【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)一 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么。
變式：，，,,.
適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形。用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：
1）圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變
2）根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理
勾股定理的證明方法：
方法一（圖一）：，，化簡(jiǎn)可證．
方法二（圖二）：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．
四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為，所以
方法三（圖三）：，，化簡(jiǎn)得證

圖一 圖二 圖三
知識(shí)點(diǎn)二 勾股數(shù)
勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)
常見(jiàn)的勾股數(shù)：如；；；等
擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：
1）（為正整數(shù)）；
2）（為正整數(shù)）
3）（，為正整數(shù)）
注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)。
知識(shí)點(diǎn)三 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊
【注意】
1）勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；
2)定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊
3)勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形
知識(shí)點(diǎn)四 直角三角形的性質(zhì)與判定
性質(zhì)：1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
3）直角三角形中30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半。
判定：1）有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。
2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
考查題型一 由勾股定理解三角形
典例1．(2023·浙江金華·中考真題）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系后，學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)分別是，下列各地點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的是（ ）
A．超市B．醫(yī)院C．體育場(chǎng)D．學(xué)校
變式1-1．(2023·陜西·中考真題）如圖，是的高，若，，則邊的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
變式1-2．(2023·湖南邵陽(yáng)·中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（ ）
A．B．C．D．
變式1-3．(2023·甘肅蘭州·中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，，，則（ ）
A．4B．C．2D．
變式1-4．(2023·廣西桂林·中考真題）如圖，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則ABC的面積是（ ）
A．B．1+C．2D．2+
變式1-5．(2023·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值是( )
A．B．C．D．
變式1-6．(2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，將正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
變式1-7．(2023·山東青島·中考真題）如圖，O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，為等邊三角形．若，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
變式1-8．(2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（ ）
A．B．C．D．
變式1-9．(2023·四川成都·中考真題）若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)是_________．
變式1-10．(2023·黑龍江牡丹江·中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______．
變式1-11．(2023·甘肅武威·中考真題）如圖，菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________cm．
考查題型二 利用勾股定理解決折疊問(wèn)題
典例2(2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將沿翻折，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．9B．12C．15D．18
變式2-1．(2023·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
變式2-2．(2023·山東棗莊·中考真題）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕現(xiàn)交于點(diǎn)F，已知EF=，則BC的長(zhǎng)是（ ）
A．B．3C．3D．3
變式2-3．(2023·四川巴中·中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點(diǎn)D在AC上，將BCD沿BD翻折，點(diǎn)C恰好落在OA邊上點(diǎn)E處，則tan∠DBE等于（ ）
A．B．C．D．
變式2-4．(2023·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，將沿DE翻折得到，點(diǎn)F落在AE上．若，，則______cm．
變式2-5．(2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別在，上，將沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，連接，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．
變式2-6．(2023·浙江麗水·中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．
(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
考查題型三 以弦圖為背景的計(jì)算題
典例3．(2023·貴州貴陽(yáng)·中考真題）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和3，則中間小正方形的周長(zhǎng)是（ ）
A．4B．8C．12D．16
變式3-1．(2023·四川內(nèi)江·中考真題）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2，則S1+S2+S3=________．
變式3-2．(2023·四川宜賓·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為_(kāi)_____．
變式3-3．(2023·青海西寧·中考真題）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：
將因式分解．
【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
(1)請(qǐng)用分組分解法將因式分解；
【挑戰(zhàn)】
(2)請(qǐng)用分組分解法將因式分解；
【應(yīng)用】
(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．
考查題型四 勾股定理解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
典例4．(2023·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距離為_(kāi)__________海里（結(jié)果保留根號(hào)）．
變式4-1．(2023·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的處（如圖），水深和蘆葦長(zhǎng)各多少尺？則該問(wèn)題的水深是___________尺．
變式4-2．(2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？答：折斷處離地面________尺高．
變式4-3．(2023·四川·中考真題）如圖，海中有一小島A，它周圍10.5海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行．在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，那么漁船還需航行_____海里就開(kāi)始有觸礁的危險(xiǎn)．
變式4-4．(2023·廣西柳州·中考真題）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船同時(shí)收到某事故漁船的求救訊息，已知此時(shí)救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距120海里．
（1）求收到求救訊息時(shí)事故漁船與救助船之間的距離；
（2）若救助船A，分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往事故漁船處搜救，試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．
專題21 勾股定理
【考查題型】
【知識(shí)要點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)一 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么。
變式：，，,,.
適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形。
用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：
1）圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變
2）根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理
勾股定理的證明方法：
方法一（圖一）：，，化簡(jiǎn)可證．
方法二（圖二）：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．
四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為，所以
方法三（圖三）：，，化簡(jiǎn)得證
圖一 圖二 圖三
知識(shí)點(diǎn)二 勾股數(shù)
勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)
常見(jiàn)的勾股數(shù)：如；；；等
擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：
1）（為正整數(shù)）；
2）（為正整數(shù)）
3）（，為正整數(shù)）
注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)。
知識(shí)點(diǎn)三 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊
【注意】
1）勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；
2)定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊
3)勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形
知識(shí)點(diǎn)四 直角三角形的性質(zhì)與判定
性質(zhì)：1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
3）直角三角形中30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半。
判定：1）有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。
2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
考查題型一 由勾股定理解三角形
典例1．(2023·浙江金華·中考真題）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系后，學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)分別是，下列各地點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的是（ ）
A．超市B．醫(yī)院C．體育場(chǎng)D．學(xué)校
答案:A
分析：根據(jù)學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，利用勾股定理求出各點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由此得到答案．
【詳解】解：根據(jù)學(xué)校和體育場(chǎng)的坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，
超市到原點(diǎn)的距離為，
醫(yī)院到原點(diǎn)的距離為，
學(xué)校到原點(diǎn)的距離為，
體育場(chǎng)到原點(diǎn)的距離為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)確定原點(diǎn)，勾股定理，正確理解點(diǎn)坐標(biāo)得到原點(diǎn)的位置及正確展望勾股定理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
變式1-1．(2023·陜西·中考真題）如圖，是的高，若，，則邊的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：先解直角求出AD，再在直角中應(yīng)用勾股定理即可求出AB．
【詳解】解：∵，
∴，
∵直角中，，
∴，
∴直角中，由勾股定理可得，．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查利用銳角函數(shù)解直角三角形和勾股定理，難度較小，熟練掌握三角函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
變式1-2．(2023·湖南邵陽(yáng)·中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：作直徑AD，連接CD，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，關(guān)鍵圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．
【詳解】解：作直徑AD，連接CD，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．
變式1-3．(2023·甘肅蘭州·中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，，，則（ ）
A．4B．C．2D．
答案:C
分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得出．利用菱形性質(zhì)、直角三角形邊長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而求出．
【詳解】是菱形，E為AD的中點(diǎn)，
，．
是直角三角形，．
，，
，．
，即，
，．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形、直角三角形的性質(zhì)的理解與應(yīng)用能力．解題關(guān)鍵是得出并求得．求解本題時(shí)應(yīng)恰當(dāng)理解并運(yùn)用菱形對(duì)角線互相垂直且平分、對(duì)角相等，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)．
變式1-4．(2023·廣西桂林·中考真題）如圖，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則ABC的面積是（ ）
A．B．1+C．2D．2+
答案:D
分析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AC于A，交BC于D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，先證明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再證明AD＝BD，計(jì)算AE和BC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式可解答．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AC于A，交BC于D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面積．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知掌握等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
變式1-5．(2023·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值是( )
A．B．C．D．
答案:D
分析：本題為典型的將軍飲馬模型問(wèn)題，需要通過(guò)軸對(duì)稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，再連接，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作交AB于點(diǎn)F，
∵A與關(guān)于BC對(duì)稱，
∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，O，E在同一條線上的時(shí)候和最小，如圖所示，此時(shí)，
∵正方形，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴，
∵對(duì)稱，
∴，
∴，
在中，，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，并運(yùn)用勾股定理求線段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵。
變式1-6．(2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，將正方形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：連接OB，由正方形ABCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，推出，得到△為等腰直角三角形，點(diǎn)在y軸上，利用勾股定理求出O即可．
【詳解】解：連接OB，
∵正方形ABCD繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，
∴，，
∴，
∴△為等腰直角三角形，點(diǎn)在y軸上，
∵，
∴=2，
∴（0，2），
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角證明點(diǎn)B1在y軸上．
變式1-7．(2023·山東青島·中考真題）如圖，O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，為等邊三角形．若，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【詳解】在正方形中：，
∴，
∵O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴，
∵為等邊三角形, O為的中點(diǎn)，
∴，，
∴,
∴,
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
變式1-8．(2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根據(jù)折疊可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
設(shè)，則，
在中，，
即，
解得：，則，
∴，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問(wèn)題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．
變式1-9．(2023·四川成都·中考真題）若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)是_________．
答案:
分析：由題意解一元二次方程得到或，再根據(jù)勾股定理得到直角三角形斜邊的長(zhǎng)是．
【詳解】解：一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
由公式法解一元二次方程可得，
根據(jù)勾股定理可得直角三角形斜邊的長(zhǎng)是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理求線段長(zhǎng)，根據(jù)題意解出一元二次方程的兩根是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
變式1-10．(2023·黑龍江牡丹江·中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______．
答案:3．
【詳解】試題分析：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=AC?CD+AB?DE=AC?BC，
即×6?CD+×10?CD=×6×8，
解得CD=3．
變式1-11．(2023·甘肅武威·中考真題）如圖，菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________cm．
答案:8
分析：利用菱形對(duì)角線互相垂直且平分的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案即可．
【詳解】解： 菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，AC=4cm，
，，AO=OC=AC=2cm
cm，
cm，
cm，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握菱形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理解直角三角形，是解題關(guān)鍵．
考查題型二 利用勾股定理解決折疊問(wèn)題
典例2(2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將沿翻折，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．9B．12C．15D．18
答案:C
分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，則，在中勾股定理建列方程，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，，
將沿翻折，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，
,，
，，
設(shè)，則，，
在中，
即，
解得，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
變式2-1．(2023·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根據(jù)題意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，繼而設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
變式2-2．(2023·山東棗莊·中考真題）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕現(xiàn)交于點(diǎn)F，已知EF=，則BC的長(zhǎng)是（ ）
A．B．3C．3D．3
答案:B
分析：折疊的性質(zhì)主要有：1.重疊部分全等；2.折痕是對(duì)稱軸,對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分. 由折疊的性質(zhì)可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性質(zhì)可知,所以,的長(zhǎng)可求，再利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)．
【詳解】解：


AB＝AC，
,
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，求出∠AFB=90°是解題的關(guān)鍵．
變式2-3．(2023·四川巴中·中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點(diǎn)D在AC上，將BCD沿BD翻折，點(diǎn)C恰好落在OA邊上點(diǎn)E處，則tan∠DBE等于（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折疊的性質(zhì)得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的長(zhǎng)，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折疊的性質(zhì)可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中：，
∴，
設(shè)，則
在直角三角形ADE中：，
∴，
解得，
∴，
∵∠DEB=90°，
∴，
故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
變式2-4．(2023·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，將沿DE翻折得到，點(diǎn)F落在AE上．若，，則______cm．
答案:
分析：由將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點(diǎn)F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性質(zhì)得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，從而得AF=6cm，AD=AE=9cm，進(jìn)而由勾股定理既可以求解。
【詳解】解：∵將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點(diǎn)F落在AE上，，四邊形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF，，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= (cm)，
AB=DF= (cm)，
故答案為∶．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理及軸對(duì)稱，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式2-5．(2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別在，上，將沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，連接，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．
答案:7.5
分析：在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得．根據(jù)求得的長(zhǎng)．
【詳解】解：在中，
，
，，
．
，
，
，
．
．
．
．
將沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，
．
．
故答案為：7.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是在直角三角形中根據(jù)通過(guò)推理論證得到是斜邊上的中線．
變式2-6．(2023·浙江麗水·中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．
(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
答案:(1)證明見(jiàn)解析
(2)cm
分析：（1）利用ASA證明即可；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，求出FG的長(zhǎng)，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長(zhǎng)，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
（1）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴（ASA）；
（2）
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴cm,
設(shè)AE=xcm，
∴EP=xcm，
由知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，,
即，
解得，，
∴BC=BG+GC= (cm）．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
考查題型三 以弦圖為背景的計(jì)算題
典例3．(2023·貴州貴陽(yáng)·中考真題）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和3，則中間小正方形的周長(zhǎng)是（ ）
A．4B．8C．12D．16
答案:B
分析：根據(jù)圖形分析可得小正方形的邊長(zhǎng)為兩條直角邊長(zhǎng)的差，據(jù)此即可求解．
【詳解】圖中的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和3，則中間小正方形的周長(zhǎng)是．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了以弦圖為背景的計(jì)算題，理解題意是解題的關(guān)鍵．
變式3-1．(2023·四川內(nèi)江·中考真題）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2，則S1+S2+S3=________．
答案:12
【詳解】由題意得，正方形EFGH的面積為4，
則4個(gè)直角三角形的面積和為4-，
則正方形ABCD的面積為4+4-，
所以S1+S2+S3=4+4-S3+4+S3=12．
故答案為12．
變式3-2．(2023·四川宜賓·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為_(kāi)_____．
答案:289
分析：設(shè)直角三角形的三邊分別為，較長(zhǎng)的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，由切線長(zhǎng)定理可得，直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于，即，根據(jù)小正方的面積為49，可得，進(jìn)而計(jì)算即即可求解．
【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的三邊分別為，較長(zhǎng)的直角邊為較短的直角邊為為斜邊，
直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面積為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程組，掌握直角三角形的內(nèi)切圓的半徑等于是解題的關(guān)鍵．
變式3-3．(2023·青海西寧·中考真題）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：
將因式分解．
【觀察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
(1)請(qǐng)用分組分解法將因式分解；
【挑戰(zhàn)】
(2)請(qǐng)用分組分解法將因式分解；
【應(yīng)用】
(3)“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和，斜邊長(zhǎng)是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．
答案:(1)
(2)
(3)，9
分析：（1）直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到，，整體代入得出答案即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
；
（3）
解：
，
∴根據(jù)題意得，，
∴原式．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應(yīng)用，正確分組再運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
考查題型四 勾股定理解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
典例4．(2023·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距離為_(kāi)__________海里（結(jié)果保留根號(hào)）．
答案:．
分析：先作PC⊥AB于點(diǎn)C，然后利用勾股定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點(diǎn)C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決問(wèn)題，解決的方法就是作高線．
變式4-1．(2023·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的處（如圖），水深和蘆葦長(zhǎng)各多少尺？則該問(wèn)題的水深是___________尺．
答案:12
分析：我們可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知的長(zhǎng)為10尺，則尺，設(shè)蘆葦長(zhǎng)尺，表示出水深A(yù)B，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L(zhǎng)和水深．
【詳解】解：依題意畫(huà)出圖形，
設(shè)蘆葦長(zhǎng)尺，
則水深尺，
∵尺，
∴尺，
在中，
，
解得，
即蘆葦長(zhǎng)13尺，水深為12尺，
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
變式4-2．(2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？答：折斷處離地面________尺高．
答案:
分析：竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，利用勾股定理解題即可．
【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，
根據(jù)勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．
變式4-3．(2023·四川·中考真題）如圖，海中有一小島A，它周圍10.5海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行．在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，那么漁船還需航行_____海里就開(kāi)始有觸礁的危險(xiǎn)．
答案:4.5
分析：過(guò)A作AC⊥BD于點(diǎn)C，求出∠CAD、∠CAB的度數(shù)，求出∠BAD和∠ABD，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AD＝BD＝12，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出CD，根據(jù)勾股定理求出AC即可．
【詳解】解：
如圖，過(guò)A作AC⊥BD于點(diǎn)C，則AC的長(zhǎng)是A到BD的最短距離，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如圖，設(shè)漁船還需航行x海里就開(kāi)始有觸礁的危險(xiǎn)，即到達(dá)點(diǎn)D′時(shí)有觸礁的危險(xiǎn)，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
漁船還需航行 4.5海里就開(kāi)始有觸礁的危險(xiǎn)．
故答案是：4.5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查方位角及勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到角的度數(shù)，然后利用特殊角的關(guān)系及勾股定理進(jìn)行求解即可．
變式4-4．(2023·廣西柳州·中考真題）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船同時(shí)收到某事故漁船的求救訊息，已知此時(shí)救助船在的正北方向，事故漁船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故漁船與救助船相距120海里．
（1）求收到求救訊息時(shí)事故漁船與救助船之間的距離；
（2）若救助船A，分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往事故漁船處搜救，試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．
答案:（1）收到求救訊息時(shí)事故漁船與救助船之間的距離為海里；（2）救助船先到達(dá)．
分析：(1)如圖，作于，在△PAC中先求出PC的長(zhǎng)，繼而在△PBC中求出BP的長(zhǎng)即可；
(2)根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”分別求出救助船A和救助船B所需的時(shí)間，進(jìn)行比較即可.
【詳解】(1)如圖，作于，
則，
由題意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，海里，
答：收到求救訊息時(shí)事故漁船與救助船之間的距離為海里；
(2)∵海里，海里，救助船分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，
∴救助船所用的時(shí)間為(小時(shí))，
救助船所用的時(shí)間為(小時(shí))，
∵，
∴救助船先到達(dá)．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用等，熟練正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題06分式(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題06分式(原卷版+解析)，共44頁(yè)。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題04翹腳模型(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題04翹腳模型(原卷版+解析)，共36頁(yè)。試卷主要包含了基礎(chǔ)知識(shí)回顧，模型的概述等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題02實(shí)數(shù)(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題02實(shí)數(shù)(原卷版+解析)，共32頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題19378與578模型(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題19378與578模型(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題21垂美四邊形模型(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題21垂美四邊形模型(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題18矩形折疊問(wèn)題(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題18矩形折疊問(wèn)題(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題04翹腳模型(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分突破(全國(guó)通用)專題04翹腳模型(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部