【知識要點】
多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。
多邊形內(nèi)角的概念：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角。
多邊形外角的概念：多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。
多邊形對角線條數(shù)：一個n邊形從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對角線條數(shù)為
凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形。
正多邊形的概念：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。
多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（擴展：正n邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是（n?2）×180°n）
【推論】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°。
2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍。
多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)。
考查題型一 多邊形內(nèi)角和問題
典例1．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為（ ）
A．1080°B．720°C．540°D．360°
變式1-1．(2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形，這個五邊形的內(nèi)角和是（ ）
A．900°B．720°C．540°D．360°
變式1-2．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是（ ）
A．七邊形B．八邊形C．九邊形D．十邊形
變式1-3．(2023·北京·統(tǒng)考中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（ ）
A．B．C．D．
變式1-4．(2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（ ）
A．B．C．D．
變式1-5．(2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）同學(xué)們在探索“多邊形的內(nèi)角和”時，利用了“三角形的內(nèi)角和”．請你在不直接運用結(jié)論“n邊形的內(nèi)角和為”計算的條件下，利用“一個三角形的內(nèi)角和等于180°”，結(jié)合圖形說明：五邊形的內(nèi)角和為540°．
考查題型二 正多邊形內(nèi)角和問題
典例2．(2023·四川南充·中考真題）如圖，在正五邊形中，以為邊向內(nèi)作正，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
變式2-1．(2023·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形的頂點A處．兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是( )
A．4B．C．2D．0
變式2-2．(2023·上海·統(tǒng)考中考真題）有一個正n邊形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，則n為（ ）
A．6B．9C．12D．15
變式2-3．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計的值，下面d及的值都正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
變式2-4．(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，點F在正五邊形的內(nèi)部，為等邊三角形，則等于（ ）
A．B．C．D．
變式2-5．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）正十二邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為 ．
變式2-6．(2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，花瓣圖案中的正六邊形ABCDEF的每個內(nèi)角的度數(shù)是__．
變式2-7．(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，為正六邊形，為正方形，連接CG，則∠BCG+∠BGC=______．
變式2-8．(2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖所示的正五角星（是正五邊形的五個頂點），則圖中的度數(shù)是_______度．
考查題型三 正多邊形外角問題
典例3．(2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
變式3-1．(2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）一個正n邊形的一個外角等于36°，則n＝________．
變式3-2．(2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）正八邊形一個外角的大小為________度．
變式3-3．(2023·江西·統(tǒng)考中考真題）正五邊形的外角和等于 _______?．
考查題型四 多邊形外角和的應(yīng)用
典例4．(2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為，，則正確的是（ ）
A．B．
C．D．無法比較與的大小
變式4-1．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在正六邊形內(nèi)，以為邊作正五邊形，則（ ）
A．B．C．D．
變式4-2．(2023·山東德州·中考真題）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進8米，又向左轉(zhuǎn)45°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，共走路程為（ ）
A．80米B．96米C．64米D．48米
考查題型五 多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合
典例5．(2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）正多邊形的每個內(nèi)角為，則它的邊數(shù)是（ ）
A．4B．6C．7D．5
變式5-1．(2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）正八邊形中，每個內(nèi)角與每個外角的度數(shù)之比為（ ）
A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1
變式5-2．(2023·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如果正n邊形的一個內(nèi)角與一個外角的比是3：2，則_______．
變式5-3．(2023·四川眉山·中考真題）一個多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個多邊形的邊數(shù)為________．
變式5-4．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，已知，正五邊形的頂點、在射線上，頂點在射線上，則_________度．
變式5-5．(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）若一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是______．
變式5-6．(2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）已知一個正多邊形的內(nèi)角和為1440°，則它的一個外角的度數(shù)為_____度．
考查題型六 平面鑲嵌
典例6．(2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知一個多邊形內(nèi)角和是外角和的4倍，則這個多邊形是（ ）
A．八邊形B．九邊形C．十邊形D．十二邊形
變式6-1．(2023·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．工人師傅不能用下列哪種形狀、大小完全相同的一種地磚在平整的地面上鑲嵌（ ）
A．等邊三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形
變式6-2．(2023·四川資陽·中考真題）小張同學(xué)家要裝修，準(zhǔn)備購買兩種邊長相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地面．現(xiàn)已選定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數(shù)可以是___________．（填一種即可）
變式6-3．(2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）把邊長為2的正方形紙片分割成如圖的四塊，其中點為正方形的中心，點分別是，的中點，用這四塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這四塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是______.
專題22 認(rèn)識多邊形
【考查題型】
【知識要點】
多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。
多邊形內(nèi)角的概念：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角。
多邊形外角的概念：多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。
多邊形對角線條數(shù)：一個n邊形從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對角線條數(shù)為
凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形。
正多邊形的概念：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。
多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（擴展：正n邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是（n?2）×180°n）
【推論】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°。
2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍。
多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)。
考查題型一 多邊形內(nèi)角和問題
典例1．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為（ ）
A．1080°B．720°C．540°D．360°
答案:B
分析：利用多邊形的內(nèi)角和定理解答即可．
【詳解】解：一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為：（6﹣2）×180°＝720°，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，利用多邊形的內(nèi)角和定理解答是解題的關(guān)鍵．
變式1-1．(2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形，這個五邊形的內(nèi)角和是（ ）
A．900°B．720°C．540°D．360°
答案:C
分析：n邊形的內(nèi)角和公式為：，再根據(jù)內(nèi)角和公式計算即可．
【詳解】解：（5-2）×180° =180°×3 =540°
因此五邊形的內(nèi)角和是540°．
故選：C
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×180°的靈活運用．熟悉多邊形的內(nèi)角和公式是解本題的關(guān)鍵．
變式1-2．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是（ ）
A．七邊形B．八邊形C．九邊形D．十邊形
答案:A
分析：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，列出方程即可求解．
【詳解】解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得
（n﹣2）?180°=900°，
解得n=7，
∴這個多邊形的邊數(shù)是7，
故選：A．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程．
變式1-3．(2023·北京·統(tǒng)考中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可直接進行排除選項．
【詳解】解：A、是一個三角形，其內(nèi)角和為180°；
B、是一個四邊形，其內(nèi)角和為360°；
C、是一個五邊形，其內(nèi)角和為540°；
D、是一個六邊形，其內(nèi)角和為720°；
∴內(nèi)角和最大的是六邊形；
故選D．
【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．
變式1-4．(2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故選D．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．
變式1-5．(2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）同學(xué)們在探索“多邊形的內(nèi)角和”時，利用了“三角形的內(nèi)角和”．請你在不直接運用結(jié)論“n邊形的內(nèi)角和為”計算的條件下，利用“一個三角形的內(nèi)角和等于180°”，結(jié)合圖形說明：五邊形的內(nèi)角和為540°．
答案:答案見解析
分析：如下圖，連接，，將五邊形分成三個三角形，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：連接，，
五邊形的內(nèi)角和等于，，的內(nèi)角和的和，
五邊形的內(nèi)角和．
【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練運用三角形內(nèi)角和定理，并將五邊形轉(zhuǎn)化為三個三角形是解答此題的關(guān)鍵．
考查題型二 正多邊形內(nèi)角和問題
典例2．(2023·四川南充·中考真題）如圖，在正五邊形中，以為邊向內(nèi)作正，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：利用正多邊形各邊長度相等，各角度數(shù)相等，即可逐項判斷．
【詳解】解：∵多邊形是正五邊形，
∴該多邊形內(nèi)角和為：，，
∴，故D選項正確；
∵是正三角形，
∴，，
∴，，
∴，故B選項正確；
∵，，
∴，故A選項正確；
∵，，
∴，故C選項錯誤，
故選：C．
【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和公式，熟練掌握正多邊形“各邊長度相等，各角度數(shù)相等”是解題的關(guān)鍵．
變式2-1．(2023·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形的頂點A處．兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是( )
A．4B．C．2D．0
答案:B
分析：由題意可分別求出經(jīng)過2022秒后，紅黑兩枚跳棋的位置，然后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)及含30度直角三角形的性質(zhì)可進行求解．
【詳解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，
∴，
∴經(jīng)過2022秒后，紅跳棋落在點A處，黑跳棋落在點E處，
連接AE，過點F作FG⊥AE于點G，如圖所示：
在正六邊形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選B．
【點睛】本題主要考查圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式2-2．(2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）有一個正n邊形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，則n為（ ）
A．6B．9C．12D．15
答案:C
分析：根據(jù)選項求出每個選項對應(yīng)的正多邊形的中心角度數(shù)，與一致或有倍數(shù)關(guān)系的則符合題意．
【詳解】如圖所示，計算出每個正多邊形的中心角，是的3倍，則可以旋轉(zhuǎn)得到．
觀察四個正多邊形的中心角，可以發(fā)現(xiàn)正12邊形旋轉(zhuǎn)90°后能與自身重合
故選C．
【點睛】本題考查正多邊形中心角與旋轉(zhuǎn)的知識，解決本題的關(guān)鍵是求出中心角的度數(shù)并與旋轉(zhuǎn)度數(shù)建立關(guān)系．
變式2-3．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計的值，下面d及的值都正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案:C
分析：根據(jù)勾股定理求出多邊形的邊長，利用多邊形內(nèi)角和求解內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求值即可．
【詳解】
解： 設(shè)剪去△ABC邊長AC=BC=x，可得：
，
解得x=，
則BD=，
∵正方形剪去四個角后成為一個正八邊形，根據(jù)正八邊形每個內(nèi)角為135度，
，
則∠BFD=22.5°，
∴外接圓直徑d=BF=，
根據(jù)題意知周長÷d==，
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理、多邊形內(nèi)角和、圓周長直徑公式和銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識，閱讀理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
變式2-4．(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，點F在正五邊形的內(nèi)部，為等邊三角形，則等于（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB=BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根據(jù)角的和差關(guān)系可得出∠FBC的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠BFC的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．
【詳解】∵是正五邊形，
∴∠ABC==108°，AB=BC，
∵為等邊三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC==66°，
∴=∠AFB+∠BFC=126°，
故選：C．
【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
變式2-5．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）正十二邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為 ．
答案:
分析：首先求得每個外角的度數(shù)，然后根據(jù)外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補角即可求解．
【詳解】試題分析：正十二邊形的每個外角的度數(shù)是：=30°，
則每一個內(nèi)角的度數(shù)是：180°﹣30°=150°．
故答案為150°．
變式2-6．(2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，花瓣圖案中的正六邊形ABCDEF的每個內(nèi)角的度數(shù)是__．
答案:120°
分析：多邊形的內(nèi)角和可以表示成(n﹣2)?180°，因為所給多邊形的每個內(nèi)角均相等，可設(shè)這個正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為x，故又可表示成6x，列方程可求解．
【詳解】解：設(shè)這個正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為x，
則6x＝(6﹣2)?180°，
解得x＝120°．
故答案為：120°．
【點睛】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式及求正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理．
變式2-7．(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，為正六邊形，為正方形，連接CG，則∠BCG+∠BGC=______．
答案:
分析：分別計算正六邊形和正方形的每個內(nèi)角的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案．
【詳解】解：∵ABDEF是正六邊形，
∴
∵ABGH是正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案為：
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與正多邊形每個內(nèi)角的計算等知識點，熟知多邊形的內(nèi)角和的計算公式是解題的關(guān)鍵．
變式2-8．(2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖所示的正五角星（是正五邊形的五個頂點），則圖中的度數(shù)是_______度．
答案:36
分析：根據(jù)題意，得五邊形（是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且；根據(jù)多邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得正五邊形內(nèi)角和，從而得；再根據(jù)補角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和性質(zhì)計算，即可得到答案．
【詳解】∵正五角星（是正五邊形的五個頂點）
∴五邊形（是正五邊形的五個頂點）為正五邊形，且
∴正五邊形內(nèi)角和為：
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為：36．
【點睛】本題考查了正多邊形、多邊形內(nèi)角和、補角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形、多邊形內(nèi)角和、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解．
考查題型三 正多邊形外角問題
典例3．(2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：先求出正六邊形的內(nèi)角和外角，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵正六邊形的每個內(nèi)角等于120°，每個外角等于60°，
∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=101°-60°=41°
∵光線是平行的，
∴=∠ABD=，
故選A
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及正六邊形的性質(zhì)，掌握三角形的外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式3-1．(2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）一個正n邊形的一個外角等于36°，則n＝________．
答案:10
分析：利用多邊形的外角和即可解決問題．
【詳解】解：n=360°÷36°=10．
故答案為10．
【點睛】本題主要考查了正n邊形的外角特點．因為外角和是360度，所以當(dāng)多邊形是正多邊形時，每個外角都相等．直接利用外角求多邊形的邊數(shù)是常用的方法．
變式3-2．(2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）正八邊形一個外角的大小為________度．
答案:
分析：根據(jù)正八邊形得出八個內(nèi)角都相等，再因為每個內(nèi)角與它相應(yīng)的外角互補，且多邊形外角和為，算出正八邊形一個外角的大?。?br>【詳解】解：∵正八邊形，
∴正八邊形八個內(nèi)角都相等，
∵正八邊形的每個內(nèi)角和它對應(yīng)的外角互補，且外角和，
∴正八邊形有八個相等的外角，
∴正八邊形一個外角為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，多邊形外角和，正確理解以上圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式3-3．(2023·江西·統(tǒng)考中考真題）正五邊形的外角和等于 _______?．
答案:360
【詳解】∵任何n邊形的外角和都等于360度
∴正五邊形的外解和也為360°
故答案為360
考查題型四 多邊形外角和的應(yīng)用
典例4．(2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為，，則正確的是（ ）
A．B．
C．D．無法比較與的大小
答案:A
分析：多邊形的外角和為，△ABC與四邊形BCDE的外角和均為，作出選擇即可．
【詳解】解：∵多邊形的外角和為，
∴△ABC與四邊形BCDE的外角和與均為，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和為是解答本題的關(guān)鍵．
變式4-1．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在正六邊形內(nèi)，以為邊作正五邊形，則（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：利用正n邊形的外角和定理計算即可
【詳解】如圖，延長BA到點O，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠FAO==60°，
∵五邊形ABGHI是正五邊形，
∴∠IAO==72°，
∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，
故選B．
【點睛】本題考查了正多邊形的外角和定理，熟練掌握正ｎ邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．
變式4-2．(2023·山東德州·中考真題）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進8米，又向左轉(zhuǎn)45°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，共走路程為（ ）
A．80米B．96米C．64米D．48米
答案:C
分析：根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360÷45=8次才會回到原點，所以一共走了8×8=64米．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了利用多邊形的外角和定理求多邊形的邊數(shù)．任何一個多邊形的外角和都是360°．
考查題型五 多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合
典例5．(2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）正多邊形的每個內(nèi)角為，則它的邊數(shù)是（ ）
A．4B．6C．7D．5
答案:D
分析：根據(jù)相鄰的內(nèi)角與外角互為鄰補角求出每一個外角的度數(shù)為72°，再用外角和360°除以72°，計算即可得解．
【詳解】解：∵正多邊形的每個內(nèi)角等于108°，
∴每一個外角的度數(shù)為180°-108°=72°，
∴邊數(shù)=360°÷72°=5，
故選D．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，對于正多邊形，利用多邊形的外角和除以每一個外角的度數(shù)求邊數(shù)更簡便．
變式5-1．(2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）正八邊形中，每個內(nèi)角與每個外角的度數(shù)之比為（ ）
A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1
答案:D
分析：根據(jù)正八邊形的外角和等于360°，求出每個外角的度數(shù)，再求出每個內(nèi)角的度數(shù)，進而即可求解．
【詳解】解：正八邊形中，每個外角=360°÷8=45°，每個內(nèi)角=180°-45°=135°，
∴每個內(nèi)角與每個外角的度數(shù)之比=135°：45°=3：1，
故選D．
【點睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和外角，熟練掌握正多邊形的外角和等于360°，是解題的關(guān)鍵．
變式5-2．(2023·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如果正n邊形的一個內(nèi)角與一個外角的比是3：2，則_______．
答案:5
分析：設(shè)多邊形的一個內(nèi)角為3x度，一個外角則為2x度，求得外角的度數(shù)，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°，進而求出n的值．
【詳解】解：∵正邊形的一個內(nèi)角度數(shù)與其外角度數(shù)的比是3：2，
∴設(shè)多邊形的一個內(nèi)角為3x度，一個外角則為2x度，
∴3x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴一個外角為2x＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n＝5，
故答案為：5．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角、外角的知識和外角和定理，理解一個多邊形的一個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨腔パa是解題的關(guān)鍵．
變式5-3．(2023·四川眉山·中考真題）一個多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個多邊形的邊數(shù)為________．
答案:11
分析：多邊形的內(nèi)角和定理為，多邊形的外角和為360°，根據(jù)題意列出方程求出n的值．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
解得： ，
故答案為：11．
【點睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．記憶理解并應(yīng)用這兩個公式是解題的關(guān)鍵．
變式5-4．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，已知，正五邊形的頂點、在射線上，頂點在射線上，則_________度．
答案:48
分析：是正五邊形的一個外角，利用多邊形外交和360°算出一個外角，再利用的內(nèi)角和180°，即可算出
【詳解】∵四邊形ABCDE是正五邊形，是一個外角
∴
在中：
故答案為：48
【點睛】本題考查多邊形外角和和三角形內(nèi)角和，注意多邊形外角和均為360°
變式5-5．(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）若一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是______．
答案:8
分析：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和等于（n﹣2）?180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)邊數(shù)為n，由題意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以這個多邊形的邊數(shù)是8．
故答案為：8．
【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
變式5-6．(2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）已知一個正多邊形的內(nèi)角和為1440°，則它的一個外角的度數(shù)為_____度．
答案:36
分析：首先設(shè)此正多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多邊形的外角和等于360°，即可求得答案．
【詳解】設(shè)此多邊形為n邊形，
根據(jù)題意得：180°（n﹣2）=1440°，
解得：n=10，
∴這個正多邊形的每一個外角等于：360°÷10＝36°．
故答案為：36．
【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握定義與相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.
考查題型六 平面鑲嵌
典例6．(2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知一個多邊形內(nèi)角和是外角和的4倍，則這個多邊形是（ ）
A．八邊形B．九邊形C．十邊形D．十二邊形
答案:C
分析：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，然后根據(jù)內(nèi)角和與外角和公式列方程求解即可.
【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
則（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故選C.
【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的外角和定理，熟練掌握多邊形內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵.n變形的內(nèi)角和為：(n-2) ×180°， n變形的外角和為：360°；然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解．
變式6-1．(2023·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．工人師傅不能用下列哪種形狀、大小完全相同的一種地磚在平整的地面上鑲嵌（ ）
A．等邊三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形
答案:C
分析：進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內(nèi)角和應(yīng)是，因此我們只需要驗證是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內(nèi)角度數(shù)的整數(shù)倍即可．
【詳解】解：A、等邊三角形每個內(nèi)角的度數(shù)為，，故該項不符合題意；
B、正方形的每個內(nèi)角的度數(shù)為，，故該項不符合題意；
C、正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為，，故該項符合題意；
D、正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為，，故該項不符合題意；
故選：C．
【點睛】此題考查鑲嵌問題，正確掌握各正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)及鑲嵌的計算方法是解題的關(guān)鍵．
變式6-2．(2023·四川資陽·中考真題）小張同學(xué)家要裝修，準(zhǔn)備購買兩種邊長相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地面．現(xiàn)已選定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數(shù)可以是___________．（填一種即可）
答案:4或6或12
分析：分別求出各個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件即可求出答案．
【詳解】正三角形的每個內(nèi)角是，正四邊形的每個內(nèi)角是，
∵，
∴正四邊形可以，
正六邊形的每個內(nèi)角是，
∵，
∴正六邊形可以，
正十二邊形的每個內(nèi)角是，
∵，
∴正十二邊形可以，
故答案為：4或6或12．
【點睛】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．
變式6-3．(2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）把邊長為2的正方形紙片分割成如圖的四塊，其中點為正方形的中心，點分別是，的中點，用這四塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這四塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是______.
答案:10或或
分析：先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)周長的定義即可求解．
【詳解】如圖所示：
圖1的周長為1+2+3+2=6+2；
圖2的周長為1+4+1+4=10；
圖3的周長為3+5++=8+2．
故四邊形MNPQ的周長是6+2或10或8+2．
故答案為6+2或10或8+2．
【點睛】考查了平面鑲嵌（密鋪），關(guān)鍵是得到與此正方形不全等的四邊形MNPQ（要求這四塊紙片不重疊無縫隙）的各種情況．

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