【知識要點(diǎn)】
知識點(diǎn)1 全等三角形及其性質(zhì)
全等圖形概念：能完全重合的兩個圖形叫做全等圖形。
全等圖形的性質(zhì)：①形狀相同。②大小相等。③對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。④周長、面積相等。
全等三角形概念：能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
【補(bǔ)充】兩個三角形全等，互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。
表示方法：全等用符號“≌”，讀作“全等于”。書寫三角形全等時，要注意對應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對應(yīng)位置上。
全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換。
變換方式（常見）：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)。
全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。
考查題型一 全等三角形的性質(zhì)
典例1．(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
變式1-1．(2023·山東淄博·中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
變式1-2．(2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
變式1-3．(2023·天津·中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為D，延長交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
變式1-4．(2023·湖南懷化·中考真題）如圖，在和中，，，，則________o．
知識點(diǎn)2：全等三角形的判定（重點(diǎn)）
【備注】判定兩個三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等。
證題的思路（重點(diǎn)）：
考查題型二 利用SSS證明兩個三角形全等
典例2．(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂．(2023·江蘇鹽城·中考真題）工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個角．如圖，在的兩邊、上分別在取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)、重合，這時過角尺頂點(diǎn)的射線就是的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
變式2-1．(2023·山西·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若，，則線段AN的長為_________
變式2-2．(2023·廣西·中考真題）如圖，在中，BD是它的一條對角線，
(1)求證：；
(2)尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(3)連接BE，若，求的度數(shù)．
變式2-3．(2023·廣西·中考真題）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實(shí)地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
(1)求證：△ABC≌△CDA ；
(2)求草坪造型的面積．
變式2-4．(2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E，C為對角線上的兩點(diǎn)，．連接．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求證：．
變式2-5．(2023·廣西玉林·中考真題）問題情境：
在數(shù)學(xué)探究活動中，老師給出了如圖的圖形及下面三個等式：① ② ③若以其中兩個等式作為已知條件，能否得到余下一個等式成立？
解決方案：探究與全等．
問題解決：
(1)當(dāng)選擇①②作為已知條件時，與全等嗎？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；
(2)當(dāng)任意選擇兩個等式作為已知條件時，請用畫樹狀圖法或列表法求的概率．
變式2-6．(2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若DE＝5，cs∠ABD＝，求OE的長．
考查題型三 利用SAS證明兩個三角形全等
典例3．(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂．(2023·浙江金華·中考真題）如圖，與相交于點(diǎn)O，，不添加輔助線，判定的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
變式3-1．(2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形中，對角線、相交于點(diǎn)O． E、F分別為、上一點(diǎn)，且，連接，，．若，則的度數(shù)為（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
變式3-2．(2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為( )
A．B．C．D．
變式3-3(2023·江蘇泰州·中考真題）如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則 為（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣α
變式3-4．(2023·吉林·中考真題）如圖，，．求證：．
變式3-5．(2023·四川南充·中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，分別與交于點(diǎn)M，N．求證：
(1)．
(2)．
變式3-6．(2023·新疆·中考真題）在中，點(diǎn)D，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點(diǎn)．延長DF到點(diǎn)E，使，連接BE．
(1)求證：；
(2)求證：四邊形BCDE是平行四邊形．
變式3-7．(2023·湖南株洲·中考真題）如圖所示，點(diǎn)在四邊形的邊上，連接，并延長交的延長線于點(diǎn)，已知，．
(1)求證：；
(2)若，求證：四邊形為平行四邊形．
變式3-8．(2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在和中，，，，且點(diǎn)D在線段上，連．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
變式3-9．(2023·湖北黃石·中考真題）如圖，等邊中，，點(diǎn)E為高上的一動點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為______________．
考查題型四 利用ASA證明兩個三角形全等
典例4．(2023·湖南湘西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
變式4-1．(2023·重慶·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（ ）
A．1B．C．2D．
變式4-2．(2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在邊長為3的正方形中，，，則的長是（ ）
A．1B．C．D．2
變式4-3．(2023·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求證：DE=BC．
變式4-4．(2023·四川樂山·中考真題）如圖，B是線段AC的中點(diǎn)，，求證：．
變式4-5．(2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)過點(diǎn)作，垂足為．若的周長為56，，求的面積．
變式4-6．(2023·浙江麗水·中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
變式4-7．(2023·云南·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長BE與CD的延長線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF=90°
(1)求證：四邊形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．
變式4-8(2023·貴州貴陽·中考真題）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
考查題型五 利用AAS證明兩個三角形全等
典例5．(2023·遼寧營口·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線段的長為（ ）
A．B．C．D．
變式5-1．(2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（ ）
A．B．C．D．
變式5-2(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，．以為一邊在第一象限作正方形，則對角線所在直線的解析式為（ ）
A．B．C．D．
變式5-3．(2023·廣西賀州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，點(diǎn)B到x軸的距離為4，若將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．
變式5-4．(2023·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，對角線交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，E．若點(diǎn)，則k的值是_________．
變式5-5．(2023·貴州銅仁·中考真題）如圖，點(diǎn)C在上，．求證：．
變式5-6．(2023·湖南懷化·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)N，使CN=AM，連接MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H．
(1)求證：MP=NP；
(2)若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．
變式5-7．(2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，AE與CD交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
變式5-8．(2023·湖南長沙·中考真題）如圖，AC平分，垂足分別為B，D．
(1)求證：；
(2)若，求四邊形ABCD的面積．
變式5-9．(2023·重慶·中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個矩形的長乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個底為a，高為h的三角形的面積公式為．想法是：以為邊作矩形，點(diǎn)A在邊上，再過點(diǎn)A作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗(yàn)證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)D．（只保留作圖痕跡）
在和中，
∵，
∴．
∵，
∴______①____．
∵，
∴______②_____．
又∵_(dá)___③______．
∴（）．
同理可得：_____④______．
．
變式5-10．(2023·浙江溫州·中考真題）如圖，在中，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，的延長線交線段于點(diǎn)G，連結(jié)，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)當(dāng)，時，求的長．
考查題型六 利用HL證明兩個三角形全等
典例6．(2023·天津·中考真題）如圖，△OAB的頂點(diǎn)O(0，0)，頂點(diǎn)A，B分別在第一、四象限，且AB⊥x軸，若AB=6，OA=OB=5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
變式6-1．(2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，兩個動點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，四邊形ABMP為矩形
B．當(dāng)時，四邊形CDPM為平行四邊形
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，或6s
變式6-2．(2023·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長交線段于點(diǎn)P，若，則的長度為___________．
變式6-3．(2023·湖北隨州·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．
(1)求證；
(2)已知平行四邊形ABCD的面積為，．求的長．
變式6-4．(2023·貴州遵義·中考真題）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，菱形的對角線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
考查題型七 全等三角形綜合問題
典例7(2023·湖南常德·中考真題）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，，．則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．，
C．D．
變式7-1．(2023·黑龍江·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接OP．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
變式7-2．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）以下命題：①面包店某種面包售價(jià)元/個，因原材料漲價(jià)，面包價(jià)格上漲10%，會員優(yōu)惠從打八五折調(diào)整為打九折，則會員購買一個面包比漲價(jià)前多花了元；②等邊三角形中，是邊上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，若，則；③兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④一列自然數(shù)0，1，2，3，55，依次將該列數(shù)中的每一個數(shù)平方后除以100，得到一列新數(shù)，則原數(shù)與對應(yīng)新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大．其中真命題的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
變式7-3．(2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，則下列四個結(jié)論：①；②若，，則；③若，則；④若，則與全等．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
變式7-4．(2023·廣西河池·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AC上，，，則AF的長是（ ）
A．B．C．D．
知識點(diǎn)3 角平分線的性質(zhì)
角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
幾何描述：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D，E，
∴PD=PE。
角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
幾何描述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
∴ 點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。
考查題型八 角平分線的性質(zhì)
典例8．(2023·四川資陽·中考真題）如圖所示，在中，按下列步驟作圖：
第一步：在上分別截取，使；
第二步：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、適當(dāng)長（大于的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)F；
第三步：作射線交于點(diǎn)M；
第四步：過點(diǎn)M作于點(diǎn)N．
下列結(jié)論一定成立的是( )
A．B．
C．D．
變式8-1．(2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（ ）
A．2B．2C．4D．4+2
變式8-2．(2023·廣西梧州·中考真題）如圖，在中，是的角平分線，過點(diǎn)D分別作，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
變式8-3．(2023·四川南充·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，DE//AB，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
變式8-4．(2023·湖南郴州·中考真題）如圖．在中，，．以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點(diǎn)P；作射線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，垂足用G．若，則的周長等于________cm．
變式8-5．(2023·湖南株洲·中考真題）如圖所示，點(diǎn)在一塊直角三角板上（其中），于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則_________度．
變式8-6．(2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)過點(diǎn)作，垂足為．若的周長為56，，求的面積．
考查題型九 角平分線的判定
典例9．(2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在和中，，，，．連接、交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：
①；②；③平分；④平分
其中正確的結(jié)論個數(shù)有（ ）個．
A．4B．3C．2D．1
變式9-1．(2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（ ）
A．7.5B．8C．15D．無法確定
變式9-2．(2023·湖北省直轄縣級單位·中考真題）如圖，已知和都是等腰三角形，，交于點(diǎn)F，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
一般三角形
直角三角形
判定
邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）
角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）
具備一般三角形的判定方法
斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）
性質(zhì)
對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等、周長、面積相等
對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等
專題19 全等三角形
【考查題型】
【知識要點(diǎn)】
知識點(diǎn)1 全等三角形及其性質(zhì)
全等圖形概念：能完全重合的兩個圖形叫做全等圖形。
全等圖形的性質(zhì)：①形狀相同。②大小相等。③對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。④周長、面積相等。
全等三角形概念：能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
【補(bǔ)充】兩個三角形全等，互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。
表示方法：全等用符號“≌”，讀作“全等于”。書寫三角形全等時，要注意對應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對應(yīng)位置上。
全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換。
變換方式（常見）：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)。
全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。
考查題型一 全等三角形的性質(zhì)
典例1．(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：由題意易得，，然后問題可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式1-1．(2023·山東淄博·中考真題）如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
答案:B
分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式1-2．(2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
答案:D
分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：∵將以點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
，
，
，故①正確；
，
，
，
，
，
平分，故②正確；
，
，
，
，
，
，
故③正確
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
變式1-3．(2023·天津·中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為D，延長交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：本題可通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABC與△DEC全等，故可判斷A選項(xiàng)；可利用相似的性質(zhì)結(jié)合反證法判斷B，C選項(xiàng)；最后根據(jù)角的互換，直角互余判斷D選項(xiàng)．
【詳解】由已知得：△ABC△DEC，則AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A選項(xiàng)錯誤；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF△ABC，則，
假設(shè)BC=EF，則有AE=AB，
由圖顯然可知AEAB，故假設(shè)BC=EF不成立，故B選項(xiàng)錯誤；
假設(shè)∠AEF=∠D，則∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED為等腰直角三角形，即△ABC為等腰直角三角形，
因?yàn)轭}干信息△ABC未說明其三角形性質(zhì)，故假設(shè)∠AEF=∠D不一定成立，故C選項(xiàng)錯誤；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，證明過程常用角的互換、直角互余作為解題工具，另外證明題當(dāng)中反證法也極為常見，需要熟練利用．
變式1-4．(2023·湖南懷化·中考真題）如圖，在和中，，，，則________o．
答案:130
分析：證明△ABC≌△ADC即可．
【詳解】∵，，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠D=∠B=130°，
故答案為：130．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握判定定理是解題關(guān)鍵．
知識點(diǎn)2：全等三角形的判定（重點(diǎn)）
【備注】判定兩個三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等。
證題的思路（重點(diǎn)）：
考查題型二 利用SSS證明兩個三角形全等
典例2．(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂．(2023·江蘇鹽城·中考真題）工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個角．如圖，在的兩邊、上分別在取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)、重合，這時過角尺頂點(diǎn)的射線就是的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根據(jù)全等三角形的判定條件判斷即可．
【詳解】解：由題意可知
在中
∴(SSS)
∴
∴就是的平分線
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的判定、熟練掌握全等三角形的判定是關(guān)鍵．
變式2-1．(2023·山西·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若，，則線段AN的長為_________
答案:
分析：連接AE、AF、EN，首先可證得，AE=AF，可證得垂直平分EF，可得EN=FN，再根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長，再根據(jù)勾股定理即可求得AN的長．
【詳解】解：如圖：連接AE、AF、EN，
四邊形ABCD是正方形
設(shè)AB=BC=CD=AD=a，，
在與中，

，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，證得垂直平分EF是解決本題的關(guān)鍵．
變式2-2．(2023·廣西·中考真題）如圖，在中，BD是它的一條對角線，
(1)求證：；
(2)尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(3)連接BE，若，求的度數(shù)．
答案:(1)見解析
(2)見解析
(3)50°
分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，可利用“SSS”證明三角形全等；
（2）根據(jù)垂直平分線的作法即可解答；
（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．
（1）
四邊形ABCD是平行四邊形，
，
，
（2）
如圖，EF即為所求；
（3）
BD的垂直平分線為EF，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
變式2-3．(2023·廣西·中考真題）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實(shí)地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
(1)求證：△ABC≌△CDA ；
(2)求草坪造型的面積．
答案:(1)見解析
(2)草坪造型的面積為
分析：（1）根據(jù)“SSS”直接證明三角形全等即可；
（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出的長度，繼而求出的面積，再由全等三角形面積相等得出，即可求出草坪造型的面積．
【詳解】（1）在和中，
，
；
（2）
過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面積，
所以，草坪造型的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
變式2-4．(2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E，C為對角線上的兩點(diǎn)，．連接．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求證：．
答案:(1)證明見解析
(2)證明見解析
分析：（1）由可得，證明，則，，進(jìn)而結(jié)論得證；
（2）由，可知，，則，證明，進(jìn)而結(jié)論得證．
（1）
證明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）
證明：由（1）知，，
∴，AC=DE，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定．
變式2-5．(2023·廣西玉林·中考真題）問題情境：
在數(shù)學(xué)探究活動中，老師給出了如圖的圖形及下面三個等式：① ② ③若以其中兩個等式作為已知條件，能否得到余下一個等式成立？
解決方案：探究與全等．
問題解決：
(1)當(dāng)選擇①②作為已知條件時，與全等嗎？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；
(2)當(dāng)任意選擇兩個等式作為已知條件時，請用畫樹狀圖法或列表法求的概率．
答案:(1)全等，理由見詳解
(2)
分析：（1）利用SSS即可作答；
（2）先找到可以證明△ABD≌△ACD的條件組合，再利用列表法列舉即可求解．
（1）
全等，
理由：∵AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)；
（2）
根據(jù)全等的判定方法可知①、②組合(SSS)或者①、③組合(SAS)可證明△ABD≌△ACD，
根據(jù)題意列表如下：
由表可知總的可能情況有6種，其中能判定△ABD≌△ACD的組合有4種，
能判定△ABD≌△ACD的概率為：4÷6=，
故所求概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、用列表法或樹狀圖法求解概率的知識，掌握全等的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．
變式2-6．(2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若DE＝5，cs∠ABD＝，求OE的長．
答案:(1)見解析
(2)
分析：（1）連接OD，可推出∠BDC＝90°，進(jìn)而得出DE＝BE，然后證明△DOE≌△BOE，求出∠ODE＝∠ABC＝90°即可得出結(jié)論；
（2 ）可推出∠C＝∠ABD，解直角△ABC求得AC，進(jìn)而根據(jù)三角形中位線定理求得OE．
（1）
證明：如圖，連接OD，
∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴DE＝BE＝EC＝，
在△DOE和△BOE中，，
∴△DOE≌△BOE（SSS），
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，
∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，
∴∠C＝∠ABD，
在Rt△ABC中，AC＝＝，
∵OA＝OB，BE＝CE，
∴OE＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)基礎(chǔ)知識．
考查題型三 利用SAS證明兩個三角形全等
典例3．(2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，，點(diǎn)和點(diǎn)是對應(yīng)頂．(2023·浙江金華·中考真題）如圖，與相交于點(diǎn)O，，不添加輔助線，判定的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根據(jù)，，正好是兩邊一夾角，即可得出答案．
【詳解】解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握兩邊對應(yīng)相等，且其夾角也對應(yīng)相等的兩個三角形全等，是解題的關(guān)鍵．
變式3-1．(2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形中，對角線、相交于點(diǎn)O． E、F分別為、上一點(diǎn)，且，連接，，．若，則的度數(shù)為（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
答案:C
分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，進(jìn)而得到∠CBE的度數(shù)．
【詳解】解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式3-2．(2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為( )
A．B．C．D．
答案:C
分析：連接CF、CG、AE，證可得，當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線時，即得最小值；
【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
當(dāng)時，最小，
∴d1＋d2＋d3的最小值為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
變式3-3(2023·江蘇泰州·中考真題）如圖,P為AB上任意一點(diǎn),分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則 為（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣α
答案:B
分析：根據(jù)題意可得 ，從而 即可．
【詳解】∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PF=PB，，
∴，
∴∠AFP=∠CBP，
又∵ ，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
變式3-4．(2023·吉林·中考真題）如圖，，．求證：．
答案:證明見解析
分析：先利用三角形全等的判定定理（定理）證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】證明：在和中，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式3-5．(2023·四川南充·中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，分別與交于點(diǎn)M，N．求證：
(1)．
(2)．
答案:(1)見解析
(2)見解析
分析：（1）先利用菱形的性質(zhì)和已知條件證明，即可利用SAS證明；
（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，先利用ASA證明，推出，再由（1）中結(jié)論推出，即可證明．
（1）
證明：由菱形的性質(zhì)可知，，，
∵ ，
∴，即，
在和中，
，
∴．
（2）
證明：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，
由菱形的性質(zhì)可知，，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式3-6．(2023·新疆·中考真題）在中，點(diǎn)D，F(xiàn)分別為邊AC，AB的中點(diǎn)．延長DF到點(diǎn)E，使，連接BE．
(1)求證：；
(2)求證：四邊形BCDE是平行四邊形．
答案:(1)見解析
(2)見解析
分析：（1）利用SAS直接證明；
（2）利用和已知條件證明，即可推出四邊形BCDE是平行四邊形．
（1）
證明：∵點(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn)，
∴，
在與中，
，
∴；
（2）
證明：∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四邊形BCDE是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定方法，難度較小，根據(jù)所給條件正確選用平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
變式3-7．(2023·湖南株洲·中考真題）如圖所示，點(diǎn)在四邊形的邊上，連接，并延長交的延長線于點(diǎn)，已知，．
(1)求證：；
(2)若，求證：四邊形為平行四邊形．
答案:(1)見解析
(2)見解析
分析：（1）利用SAS可以直接證明；
（2）由可得，由內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出，結(jié)合已知條件即可證明四邊形為平行四邊形．
（1）
證明：∵與是對頂角，
∴，
在與中，
，
∴
（2）
證明：由（1）知，
∴，
∴，
∵點(diǎn)在的延長線上，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定和平行四邊形的判定，難度較小，熟練掌握全等三角形、平行線及平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
變式3-8．(2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在和中，，，，且點(diǎn)D在線段上，連．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
答案:(1)見解析
(2)
分析：（1）證出∠BAD=∠CAE，由SAS證明△ABD≌△ACE即可；
（2）先由全等三角形的性質(zhì)得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AEC的度數(shù)，即可求出∠CED的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，即．
在與中，
，
∴≌（SAS）；
（2）解：由（1）得，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴且，
在中∵且
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
變式3-9．(2023·湖北黃石·中考真題）如圖，等邊中，，點(diǎn)E為高上的一動點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為______________．
答案: ##30度
分析：①與為等邊三角形，得到，，，從而證，最后得到答案．
②過點(diǎn)D作定直線CF的對稱點(diǎn)G，連CG，證出為等邊三角形，為的中垂線，得到， ，再證為直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案．
【詳解】解：①∵為等邊三角形，
∴，，
∴，
∵是等邊三角形，
∵，，
∴，
，
∴，
在和中
∴，
得；
故答案為：．
②（將軍飲馬問題）
過點(diǎn)D作定直線CF的對稱點(diǎn)G，連CG，
∴為等邊三角形，為的中垂線，，
∴，
連接，
∴，
又，
∴為直角三角形，
∵，，
∴，
∴的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，將軍飲馬，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練運(yùn)用將軍飲馬是解題的關(guān)鍵，具有較強(qiáng)的綜合性．
考查題型四 利用ASA證明兩個三角形全等
典例4．(2023·湖南湘西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
答案:B
分析：通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解．
【詳解】∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴當(dāng)GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四邊形ACGH為矩形，
∴GH＝8，
∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定GH的值是解題的關(guān)鍵．
變式4-1．(2023·重慶·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（ ）
A．1B．C．2D．
答案:C
分析：先證明，再證明四邊形MOND的面積等于，的面積，繼而解得正方形的面積，據(jù)此解題．
【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線BD⊥AC，
又
四邊形MOND的面積是1，
正方形ABCD的面積是4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
變式4-2．(2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在邊長為3的正方形中，，，則的長是（ ）
A．1B．C．D．2
答案:C
分析：由正方形的性質(zhì)得出，，由證得，即可得出答案．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，，
∵在中，，
，
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：（負(fù)值舍去），
，
，
，
，
，
，，
，
．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．
變式4-3．(2023·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求證：DE=BC．
答案:證明見解析
分析：利用角邊角證明△CDE≌△ABC，即可證明DE=BC．
【詳解】證明：∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B．
又∵CD=AB，∠DCE=∠A，
∴△CDE≌△ABC(ASA)．
∴DE=BC．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
變式4-4．(2023·四川樂山·中考真題）如圖，B是線段AC的中點(diǎn)，，求證：．
答案:證明過程見詳解
分析：運(yùn)行平行線的性質(zhì)可證∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，結(jié)論即可得證．
【詳解】證明∵B是AC中點(diǎn)，
∴AB=BC，
∵，
∴∠A=∠EBC，
∵，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等的知識是解答本題的關(guān)鍵．
變式4-5．(2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)過點(diǎn)作，垂足為．若的周長為56，，求的面積．
答案:(1)見詳解
(2)84
分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)證即可求證；
（2）作，由即可求解；
（1）
證明：在中，
∵，
∴，
∵分別平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）
如圖，作，
∵的周長為56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
變式4-6．(2023·浙江麗水·中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
答案:(1)證明見解析
(2)cm
分析：（1）利用ASA證明即可；
（2）過點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，求出FG的長，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
（1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴（ASA）；
（2）
如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴cm,
設(shè)AE=xcm，
∴EP=xcm，
由知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，,
即，
解得，，
∴BC=BG+GC= (cm）．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
變式4-7．(2023·云南·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長BE與CD的延長線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF=90°
(1)求證：四邊形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．
答案:(1)見解析；
(2)18．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定證得≌，即可得到AB=DF，從而證明四邊形ABDF是平行四邊形，再根據(jù)∠BDF=90°即可證明四邊形ABDF是矩形；
（2）根據(jù)全等的性質(zhì)、矩形性質(zhì)及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四邊形性質(zhì)求得CF=6，最后利用梯形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E為線段AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴≌（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵∠BDF=90°，
∴四邊形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）知，四邊形ABDF是矩形，
∴AB=DF=3，∠AFD=90°，
∴在中，，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．
變式4-8(2023·貴州貴陽·中考真題）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
答案:(1)見詳解
(2)
分析：（1）先證明四邊形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE證得∠MBO=∠OMF，結(jié)合∠A=90°=∠NFM即可證明；
（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=AB-BM=8-ME，在Rt△AME中，，可得，解得：，即有，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，則NO可求．
（1）
在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，
，
∵，∠A=∠D=90°，，
∴四邊形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵，
∴△ABE≌△FMN；
（2）
連接ME，如圖，
∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，，
∴根據(jù)（1）中全等的結(jié)論可知MN=BE=10，
∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，
∴BO=OE==5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，解得：，
∴，
∴在Rt△BMO中，，
∴，
∴ON=MN-MO=．
即NO的長為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
考查題型五 利用AAS證明兩個三角形全等
典例5．(2023·遼寧營口·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線段的長為（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，從而可得AD=BC=，最后求得AE的長．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，
∴BC=EC，
在△BFC與△CDE中，
∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴DE=CF=2，
∴，
∴AD=BC=CE=，
∴AE=AD-DE=，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形中的折疊問題．
變式5-1．(2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根據(jù)折疊可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
設(shè)，則，
在中，，
即，
解得：，則，
∴，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．
變式5-2(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，．以為一邊在第一象限作正方形，則對角線所在直線的解析式為（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先證明，再由全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得，最后由待定系數(shù)法求解即可．
【詳解】解：正方形中，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
設(shè)直線所在的直線解析式為，
代入，得
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，涉及正方形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
變式5-3．(2023·廣西賀州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，點(diǎn)B到x軸的距離為4，若將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．
答案:
分析：過B作于，過作軸于，構(gòu)建，即可得出答案．
【詳解】過B作于，過作軸于，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及如何構(gòu)造全等三角形求得線段的長度，準(zhǔn)確構(gòu)造全等三角形求得線段長度是解題的關(guān)鍵．
變式5-4．(2023·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，對角線交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，E．若點(diǎn)，則k的值是_________．
答案:4
分析：作CF垂直y軸， 設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，a)，可證明（AAS），得到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镋為正方形對稱線交點(diǎn)，所以E為AC中點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，即可求出k的值．
【詳解】作CF垂直y軸于點(diǎn)F，如圖，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，a)，
∵四邊形是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°
∴∠OAB=∠FBC
在△BFC和△AOB中
∴
∴BF=AO=3，CF=OB=a
∴OF=OB+BF=3+a
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，3+a)
∵點(diǎn)E是正方形對角線交點(diǎn)，
∴點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，E
∴
解得：k=4
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與圖形的綜合應(yīng)用，巧用正方形的性質(zhì)求C、E點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
變式5-5．(2023·貴州銅仁·中考真題）如圖，點(diǎn)C在上，．求證：．
答案:見解析
分析：直接根據(jù)一線三垂直模型利用AAS證明即可．
【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知一線三垂直模型是解題的關(guān)鍵．
變式5-6．(2023·湖南懷化·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)N，使CN=AM，連接MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H．
(1)求證：MP=NP；
(2)若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．
答案:(1)見詳解；
(2)0.5a．
分析：（1）過點(diǎn)M作MQCN，證明即可；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)推出AH=HQ，則PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
【詳解】（1）如下圖所示，過點(diǎn)M作MQCN，
∵為等邊三角形，MQCN，
∴，
則AM=AQ，且∠A=60°，
∴為等邊三角形，則MQ=AM=CN，
又∵M(jìn)QCN，
∴∠QMP=∠CNP，
在，

∴，
則MP=NP；
（2）∵為等邊三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得，，
則PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
變式5-7．(2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，AE與CD交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
答案:(1)見解析
(2)
分析：（1）由矩形與折疊的性質(zhì)可得，，從而可得結(jié)論；
（2）先證明，再求解， 結(jié)合對折的性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）證明：將矩形ABCD沿對角線AC折疊，
則，．
在△DAF和△ECF中，

∴．
（2）解：∵，
∴．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴．
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵．
變式5-8．(2023·湖南長沙·中考真題）如圖，AC平分，垂足分別為B，D．
(1)求證：；
(2)若，求四邊形ABCD的面積．
答案:(1)見解析
(2)12
分析：（1）由角平分線的定義和垂直的定義求出，結(jié)合已知條件，利用“AAS”即可求證；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的面積公式求出，再根據(jù)四邊形ABCD的面積求解即可．
【詳解】（1） AC平分，
，
，
；
（2），，
，
，
，
四邊形ABCD的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．
變式5-9．(2023·重慶·中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個矩形的長乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個底為a，高為h的三角形的面積公式為．想法是：以為邊作矩形，點(diǎn)A在邊上，再過點(diǎn)A作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗(yàn)證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)D．（只保留作圖痕跡）
在和中，
∵，
∴．
∵，
∴______①____．
∵，
∴______②_____．
又∵_(dá)___③______．
∴（）．
同理可得：_____④______．
．
答案:圖見解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE
分析：根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義得到∠ADC=∠F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，即可證明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，AD即為所求，
在和中，
∵，
∴．
∵，
∴∠ADC=∠F．
∵，
∴∠1=∠2．
又∵AC=AC．
∴（）．
同理可得：△ABD≌△BAE．
．
故答案為：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
變式5-10．(2023·浙江溫州·中考真題）如圖，在中，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，的延長線交線段于點(diǎn)G，連結(jié)，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)當(dāng)，時，求的長．
答案:(1)見解析
(2)
分析：（1）根據(jù)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，結(jié)合O是的中點(diǎn)，利用“AAS”得出，得出，即可證明是平行四邊形；
（2）根據(jù)，E是中點(diǎn)，得出，即可得出，即，根據(jù)，得出CD=2，根據(jù)勾股定理得出AC的長，即可得出DE，根據(jù)平行四邊形的性，得出．
（1）
解：（1）∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，
∴，
∴，，
∵O是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）
∵，E是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．
考查題型六 利用HL證明兩個三角形全等
典例6．(2023·天津·中考真題）如圖，△OAB的頂點(diǎn)O(0，0)，頂點(diǎn)A，B分別在第一、四象限，且AB⊥x軸，若AB=6，OA=OB=5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：利用HL證明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【詳解】解：∵AB⊥x軸，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=AB=3，
∵OA=5，
∴OC=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
變式6-1．(2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，兩個動點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，四邊形ABMP為矩形
B．當(dāng)時，四邊形CDPM為平行四邊形
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，或6s
答案:D
分析：計(jì)算AP和BM的長，得到AP≠BM，判斷選項(xiàng)A；計(jì)算PD和CM的長，得到PD≠CM，判斷選項(xiàng)B；按PM=CD，且PM與CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分類討論判斷選項(xiàng)C和D．
【詳解】解：由題意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、當(dāng)時，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，則四邊形ABMP不是矩形，該選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)時，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，則四邊形CDPM不是平行四邊形，該選項(xiàng)不符合題意；
作CE⊥AD于點(diǎn)E，則∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
當(dāng)PM=CD，且PM與CD不平行時，作MF⊥AD于點(diǎn)F，CE⊥AD于點(diǎn)E，
∴四邊形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
當(dāng)PM=CD，且PM∥CD時，
∴四邊形CDPM是平行四邊形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
綜上，當(dāng)PM=CD時，t=4s或6s；選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，應(yīng)注意分類討論，求出所有符合條件的t的值．
變式6-2．(2023·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長交線段于點(diǎn)P，若，則的長度為___________．
答案:2
分析：連接AP，根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：連接AP，如圖所示，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長度為2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．
變式6-3．(2023·湖北隨州·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．
(1)求證；
(2)已知平行四邊形ABCD的面積為，．求的長．
答案:(1)證明見解析
(2)
分析：（1）直接根據(jù)已知條件證明和全等即可得出答案．
（2）由平行四邊形的面積公式求出，然后即可得出答案．
（1）
四邊形是正方形，是平行四邊形，
，，，
在和中，
，
，
；
（2）
由題意可知：，
，
，
，，
由（1）得．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能靈活運(yùn)用．
變式6-4．(2023·貴州遵義·中考真題）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，菱形的對角線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
答案:(1)見解析
(2)
分析：（1）根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)即可得證；
（2）連接交于點(diǎn)，勾股定理求得，，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得正方形和菱形的對角線的長度，根據(jù)即可求解．
（1）
證明：正方形和菱形，
，
在與中
（）
（2）
如圖，連接交于點(diǎn)，
，即AB=4，
，
在中，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
考查題型七 全等三角形綜合問題
典例7(2023·湖南常德·中考真題）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，，．則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．，
C．D．
答案:D
分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定方法可判斷B；根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)可判斷C；利用等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)可判斷D．
【詳解】A．∵將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BE=BC，故A正確；
B．∵點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，
∴CF=BF=AF=AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA=AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延長BF交CE于點(diǎn)H，則∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正確．
C．∵BF∥ED，BF=DE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴，故C正確；
D．∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=CG，
∴CG=2FG．
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG．故D錯誤．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角邊等于斜邊的一半，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，正確理解旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式7-1．(2023·黑龍江·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接OP．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤
答案:B
分析：分別對每個選項(xiàng)進(jìn)行證明后進(jìn)行判斷：
①通過證明得到EC=FD，再證明得到∠EAC=∠FBD，從而證明∠BPQ=∠AOQ=90°，即；
②通過等弦對等角可證明；
③通過正切定義得，利用合比性質(zhì)變形得到，再通過證明得到，代入前式得，最后根據(jù)三角形面積公式得到，整體代入即可證得結(jié)論正確；
④作EG⊥AC于點(diǎn)G可得EGBO，根據(jù)，設(shè)正方形邊長為5a，分別求出EG、AC、CG的長，可求出，結(jié)論錯誤；
⑤將四邊形OECF的面積分割成兩個三角形面積，利用，可證明S四邊形OECF=S△COE+S△COF=S△DOF+S△COF =S△COD即可證明結(jié)論正確．
【詳解】①∵四邊形ABCD是正方形，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF與△COE中
∴
∴EC=FD
∵在△EAC與△FBD中
∴
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①正確；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴點(diǎn)P、O在以AB為直徑的圓上
∴AO是該圓的弦
∴
所以②正確；
③∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以③正確；
④作EG⊥AC于點(diǎn)G，則EGBO，
∴
設(shè)正方形邊長為5a，則BC=5a，OB=OC=，
若，則，
∴
∴
∴
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=
∴
所以④錯誤；
⑤∵，S四邊形OECF=S△COE+S△COF
∴S四邊形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD
∵S△COD=
∴S四邊形OECF=
所以⑤正確；
綜上，①②③⑤正確，④錯誤，
故選 B
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形、正方形、圓和三角函數(shù)，熟練運(yùn)用全等三角形、相似三角形、等弦對等角和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
變式7-2．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）以下命題：①面包店某種面包售價(jià)元/個，因原材料漲價(jià)，面包價(jià)格上漲10%，會員優(yōu)惠從打八五折調(diào)整為打九折，則會員購買一個面包比漲價(jià)前多花了元；②等邊三角形中，是邊上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，若，則；③兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④一列自然數(shù)0，1，2，3，55，依次將該列數(shù)中的每一個數(shù)平方后除以100，得到一列新數(shù)，則原數(shù)與對應(yīng)新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大．其中真命題的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
答案:B
分析：①列代數(shù)式求解；②利用三角形內(nèi)角和及外角關(guān)系定理求解；③利用三角形全等進(jìn)行判斷；④利用作差比較代數(shù)式的大小，并化成二次函數(shù)判斷其增減性即可．
【詳解】解：①項(xiàng)，會員原來購買一個面包需要0.85a元，現(xiàn)在需要a×(1+10%)×0.9=0.99a，則會員購買一個面包比漲價(jià)前多花了0.99a-0.85a=0.14a元，故①項(xiàng)正確；
②項(xiàng)，如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，
∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②項(xiàng)錯誤；
③項(xiàng)，如圖，△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，AM是△ABC的BC邊上的中線，DN是△DEF的邊EF上的中線，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：
延長AM至G點(diǎn)，使得AM=GM，連接GC，延長DN至H點(diǎn)，使得DN=NH，連接HF，
∵AM是中線，
∴BM=MC，
∵AM=MG，∠AMB=∠GMC，
∴△AMB≌△GMC，
∴AB=GC，
同理可證DE=HF，
∵AM=DN，
∴AG=2AM=2DN=DH，
∵AB=DE，
∴GC=HF，
∴結(jié)合AC=DF可得△ACG≌△DFH，
∴∠GAC=∠HDF，
同理可證∠GAB=∠HDE，
∴∠BAC=∠GAB+∠GAC=∠HDF+∠HDE=∠EDF，
∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF，故③正確；
④設(shè)原數(shù)為x，則新數(shù)為，設(shè)原數(shù)與新數(shù)之差為y，
即，變形為：，
將x等于0、1、2、3、...、55分別代入可知，y隨著x的先變大，然后再變小，
故④錯誤；
即正確的有兩個，
故選：B，
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
變式7-3．(2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，則下列四個結(jié)論：①；②若，，則；③若，則；④若，則與全等．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
答案:D
分析：依次分析各選項(xiàng)，進(jìn)行推理論證即可；其中①可通過證明，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換后可以得到結(jié)論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)等得到MN垂直平分BC，即可完成求證，③可以先證明兩個三角形的共線邊上的高的關(guān)系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明后可進(jìn)一步證明，即可完成求證．
【詳解】解：∵平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，
∴，，，
∴,,
∴,
∴，
∴，
故①正確；
若，
則平行四邊形是矩形，
由矩形的對角線相等，而點(diǎn)E是矩形的對角線的交點(diǎn)可知，
E點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等，
∴E點(diǎn)在BC的垂直平分線上，
由，可得BN=CN，
所以N點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，
∴MN垂直平分BC，
∴，
故②正確；
若，則BN=2CN，
如圖1，分別過D、E兩點(diǎn)向BC作垂線，垂足分別為Q點(diǎn)和P點(diǎn)，
∵E點(diǎn)是BD中點(diǎn)，
∴DQ=2EP，
∵，
∴，
故③正確；
若，
因?yàn)椋?br>所以，
分別過N、C兩點(diǎn)向AD作垂線，垂足分別為H、K，
由平行線間的距離處處相等可知：NH=CK，
∴，
∴，
∴,
∴，
又∵，
∴,
故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行角或邊之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化等，本題對推理分析能力要求較高，屬于中等難度偏上的題目，對學(xué)生的綜合分析能力有一定的要求．
變式7-4．(2023·廣西河池·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AC上，，，則AF的長是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：過作的垂線分別交于,由，證明，設(shè)，根據(jù)，求得，在中，利用勾股定理即可求得．
【詳解】如圖，過作的垂線分別交于，
四邊形是正方形，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
在和中，
（AAS），
，
設(shè)，則，
，
即，
解得，
，
四邊形是正方形，，
，
，
．
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，求得是解題的關(guān)鍵．
知識點(diǎn)3 角平分線的性質(zhì)
角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
幾何描述：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D，E，
∴PD=PE。
角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
幾何描述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
∴ 點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。
考查題型八 角平分線的性質(zhì)
典例8．(2023·四川資陽·中考真題）如圖所示，在中，按下列步驟作圖：
第一步：在上分別截取，使；
第二步：分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、適當(dāng)長（大于的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)F；
第三步：作射線交于點(diǎn)M；
第四步：過點(diǎn)M作于點(diǎn)N．
下列結(jié)論一定成立的是( )
A．B．
C．D．
答案:C
分析：根據(jù)題意可知，平分，即可得出正確答案．
【詳解】解：由題意可知，平分，
∵不一定等于90°，∴，因此A選項(xiàng)不正確；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B選項(xiàng)不正確；
∵平分，∴，因此C選項(xiàng)不正確；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D選項(xiàng)不正確；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——角平分線，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，掌握角平分線的作圖方法是本題的關(guān)鍵．
變式8-1．(2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（ ）
A．2B．2C．4D．4+2
答案:C
分析：過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．
【詳解】解：過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，如圖所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式8-2．(2023·廣西梧州·中考真題）如圖，在中，是的角平分線，過點(diǎn)D分別作，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即可判斷求解．
【詳解】解：∵是的角平分線，
∴，
∴，故選項(xiàng)A、D結(jié)論正確，不符合題意；
又是的角平分線，，
∴，故選項(xiàng)B結(jié)論正確，不符合題意；
由已知條件推不出，故選項(xiàng)C結(jié)論錯誤，符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握其性質(zhì)即可．
變式8-3．(2023·四川南充·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，DE//AB，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DF=3，故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A錯誤．
【詳解】解：在中，的平分線交于點(diǎn)D，，
∴CD=DF=3，故B正確；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正確；
∴AC=AE+CE=9，故D正確；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，
∴BF=CD=3，故A錯誤；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對等角證明角相等，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
變式8-4．(2023·湖南郴州·中考真題）如圖．在中，，．以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點(diǎn)P；作射線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，垂足用G．若，則的周長等于________cm．
答案:8
分析：由角平分線的性質(zhì)，得到，然后求出的周長即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，
在中，，，
由角平分線的性質(zhì)，得，
∴的周長為：
；
故答案為：8
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．
變式8-5．(2023·湖南株洲·中考真題）如圖所示，點(diǎn)在一塊直角三角板上（其中），于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則_________度．
答案:15
分析：根據(jù)，，判斷OB是的角平分線，即可求解．
【詳解】解：由題意，，，，
即點(diǎn)O到BC、AB的距離相等，
∴ OB是的角平分線，
∵ ，
∴．
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義及判定，熟練掌握“到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上”是解題的關(guān)鍵．
變式8-6．(2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)過點(diǎn)作，垂足為．若的周長為56，，求的面積．
答案:(1)見詳解
(2)84
分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)證即可求證；
（2）作，由即可求解；
（1）
證明：在中，
∵，
∴，
∵分別平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）
如圖，作，
∵的周長為56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
考查題型九 角平分線的判定
典例9．(2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在和中，，，，．連接、交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：
①；②；③平分；④平分
其中正確的結(jié)論個數(shù)有（ ）個．
A．4B．3C．2D．1
答案:B
分析：由SAS證明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正確；
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分，④正確；
由∠AOB＝∠COD，得出當(dāng)∠DOM＝∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以O(shè)A＝OC，而，故③錯誤；即可得出結(jié)論．
【詳解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正確；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：
則∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正確；
∵∠AOB＝∠COD，
∴當(dāng)∠DOM＝∠AOM時，OM才平分∠BOC，
假設(shè)∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵M(jìn)O平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
與矛盾，
∴③錯誤；
正確的有①②④；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
變式9-1．(2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（ ）
A．7.5B．8C．15D．無法確定
答案:A
【詳解】試題分析：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．
∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．
又∵BC=5，∴S△BCD=BC?DE=×5×3=7.5．
故選A．
變式9-2．(2023·湖北省直轄縣級單位·中考真題）如圖，已知和都是等腰三角形，，交于點(diǎn)F，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
答案:C
分析：①證明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF證得∠BFC=90°即可判定；③分別過A作AM⊥BD、AN⊥CE,根據(jù)全等三角形面積相等和BD=CE，證得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE結(jié)合即可判定．
【詳解】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正確；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正確；
分別過A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分別為M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，無法證明AF平分∠CAD．
故③錯誤；
∵平分∠BFE，
∴
故④正確．
故答案為C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)以及角的和差等知識，其中正確應(yīng)用角平分線定理是解答本題的關(guān)鍵．
一般三角形
直角三角形
判定
邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）
角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）
具備一般三角形的判定方法
斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）
性質(zhì)
對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等、周長、面積相等
對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等

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