【夯實基礎】
題型1求直線的點斜式方程
1.方程y＝k(x－2)表示( )
A．通過點(－2,0)的所有直線
B．通過點(2,0)的所有直線
C．通過點(2,0)且不垂直于x軸的所有直線
D．通過點(2,0)且除去x軸的所有直線
【答案】C
【分析】由方程y=k（x-2）知直線過點（2，0）且直線的斜率存在，可得結(jié)論．
【詳解】由方程y=k（x-2）知直線過點（2，0）且直線的斜率存在．
故選C．
【點睛】本題考查恒過定點的直線，容易誤選B．
2.經(jīng)過點（1，-3），傾斜角是150°的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由直線的傾斜角求得直線的斜率，再由直線的點斜式方程求解．
【詳解】解：∵直線的傾斜角為150°，∴所求直線的斜率k=tan150°=，
又直線過點（1，-3），
∴所求直線方程為y+3=（x-1），即．
故選B．
【點睛】本題考查直線的傾斜角與直線的斜率的關系，考查直線的點斜式方程，是基礎題．
3.直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】變形得點斜式，根據(jù)斜率可得傾斜角.
【詳解】直線的點斜式為，
即直線斜率為，斜率為傾斜角正切值，故直線的傾斜角為
故選：D.
4.過點的直線的傾斜角是直線:的傾斜角的2倍，則直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由的斜率得傾斜角，從而得直線的傾斜角，得斜率后可得直線方程．
【詳解】，，所以，所以直線的方程是：
，即．
故選：B．
5.直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直線方程得直線斜率，再由斜率得傾斜角．
【詳解】由已知直線的斜率為，所以其傾斜角為.
故選：C．
6.經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出直線的斜率，再由點斜式求得直線的方程．
【詳解】傾斜角為的直線的斜率，再根據(jù)直線經(jīng)過點，
由點斜式求得直線的方程為，即，
故選D．
【點睛】本題考查了由點斜式的方法求直線的方程，屬于基礎題．
題型2直線的斜截式方程
7.過點且斜率為2的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先寫出直線的點斜式方程，而后化成斜截式方程選出答案即可.
【詳解】因為直線過點且斜率為2，所以直線方程為：
，化簡得：.
故選：D
【點睛】本題考查了直線的點斜式方程，屬于基礎題.
8.已知則直線不過
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【分析】將直線方程整理為斜截式，結(jié)合其斜截式方程確定直線經(jīng)過的象限即可.
【詳解】直線方程即：，
其斜率，直線在軸的截距，
據(jù)此可知直線不經(jīng)過第二象限.
本題選擇B選項.
【點睛】本題主要考查直線方程及其應用，屬于基礎題.
9.已知直線l的方程為y+(x1)，則l在y軸上的截距為（ ）
A．9B．9
C．D．
【答案】B
【分析】把方程化為斜截式方程，即可得結(jié)論．
【詳解】解：由y+(x1)，得y=x，∴l(xiāng)在y軸上的截距為.
故選：B
【點睛】本題考查求直線的截距，掌握截距概念是解題關鍵．直線的縱截距是直線與軸交點的縱坐標，不是距離，可以為負．
10.已知直線過，并與兩坐標軸截得等腰三角形，那么直線的方程是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)直線與兩坐標軸截得等腰三角形可得直線得斜率為1或-1，利用直線方程得點斜式即可求解.
【詳解】解：由題意可知，所求直線的傾斜角為或，即直線的斜率為1或-1，
故直線方程為或，
即或.
故選：C.
11.(多選題）已知直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線的傾斜角是
B．圖像經(jīng)過第一、二、三象限
C．過與直線平行的直線方程是
D．若直線，則
【答案】BC
【分析】由直線方程得斜率，從而得傾斜角，判斷A，結(jié)合直線的縱截距可判斷B，確定直線是否平行且是否過已知點判斷C，由垂直的條件判斷D．
【詳解】由直線方程知直線斜率為，因此傾斜角為，又縱截距是1，因此直線過一、二、三象限，A錯B正確；
直線與直線平行，且，即過點，C正確；
，與不垂直，D錯．
故選：BC．
12.（多選題）直線經(jīng)過點，在軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】CD
【分析】設直線l的方程，求出在x軸上的截距，根據(jù)截距范圍列不等式求解即可.
【詳解】解：設直線l的方程為，
令，，
得，解得或，
觀察可得CD符合.
故選：CD.
題型3點斜式、斜截式方程的綜合應用
13.下列不可以表示與軸垂直的直線的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)表示與軸垂直的直線方程的特征和點斜式方程的適用范圍進行求解即可.
【詳解】對于A，即表示與軸垂直的直線，故A不符合題意；
對于B，表示軸，與軸垂直，故B不符合題意；
對于C，即表示與軸垂直的直線，故C不符合題意；
對于D，對于斜率不存在的直線，其方程不能用點斜式表示，故D符合題意.
故選：D
14.經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率關系可求得斜率，再利用直線的點斜式方程即可求得結(jié)果.
【詳解】由傾斜角為可得，直線斜率為
由直線的點斜式方程得直線方程為；
即.
故選：C.
15.過點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】D
【解析】分兩種情況討論：當直線過原點時，斜率為，由點斜式寫出直線的方程；當直線不過原點時，設直線的方程是：，把點代入方程求解即可.
【詳解】當直線過原點時，斜率為，由點斜式求得直線的方程是．
當直線不過原點時，設直線的方程是：，
把點代入方程得，
所以直線的方程是.
綜上，所求直線的方程為或.
故選：D．
【點睛】本題主要考查直線的方程的求法，還考查了分類討論的思想方法，屬于基礎題.
【能力提升】
單選題
1.已知直線的方程是，則（ ）
A．直線經(jīng)過點，斜率為2
B．直線經(jīng)過點，斜率為2
C．直線經(jīng)過點，斜率為2
D．直線經(jīng)過點，斜率為
【答案】C
【分析】化直線為點斜式，即可判斷
【詳解】直線方程可化為，故直線經(jīng)過點，斜率為2．
故選：C
【點睛】本題考查直線的點斜式方程及斜率，是基礎題
2.已知直線經(jīng)過點，且與直線平行，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用直線的點斜式方程求出的方程，
【詳解】直線經(jīng)過點，且與直線平行，則的方程為，化簡得
故選：C
【點睛】本題考查直線的方程，考查點斜式方程的應用，屬于基礎題．
3.已知直線過點，且與直線平行，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線平行的斜率關系可得直線的斜率，再結(jié)合點斜式即可得解.
【詳解】直線與直線平行，
直線的斜率與的斜率相等，即直線的斜率：；
又直線過點，
則由點斜式可知直線方程為
整理可得：
故選：C.
【點睛】本題考查了直線位置關系與斜率關系，點斜式求直線方程，屬于基礎題.
4.直線在x軸上的截距為3，則實數(shù)m的值為（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】代入方程，即可求解.
【詳解】將代入直線方程得，解得．
故選：B.
【點睛】本題考查直線的橫截距的概念，屬于基礎題.
5.傾斜角為45°，在y軸上的截距為2021的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由傾斜角求出斜率，結(jié)合點斜式寫出直線方程.
【詳解】因為傾斜角為45°，所以直線的斜率為k=tan45°=1，又在y軸上的截距為2021，所以所求直線的方程為y=x+2021，即x-y+2021=0.
故選：B.
6.過點，傾斜角為150°的直線方程為（ ）
A．y－2＝－ (x＋4)
B．y－(－2)＝－ (x－4)
C．y－(－2)＝ (x－4)
D．y－2＝ (x＋4)
【答案】B
【分析】求出直線的傾斜角的正切值即為直線的斜率，又直線過點，則由求出的斜率和點的坐標寫出直線的方程即可
【詳解】由直線的傾斜角為，得到直線的斜率
又直線過點
則直線的方程為
故選：B
7.過點且傾斜角為的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由傾斜角為求出直線的斜率，再利用點斜式可求出直線方程
【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，
所以直線方程為，即，
故選：D
8.直線經(jīng)過第二、三、四象限，則斜率和在軸上的截距滿足的條件為（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】作出的圖象，由圖象可得結(jié)論.
【詳解】在平面直角坐標系中作出圖象，如圖所示：

由圖可知：，.
故選：B.
多選題
9.下列四個命題中錯誤的有（ ）
A．直線的傾斜角越大，其斜率越大
B．直線傾斜角的取值范圍是
C．兩條不同的直線平行的充要條件是它們的斜率相等
D．過點的直線平行于直線
【答案】AC
【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關系判斷A，傾斜角的定義判斷B，平行直線的充要條件判斷C,直線方程的定義判斷D.
【詳解】對于A，傾斜角為銳角對應的斜率為正數(shù)，
傾斜角為鈍角對應的斜率為負，所以銳角對應的斜率大于鈍角對應的斜率，故A錯誤；
對于B，直線的傾斜角的范圍為，故B正確；
對于C，兩條不同的直線平行的充要條件是它們的斜率相等或斜率都不存在，故C錯誤；
對于D，過點的直線方程為平行于直線，故D正確.
故選:AC
10.下列各直線中與直線y＝2x平行的直線方程為（ ）
A．y＝2x＋4
B．y－1＝2(x＋4)
C．y－1＝ (x－2)
D．y－1＝2
【答案】AB
【分析】根據(jù)直線平行的性質(zhì)定理即可求解．
【詳解】直線y＝2x的斜率為2，若兩直線平行則斜率相等；
A中直線的斜率為2，且y＝2x與不重合，A正確；
B中直線的斜率為2，且y＝2x與不重合，B正確；
C中直線的斜率為，C錯；
D中直線y－1＝2化為y＝2x與已知直線重合，D錯．
故選：AB
11.一次函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．當時，函數(shù)圖像經(jīng)過一、二、三象限
B．當時，函數(shù)圖像經(jīng)過一、三、四象限
C．時，函數(shù)圖像必經(jīng)過一、三象限
D．時，函數(shù)在實數(shù)上恒為增函數(shù)
【答案】ABCD
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的斜率以及的正負，對選項逐個判斷即可；
【詳解】在一次函數(shù)中，若，則圖像經(jīng)過一、二、三象限；
若，則圖像經(jīng)過一、三、四象限；
若，函數(shù)圖像必經(jīng)過一、三象限，且函數(shù)在實數(shù)上恒為增函數(shù)；
故選:ABCD.
12.過點（1，2）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程（ ）
A．2x-y=0B．x+y-3=0C．x-y+1=0D．x+y-1=0
【答案】AB
【分析】設直線方程為，然后求出橫縱截距列方程，解得即可得到直線方程.
【詳解】因為橫縱截距相等，所以直線的斜率存在且不為零，設直線方程為，令，得到，令，得到，所以，解得或2，所以直線方程為或.故選：AB.
填空題
13.已知A(3，4)，B(－1，0)，則過AB的中點且傾斜角為120°的直線方程是________．
【答案】x＋y－2－＝0
【解析】求出中點坐標和斜率后，根據(jù)點斜式可得結(jié)果.
【詳解】設AB的中點為M，則M(1，2)，
又斜率k＝－，直線的方程為y－2＝－ (x－1)．即x＋y－2－＝0.
故答案為：x＋y－2－＝0
【點睛】關鍵點點睛：掌握斜率的定義和直線方程的點斜式是本題的解題關鍵.
14.．不論m為何實數(shù)，直線mx－y＋3＝0 恒過定點___________________（填點的坐標）
【答案】
【分析】將方程變形成點斜式可得.
【詳解】將直線變形為，由直線方程的點斜式可知直線過定點.
故答案為：
15.直線l過點(3,2)，且與直線及x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形．則直線l的方程為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的斜率，再利用直線點斜式方程列式作答.
【詳解】因直線l與直線及x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，則直線l與直線的傾斜角互補，
于是得直線l的斜率為，直線l的方程為，即，
所以直線l的方程為.
故答案為：
16.經(jīng)過點和的直線方程為________________.
【答案】
【分析】利用兩點式求直線的斜率，根據(jù)所過的點寫出直線方程即可.
【詳解】由題設，直線方程的斜率，
∴直線方程為，故所求方程為.
故答案為：
解答題
17.寫出下列直線的斜截式方程.
（1）斜率是，在y軸上的截距是；
（2）斜率是，在y軸上的截距是4．
【答案】（1）；（2）；
【分析】由直線的斜截式方程求解即可.
【詳解】(1) 因為直線斜率是，在y軸上的截距是，
所以直線的斜截式方程為；
（2）因為直線斜率是，在y軸上的截距是4，
所以直線的斜截式方程為；
18.已知平面內(nèi)兩點，.
（1）求線段的中垂線方程；
（2）求過點且與直線平行的直線的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用中點坐標公式以及兩直線垂直時斜率間的關系即可得到中垂線方程；
（2）利用平行直線斜率相等以及點斜式即可得到直線的方程.
【詳解】（1）因為，，所以線段中點，
因為，所以線段的中垂線的斜率為，
所以線段的中垂線方程為：，即；
（2）因為直線與直線平行，所以，又因為過，
所以直線的方程為：，即.
19.已知直線過點和．
（1）求直線的點斜式方程；
（2）將（1）中的直線的方程化成斜截式方程，并寫出直線在軸上的截距．
【答案】（1）（或）；（2）；直線在軸上的截距為．
【分析】（1）根據(jù)直線斜率公式求出直線斜率再根據(jù)點斜式方程求法直接寫出答案；
（2）將所求的點斜式方程化為斜截式方程，令則可求出直線在軸上的截距.
【詳解】（1）直線的斜率，
故直線的點斜式方程為（或）．
（2）由得，
所以直線的斜截式方程為，
當時，，所以直線在軸上的截距為．
20.根據(jù)下列條件，分別寫出直線的方程：
(1)經(jīng)過點，斜率為3；
(2)經(jīng)過點，斜率為；
(3)經(jīng)過點，斜率為；
(4)經(jīng)過點，斜率為0；
(5)斜率為，在y軸上的截距為；
(6)斜率為，與x軸交點的橫坐標為.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)；
(6) .
【分析】根據(jù)直線的點斜式方程和斜截式方程依次求解即可.
(1)因為直線過點，斜率為3，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
(2)因為直線過點，斜率為，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
(3)因為直線過點，斜率為-1，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
(4)因為直線過點，斜率為0，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即；
(5)因為直線在y軸上的截距為-2，斜率為-2，
由直線的斜截式方程可得直線方程為：；
(6)因為直線與x軸的交點的橫坐標為-7，所以該點的坐標為(-7,0)，又斜率為，
由直線的點斜式方程可得直線方程為：，
即.

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2.2 直線的方程

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