類型一：已知三點(diǎn)的平行四邊形問題
知識(shí)內(nèi)容：
已知三點(diǎn)后，其實(shí)已經(jīng)固定了一個(gè)三角形（平行四邊形的一半），如圖．第四個(gè)點(diǎn)M則有3種取法，過3個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線且取相等長(zhǎng)度即可（如圖中3個(gè)M點(diǎn)）．
解題思路：
根據(jù)題目條件，求出已知3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；
用一點(diǎn)及其對(duì)邊兩點(diǎn)的關(guān)系，求出一個(gè)可能點(diǎn)；
更換頂點(diǎn)，求出所有可能的點(diǎn)；
根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿足要求并作答．
類型二：存在動(dòng)邊的平行四邊形問題
知識(shí)內(nèi)容：
在此類問題中，往往是已知一條邊，而它的對(duì)邊為動(dòng)邊，需要利用這組對(duì)邊平行且相等列出方程，進(jìn)而解出相關(guān)數(shù)值．更復(fù)雜的有，一組對(duì)邊的兩條邊長(zhǎng)均為變量，需要分別表示后才可列出方程進(jìn)行求解．
解題思路：
找到或設(shè)出一定平行的兩條邊（一組對(duì)邊）；
分別求出這組對(duì)邊的值或函數(shù)表達(dá)式；
列出方程并求解；
返回題面，驗(yàn)證求得結(jié)果．
【考點(diǎn)剖析】
1．(2023春?靜安區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x＝1，交x軸于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)，證明：∠CDB＝∠CAB；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，以及拋物線上一點(diǎn)N，使得以M、N、B、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？如果有，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
2．(2023?徐匯區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+3的圖象與x軸交于A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且AB＝4．
（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E是二次函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作直線EF∥x軸交拋物線于點(diǎn)F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為G，如果四邊形DEGF是正方形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若射線AC與射線BD相交于點(diǎn)H，求∠AHB的大?。?br>3．(2023春?徐匯區(qū)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在AD上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)Q．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，以Q為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②如圖2，過點(diǎn)O，P的直線y＝kx交AC于點(diǎn)E，若PE：OE＝3：8，求k的值．
4．(2023秋?靜安區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A（2，6）和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在y軸上，縱坐標(biāo)為2，BC∥x軸，BC＝3OC，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；
（2）如果點(diǎn)D在x軸的正半軸上，點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，四邊形ACDE是平行四邊形，求邊CD的長(zhǎng)．
5．(2023?崇明區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，連接AC、BC、CD、BD．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對(duì)稱軸；
（2）當(dāng)S△BCD＝4S△AOC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
6.已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖），一次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖像上，且MO = MA．二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A、M．
（1）求線段AM的長(zhǎng)；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖像上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)A（，0）的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)A、點(diǎn)D與點(diǎn)C分別關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.
（1）求b的值以及直線AD與x軸正方向的夾角；
（2）如果點(diǎn)E是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過E作EF平行于x軸交直線AD于點(diǎn)F，且F在E的右邊，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，設(shè)E的橫坐標(biāo)為m，的周長(zhǎng)為l，試用m表示l；
（3）點(diǎn)M是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，如果以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求該矩形的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【過關(guān)檢測(cè)】
1．(2023?寶山區(qū)模擬）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；
（3）設(shè)P為直線AD上一點(diǎn)，且以A、P、C、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2．(2023秋?崇明區(qū)期末）如圖，拋物線y=?34x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)M（m，0）為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．
（1）求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求m的值；
（3）如果以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
3．(2023?楊浦區(qū)二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．
4．(2023秋?寶山區(qū)期末）已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過A（4，0），B（﹣1，3）兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，聯(lián)結(jié)BC、BD．
（1）求該拋物線的表達(dá)式以及對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)E在線段BC上，當(dāng)∠CED＝∠OBD時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，點(diǎn)N在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)O、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求這個(gè)平行四邊形的面積．
第19講 二次函數(shù)中平行四邊形的存在性（核心考點(diǎn)講與練）
【基礎(chǔ)知識(shí)】
類型一：已知三點(diǎn)的平行四邊形問題
知識(shí)內(nèi)容：
已知三點(diǎn)后，其實(shí)已經(jīng)固定了一個(gè)三角形（平行四邊形的一半），如圖．第四個(gè)點(diǎn)M則有3種取法，過3個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線且取相等長(zhǎng)度即可（如圖中3個(gè)M點(diǎn)）．
解題思路：
根據(jù)題目條件，求出已知3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；
用一點(diǎn)及其對(duì)邊兩點(diǎn)的關(guān)系，求出一個(gè)可能點(diǎn)；
更換頂點(diǎn)，求出所有可能的點(diǎn)；
根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿足要求并作答．
類型二：存在動(dòng)邊的平行四邊形問題
知識(shí)內(nèi)容：
在此類問題中，往往是已知一條邊，而它的對(duì)邊為動(dòng)邊，需要利用這組對(duì)邊平行且相等列出方程，進(jìn)而解出相關(guān)數(shù)值．更復(fù)雜的有，一組對(duì)邊的兩條邊長(zhǎng)均為變量，需要分別表示后才可列出方程進(jìn)行求解．
解題思路：
找到或設(shè)出一定平行的兩條邊（一組對(duì)邊）；
分別求出這組對(duì)邊的值或函數(shù)表達(dá)式；
列出方程并求解；
返回題面，驗(yàn)證求得結(jié)果．
【考點(diǎn)剖析】
1．(2023春?靜安區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x＝1，交x軸于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)，證明：∠CDB＝∠CAB；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，以及拋物線上一點(diǎn)N，使得以M、N、B、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？如果有，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)題意求出線段CD，BC，BD的長(zhǎng)度，證明ABDC是直角三角形，再求出兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的正切值，從而證明兩個(gè)角相等；
（3）按照對(duì)邊平行進(jìn)行討論，根據(jù)對(duì)邊相等或者對(duì)角線互相平分進(jìn)行計(jì)算，也可結(jié)合圖象判斷．
【解答】（1）解：設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，3），
且對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴a?b+c=0c=3?b2a=1，
解得a=?1b=2c=3，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）證明令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（1，4），
∴CD=(1?0)2+(4?3)2=2，
BD=(1?3)2+(4?0)2=25，
CB=32+32=32，
∵BC2+CD2＝（32）2+（2）2＝20，
BD2＝（25）2＝20，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠tan∠CDB=BCCD=322=3，
∵tan∠CAB=OCOA=3，
∴∠CDB＝∠CAB；
（3）解：①當(dāng)BM∥CN時(shí)，如圖：
∵對(duì)稱軸為直線x＝1，C （0，3），
∴N（2.3），CN＝2，
∵B（3，0），
∴CN＝BM，
∴BM＝2，
當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，M1（1，0），
當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，M2（5，0），
∴M1（1，0）或M2（5，0）；
②當(dāng)CM∥BN時(shí)，如圖：
CN與BM互相平分，N點(diǎn)和C點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
可得N點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣3，
把y＝﹣3代入解析式得：﹣x2+2x+3﹣3，
解得：x1=7+1，x2=?7+1，
所以N1的橫坐標(biāo)為7+1．，N2的橫坐標(biāo)為?7+1，
由平行四邊形對(duì)角線互相平分可得?7+1+0＝3+xM或7+1+0＝3+xM，
解得xN=?7?2或xN=7?2，
所以M3（7?2，0）或M4（?7?2，0）．
綜上所述：M1（1，0）或M2（5，0）或M3（7?2，0）或M4（?7?2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中線段長(zhǎng)度及角的正切值的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，證明△BDC是直角三角形以及利用平行四邊形對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．
2．(2023?徐匯區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+3的圖象與x軸交于A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且AB＝4．
（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E是二次函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作直線EF∥x軸交拋物線于點(diǎn)F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為G，如果四邊形DEGF是正方形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若射線AC與射線BD相交于點(diǎn)H，求∠AHB的大?。?br>分析：（1）令mx2﹣2mx+3＝0，設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為a，b，利用根與系數(shù)的關(guān)系可表達(dá)a+b和ab，利用AB＝4，建立方程可求出m，再化為頂點(diǎn)式可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由題意可知，DG⊥EF且DG和EF相互平分，則四邊形DEGF是菱形，若四邊形DEGF是正方形，則只需要滿足DG＝EF，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，分別表達(dá)EF和DG，建立方程即可求出t的值；
（3）分別求出直線AC和BD的直線，聯(lián)立可求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可分別求出AH，AB和AC的長(zhǎng)，可得AB：AH＝AC：AB，則△ABC∽△AHB，由此可得出∠AHB＝45°．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+3的圖象與x軸交于A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），
∴設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為a（a＞0），b，則a，b是mx2﹣2mx+3＝0的兩個(gè)根，
∴a+b＝2，ab=3m．
∵AB＝4，
∴a﹣b＝4，即（a+b）2﹣4ab＝16，
∴22﹣4?3m=16，
解得m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．
（2）由題意可知，DG⊥EF且DG和EF相互平分，則四邊形DEGF是菱形，若四邊形DEGF是正方形，則只需要滿足DG＝EF，
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，
∴E（t，﹣t2+2t+3），F(xiàn)（2﹣t，﹣t2+2t+3），
∵D（1，4），
∴G（1，﹣2t2+4t+2），
∴EF＝2﹣2t，DG＝2t2﹣4t+2，
∴2﹣2t＝2t2﹣4t+2，解得t＝1（舍）或t＝0，
∴E（0，3）．
（3）如圖，連接BC，
由（1）知y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3）；
令y＝0，則x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
∴OC＝OB＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
∴直線AC的解析式為：y＝3x+3，
直線BD的解析式為：y＝﹣2x+6，
令3x+3＝﹣2x+6，解得x=35；
∴H（35，245），
∴AH=8105，AB＝4，AC=10，
∴AB：AH＝AC：AB=104，
∵∠BAC＝∠HAB，
∴△ABC∽△AHB，
∴∠AHB＝∠ABC＝45°．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)與幾何綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，得出△ABC∽△AHB是解題關(guān)鍵．
3．(2023春?徐匯區(qū)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在AD上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)Q．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，以Q為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②如圖2，過點(diǎn)O，P的直線y＝kx交AC于點(diǎn)E，若PE：OE＝3：8，求k的值．
分析：（1）由直線的解析式y(tǒng)＝x+4易求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，把A和C的坐標(biāo)分別代入y=?12x2+bx+c求出b和c的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由（1）中的拋物線解析式，進(jìn)而可求出其縱坐標(biāo)，問題得解；
②過P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，因?yàn)镻F∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出PF的長(zhǎng)，進(jìn)而可設(shè)點(diǎn)F（x，x+4），利用（?12x2?x+4）?（x+4）=32，可求出x的值，解方程求出x的值可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入直線y＝kx即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵直線y＝x+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，4）．
又∵拋物線過A，C兩點(diǎn)，
∴?12×(?4)2?4b+c=0c=4，解得：b=?1c=4．
∴拋物線的解析式為y=?12x2?x+4．
（2）①∵y=?12x2?x+4，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．
∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，
∴PQ//AO，PQ＝AO＝4．
∵P，Q都在拋物線上，
∴P，Q關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是﹣3．
∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y=?12×(?3)2?(?3)+4=52，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(?3，52)．
②過P點(diǎn)作PF//OC交AC于點(diǎn)F，
∵PF//OC，
∴△PEF∽△OEC，
∴PEOE=PFOC．
又∵PEOE=38，OC=4，
∴PF=32
∵點(diǎn)F在AC上，
∴點(diǎn)F（x，x+4），
∴(?12x2?x+4)?(x+4)=32，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y=92；當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y=52，
即P點(diǎn)坐標(biāo)是(?1，92)或(?3，52)．
又∵點(diǎn)P在直線y＝kx上，
∴k=?92或k=?56．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，題目綜合性較強(qiáng)，難度不大，是一道很好的中考題．
4．(2023秋?靜安區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A（2，6）和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在y軸上，縱坐標(biāo)為2，BC∥x軸，BC＝3OC，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；
（2）如果點(diǎn)D在x軸的正半軸上，點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，四邊形ACDE是平行四邊形，求邊CD的長(zhǎng)．
分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=kx，由A的坐標(biāo)可求出k的值，再設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+2，把A和B的坐標(biāo)代入求出a和b的值即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）延長(zhǎng)AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，利用已知條件可證明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性質(zhì)可得：EH＝AM＝4，DH＝CM＝2，進(jìn)而求出點(diǎn)E（3，4），所以O(shè)E＝3，OD＝OE﹣DH＝1，利用勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=kx，
∵點(diǎn)A（2，6）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴6=k2，
∴k＝12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=12x，
根據(jù)題意得點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，2）．
∵BC∥x軸，BC＝3OC，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（6，2）
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+2，
則6=4a+2b+22=36a+6b+2，解得a=?12b=3，
故二次函數(shù)的解析式為y=?12x2+3x+2．
（2）延長(zhǎng)AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，作AM⊥BC，垂足為M，交x軸于N，
如圖所示：
∵在平行四邊形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO＝∠EDH，
∵BC∥x軸，
∴∠ACM＝∠AGO，
∴∠ACM＝∠EDH．
在△ACM和△EDH中，
∠AMC=∠EHD∠MCA=∠HDEAC=DE，
∴△ACM≌△EDH（AAS），
∴EH＝AM＝4，DH＝CM＝2．
∵E點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=12x圖象上，
∴x＝3，
∴點(diǎn)E（3，4），
∴OH＝3，OD＝OH﹣DH＝1，
∴CD2＝OC2+OD2＝22+12＝5，
∴CD=5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形．
5．(2023?崇明區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，連接AC、BC、CD、BD．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對(duì)稱軸；
（2）當(dāng)S△BCD＝4S△AOC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，根據(jù)﹣4a＝﹣4，可得a＝1，由此即可解決問題．
（2）如圖1中，設(shè)D（m，m2﹣3m﹣4），連接OD．根據(jù)S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，構(gòu)建方程求出m即可解決問題．
（3）分兩種情形：如圖2中，當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí)，根據(jù)DF＝AE＝1，求解即可．如圖3中，當(dāng)AE，DF是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴﹣4a＝﹣4，
∴a＝1，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4，對(duì)稱軸x=32．
（2）如圖1中，設(shè)D（m，m2﹣3m﹣4），連接OD．
∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，
∴12×4×（﹣m2+3m+4）+12×4×m?12×4×4＝4×12×1×4
整理得：m2﹣4m+4＝0，
解得m＝2，
∴D（2，﹣6）．
（3）如圖2中，當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí)，
∵DF∥AE，D（2，﹣6）
∴F（1，﹣6），
∴DF＝1，
∴AE＝1，
∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．
如圖3中，當(dāng)AE，DF是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)F到x軸的距離相等，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6，
當(dāng)y＝6時(shí)，6＝x2﹣3x﹣4，
解得x＝﹣2或5，
∴F（﹣2，6）或（5，6），
設(shè)E（n，0），則有?1+n2=?2+22或?1+n2=5+22，
解得n＝1或8，
∴E（1，0）或（8，0），
，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．
6.已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖），一次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖像上，且MO = MA．二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A、M．
（1）求線段AM的長(zhǎng)；
（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖像上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解析：（1）M點(diǎn)應(yīng)在OA的垂直平分線上，
A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴M在直線上，
又點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖像上，
∴M點(diǎn)為，∴AM的長(zhǎng)為；
（2）將A、M分別代入二次函數(shù)解析式，
解得解析式為：；
（3）根據(jù)四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的順序可知，D點(diǎn)在A點(diǎn)右上方，C在右下方，
且CD//AB（即平行于y軸），∴設(shè)D點(diǎn)為，則C點(diǎn)為．
∵ABCD為菱形，∴CD=AD．
∴，解得：（舍）或．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及菱形的存在性，注意利用性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)．
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)A（，0）的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)A、點(diǎn)D與點(diǎn)C分別關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.
（1）求b的值以及直線AD與x軸正方向的夾角；
（2）如果點(diǎn)E是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過E作EF平行于x軸交直線AD于點(diǎn)F，且F在E的右邊，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，設(shè)E的橫坐標(biāo)為m，的周長(zhǎng)為l，試用m表示l；
（3）點(diǎn)M是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，如果以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求該矩形的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解析：（1）由，
∴，對(duì)稱軸直線x = 1；
∴C（0，3），D（2，3），A（，0），
∴直線AD解析式為：y = x + 1，與x軸正方向的夾角為45°；
（2）∵E（m，），F(xiàn)（，），
∴EF =
∵為等腰直角三角形，，
∴．
（3）A（，0），M（1，4），設(shè)AM的中點(diǎn)為N，則N（0，2）
eq \\ac(○,1)當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，
∵，∴，
∴，Q在y軸上，∴（0，），（0，）；
eq \\ac(○,2)當(dāng)AM為邊時(shí)，
，，
∴，（0，）
∴≌，∴（，）
同理（2，）
【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要運(yùn)用幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)，并且注意對(duì)方法的歸納總結(jié)．
【過關(guān)檢測(cè)】
1．(2023?寶山區(qū)模擬）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；
（3）設(shè)P為直線AD上一點(diǎn)，且以A、P、C、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（1）將點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）求出D（2，1），再由待定系數(shù)法求直線的解析式即可；
（3）（3）設(shè)P（t，﹣t+1），分三種情況討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t＝1+3＝4，則P（4，3）；②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，1＝3+t，則P（﹣2，﹣3）；③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t+1＝3，則P（2，1），此時(shí)不能構(gòu)成平行四邊形．
【解答】解：（1）設(shè)y＝ax2+bx+c，
將點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴a+b+c=09a+3b+c=0c=?3，
解得a=?1b=4c=?3，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴D（2，1），
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，
∴2k+b=1k+b=0，
解得k=1b=?1，
∴y＝x﹣1；
（3）設(shè)P（t，t﹣1），
①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t＝1+3＝4，
∴P（4，3）；
②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，1＝3+t，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣3）；
③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，t+1＝3，
∴t＝2，
∴P（2，1），
此時(shí)﹣3+0≠1+0，
∴P（2，1）不符合題意；
綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3）或（﹣2，﹣3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
2．(2023秋?崇明區(qū)期末）如圖，拋物線y=?34x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)M（m，0）為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．
（1）求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求m的值；
（3）如果以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
分析：（1）把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求出拋物線解析式；再將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可；
（2）分析可知，OB∥PN，若以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有BO＝PN，表達(dá)點(diǎn)P和點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出PN的長(zhǎng)，建立等式求解即可；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，可得到∠AMP＝90°，且∠APM＝∠BPN，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，只需∠ABN＝90°或∠BNP＝90°，畫出圖形求解即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y=?34x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），
∴?34×16+4b+c=0c=3，解得b=94c=3，
∴拋物線y=?34x2+94x+3=?34（x?32）2+7516；
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=32，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（32，7516）．
（2）設(shè)直線A（4，0），B（0，3）的解析式為y＝ax+d，
∴4a+d=0d=3，解得a=?34d=3，
∴直線AB的表達(dá)式為：y=?34x+3；
∵點(diǎn)M（m，0）為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N，
∴PN∥y軸，即PN∥OB，且點(diǎn)N在點(diǎn)P上方，
若以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則只需要PN＝OB，
∴?34m2+94m+3﹣（?34m+3）＝3，解得m＝2；
即當(dāng)m＝2時(shí)，以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
（3）由（2）可知直線解析式為y=?34x+3，P（m，?34m+3），N（m，?34m2+94m+3），
∴PM=?34m+3，AM＝3﹣m，PN=?34m2+94m+3﹣（?34m+3）=?34m2+3m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，
∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，
當(dāng)∠BNP＝90°時(shí)，則有BN⊥MN，
∴N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
∴?34m2+94m+3＝3，解得m＝0（舍去）或m＝3，
∴M（3，0）；
當(dāng)∠NBP＝90°時(shí)，過點(diǎn)N作NC⊥y軸于點(diǎn)C，
則∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC=?34m2+94m+3﹣3=?34m2+94m，
∵∠NBP＝90°，
∴∠NBC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BNC，
∴Rt△NCB∽R(shí)t△BOA，NCOB=CBOA，
∴m3=?34m2+94m4，
解得m＝0（舍去）或m=119，
∴M（119，0）；
綜上可知，當(dāng)以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（119，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，考查了待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵（1）得到OB∥PN；（2）得到∠AMP＝90°，且∠APM＝∠BPN．
3．(2023?楊浦區(qū)二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長(zhǎng)．
分析：（1）求出A、B坐標(biāo)代入y＝ax2+6x+c即可得答案；
（2）求出C坐標(biāo)，設(shè)P、Q坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)重合可列方程求解；
（3）CD與AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐標(biāo)，再求CN解析式及D坐標(biāo)即可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，
∴A（5，0），B（0，﹣5），
將A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：
0=25a+30+c?5=c，解得a=?1c=?5，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，
∴C（1，0），
點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)，
設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），
則BP的中點(diǎn)為（0+m2，?5?m2+6m?52），CQ的中點(diǎn)為（1+n2，0+n?52），
∵四邊形BCPQ是平行四邊形，
∴線段BP的中點(diǎn)，即是CQ的中點(diǎn)，
∴0+m=1+n?5?m2+6m?5=0+n?5，解得m=1n=0或m=4n=3，
∴Q（3，﹣2）；
（3）設(shè)CD與AB交于N，如圖：
∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），
∴CQ＝22，BQ＝32，
∵∠QCD＝∠ABC，且∠CQN＝∠BQC，
∴△CQN∽△BQC，
∴CQBQ=QNCQ，即2232=QN22，
∴QN=423，
設(shè)N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），
∴(t?3)2+(t?5+2)2=423，
∴t=133或t=53，
∵在∠QCB內(nèi)作射線CD，
∴t=53，N（53，?103），
設(shè)CN解析式為y＝kx+b，將N（53，?103），C（1，0）代入得：
?103=53k+b0=k+b，解得k=?5b=5，
∴CN解析式為y＝﹣5x+5，
令x＝3得y＝﹣10，
∴D（3，﹣10），
∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)、平行四邊形及相似三角形綜合知識(shí)，解題關(guān)鍵是設(shè)出坐標(biāo)，利用相似三角形性質(zhì)求出ND的長(zhǎng)度．
4．(2023秋?寶山區(qū)期末）已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過A（4，0），B（﹣1，3）兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，聯(lián)結(jié)BC、BD．
（1）求該拋物線的表達(dá)式以及對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)E在線段BC上，當(dāng)∠CED＝∠OBD時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，點(diǎn)N在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)O、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求這個(gè)平行四邊形的面積．
分析：（1）待定系數(shù)法可求解析式；
（2）先求出BC的解析式，通過證明△OBC∽△EDB，可得BDBC=BEOC，可求BE的長(zhǎng)，由兩點(diǎn)距離公式可求解；
（3）分兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過A（4，0），B（﹣1，3）兩點(diǎn)，
∴0=16a+4b3=a?b，
解得：a=35b=?125，
∴拋物線的解析式為y=35x2?125x，
∴對(duì)稱軸為直線x＝2；
（2）∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)D（5，3），
∴BD＝6，
∵點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)B（﹣1，3），
∴BC＝32，直線BC解析式為y＝﹣x+2，
如圖，連接BO，
∵BD∥OC，
∴∠DBE＝∠BCO，
∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE，
∴∠OBC＝∠BDE，
∴△OBC∽△EDB，
∴BDBC=BEOC，
∴632=BE2，
∴BE＝22，
設(shè)點(diǎn)E（x，﹣x+2），
∴22=(x+1)2+(?x+2?3)2，
∴x＝1或x＝﹣3（舍去），
∴點(diǎn)E（1，1）；
（3）當(dāng)OA為邊時(shí)，
∵以點(diǎn)O、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴OA＝MN＝4，OA∥MN，
∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)為6或﹣2，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為365，
∴平行四邊形的面積＝4×365=1445，
當(dāng)OA為對(duì)角線，
∵以點(diǎn)O、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴MN與OA互相平分，
∴4+02=2+Nx2，
∴Nx＝2，
∴點(diǎn)N（2，?125），
∴平行四邊形的面積＝4×125=485，
綜上所述：平行四邊形的面積為485或1445．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．

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