到草的范圍分為兩部分，一是以E點為圓心，以4米為半徑的圓的面積；二是以F點為圓心，以（4－3）米為半徑的圓的面積；根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，分別求出這兩部分的面積，再相加，即是這只羊能夠吃到草的范圍。
【規(guī)范解答】3.14×42×＋3.14×（4－3）2×
＝3.14×16×＋3.14×1×
＝12.56＋0.785
＝13.345（平方米）
答：羊能夠吃到草的范圍是13.345平方米。
考點04：求關(guān)于圓的組合圖形的面積
【典例精講】（23-24六年級上·福建廈門·期末）如圖，半圓的面積是39.25平方厘米，圓的面積是28.26平方厘米，那么陰影部分的面積是( )。
【答案】24平方厘米/24cm2
【思路點撥】半圓面積為39.25平方厘米，則半圓所在的圓面積就是（39.25×2）平方厘米，根據(jù)圓面積計算公式“S＝πr2”，r2＝39.25×2÷3.14＝25，由于52＝25，由此得出半圓的半徑是5厘米，進而求出半圓的直徑為5×2＝10（厘米）。圓的面積為28.26平方厘米，同理可求出圓的半徑，進而求出圓的直徑。圓直徑是陰影長方形的長，半圓直徑減圓直徑是陰影長的寬，根據(jù)長方形面積計算公式“S＝ab”即可求出陰影部分面積。
【規(guī)范解答】39.25×2÷3.14
＝78.5÷3.14
＝25
25＝52
即半圓的半徑是5厘米，
5×2＝10（厘米）
28.26÷3.14＝9（厘米）
9＝32
所以圓的半徑為3厘米，
3×2＝6（厘米）
6×（10－6）
＝6×4
＝24（平方厘米）
那么陰影部分的面積是24平方厘米。
【考點評析】陰影部分是一個長方形，求出這個長方形的長、寬是關(guān)鍵，也難點.長方形的長為圓的直徑，寬為半圓直徑與圓直徑之差，根據(jù)圓面積計算公式即可求出半圓、圓的半徑，進而求出直徑。
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）求陰影部分的面積。
【答案】13.72cm2；86cm2
【思路點撥】（1）觀察圖形可知，陰影部分的面積＝梯形的面積－半圓的面積，根據(jù)梯形的面積公式S＝（a＋b）h÷2，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計算求解。
（2）如下圖，陰影部分的面積＝正方形的面積－圓的面積，根據(jù)正方形的面積公式S＝a2，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計算求解。
【規(guī)范解答】（1）（4＋6）×4÷2－3.14×（4÷2）2÷2
＝10×4÷2－3.14×22÷2
＝40÷2－3.14×4÷2
＝20－6.28
＝13.72（cm2）
陰影部分的面積是13.72cm2。
（2）20×20－3.14×102
＝400－3.14×100
＝400－314
＝86（cm2）
陰影部分的面積是86cm2。
【變式演練02】（23-24六年級上·四川成都·期末）如圖所示，求陰影部分的面積與周長。
【答案】面積3.87平方厘米，周長21.42厘米
【思路點撥】從圖片中分析，陰影部分的面積＝長方形的面積－半圓的面積。其中半圓的半徑是3厘米，則面積＝，長方形的長是半圓的直徑是6厘米，寬是半圓的半徑是3厘米，長方形的面積＝長×寬，再相減即可。
陰影部分的周長＝長方形的長＋2個寬＋半?。桨雸A的周長＋2個寬。半圓的周長＝。
【規(guī)范解答】面積：（2×3）×3－×3.14×32
＝6×3－×3.14×9
＝18－14.13
＝3.87（平方厘米）
周長：3.14×3＋2×3＋2×3
＝9.42＋6＋6
＝21.42（厘米）
則陰影部分的面積是3.87平方厘米，周長是21.42厘米。
【變式演練03】（22-23六年級上·河北邢臺·期末）求陰影部分的面積。（單位：cm）
（1）
（2）
【答案】（1）27.44cm2；（2）41.04cm2
【思路點撥】（1）陰影部分的面積等于長方形的面積減去半徑是4厘米的圓面積的四分之一，根據(jù)長方形的面積公式：S＝a×b，圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)據(jù)代入公式解答；
（2）由圖意可知：陰影部分的面積＝半圓的面積＋半圓的面積－三角形的面積，直角三角形的兩條直角邊（半圓的直徑）已知，從而可以分別求出圓的面積和三角形的面積，進而求得陰影部分的面積。
【規(guī)范解答】（1）10×4－3.14×42÷4
＝40－3.14×16÷4
＝40－50.24÷4
＝40－12.56
＝27.44（cm2）
陰影部分的面積是27.44平方厘米。
（2）3.14×（12÷2）2÷2＋3.14×（12÷2）2÷2－12×12÷2
＝3.14×62÷2＋3.14×62÷2－144÷2
＝3.14×36÷2＋3.14×36÷2－72
＝3.14×36÷2＋3.14×36÷2－72
＝113.04÷2＋113.04÷2－72
＝56.52＋56.52－72
＝113.04－72
＝41.04（cm2）
陰影部分的面積是41.04平方厘米。
考點05：方中圓和圓中方的面積
【典例精講】（22-23六年級上·河北滄州·期末）如圖，小圓面積是正方形的（），大圓面積是正方形的（）。
A．；2倍B．；C．2倍；2倍D．不能確定
【答案】B
【思路點撥】如圖：
設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，那么正方形ABCD的邊長為2r，根據(jù)正方形面積公式：S＝a2，圓的面積公式：S＝πr2，即可求出正方形的面積為：2r×2r＝4r2，小圓的面積為：πr2，再用小圓面積除以正方形面積，即可求出小圓面積是正方形面積的幾分之幾；接著把正方形分成如圖所示的兩個三角形，三角形ABD以大圓直徑為底，即底為：2R，大圓半徑為高，即高為：R；根據(jù)三角形面積＝底×高÷2，求出三角形ABD的面積為∶2R×R÷2＝R2，再用三角形ABD的面積乘2，即能求出正方形的面積是：2R2；根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，求出大圓的面積是：π×R2＝πR2；最后再用求出的圓面積除以正方形面積，即能求出大圓面積是正方形面積的幾分之幾。
【規(guī)范解答】設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，那么正方形ABCD的邊長為2r。
2r×2r＝4r2
πr2÷4r2＝
2R×R÷2
＝2R2÷2
＝R2
R2×2＝2R2
πR2÷2R2＝
小圓面積是正方形面積的，大圓面積是正方形面積的。
故答案為：B
【考點評析】解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)用小圓半徑和大圓半徑分別求出正方形面積。
【變式演練01】（22-23六年級上·河北邢臺·期末）在一個邊長是6厘米的正方形內(nèi)畫一個最大的圓，所畫圓的半徑是厘米，周長是厘米，面積是平方厘米。
【答案】 3 18.84 28.26
【思路點撥】根據(jù)題意，在一個正方形內(nèi)畫一個最大的圓，那么所畫圓的直徑等于正方形的邊長；根據(jù)圓的半徑r＝d÷2，圓的周長C＝πd，圓的面積S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計算求解。
【規(guī)范解答】圓的半徑：6÷2＝3（厘米）
圓的周長：3.14×6＝18.84（厘米）
圓的面積：
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
所畫圓的半徑是3厘米，周長是18.84厘米，面積是28.26平方厘米。
【變式演練02】（23-24六年級上·河南駐馬店·期末）有一個可以折疊的圓形餐桌，它的直徑是2米，折疊后正好是一個正方形（如圖），折疊后的面積減少了多少？
【答案】1.14平方米
【思路點撥】圓面積＝πr2，由此求出圓形餐桌的面積。將正方形分成兩個一模一樣的直角三角形，每個直角三角形的底是圓的直徑，高是圓的半徑，再根據(jù)“三角形面積＝底×高÷2”求出一個三角形的面積，再乘2，求出兩個三角形的面積，即正方形的面積。將圓的面積減去正方形的面積，即可求出折疊后的面積減少了多少。
【規(guī)范解答】2÷2＝1（米）
3.14×12－2×1÷2×2
＝3.14×1－1×2
＝3.14－2
＝1.14（平方米）
答：折疊后的面積減少了1.14平方米。
【變式演練03】（23-24六年級上·湖北孝感·期末）在一張直徑是10厘米的圓中剪下一個最大的正方形（如圖所示），剩下陰影部分的面積是多少平方厘米？
【答案】28.5平方厘米
【思路點撥】陰影部分的面積＝圓的面積－正方形的面積，圓的面積＝圓周率×半徑的平方，將正方形分成2個等腰直角三角形，三角形的底＝圓的直徑，三角形的高＝圓的半徑，三角形面積＝底×高÷2，據(jù)此列式解答。
【規(guī)范解答】3.14×（10÷2）2－10×（10÷2）÷2×2
＝3.14×52－10×5÷2×2
＝3.14×25－50
＝78.5－50
＝28.5（平方厘米）
答：剩下陰影部分的面積是28.5平方厘米。
考點06：扇形的周長和面積
【典例精講】（23-24六年級上·福建漳州·期末）下圖半圓中，O是圓心，BC是圓的直徑，A在圓上。如果圖中每個小方格邊長1cm，則A點在O點的( )偏( )( )°方向上。陰影部分周長是( )厘米，面積是( )平方厘米。
【答案】東北 45° 8.71 4.71
【思路點撥】（1）通過觀察圖，A點在O點的東北方向，右邊可以看出有一個等腰直角三角形，所以∠O＝45°，由此可知A點在O點的東偏北45°（或北偏東45°）的方向上；
（2）陰影部分的圓心角為180°－45°＝135°，135°÷360°＝，由此可知，陰影部分周長由半徑為2厘米的圓周長的和2條半徑組成，所以只要求出半徑為2厘米的圓周長的是多少，再加上兩條半徑即可；求出陰影部分的面積，先求出半徑為2厘米的圓的面積，再乘即可解答。
【規(guī)范解答】A點在O點的東偏北45°方向上。
2×3.14×2×
＝6.28×2×
＝12.56×
＝4.71（厘米）
4.71＋2＋2
＝6.71＋2
＝8.71（厘米）
3.14×22×
＝3.14×4×
＝12.56×
＝4.71（平方厘米）
即陰影部分周長是8.71厘米，面積是4.71平方厘米。
【變式演練01】（2023六年級上·遼寧·專題練習）數(shù)學活動課上，小筠借助作圖軟件將如圖所示的扇形分割成若干等份，再拼成一個近似的平行四邊形ABCD，她發(fā)現(xiàn)：當扇形等分的份數(shù)越多，拼出的圖形就越接近平行四邊形，進而可以通過計算平行四邊形的面積得到扇形面積。
根據(jù)以上探索發(fā)現(xiàn)，完成下列問題：
(1)設(shè)原扇形的半徑為r，弧長為，則平行四邊形ABCD的底邊AB長為( )，高為( )，面積為( )；（用含r和的式子表示）
(2)已知某扇形的半徑為4，弧長為3，則該扇形的面積為( )；
(3)已知某扇形的弧長為5，面積為15，則該扇形的周長為( )。
【答案】(1) r
(2)6
(3)17
【思路點撥】（1）通過觀察發(fā)現(xiàn)：平行四邊形ABCD的底邊AB的長為扇形弧長的一半，高為扇形的半徑r。根據(jù)平行四邊形的面積＝底×高，可求出扇形的面積為。
（2）把扇形的半徑4，弧長3，代入計算可求出該扇形的面積。
（3）扇形的弧長為5，面積為15，根據(jù)扇形的面積可知，用15÷÷5可求出扇形的半徑；再用弧長加上2條半徑求出該扇形的周長。
【規(guī)范解答】（1）
＝
＝
所以平行四邊形ABCD的底邊AB長為，高為r，面積為。
（2）＝6
所以該扇形的面積為6。
（3）15÷÷5
＝15×2÷5
＝30÷5
＝6
5＋6×2
＝5＋12
＝17
所以該扇形的周長為17。
【考點評析】解決此題關(guān)鍵是明確平行四邊形的底與扇形弧長的關(guān)系、平行四邊形的高與扇形半徑的關(guān)系。
【變式演練02】（23-24六年級上·陜西銅川·期末）算下面圖形陰影部分的周長與面積。
【答案】周長：21.42cm；面積：28.26cm2
【思路點撥】陰影部分的周長＝直徑是12cm的圓的周長的＋兩條半徑的和，根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，代入數(shù)據(jù)，即可求出陰影部分周長；
陰影部分面積＝半徑是（12÷2）cm的圓的面積的，根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【規(guī)范解答】周長：
3.14×12×＋（12÷2）×2
＝37.68×＋6×2
＝9.42＋12
＝21.42（cm）
面積：
3.14×（12÷2）2×
＝3.14×62×
＝3.14×36×
＝113.04×
＝28.26（cm2）
【變式演練03】（22-23六年級上·山西陽泉·期末）下面說法正確的是（）。
A．在同一個圓里，圓心角越大，扇形面積就越大。B．任何圓的半徑都相等。
C．畫圓時，圓規(guī)兩腳間的距離就是直徑。
【答案】A
【思路點撥】A．在同一個圓里，兩個半徑組成的角是圓心角，圓心角越大，扇形的區(qū)域就越大，則扇形越大；
B．兩個圓的大小不同，則半徑也不同，據(jù)此判斷；
C．畫圓時，圓規(guī)兩角之間的距離是圓的半徑，據(jù)此判斷。
【規(guī)范解答】由分析可知：
A．在同一個圓里，圓心角越大，扇形面積就越大。原說法正確；
B．兩個圓的大小相同，則半徑相同，大小如果不同，則半徑不同，原說法錯誤；
C．畫圓時，圓規(guī)兩角之間的距離是圓的半徑，原說法錯誤。
故答案為：A
考點07：用轉(zhuǎn)化法求組合圖形的圓的周長和面積
【典例精講】（23-24六年級上·福建漳州·期末）如圖，比較兩個正方形中的陰影部分，周長、面積的大小關(guān)系為（）。
A．面積不相等，周長相等B．周長不相等，面積相等
C．周長和面積都不相等D．周長和面積都相等
【答案】B
【思路點撥】觀察圖形可知，兩個圖形的空白部分都可以組成一個圓，且圓的直徑等于正方形的邊長。
左圖陰影部分的周長＝圓的周長，右圖陰影部分的周長＝圓的周長＋正方形的4條邊長；因為兩個圖形圓的周長相等，那么左圖陰影部分的周長小于右圖陰影部分的周長。
兩個圖形的陰影部分的面積＝正方形的面積－圓的面積，因為兩個圖形的正方形面積相等，圓的面積也相等，所以兩個圖形陰影部分的面積相等。
可以設(shè)兩個正方形的邊長為2cm，根據(jù)圓的周長公式C＝πd，圓的面積公式S＝πr2，正方形的面積公式S＝a2，代入數(shù)據(jù)計算解答。
【規(guī)范解答】設(shè)兩個正方形的邊長都是2cm。
左圖陰影部分的周長：
3.14×2＝6.28（cm）
右圖陰影部分的周長：
3.14×2＋2×4
＝6.28＋8
＝14.28（cm）
6.28≠14.28，陰影部分的周長不相等。
左圖陰影部分的面積：
2×2－3.14×（2÷2）2××4
＝4－3.14×12××4
＝4－3.14
＝0.86（cm2）
右圖陰影部分的面積：
2×2－3.14×（2÷2）2××2
＝4－3.14×12××2
＝4－3.14
＝0.86（cm2）
0.86＝0.86，陰影部分的面積相等。
綜上所述，兩個正方形中的陰影部分周長、面積的大小關(guān)系為：周長不相等，面積相等。
故答案為：B
【變式演練01】（22-23六年級上·山西忻州·期末）求圖中陰影部分的面積之和。（單位：cm）
【答案】100.48cm2
【思路點撥】觀察圖形可知，4個直徑為8cm的半圓可以組成2個圓；陰影部分的面積＝半徑為8cm的圓的面積－2個直徑為8cm的圓的面積，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計算求解。
【規(guī)范解答】3.14×82－3.14×（8÷2）2×2
＝3.14×64－3.14×42×2
＝200.96－3.14×16×2
＝200.96－100.48
＝100.48（cm2）
陰影部分的面積之和是100.48cm2。
【變式演練02】（23-24六年級上·吉林·期末）求陰影部分的面積。
【答案】100cm2
【思路點撥】根據(jù)圖片分析，陰影部分面積可分為兩部分，第一部分是第一個正方形面積減去以它邊長為半徑的圓的面積，第二部分是以正方形邊長為半徑的圓的面積。兩部分相加等于一個正方形面積。據(jù)此列式計算。
【規(guī)范解答】由分析可知，陰影部分面積等于一個邊長為10cm的正方形面積。
10×10＝100（cm2）
即，陰影部分面積為100cm2。
【變式演練03】（14-15五年級上·全國·課后作業(yè)）觀察下面兩個圖形中的陰影部分，周長和面積的大小關(guān)系是（）。

A．周長相等，面積不相等B．周長不相等，面積相等
C．周長和面積都相等D．周長和面積都不相等
【答案】B
【思路點撥】觀察圖形可知，左圖中兩個完全一樣的半圓可以組成一個圓；左圖陰影部分的周長＝直徑為4的圓的周長＋正方形的兩條邊長，左圖陰影部分的面積＝正方形的面積－直徑為4的圓的面積；
右圖中4個完全一樣的圓可以組成一個圓；右圖陰影部分的周長＝直徑為4的圓的周長，右圖陰影部分的面積＝正方形的面積－直徑為4的圓的面積；
根據(jù)圓的周長公式C＝πd，圓的面積公式S＝πr2，正方形的面積公式S＝a2，代入數(shù)據(jù)計算，得出結(jié)論。
【規(guī)范解答】左圖陰影部分的周長：
3.14×4＋4×2
＝12.56＋8
＝20.56
左圖陰影部分的面積：
4×4－3.14×（4÷2）2
＝16－3.14×4
＝16－12.56
＝3.44
右圖陰影部分的周長：
3.14×4＝12.56
右圖陰影部分的面積：
4×4－3.14×（4÷2）2
＝16－3.14×4
＝16－12.56
＝3.44
左圖陰影部分的周長≠右圖陰影部分的周長
左圖陰影部分的面積＝右圖陰影部分的面積
綜上所述，兩個圖形中的陰影部分，周長和面積的大小關(guān)系是周長不相等，面積相等。
故答案為：B
【考點評析】本題考查組合圖形周長、面積的求法，分析出組合圖形的周長是由哪些線段和曲線組成，根據(jù)圖形的周長公式求解；分析出組合圖形的面積是由哪些圖形的面積相加或相減得到，根據(jù)圖形的面積公式求解。
基礎(chǔ)達標練
1．（2024六下·瑞安月考）下圖是一輛玩具坦克車，他的履帶包圍著4個半徑為1cm的輪子，通過履帶可以帶動四個輪子向前前進。這條履帶的長度是（）厘米。
A．18.28B．15.14C．12.28D．9.14
【答案】C
【規(guī)范解答】解：1×2=2（厘米）
2×3＋3.14×2
=6＋6.28
=12.28（厘米）。
故答案為：C。
【思路點撥】這條履帶的長度=輪子的直徑×3＋π×直徑。
2．（2024六下·如城小學期中）下圖中，陰影部分的面積是長方形面積的，是圓面積的，那么長方形的面積是圓面積的( )。
A．倍B．C．D．倍
【答案】B
【規(guī)范解答】解：長方形的面積×=圓的面積×
則：長方形的面積÷圓的面積=÷= 。
故答案為：B。
【思路點撥】陰影部分的面積=長方形的面積×=圓的面積×，則長方形的面積是圓面積的分率=÷= 。
3．（2024六上·三門期末）如下圖，三張正方形紙片邊長都是36cm，分別按下面方式剪出不同規(guī)格的圓片，比較這三幅圖，下列說法不正確的是（）。
A．甲、乙、丙三種圓片的周長比是6：3：2
B．乙圓的面積比甲圓面積少
C．丙圓的面積是乙圓面積的
D．剪完圓后，每張正方形紙剩下的廢料一樣多
【答案】C
【規(guī)范解答】解：A項中，甲的周長：36×3.14=113.04（cm）；乙的周長：（36÷2）×3.14=56.52（cm），丙的周長：（36÷3）×3.14=37.68（cm），113.04：56.52：37.68=6：3：2，所以甲、乙、丙三種圓片的周長比是6：3：2；
B項中，甲的面積：（36÷2）2×3.14=1017.36（cm2），乙的面積：（36÷2÷2）2×3.14=254.34（cm2），（1017.36-254.34）÷1017.36=，所以乙圓的面積比甲圓面積少；
C項中，丙的面積：（36÷3÷2）2×3.14=113.04（cm2），113.04÷254.34=，所以丙圓的面積是乙圓面積的；
D項中，254.34×4=113.04×9=1017.36（cm2），所以剪完圓后，每張正方形紙剩下的廢料一樣多
故答案為：C。
【思路點撥】A項中，先算出甲、乙、丙三個圖形的周長，然后作比即可，其中圓的周長=直徑×π；
B項中，圓的面積=πr2，據(jù)此求出乙圓和甲圓的面積，所以乙圓的面積比甲圓面積少幾分之幾=（甲圓的面積-乙圓的面積）÷甲圓的面積；
C項中，丙圓的面積是乙圓面積的幾分之幾=丙圓的面積÷乙圓的面積。
D項中，經(jīng)過計算，乙圓的面積×4=丙圓的面積×9-甲圓的面積，所以甲圓的面積=乙圓的面積=丙圓的面積，那么剩下的廢料一樣多。
4．（2024六上·慈溪期末）如果一個正方形和一個圓的周長相等，則圓的面積大。（）（判斷對錯）
【答案】正確
【規(guī)范解答】解：如果一個正方形和一個圓的周長相等，則圓的面積大，說法正確。
故答案為：正確。
【思路點撥】假設(shè)周長為C。正方形的邊長=C÷4=，則正方形的面積=邊長×邊長=×=；圓的半徑=C÷3.14÷2=，則圓的面積=πr2=3.14××=。因為分子相同都是C2，并且16>12.56，所以

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