1）平行線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；
幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；
幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.。
幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°
三角形外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。
二、模型的概述：
模型一：已知AB∥CD，則∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系為: ∠1=∠2+∠3
證明：
1）延長AB，交DE邊于點O（圖1）
2）延長BE，交CD邊于點O（圖2）
3）過點E作OP∥AB（圖3）
模型二：已知AB∥CD，則∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系為: ∠1+∠3-∠2=180°
證明：
1)延長AB，與CE邊相交于點O（圖1）
2)過點E作OP∥AB（圖2）

【基礎(chǔ)過關(guān)練】
1．如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．
2．如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．
3．如圖，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．
4．如圖，，于點．若，則的度數(shù)為_______．
5．如圖，直線，直線AB交，于D，B兩點，交直線于點C．若，則__________．
6．如圖，直線，是直線上一點，是直線外一點，若，，則的度數(shù)為________．
7．如圖，已知，∠A＝40°，∠C＝65°，則∠P的度數(shù)為 _____．
8．歡歡觀察“抖空竹”時發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是________度．
9．如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______
【提高測試】
1．①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線 EF，點在直線上，則．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．①如圖1，ABCD，則∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A＋∠C；③如圖3，ABCD，則∠A＋∠E－∠1＝180°；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C＋∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
3．如圖，AB∥CD，BF,DF 分別平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 與∠ABE 互補，則∠F 的度數(shù)為
A．30°B．35°C．36°D．45°
4．如圖，則與的數(shù)量關(guān)系是( )
A．B．
C．D．
5．如圖，已知直線、被直線所截，，E是平面內(nèi)任意一點（點E不在直線、、上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．①②③④
6．請閱讀小明同學在學習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題.
小明:老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型一“豬蹄模型”.即
已知:如圖1，，為、之間一點，連接， 得到.
求證:
小明筆記上寫出的證明過程如下:
證明:過點作，
∴
∵，
∴
∴.
∵
∴
請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題.
（1）如圖，若，，則___________.
（2）如圖，，平分，平分，，則___________.
7．已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；
（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．
8．（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；
（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．
（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．
9．已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如圖，當點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；
(2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況．
①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；
②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．
10．請你探究：如圖（1），木桿與平行，木桿的兩端、用一橡皮筋連接．
（1）在圖（1）中，與有何關(guān)系？
（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（注：以上各問，只寫出探究結(jié)果，不用說明理由）
11．如圖，已知，求證：.
12．如圖所示，，，，求的度數(shù).
13．已知，AB∥DE，點C在AB上方，連接BC、CD．
（1）如圖1，求證：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如圖2，過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點G，連接GB并延長至點H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
專題04 翹腳模型
一、基礎(chǔ)知識回顧
1）平行線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；
幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；
幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.。
幾何符號語言：∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°
三角形外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。
二、模型的概述：
模型一：已知AB∥CD，則∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系為: ∠1=∠2+∠3
證明：
1）延長AB，交DE邊于點O（圖1）
2）延長BE，交CD邊于點O（圖2）
3）過點E作OP∥AB（圖3）
模型二：已知AB∥CD，則∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系為: ∠1+∠3-∠2=180°
證明：
1)延長AB，與CE邊相交于點O（圖1）
2)過點E作OP∥AB（圖2）

【基礎(chǔ)過關(guān)練】
1．如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式__________．
【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角定義求解即可．
【詳解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案為：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平角定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
2．如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．
【答案】57°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補；3、如果兩直線平行，那么它們的內(nèi)錯角相等，據(jù)此計算即可．
【詳解】解：設(shè)AE、CD交于點F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，
∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，
∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-123°=57°，
故答案為：57°．
【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．
【答案】
【分析】延長交BC于M，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等證明∠BMD=∠ABC，再求解，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：延長交BC于M，
∵
∴∠BMD=∠ABC=80°，
∴；
又∵∠CDE=∠CMD+∠C，
∴．
故答案是：40°
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．三角形的外角的性質(zhì)，鄰補角的定義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，，于點．若，則的度數(shù)為_______．
【答案】
【分析】是的外交，通過平行和平角的關(guān)系求出，即可求解的度數(shù)．
【詳解】解：如圖所示，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，且，即，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形外交的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，三角形的外交等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，直線，直線AB交，于D，B兩點，交直線于點C．若，則__________．
【答案】110°##110度
【分析】利用垂直定義和三角形內(nèi)角和定理計算出∠ADC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可得∠3的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：如圖所示：
∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∵∠1=20°，
∴∠ADC=180°-90°-20°=70°，
∵，
∴∠3=∠ADC=70°，
∴∠2=180°-70°=110°，
故答案為：110°．
【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角定理，垂直的定義，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．
6．如圖，直線，是直線上一點，是直線外一點，若，，則的度數(shù)為________．
【答案】##120度
【分析】直接利用平行線的性質(zhì)并結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．
【詳解】解：延長交于點，
∵，，，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴的度數(shù)為．
故答案為：．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，求一個角的補角等知識．正確理解和運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，已知，∠A＝40°，∠C＝65°，則∠P的度數(shù)為 _____．
【答案】25°##25度
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PEB=∠C，利用三角形外角的性質(zhì)，求出∠P的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：25°．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行同位角相等，是解題的關(guān)鍵．
8．歡歡觀察“抖空竹”時發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是________度．
【答案】20
【分析】延長DC交AE于點F，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BAE=∠DFE=，利用外角的性質(zhì)求出∠E=∠DCE-∠DFE=-=即可．
【詳解】延長DC交AE于點F，
∵ABDC，
∴∠BAE=∠DFE=，
∵∠DCE=，
∴∠E=∠DCE-∠DFE=-=，
故答案為20．
【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行同位角相等，以及三角形外角的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______
【答案】180°
【分析】延長EA交CD于點F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據(jù)可得∠1=∠EFD，最后根據(jù)領(lǐng)補角及等量代換可求解．
【詳解】解：延長EA交CD于點F，如圖所示：
，
∠1=∠EFD，
∠2+∠EFC=∠3，
，
，
；
故答案為180°．
【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【提高測試】
1．①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線 EF，點在直線上，則．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】①過點E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得出結(jié)論；
②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷；
③如圖3，過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．
【詳解】解：
①如圖1，過點E作直線EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①錯誤；
②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正確；
③如圖3，過點E作直線EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③錯誤；
④如圖4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正確；
綜上結(jié)論正確的個數(shù)為2，
故選：B．
【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
2．①如圖1，ABCD，則∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A＋∠C；③如圖3，ABCD，則∠A＋∠E－∠1＝180°；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C＋∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】①過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
②過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
③過點E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先過點P作直線，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和同位角相等即可作出判斷．
【詳解】解：①過點E作直線，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①錯誤；
②過點E作直線，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正確；
③過點E作直線，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正確；
④如圖，過點P作直線，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正確．
綜上所述，正確的小題有②③④．
故選：C．
【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
3．如圖，AB∥CD，BF,DF 分別平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 與∠ABE 互補，則∠F 的度數(shù)為
A．30°B．35°C．36°D．45°
【答案】C
【分析】延長BG交CD于G,然后運用平行的性質(zhì)和角平分線的定義，進行解答即可.
【詳解】解：如圖延長BG交CD于G
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 與∠ABE 互補
∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°
故答案選C.
【點睛】本題考查了平行的性質(zhì)和角平分線的定義，做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.
4．如圖，則與的數(shù)量關(guān)系是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先設(shè)角，利用平行線的性質(zhì)表示出待求角，再利用整體思想即可求解．
【詳解】設(shè)
則
∵
∴
∴
故選：D．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，注意整體思想的運用．
5．如圖，已知直線、被直線所截，，E是平面內(nèi)任意一點（點E不在直線、、上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】由題意根據(jù)點E有6種可能位置，分情況進行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進行計算求解即可．
【詳解】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）當點E在CD的下方時，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故選：D．
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)的運用，解題時注意兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及分類討論．
6．請閱讀小明同學在學習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題.
小明:老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型一“豬蹄模型”.即
已知:如圖1，，為、之間一點，連接， 得到.
求證:
小明筆記上寫出的證明過程如下:
證明:過點作，
∴
∵，
∴
∴.
∵
∴
請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題.
（1）如圖，若，，則___________.
（2）如圖，，平分，平分，，則___________.
【答案】 240° 51°
【分析】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代換計算∠B+∠F+∠C；
（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關(guān)系，結(jié)合條件可求得∠H．
【詳解】（1）解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，
AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，
∵，
∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；
（2）解：如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，
∵平分，平分，
∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，
∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，
∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，
∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，
又∵∠BGC=∠BHC+27°，
∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，
∴∠BHC =51°．
故答案為：（1）240°；（2）51°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦然．
7．已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；
（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及內(nèi)錯角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結(jié)論即可求解．
【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
過點P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如圖，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)設(shè)PD交AN于O，如圖，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
8．（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；
（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．
（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．
【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．
【分析】（1）過E作EMAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；
（2）過E作EMAB，過F作FNAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；
（3）過P作PLAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可．
【詳解】解：（1）過E作EMAB，
∵ABCD，
∴CDEMAB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF，
∵∠DCF＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠CEM＝60°，
又∵∠CEB＝20°，
∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，
∴∠ABE＝40°；
（2）過E作EMAB，過F作FNAB，
∵∠EBF＝2∠ABF，
∴設(shè)∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，
∵CF平分∠DCE，
∴設(shè)∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y，
∵ABCD，
∴EMABCD，
∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，
∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，
同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x，
∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，
∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，
∴x＝10°，
∴∠ABE＝3x＝30°；
（3）過P作PLAB，
∵GM平分∠DGP，
∴設(shè)∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y，
∵PQ平分∠BPG，
∴設(shè)∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，
∵PQGN，
∴∠PGN＝∠GPQ＝x，
∵ABCD，
∴PLABCD，
∴∠GPL＝∠DGP＝2y，
∠BPL＝∠ABP＝30°，
∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，
∴30°＝2y﹣2x，
∴y﹣x＝15°，
∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x，
∴∠MGN＝15°．
【點睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理．
9．已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如圖，當點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；
(2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況．
①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；
②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．
【答案】(1)證明見詳解
(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解
【分析】（1）如圖4過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；
（2）①如圖5過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；
②如圖6過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出．
（1）
解：如圖4所示：過點作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）
解：①如圖5過點作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
②如圖6過點作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴．
【點睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，準確的作出輔助線和找到對應(yīng)的內(nèi)錯角是解決本題的關(guān)鍵．
10．請你探究：如圖（1），木桿與平行，木桿的兩端、用一橡皮筋連接．
（1）在圖（1）中，與有何關(guān)系？
（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？
（注：以上各問，只寫出探究結(jié)果，不用說明理由）
【答案】（1）∠B+∠C=180o；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360o；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”即可解答；
（2）過點A作AD∥BE，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”即可得出結(jié)論；
（3）同樣過點A作AD∥BE，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”即可得出結(jié)論；
（4）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論；
（5）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論．
【詳解】（1）如圖（1）∵與平行，∴∠B+∠C=180o；
（2）如圖（2），過點A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF（平行于同一條直線的兩條直線平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，
即∠B+∠C=∠A；
（3）如圖（3），過點A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180o，∠DAC+∠C=180o，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360o，
即∠B+∠A+∠C=360o；
（4）如圖（4），設(shè)BE與AC相交于D，
∵與平行，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，
∴∠A+∠B=∠C；
（5）如圖（5），設(shè)CF與AB相交于D，
∵與平行，
∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠B．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，作輔助平行線是解答的關(guān)鍵．
11．如圖，已知，求證：.
【答案】見解析.
【分析】作PQ∥BE，由平行線的性質(zhì)和判定可求證BE∥FC，然后再由鄰補角的定義、三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可求證∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
【詳解】解：作PQ∥BE，如圖所示：
∵BE∥PQ，
∴∠1=∠EOP，
∵∠3=∠1+∠2，∠3=∠EOP+∠POF，
∴∠2=∠POF，
∴PQ∥FC，
∴BE∥FC，
∴∠AME=∠FNA，
又∵∠AME=∠A+∠B,∠FND=∠C+∠D,∠FNA+∠FND=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)、三角形的外角和定理、鄰補角的定義等知識點，根據(jù)題意和所學知識證明BE∥FC是解題的關(guān)鍵.
12．如圖所示，，，，求的度數(shù).
【答案】.
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，
又因為，得到，所以.
【詳解】因為，結(jié)合題意，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，
，
即，
，
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).
13．已知，AB∥DE，點C在AB上方，連接BC、CD．
（1）如圖1，求證：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如圖2，過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點G，連接GB并延長至點H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．
【分析】（1）過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得證；
（2）過點作，同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，從而可得，再根據(jù)垂直的定義可得，由此即可得出結(jié)論；
（3）過點作，延長至點，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)角平分線的定義、結(jié)合（2）的結(jié)論可得，然后根據(jù)角的和差、對頂角相等可得，由此即可得出答案．
【詳解】證明：（1）如圖，過點作，
，
，
，
，即，
，
；
（2）如圖，過點作，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
（3）如圖，過點作，延長至點，
，
，
，
，
平分，平分，
，
由（2）可知，，
，
又，
．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等、角平分線的定義等知識點，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

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