【知識要點(diǎn)】
知識點(diǎn)一 三角形的概念
三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。
三角形的表示：用符號“”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。
三角形的分類：
1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形 等腰三角形等邊三角形 底邊和腰不相等的等腰三角形
2）三角形按角分類：三角形直角三角形 斜三角形銳角三角形鈍角三角形
等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。
等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形（特殊的等腰三角形）。
三角形三邊的關(guān)系：1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊。
2）三角形的任意兩邊之差小于第三邊。
幾何描述：記三角形三邊長分別是a，b，c，則a＋b＞c或c－b＜a。
3）判斷三條線段能否組成三角形，只需判斷上述兩個(gè)條件滿足其一即可。
【解題技巧】已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a－b|＜c＜a＋b
三角形的穩(wěn)定性: 三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了。
【注意事項(xiàng)】1）三角形具有穩(wěn)定性;
2）四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性;
3）要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了。
考查題型一 三角形的穩(wěn)定性
題型1．(2023·湖南永州·中考真題）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．B．C．D．
題型1-1．(2023·廣東·中考真題）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．平行四邊形B．三角形C．長方形D．正方形
考查題型二 三角形的三邊關(guān)系
題型2．(2023·江蘇淮安·中考真題）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
題型2-1．(2023·浙江衢州·中考真題）線段首尾順次相接組成三角形，若，則的長度可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
題型2-2．(2023·湖南益陽·中考真題）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個(gè)矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
題型2-3．(2023·河北·中考真題）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
題型2-4．(2023·青海西寧·中考真題）若長度是4，6，a的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（ ）
A．2B．5C．10D．11
題型2-5．(2023·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
知識點(diǎn)二 與三角形有關(guān)的線段
三角形的高概念：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線。
常見三角形（△ABC）的高：
三角形的中線概念：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。
三角形的重心：三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心一定在三角形內(nèi)。
【推論】
1）S?ABD=S?ACD，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形。
2）三角形任意一邊的中線把三角形分割成的兩個(gè)小三角形周長的差C?ACD?C?ABD=AC?AB。
三角形的角平分線概念：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。
注意：三角形的角平分線、三角形的高、中線是一條線段，角的平分線是一條射線。
考查題型三 三角形的高
題型3．(2023·浙江杭州·中考真題）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（ ）
A．線段CD是ABC的AC邊上的高線B．線段CD是ABC的AB邊上的高線
C．線段AD是ABC的BC邊上的高線D．線段AD是ABC的AC邊上的高線
題型3-1．(2023·北京·中考真題）如圖，在中，平分若則____．
題型3-2．(2023·山東聊城·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)O，連接BO并延長交AC于點(diǎn)F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，則CE：AD：BF值為____________．
題型3-3．(2023·山東青島·中考真題）【圖形定義】
有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形．
例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．
【性質(zhì)探究】
如圖①，用，分別表示和的面積．
則，
∵
∴．
【性質(zhì)應(yīng)用】
(1)如圖②，D是的邊上的一點(diǎn)．若，則__________；
(2)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點(diǎn)．若，，，則__________，_________；
(3)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點(diǎn)，若，，，則__________．
考查題型四 三角形的中線
題型4．(2023·湖北荊門·中考真題）如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點(diǎn)，具有性質(zhì)：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為 _____．
題型4-1．(2023·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，是中線的中點(diǎn)．若的面積是1，則的面積是______．
題型4-2．(2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，是的中線，點(diǎn)F在上，延長交于點(diǎn)D．若，則______．
考查題型五 三角形的角平分線
題型5．(2023·河北·中考真題）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（ ）
A．中線B．中位線C．高線D．角平分線
題型5-1．(2023·湖南懷化·中考真題）在中，，平分，交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，若，則的長為（ ）
A．3B．C．2D．6
題型5-2(2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，直線，一塊含有30°角的直角三角尺頂點(diǎn)E位于直線CD上，EG平分，則的度數(shù)為_________°．
題型5-3．(2023·浙江溫州·中考真題）如圖，是的角平分線，在上取點(diǎn)，使．
（1）求證：．
（2）若，，求的度數(shù)．
題型5-4．(2023·廣西柳州·中考真題）如圖，已知OC平分∠MON，點(diǎn)A、B分別在射線OM，ON上，且OA＝OB．
求證：△AOC≌△BOC．
題型5-5．(2023·湖北武漢·中考真題）如圖，直線分別與直線，交于點(diǎn)，．平分，平分，且∥．求證：∥．
知識點(diǎn)三 與三角形有關(guān)的角
三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，即：在?ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。
三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角
【性質(zhì)】1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。
2）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。
三角形的外角和定理：三角形的外角和是360°
直角三角形的表示方法：直角三角形可以用符號"Rt△"表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC。
直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
考查題型六 三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用
題型6．(2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，延長到點(diǎn)，使，連接，則的度數(shù)（ ）
A．B．C．D．
題型6-1．(2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，直線，等邊三角形的頂點(diǎn)在直線上，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
題型6-2．(2023·西藏·中考真題）如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE翻折，使點(diǎn)B落在上，連接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，則的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
題型6-3．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，、交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（用含的代數(shù)式表示）（ ）
A．B．C．D．
題型6-4．(2023·河北·中考真題）要得知作業(yè)紙上兩相交直線AB，CD所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點(diǎn)不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直接測量．兩同學(xué)提供了如下間接測量方案（如圖1和圖2）：對于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
題型6-5．(2023·四川自貢·中考真題）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
題型6-6．(2023·貴州黔西·中考真題）如圖，在和中，，，，AC與DE相交于點(diǎn)F．若，則的度數(shù)為_____．
題型6-7．(2023·四川綿陽·中考真題）兩個(gè)三角形如圖擺放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE與AC交于M，若， 則∠DMC的大小為_________．
題型6-8．(2023·湖南湘潭·中考真題）如圖，一束光沿方向，先后經(jīng)過平面鏡、反射后，沿方向射出，已知，，則_________．
題型6-9．(2023·河北·中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)___________（填“增加”或“減少”）___________度．
題型6-10．(2023·浙江·中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個(gè)如圖所示的正五角星（是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)），則圖中的度數(shù)是_______度．
題型6-11．(2023·福建·中考真題）已知，AB＝AC，AB＞BC．
(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．
考查題型七 三角形外角和的性質(zhì)
題型7．(2023·山東淄博·中考真題）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路AB∥CD，道路AB與AE的夾角∠BAE＝50°．城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE，要求CF＝EF，則∠E的度數(shù)為（ ）
A．23°B．25°C．27°D．30°
題型7-1．(2023·江蘇南通·中考真題）如圖，，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
題型7-2．(2023·遼寧遼寧·中考真題）如圖，OG平分∠MON，點(diǎn)A，B是射線OM，ON上的點(diǎn)，連接AB．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C，交BN于點(diǎn)D；②分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于CD長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③作射線BE，交OG于點(diǎn)P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，則∠OPB的度數(shù)為（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
題型7-3．(2023·四川德陽·中考真題）如圖，直線，，，則（ ）
A．B．C．D．
題型7-4．(2023·遼寧本溪·中考真題）一副三角板如圖所示擺放，若，則的度數(shù)是（ ）
A．80°B．95°C．100°D．110°
題型7-5．(2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）一副三角板如圖放置，，，，則_________．
題型7-6．(2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD=α．
(1)如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．
(2)當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD=β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．
專題18 三角形
【考查題型】
【知識要點(diǎn)】
知識點(diǎn)一 三角形的概念
三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。
三角形的表示：用符號“”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。
三角形的分類：
1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形 等腰三角形等邊三角形 底邊和腰不相等的等腰三角形
2）三角形按角分類：三角形直角三角形 斜三角形銳角三角形鈍角三角形
等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。
等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形（特殊的等腰三角形）。
三角形三邊的關(guān)系：1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊。
2）三角形的任意兩邊之差小于第三邊。
幾何描述：記三角形三邊長分別是a，b，c，則a＋b＞c或c－b＜a。
3）判斷三條線段能否組成三角形，只需判斷上述兩個(gè)條件滿足其一即可。
【解題技巧】已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a－b|＜c＜a＋b
三角形的穩(wěn)定性: 三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了。
【注意事項(xiàng)】1）三角形具有穩(wěn)定性;
2）四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性;
3）要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了。
考查題型一 三角形的穩(wěn)定性
題型1．(2023·湖南永州·中考真題）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：利用三角形具有穩(wěn)定性直接得出答案．
【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形、五邊形、六邊形都具有不穩(wěn)定性，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的特性，牢記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．
題型1-1．(2023·廣東·中考真題）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．平行四邊形B．三角形C．長方形D．正方形
答案:B
分析：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性可得結(jié)論．
【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，比較簡單．
考查題型二 三角形的三邊關(guān)系
題型2．(2023·江蘇淮安·中考真題）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
答案:C
分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可．
【詳解】A.∵，
∴長度為3，3，6的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；
B.∵，
∴長度為3，5，10的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；
C.∵，，
∴長度為4，6，9的三條線段能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；
D.∵，
∴長度為4，5，9的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．
題型2-1．(2023·浙江衢州·中考真題）線段首尾順次相接組成三角形，若，則的長度可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案:A
分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊只差小于第三邊，即可得出c的取值范圍．
【詳解】解：∵，
∴，
即：，
∴c的長度可能為3．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊和關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形三邊關(guān)系，得出第三邊的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
題型2-2．(2023·湖南益陽·中考真題）如圖1所示，將長為6的矩形紙片沿虛線折成3個(gè)矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案:B
分析：本題實(shí)際上是長為6的線段圍成一個(gè)等腰三角形，求腰的取值范圍．
【詳解】解：長為6的線段圍成等腰三角形的兩腰為a．則底邊長為6﹣2a．
由題意得，，
解得＜a＜3，
所給選項(xiàng)中分別為：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式組的解集，
∴a只能取2．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊之間的關(guān)系、解不等式組，解題的關(guān)鍵是把把三棱柱的問題轉(zhuǎn)化為三角形三邊的問題．
題型2-3．(2023·河北·中考真題）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
答案:C
分析：如圖（見解析），設(shè)這個(gè)凸五邊形為，連接，并設(shè)，先在和中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得，，從而可得，，再在中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得，從而可得，由此即可得出答案．
【詳解】解：如圖，設(shè)這個(gè)凸五邊形為，連接，并設(shè)，
在中，，即，
在中，，即，
所以，，
在中，，
所以，
觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，通過作輔助線，構(gòu)造三個(gè)三角形是解題關(guān)鍵．
題型2-4．(2023·青海西寧·中考真題）若長度是4，6，a的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（ ）
A．2B．5C．10D．11
答案:B
分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出6-4＜a＜6+4，求出a的取值范圍，即可求解．
【詳解】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：6-4

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