螞蟻爬行模型的實(shí)質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。
模型一：螞蟻沿著長(zhǎng)方體表面爬行，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離：
解題方法：在長(zhǎng)方體問(wèn)題中，我們需要將長(zhǎng)方體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短畫(huà)圖求解。如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各不相同，一般分三種情況討論。
模型二：螞蟻沿著圓柱表面爬行，求最短距離：
解題方法：在圓柱體中爬行，要分兩種情況，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形，可能爬行了長(zhǎng)方形的一半，也有可能爬行了整個(gè)長(zhǎng)方形
模型三（螞蟻吃蜂蜜問(wèn)題）：求螞蟻從點(diǎn)A沿著外壁爬行再沿著內(nèi)壁爬行到點(diǎn)B蜂蜜處的最短距離。
模型四：螞蟻爬樓梯問(wèn)題
模型五：螞蟻爬圓錐問(wèn)題
【培優(yōu)過(guò)關(guān)練】
1．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠， 則小貓經(jīng)過(guò)的最短路程是（ ）．
A．B．4C．D．6
2．（2022春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是一條棱的中點(diǎn)，將正方體按圖中所示展開(kāi)，則在展開(kāi)圖中兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓錐的底面半徑，母線，為底面直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，現(xiàn)在有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為12cm，AB是底面圓的直徑，在圓柱表面的高BC上有一點(diǎn)D，且，．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)D的最短路程是（ ）cm．
A．14B．12C．10D．8
5．（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，一只螞蟻要從圓柱體下底面的點(diǎn)，沿圓柱側(cè)面爬到與相對(duì)的上底面的點(diǎn)，圓柱底面直徑為4，母線為6，則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為（ ）
A．B．
C．D．10
6．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考二模）如圖一個(gè)圓柱，底圓周長(zhǎng)10cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最少要爬行（ ）cm ．
A．9B．14C．D．
7．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4，地面圓周上有一點(diǎn)A，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐側(cè)面運(yùn)動(dòng)一周后到達(dá)母線PA中點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（ ）
A．cmB．13cmC．cmD．cm
9．（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，如果一只螞蟻從這個(gè)幾何體的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點(diǎn)D處，則最短路線長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．2
11．（2021春·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為和和是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺(tái)階面爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為 的正方體表面從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò) 個(gè)面爬到點(diǎn)，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則的長(zhǎng)為_(kāi)___．
13．（2022春·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形玻璃容器高12cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在容器外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)A處有一只螞蟻，在螞蟻正對(duì)面距容器上底2cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最短距離為_(kāi)_____cm．
14．（2022秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5cm，寬為4cm，高為3cm．一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，那么這只螞蟻需要走的最短路程為_(kāi)__________．
15．（2022·山東臨沂·?？级＃┤鐖D，圓柱底面半徑為4厘米，高厘米，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為_(kāi)_________．
16．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，已知長(zhǎng)方體的三條棱AB、BC、BD分別為4，5，2，螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.
17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為厘米、厘米、厘米．若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的表面爬行到棱的中點(diǎn)處．則螞蟻需爬行的最短路程是_______________厘米．
18．（2022春·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有一個(gè)圓柱形食品盒，它的高為10cm，底面圓周長(zhǎng)為24cm，如果在盒外AD的中點(diǎn)P處有一只螞蟻，螞蟻爬行的速度為2cm/s，它想吃到點(diǎn)B處（點(diǎn)A、B正好相對(duì)）的食物，那么它至少需要爬行 _____s．
19．（2023秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市高明區(qū)滄江中學(xué)?？计谀┤鐖D，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，則它爬行的最短距離為 _____．
20．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)金華中學(xué)校考期末）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，如果一只螞蟻要從這個(gè)幾何體中的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)，請(qǐng)你求出這條線路的最短路徑．
21．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是一塊長(zhǎng)、寬、高分別是，和的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和相對(duì)的頂點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑是多少？
22．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校考期中）葛藤是一種刁鉆的植物．它自己腰托不硬，為了爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常繞著樹(shù)干盤(pán)旋而上，它還有一手絕招，就是繞樹(shù)盤(pán)旋上升的路段，總是沿著最短路線——盤(pán)旋前進(jìn)的，難道植物也懂得數(shù)學(xué)嗎？閱讀以上信息，你能設(shè)計(jì)一種方法解決下列問(wèn)題嗎？
(1)如圖，如果樹(shù)干的周長(zhǎng)（即底面圓的周長(zhǎng)）為30cm，從點(diǎn)A繞一圈到點(diǎn)B，葛藤升高40cm，則它爬行路程是多少厘米？
(2)如果樹(shù)干的周長(zhǎng)（即底面圓的周長(zhǎng)）為40cm，繞一圈爬行50cm，則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達(dá)樹(shù)頂，則樹(shù)干高多少厘米？
23．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)一樣的長(zhǎng)方體禮品盒，其底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為；現(xiàn)有彩帶若干（足夠用），數(shù)學(xué)組的小明和小剛分別采用自己喜歡的方式用彩帶裝飾兩個(gè)禮品盒（假設(shè)彩帶完美貼合長(zhǎng)方體禮品盒）.
(1)如圖1，小明從底面點(diǎn)A開(kāi)始均勻纏繞長(zhǎng)方體側(cè)面，剛好纏繞2周到達(dá)點(diǎn)B，求所用彩帶的長(zhǎng)度；
(2)如圖2，小剛沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)C纏繞到點(diǎn)D，點(diǎn)D與點(diǎn)E的距離是5cm，請(qǐng)問(wèn)小剛所需要的彩帶最短是多少？（注：以上兩問(wèn)均要求畫(huà)出平面展開(kāi)示意圖，再解答）
24．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，等腰三角形中，當(dāng)頂角的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊（即底邊）與鄰邊（即腰或）的比值也就確定了，我們把這個(gè)比值記作，即 ，當(dāng)時(shí)，如．
(1) ， ，的取值范圍是 ；
(2)如圖2，圓錐的母線長(zhǎng)為18，底面直徑，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）
25．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？
（1）如圖①，圓錐的母線長(zhǎng)為，B為母線的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，的長(zhǎng)為．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，并標(biāo)出它的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．
（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓柱的高為h．
①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為_(kāi)_______（用含l，h的代數(shù)式表示）．
②設(shè)的長(zhǎng)為a，點(diǎn)B在母線上，．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖④所示，在圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫(xiě)出求最短路徑的長(zhǎng)的思路．
26．（2022秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）李老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時(shí)設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長(zhǎng)．
（1）如圖1，正方體的棱長(zhǎng)為一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)沿著正方體表面爬到點(diǎn)處；
（2）如圖2，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，一只螞蟻從正四棱柱底面上的點(diǎn)沿著棱柱表面爬到處；
（3）如圖3，圓錐的母線長(zhǎng)為4cm，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖4所示，且，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)．
27．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖有一個(gè)四級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬分別為18分米、4分米．
(1)如果給臺(tái)階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級(jí)臺(tái)階的高為多少分米？
(2)A和C是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，臺(tái)階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺(tái)階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？
分類(lèi)討論
示意圖
展開(kāi)圖
最短距離
小結(jié)
前+上
AB=a2+（b+c）2=a2+b2+c2+2bc
最小值取決于
ab，bc，ac
的大小
左+上
AB=b2+（a+c）2=a2+b2+c2+2ac
前+右
AB=c2+（a+b）2=a2+b2+c2+2ab
分類(lèi)討論
示意圖
展開(kāi)圖
最短距離
爬行半圈
最短距離=（Πr）2+h2
爬行一圈
最短距離=（2Πr）2+h2
示意圖
展開(kāi)圖
作法
最短距離
點(diǎn)A’為點(diǎn)A關(guān)于圓柱上沿的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，若點(diǎn)A’與點(diǎn)B的垂直距離為h，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題求解
AB=（Πr）2+h2
問(wèn)題
示意圖
展開(kāi)圖
最短距離
如圖，三級(jí)臺(tái)階的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬，高分別為20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，求最短路程
AB=[(3+2)×3]2+202
=25
問(wèn)題
示意圖
展開(kāi)圖
最短距離
如圖，現(xiàn)有一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑為4cm，母線長(zhǎng)為6cm，一只螞蟻在點(diǎn)A位置，食物在母線BC的中點(diǎn)點(diǎn)D處，螞蟻沿著圓錐表面由點(diǎn)A向點(diǎn)D處爬行覓食，路線如圖所示，求最短距離
先利用扇形弧長(zhǎng)公式求圓心角，再根據(jù)勾股定理求AD長(zhǎng)
專(zhuān)題20 螞蟻爬行模型
螞蟻爬行模型的概述：螞蟻在某幾何體的一個(gè)頂點(diǎn)，爬行到另外一個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)去吃食物，求所走的最短路徑是多少。
螞蟻爬行模型的實(shí)質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。
模型一：螞蟻沿著長(zhǎng)方體表面爬行，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離：
解題方法：在長(zhǎng)方體問(wèn)題中，我們需要將長(zhǎng)方體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短畫(huà)圖求解。如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各不相同，一般分三種情況討論。
模型二：螞蟻沿著圓柱表面爬行，求最短距離：
解題方法：在圓柱體中爬行，要分兩種情況，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形，可能爬行了長(zhǎng)方形的一半，也有可能爬行了整個(gè)長(zhǎng)方形
模型三（螞蟻吃蜂蜜問(wèn)題）：求螞蟻從點(diǎn)A沿著外壁爬行再沿著內(nèi)壁爬行到點(diǎn)B蜂蜜處的最短距離。
模型四：螞蟻爬樓梯問(wèn)題
模型五：螞蟻爬圓錐問(wèn)題
【培優(yōu)過(guò)關(guān)練】
1．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠， 則小貓經(jīng)過(guò)的最短路程是（ ）．
A．B．4C．D．6
【答案】C
【分析】求這只小貓經(jīng)過(guò)的最短距離的問(wèn)題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問(wèn)題．根據(jù)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形可知，展開(kāi)圖是半徑是4的半圓．點(diǎn)是半圓的一個(gè)端點(diǎn)，而點(diǎn)是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)和在展開(kāi)圖中的距離，就是這只小貓經(jīng)過(guò)的最短距離．
【詳解】解：圓錐主視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，
圓錐的底面周長(zhǎng)是，則，
，即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是180度．
如圖，在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中，，度．
在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中．
故小貓經(jīng)過(guò)的最短距離是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2022春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是一條棱的中點(diǎn)，將正方體按圖中所示展開(kāi)，則在展開(kāi)圖中兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，根據(jù)和勾股定理可得出兩點(diǎn)間的距離．
【詳解】解：如圖，
在中，，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，得出正方體上兩點(diǎn)間的距離為直角三角形的斜邊是解題關(guān)鍵．
3．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓錐的底面半徑，母線，為底面直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，現(xiàn)在有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得到弧的長(zhǎng)，然后求得弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，從而得到直角三角形，利用勾股定理求得的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：如圖：
∵，
∴設(shè)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n，
∴，
解得，
∴，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】求立體圖形中兩點(diǎn)之間的最短路線長(zhǎng)，一般應(yīng)放在平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，求兩點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度．解題的關(guān)鍵是理解并掌握?qǐng)A錐的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)．
4．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為12cm，AB是底面圓的直徑，在圓柱表面的高BC上有一點(diǎn)D，且，．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)D的最短路程是（ ）cm．
A．14B．12C．10D．8
【答案】C
【分析】首先畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，根據(jù)底面周長(zhǎng)12cm，求出 AB 的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出 DB的值，再在 Rt△ ABD 中，根據(jù)勾股定理求出 AD 的長(zhǎng)，即可得答案．
【詳解】解：圓柱側(cè)面展開(kāi)圖如下圖所示，
∵圓柱的底面周長(zhǎng)為12cm，
∴ AB =6cm，
∵BC=10cm，DC=2cm，
∴DB=8，
在 Rt△ABD 中，( cm )，
即螞蟻從 A 點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn) D 的最短距離是10cm，
故選： C ．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓柱的平面展開(kāi)圖，以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖．
5．（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，一只螞蟻要從圓柱體下底面的點(diǎn)，沿圓柱側(cè)面爬到與相對(duì)的上底面的點(diǎn)，圓柱底面直徑為4，母線為6，則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為（ ）
A．B．
C．D．10
【答案】B
【分析】要求最短路線，首先要把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短，再利用勾股定理來(lái)求．
【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)圖如圖所示，點(diǎn)A，B的最短距離為線段AB的長(zhǎng)，
BC＝6，AC為底面半圓弧長(zhǎng)，AC＝2π，
所以AB＝．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開(kāi)圖的最短路徑問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是要明確，要求兩點(diǎn)間的最短線段，就要把這兩點(diǎn)放到一個(gè)平面內(nèi)，即把圓柱的側(cè)面展開(kāi)再計(jì)算．
6．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考二模）如圖一個(gè)圓柱，底圓周長(zhǎng)10cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最少要爬行（ ）cm ．
A．9B．14C．D．
【答案】C
【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．
【詳解】解：將圓柱展開(kāi)，側(cè)面為矩形，如圖所示：
∵底面⊙O的周長(zhǎng)為10cm，
∴AC=5cm，
∵高BC=4cm，
∴AB==cm．
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓柱的平面展開(kāi)---最短路徑問(wèn)題，將圓柱展成矩形，求對(duì)角線的長(zhǎng)即為最短路徑．
7．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4，地面圓周上有一點(diǎn)A，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐側(cè)面運(yùn)動(dòng)一周后到達(dá)母線PA中點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，連接AB，根據(jù)展開(kāi)所得扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)求得扇形的圓心角，進(jìn)而解三角形即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，將該圓錐展開(kāi)如下圖所示的扇形，
則線段AB就是螞蟻爬行的最短距離．
∵點(diǎn)B是母線PA的中點(diǎn)，，
∴，
∵圓錐的底面圓的周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)，
又∵圓錐底面半徑為1，
∴扇形的弧長(zhǎng)=圓錐底面周長(zhǎng)，即，扇形的半徑=圓錐的母線=PA=4，
由弧長(zhǎng)公式可得：
∴扇形的圓心角，
在Rt△APB中，由勾股定理可得：，
所以 螞蟻爬行的最短路程為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】.本題考查平面展開(kāi)--最短路徑問(wèn)題、圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式、弧長(zhǎng)計(jì)算公式，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是“化曲為直”，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形．
8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（ ）
A．cmB．13cmC．cmD．cm
【答案】B
【分析】將容器側(cè)面展開(kāi)，作A點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可知A′B的長(zhǎng)度即為最短距離．利用勾股定理求出A′B即可．
【詳解】如圖：將容器側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，
∵高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，
此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處，
∴A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm，
∴A′B＝＝＝13cm．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形平面展開(kāi)的最短路徑問(wèn)題．了解“兩點(diǎn)之間線段最短”并結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)和勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將長(zhǎng)方體側(cè)表面剪開(kāi)與前面、上面、后面?zhèn)让娣謩e形成一個(gè)長(zhǎng)方形，分別利用勾股定理計(jì)算出AB的距離即可解答.
【詳解】只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1：
因?yàn)殚L(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，
所以BD=CD+BC=10+5=15，AD=20
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：
只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2：
此時(shí)BD=CD+BC=20+5=25,所以
同理與后面?zhèn)让嫠跇?gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖3，
可求
因?yàn)?br>所以選B.
【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理，本題關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短解答.
10．（2022秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，如果一只螞蟻從這個(gè)幾何體的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點(diǎn)D處，則最短路線長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，設(shè)頂點(diǎn)為，連接，．線段與的交點(diǎn)為，線段是最短路程．
【詳解】解：如圖將圓錐側(cè)面展開(kāi)，得到扇形，則線段為所求的最短路程．
設(shè)．
，
即．
為弧中點(diǎn)，
，，
，
最短路線長(zhǎng)為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，扇形的面積和特殊值的三角函數(shù)等問(wèn)題，解題時(shí)注意把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形．
11．（2021春·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為和和是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺(tái)階面爬行的最短路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此類(lèi)題目只需要將其展開(kāi)便可直觀的得出解題思路．將臺(tái)階展開(kāi)得到的是一個(gè)矩形，螞蟻要從B點(diǎn)到A點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對(duì)角線，利用勾股定理即可解出答案．
【詳解】解：如圖，將臺(tái)階展開(kāi)，
因?yàn)锳C＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2＋BC2＝225，
所以AB＝15，
所以螞蟻爬行的最短線路為15．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的應(yīng)用并能得出平面展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為 的正方體表面從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò) 個(gè)面爬到點(diǎn)，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則的長(zhǎng)為_(kāi)___．
【答案】
【分析】將正方體展開(kāi)，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個(gè)面上，此時(shí)最短，根據(jù)，由相似比可得，求出的長(zhǎng)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：將正方體展開(kāi)，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個(gè)面上，展開(kāi)圖如圖所示，此時(shí)最短，
，，
，
，即，即，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開(kāi)圖—最短路徑問(wèn)題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求出的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．
13．（2022春·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形玻璃容器高12cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在容器外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)A處有一只螞蟻，在螞蟻正對(duì)面距容器上底2cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最短距離為_(kāi)_____cm．
【答案】15
【分析】根據(jù)題意得到圓柱體的展開(kāi)圖，確定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；
【詳解】解：圓柱體玻璃杯展開(kāi)圖如下，作；
∵底面周長(zhǎng)為24cm，
∴
∵，
∴cm，
∴cm，
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確得到圓柱體的展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5cm，寬為4cm，高為3cm．一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，那么這只螞蟻需要走的最短路程為_(kāi)__________．
【答案】cm
【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5cm，寬為4cm，
∴AB＝4cm，BC＝5cm，
∴AC＝＝＝（cm），
故答案為：cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，利用勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，而兩點(diǎn)之間線段最短是解題的依據(jù)．
15．（2022·山東臨沂·?？级＃┤鐖D，圓柱底面半徑為4厘米，高厘米，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為_(kāi)_________．
【答案】30π厘米
【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．
【詳解】解：圓柱體的展開(kāi)圖如圖所示：
用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：AC→CD→DB；
即在圓柱體的展開(kāi)圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；
∵圓柱底面半徑為4，
∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)：2π×4=8π；
又∵圓柱高為18π，
∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是18π÷3=6π；
根據(jù)勾股定理求得AC=CD=DB= =10π；
∴AC+CD+DB=30π．
故答案為：30π厘米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開(kāi)--路徑最短問(wèn)題．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．
16．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，已知長(zhǎng)方體的三條棱AB、BC、BD分別為4，5，2，螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.
【答案】61
【詳解】解: 如圖①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;
如圖②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;
如圖③:AM2=52+(4+2)2=61.
∴螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬行到M的最短路程的平方是:61.
故答案為:61.
17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為厘米、厘米、厘米．若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的表面爬行到棱的中點(diǎn)處．則螞蟻需爬行的最短路程是_______________厘米．
【答案】
【分析】先把長(zhǎng)方體展開(kāi)，分類(lèi)討論，分別根據(jù)勾股定理求出AM的長(zhǎng)比較即可．
【詳解】解：長(zhǎng)方體部分展開(kāi)如圖所示，連接AM，則線段AM的長(zhǎng)就是螞蟻需爬行的最短路程，
根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得，AN=4cm，MN=4cm，
AM=，
如圖，
如圖，
最短距離為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了幾何體的展開(kāi)圖的應(yīng)用，以及線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短，解決立體幾何兩點(diǎn)間的最短距離時(shí)，通常把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，轉(zhuǎn)化成平面圖形兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題來(lái)求解．
18．（2022春·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有一個(gè)圓柱形食品盒，它的高為10cm，底面圓周長(zhǎng)為24cm，如果在盒外AD的中點(diǎn)P處有一只螞蟻，螞蟻爬行的速度為2cm/s，它想吃到點(diǎn)B處（點(diǎn)A、B正好相對(duì)）的食物，那么它至少需要爬行 _____s．
【答案】
【分析】按不同的展開(kāi)方式，分類(lèi)討論：第一種情況：螞蟻沿著圓柱體的側(cè)面直接到達(dá)B點(diǎn)，利用勾股定理即可求解；第二種情況：螞蟻由P點(diǎn)直接到達(dá)A點(diǎn)，再由A點(diǎn)經(jīng)過(guò)底面圓直達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)爬行的距離為AP加上底面圓的直徑；最后比較兩種方式所用的時(shí)間即可求解．
【詳解】分兩種情況討論：
第一種情況，螞蟻沿著圓柱體的側(cè)面直接到達(dá)B點(diǎn)，
此時(shí)：將圓柱體的側(cè)面展開(kāi)，連接PB，即PB為最短路徑，如圖，
根據(jù)題意有：AD=10，AB為底面圓周長(zhǎng)的一半，即AB=24÷2=12，
∵P點(diǎn)為AD中點(diǎn)，
∴AP=5，
在Rt△APB中，（cm），
∵螞蟻的速度為2cm/s，
∴螞蟻需要的時(shí)間為：13÷2=6.5（s），
即此時(shí)螞蟻需要6.5s；
第二種情況：螞蟻由P點(diǎn)直接到達(dá)A點(diǎn)，再由A點(diǎn)經(jīng)過(guò)底面圓直達(dá)B點(diǎn)，
連接AB，可知AB為底面圓的直徑，圓柱體展開(kāi)如圖，
∵底面圓的周長(zhǎng)為24，
∴底面圓的直徑AB=，
∵AP=5，
∴此時(shí)螞蟻行走的距離為AP+AB=+5（cm），
∴此時(shí)螞蟻需要的時(shí)間為：（s），
∵，
∴螞蟻需要的最短時(shí)間為：s，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱體中的最短路徑問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”．解答此題時(shí)，注意分類(lèi)討論．
19．（2023秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市高明區(qū)滄江中學(xué)?？计谀┤鐖D，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，則它爬行的最短距離為 _____．
【答案】13m##13米
【分析】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．
【詳解】解：如圖所示，
臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，，，
則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．
由勾股定理得：，
即，
，
故答案為：m．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)圖—最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．
20．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)金華中學(xué)校考期末）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，如果一只螞蟻要從這個(gè)幾何體中的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)，請(qǐng)你求出這條線路的最短路徑．
【答案】
【分析】根據(jù)三視圖可知這個(gè)幾何體是圓柱，畫(huà)出側(cè)面展開(kāi)圖，然后根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：根據(jù)三視圖可知這個(gè)幾何體是圓柱，側(cè)面展開(kāi)圖如圖，
∵底面直徑為，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即這條線路的最短路徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
21．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是一塊長(zhǎng)、寬、高分別是，和的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和相對(duì)的頂點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑是多少？
【答案】
【分析】將長(zhǎng)方體展開(kāi)成平面圖形，分三種情況，利用勾股定理進(jìn)行求解，確定最短路徑即可．
【詳解】解：如圖1，當(dāng)爬的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是，寬是3時(shí)，．
如圖2，當(dāng)爬的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是，寬是4時(shí)，．
如圖3，爬的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是，寬是6時(shí)，．
，
它需要爬行的最短路徑是．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體展開(kāi)成平面圖形，利用勾股定理求出最短路徑．
22．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校└鹛偈且环N刁鉆的植物．它自己腰托不硬，為了爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常繞著樹(shù)干盤(pán)旋而上，它還有一手絕招，就是繞樹(shù)盤(pán)旋上升的路段，總是沿著最短路線——盤(pán)旋前進(jìn)的，難道植物也懂得數(shù)學(xué)嗎？閱讀以上信息，你能設(shè)計(jì)一種方法解決下列問(wèn)題嗎？
(1)如圖，如果樹(shù)干的周長(zhǎng)（即底面圓的周長(zhǎng)）為30cm，從點(diǎn)A繞一圈到點(diǎn)B，葛藤升高40cm，則它爬行路程是多少厘米？
(2)如果樹(shù)干的周長(zhǎng)（即底面圓的周長(zhǎng)）為40cm，繞一圈爬行50cm，則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到達(dá)樹(shù)頂，則樹(shù)干高多少厘米？
【答案】(1)50cm
(2)300cm
【分析】（1）將圓柱展開(kāi)，可知底面圓周長(zhǎng)，即為 的長(zhǎng)，圓柱的高即為 的長(zhǎng)，求出 的長(zhǎng)即為葛藤繞樹(shù)的最短路程．
（2）先根據(jù)勾股定理求出繞行1圈的高度，再求出繞行10圈的高度，即為樹(shù)干高．
【詳解】（1）解：如圖，
樹(shù)干的周長(zhǎng)即底面圓的周長(zhǎng)為30cm
cm
葛藤升高40cm
cm
由勾股定理得 cm
所以，葛藤爬行的路程是50cm
（2）解： 樹(shù)干的周長(zhǎng)即底面圓的周長(zhǎng)為40cm
cm
葛藤繞一圈爬行50cm
cm
由勾股定理得繞行1圈的高度
爬行10圈到達(dá)樹(shù)頂
樹(shù)干高 cm
所以，樹(shù)干高為300cm
【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖和勾股定理，解題關(guān)鍵是要弄清底面圓的周長(zhǎng)即為矩形的邊 的長(zhǎng)．
23．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，兩個(gè)一樣的長(zhǎng)方體禮品盒，其底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為；現(xiàn)有彩帶若干（足夠用），數(shù)學(xué)組的小明和小剛分別采用自己喜歡的方式用彩帶裝飾兩個(gè)禮品盒（假設(shè)彩帶完美貼合長(zhǎng)方體禮品盒）.
(1)如圖1，小明從底面點(diǎn)A開(kāi)始均勻纏繞長(zhǎng)方體側(cè)面，剛好纏繞2周到達(dá)點(diǎn)B，求所用彩帶的長(zhǎng)度；
(2)如圖2，小剛沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)C纏繞到點(diǎn)D，點(diǎn)D與點(diǎn)E的距離是5cm，請(qǐng)問(wèn)小剛所需要的彩帶最短是多少？（注：以上兩問(wèn)均要求畫(huà)出平面展開(kāi)示意圖，再解答）
【答案】(1)圖見(jiàn)詳解，
(2)圖見(jiàn)詳解，
【分析】（1）從底面點(diǎn)開(kāi)始均勻纏繞長(zhǎng)方體側(cè)面，剛好纏繞2周到達(dá)點(diǎn)，相當(dāng)于直角三角形的兩條直角邊分別是60和10，再根據(jù)勾股定理求出斜邊長(zhǎng)即可；
（2）求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．
【詳解】（1）解：如圖，
將長(zhǎng)方體的側(cè)面沿展開(kāi)，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，
則為所求的彩帶長(zhǎng)，
，
，
，
答：彩帶的長(zhǎng)度是；
（2）解：當(dāng)上面的面與前面的面展成一個(gè)平面時(shí)，如圖，
此時(shí)；
當(dāng)右邊的面與前面的面展成一個(gè)平面時(shí)，如圖，
此時(shí)；
當(dāng)上面的面與左邊的面展成一個(gè)平面時(shí)，如圖，
此時(shí)；
由上可知小剛所需要的彩帶最短是．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題和勾股定理的應(yīng)用，能正確畫(huà)出平面圖形是解此題的關(guān)鍵，利用了數(shù)形結(jié)合思想．
24．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，等腰三角形中，當(dāng)頂角的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊（即底邊）與鄰邊（即腰或）的比值也就確定了，我們把這個(gè)比值記作，即 ，當(dāng)時(shí)，如．
(1) ， ，的取值范圍是 ；
(2)如圖2，圓錐的母線長(zhǎng)為18，底面直徑，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)
(2)20.7
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的知識(shí)和扇形的弧長(zhǎng)公式計(jì)算，可求扇形的圓心角；再根據(jù)的定義即可解答．
【詳解】（1）解：如圖1，
，則，
∴，
如圖2，
，作于D，則，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
（2）解：∵圓錐的底面直徑，
∴圓錐的底面周長(zhǎng)為，即側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，
設(shè)扇形的圓心角為，
則，解得，
∵，
∴螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理和的定義是解本題的關(guān)鍵．
25．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？
（1）如圖①，圓錐的母線長(zhǎng)為，B為母線的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，的長(zhǎng)為．在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑，并標(biāo)出它的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．
（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成．O是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓柱的高為h．
①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為_(kāi)_______（用含l，h的代數(shù)式表示）．
②設(shè)的長(zhǎng)為a，點(diǎn)B在母線上，．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖④所示，在圖中畫(huà)出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫(xiě)出求最短路徑的長(zhǎng)的思路．
【答案】（1）作圖如圖所示；（2）①h +l；②見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到最短路徑；連接OA，AC，可以利用弧長(zhǎng)與母線長(zhǎng)求出∠AOC，進(jìn)而證明出△OAC是等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解；
（2）①由于圓錐底面圓周上的任意一點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離都等于母線長(zhǎng)，因此只要螞蟻從點(diǎn)A爬到圓錐底面圓周上的路徑最短即可，因此順著圓柱側(cè)面的高爬行，所以得出最短路徑長(zhǎng)即為圓柱的高h(yuǎn)加上圓錐的母線長(zhǎng)l；
②如圖，根據(jù)已知條件，設(shè)出線段GC的長(zhǎng)后，即可用它分別表示出OE、BE、GE、AF，進(jìn)一步可以表示出BG、GA，根據(jù)B、G、A三點(diǎn)共線，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的長(zhǎng)，最后依次代入前面線段表達(dá)式中即可求出最短路徑長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）如圖所示，線段AB即為螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑；
設(shè)∠AOC=n°，
∵圓錐的母線長(zhǎng)為， 的長(zhǎng)為，
∴，
∴；
連接OA、CA，
∵，
∴是等邊三角形，
∵B為母線的中點(diǎn)，
∴，
∴．
（2）① 螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑為：先沿著過(guò)A點(diǎn)且垂直于地面的直線爬到圓柱的上底面圓周上，再沿圓錐母線爬到頂點(diǎn)O上，因此，最短路徑長(zhǎng)為h+l
② 螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖如下圖所示，線段AB即為其最短路徑（G點(diǎn)為螞蟻在圓柱上底面圓周上經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，圖中兩個(gè)C點(diǎn)為圖形展開(kāi)前圖中的C點(diǎn)）；
求最短路徑的長(zhǎng)的思路如下：如圖，連接OG，并過(guò)G點(diǎn)作GF⊥AD，垂足為F，由題可知，，GF=h， OB=b，
由的長(zhǎng)為a，得展開(kāi)后的線段AD=a，設(shè)線段GC的長(zhǎng)為x，則的弧長(zhǎng)也為x，由母線長(zhǎng)為l，可求出∠COG，
作BE⊥OG，垂足為E，
因?yàn)镺B=b，可由三角函數(shù)求出OE和BE，從而得到GE，利用勾股定理表示出BG，
接著由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，
將AF+BE即得到AH，將EG+GF即得到HB，
因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，∴A、G、B三點(diǎn)共線，
利用勾股定理可以得到：,進(jìn)而得到關(guān)于x的方程，即可解出x，
將x的值回代到BG和AG中，求出它們的和即可得到最短路徑的長(zhǎng)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是曲面上的最短路徑問(wèn)題，涉及到圓錐和圓柱以及它們的組合體上的最短路徑問(wèn)題，解題過(guò)程涉及到“兩點(diǎn)之間、線段最短”以及勾股定理和三角函數(shù)等知識(shí)，本題為開(kāi)放性試題，答案形式不唯一，對(duì)學(xué)生的空間想象能力以及圖形的感知力要求較高，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等思想方法．
26．（2022秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）李老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時(shí)設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長(zhǎng)．
（1）如圖1，正方體的棱長(zhǎng)為一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)沿著正方體表面爬到點(diǎn)處；
（2）如圖2，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，一只螞蟻從正四棱柱底面上的點(diǎn)沿著棱柱表面爬到處；
（3）如圖3，圓錐的母線長(zhǎng)為4cm，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖4所示，且，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)．
【答案】（1）cm（2）cm（3）
【分析】（1）根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖可知螞蟻爬的路線是，，構(gòu)成的直角三角形，而斜邊就是最短路線，根據(jù)勾股定理可求解；
（2）根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖可知螞蟻爬的路線是，，構(gòu)成的直角三角形，或由，，構(gòu)成的直角三角形，而斜邊就是最短路線，根據(jù)勾股定理可求解，然后比較找到最短；
（3）根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，最短距離是扇形展開(kāi)圖的弦，因此求出弦長(zhǎng)即可.
【詳解】解：
（1）；
（2）畫(huà)圖分兩種情況：
①當(dāng)橫向剪開(kāi)時(shí)：，
②當(dāng)豎向剪開(kāi)時(shí)：，
∵，∴最短路程為．
（3）如圖所示：
連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在和中，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴所求的最短的路程為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間想象能力，同時(shí)要求能將立體圖形側(cè)面展開(kāi)，有一定難度。
考點(diǎn)：立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用
27．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖有一個(gè)四級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬分別為18分米、4分米．
(1)如果給臺(tái)階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級(jí)臺(tái)階的高為多少分米？
(2)A和C是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，臺(tái)階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺(tái)階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？
【答案】(1)每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米．
(2)螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．
【分析】（1）設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；
（2）先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．
【詳解】（1）解：設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，
根據(jù)題意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米；
（2）四級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為18分米，寬為（2＋4）×4＝24分米，
則螞蟻沿臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到C點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．
由勾股定理得：AC＝（分米），
答：螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．
分類(lèi)討論
示意圖
展開(kāi)圖
最短距離
小結(jié)
前+上
AB=a2+（b+c）2=a2+b2+c2+2bc
最小值取決于
ab，bc，ac
的大小
左+上
AB=b2+（a+c）2=a2+b2+c2+2ac
前+右
AB=c2+（a+b）2=a2+b2+c2+2ab
分類(lèi)討論
示意圖
展開(kāi)圖
最短距離
爬行半圈
最短距離=（Πr）2+h2
爬行一圈
最短距離=（2Πr）2+h2
示意圖
展開(kāi)圖
作法
最短距離
點(diǎn)A’為點(diǎn)A關(guān)于圓柱上沿的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，若點(diǎn)A’與點(diǎn)B的垂直距離為h，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題求解
AB=（Πr）2+h2
問(wèn)題
示意圖
展開(kāi)圖
最短距離
如圖，三級(jí)臺(tái)階的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬，高分別為20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，求最短路程
AB=[(3+2)×3]2+202
=25
問(wèn)題
示意圖
展開(kāi)圖
最短距離
如圖，現(xiàn)有一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑為4cm，母線長(zhǎng)為6cm，一只螞蟻在點(diǎn)A位置，食物在母線BC的中點(diǎn)點(diǎn)D處，螞蟻沿著圓錐表面由點(diǎn)A向點(diǎn)D處爬行覓食，路線如圖所示，求最短距離
先利用扇形弧長(zhǎng)公式求圓心角，再根據(jù)勾股定理求AD長(zhǎng)

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