【回歸教材】
1.條件概率與概率的乘法公式
（1）條件概率的定義：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且，稱 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．簡稱條件概率．
（2）讀法：一般把讀作
（3）乘法公式：① ．
②公式的推導依據(jù)：，即根據(jù)事件A發(fā)生的概率以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，可以求出A與B同時發(fā)生的概率．
2.條件概率的性質
（1）設，則1． （2）如果B和C是兩個互斥事件，那么 ．
（3）設和B互為對立事件，則 . （4）．
3.全概率公式
若樣本空間中的事件滿足：
（1）任意兩個事件均 ，即，． （2） ．
（3）．則對任意事件，都有 ，則稱該公式為 ．
上述公式可借助圖形來理解：
4.事件的相互獨立性
（1）相互獨立事件的定義：對任意兩個事件A與B，如果 成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．
（2）相互獨立事件的性質：當事件A，B相互獨立時，則事件 與事件 相互獨立，事件 與事件 相互獨立，事件 與事件 相互獨立．
5.二項分布
(1)在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，
則 ，此時稱隨機變量X服從 ，記為 ，
并稱p為成功概率
(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝ ，D(X)＝
【典例講練】
題型一 條件概率與全概率公式
【例1-1】設，則（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】某地市場調查發(fā)現(xiàn)，的人喜歡在網上購買家用小電器，其余的人則喜歡在實體店購買家用小電器.經該地市場監(jiān)管局抽樣調查發(fā)現(xiàn)，在網上購買的家用小電器的合格率為，而在實體店購買的家用小電器的合格率為.現(xiàn)該地市場監(jiān)管局接到一個關于家用小電器不合格的投訴電話，則這臺被投訴的家用小電器是在網上購買的概率是__________.
【例1-3】一電器商城出售的某種家電產品來自甲?乙?丙三家工廠，這三家工廠的產品比例為，且它們的產品合格率分別為96%，95%，98%，現(xiàn)從該商城的這種家電產品中隨機抽取一件，則取到的產品是合格品的概率為___________.
歸納總結：
【練習1-1】新冠病毒存在人際間傳播現(xiàn)象，即存在A傳B，B又傳C，C又傳D的傳染現(xiàn)象，那么A，B，C就被稱為第一代?第二代?第三代傳播者.假設一個身體健康的人被第一代?第二代?第三代傳播者感染的概率分別為0.9，0.8，0.7.已知健康的小明參加了一次多人宴會，參加宴會的人中有5名第一代傳播者，3名第二代傳播者，2名第三代傳播者，若小明參加宴會僅和感染的10個人中的一個有所接觸，則被感染的概率為___________；若小明被感染，則是被第三代傳播者感染的概率為___________.
題型二 相互獨立事件的概率
【例2-1】已知事件相互獨立，且，則下列結論中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】甲、乙兩人獨立地破譯密碼的概率分別為、. 求：
（1）兩個人都譯出密碼的概率； （2）兩個人都譯不出密碼的概率；
（3）恰有一人譯出密碼的概率； （4）至多一人譯出密碼的概率；
（5）至少一人譯出密碼的概率.
歸納總結：
【練習2-1】【多選題】先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（ ）
A．與互斥B．
C．與對立D．與相互獨立
【練習2-2】某學校派出甲、乙、丙三名同學參加英語演講比賽，已知甲、乙、丙三人晉級的概率分別為，，，且三人是否晉級彼此獨立.
(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人晉級的概率； (2)求甲、乙、丙三人中恰有兩人晉級的概率.
題型三 獨立重復試驗
【例3-1】【多選】下列說法正確的是（ ）．
A．設為重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，則
B．在重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響
C．對于重伯努利試驗，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同
D．如果在次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在重伯努利試驗中，這個事件恰好發(fā)生次的概率，
【例3-2】某項比賽規(guī)則是3局2勝，甲乙兩人進行比賽，假設甲每局獲勝的概率為，則由此估計甲獲勝的概率為______.
歸納總結：
【練習3-1】甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多得2分或打滿6局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽結束時甲得2分乙得0分的概率為___________，設比賽停止時已打局數(shù)為，則___________.
題型四 二項分布
【例4-1】已知隨機變量，若，則（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】某人在11次射擊中擊中目標的次數(shù)為X，若，若最大，則k＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【例4-3】福州紙傘是歷史悠久的中國傳統(tǒng)手工藝品，屬于福州三寶之一．紙傘的制作工序大致分為三步：第一步削傘架，第二步裱傘面，第三步繪花刷油．已知某工藝師在每個步驟制作合格的概率分別為，，，只有當每個步驟制作都合格才認為制作成功1次．
(1)求該工藝師進行3次制作，恰有1次制作成功的概率；
(2)若該工藝師制作4次，其中制作成功的次數(shù)為，求的分布列．
歸納總結：
【練習4-1】【多選題】如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一木塊上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留著適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為、、、、，用表示小球落入格子的號碼，則（ ）
A． B． C． D．
【練習4-2】某射擊運動員進行了4次射擊，假設每次射擊命中目標的概率都為，且各次命中目標與否是相互獨立的.用表示這4次射擊中命中目標的次數(shù)，求隨機變量的分布列和期望.
【完成課時作業(yè)（七十一）】
【課時作業(yè)（七十一）】
A組 礎題鞏固
1．設X為隨機變量，且，若隨機變量X的方差，則（ ）
A．B．C．D．
2．冬天的北方室外溫度極低，若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，將會大大地方便人們的出行．某科研人員制作石墨烯發(fā)熱膜的過程分為三步，且第一步成功的概率為，若第一步成功，第二步失敗的概率為，若前兩步成功，第三步失敗的概率為，則這位科研人員成功制作出石墨烯發(fā)熱膜的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立 C．乙與丙相互獨立D．丙與丁相互獨立
4．【多選題】同時拋擲兩個質地均勻的四面分別標有1，2，3，4的正四面體一次，記事件A表示“第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)”，事件B表示“第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)”，事件C表示“兩個四面體向下的一面同時出現(xiàn)奇數(shù)或者同時出現(xiàn)偶數(shù)”，則（ ）
A． B． C．D．
5．【多選題】已知某足球運動員每次定點射門的命中率為0.5，則下述正確的是（ ）
A．若共進行10次射門，則命中次數(shù)的數(shù)學期望等于5 B．若共進行10次射門，則命中5次的概率最大
C．若共進行5次射門，則命中次數(shù)的方差等于1 D．若共進行5次射門，則至少有兩次命中的概率為
6．記為事件的對立事件，且，則___________.
7．青花釉里紅，俗稱“青花加紫”，是我國珍貴的瓷器品種之一．釉里紅的燒制工藝難度較大，因此燒制成功率較低假設釉里紅瓷器開窯后經檢驗分為成品和廢品兩類，從某工匠燒制的一批釉里紅瓷器中，有放回地抽取兩次，每次隨機抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率為．記從該批瓷器中任取1件是成品的概率為p．
(1)求p的值．
(2)假設該工匠燒制的任意1件這種瓷器是成品的概率均為p，且每件瓷器的燒制相互獨立，這種瓷器成品每件利潤為10萬元，廢品的利潤為0元．現(xiàn)他燒制3件這種資器，設這3件瓷器的總利潤為X萬元，求X的分布列及數(shù)學期望．
8．在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
B組 挑戰(zhàn)自我
1．【多選題】如圖所示的電路由，兩個系統(tǒng)組成，其中M，N，P，Q，L是五個不同的元件，若元件M，N，P，Q，L出現(xiàn)故障的概率分別為，，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．元件M，N均正常工作的概率為 B．系統(tǒng)正常工作的概率為
C．系統(tǒng)正常工作的概率為 D．系統(tǒng)，均正常工作的概率為
2．設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定兩位同學每天到校情況相互獨立．用X表示甲同學上學期間的某周五天中7：30之前到校的天數(shù)，則______，記“上學期間的某周的五天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學恰好多3天”為事件M，則______．
3．每年的月日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權日”.為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了名高一學生進行在線調查，得到了這名學生的日平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)為進一步了解這名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人.記日平均閱讀時間在內的學生人數(shù)為，求的分布列；
(2)以調查結果的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中.求當最大時，的取值.
第 9 課時 n次獨立重復試驗與二項分布
編寫：廖云波
【回歸教材】
1.條件概率與概率的乘法公式
（1）條件概率的定義：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．簡稱條件概率．
（2）讀法：一般把讀作在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率
（3）乘法公式：① ．
②公式的推導依據(jù)：，即根據(jù)事件A發(fā)生的概率以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，可以求出A與B同時發(fā)生的概率．
2.條件概率的性質
（1）設，則1． （2）如果B和C是兩個互斥事件，那么．
（3）設和B互為對立事件，則. （4）．
3.全概率公式
若樣本空間中的事件滿足：
（1）任意兩個事件均互斥，即，． （2）．
（3）．則對任意事件，都有，則稱該公式為全概率公式．
上述公式可借助圖形來理解：
4.事件的相互獨立性
（1）相互獨立事件的定義：對任意兩個事件A與B，如果________成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．
（2）相互獨立事件的性質：當事件A，B相互獨立時，則事件________與事件________相互獨立，事件________與事件________相互獨立，事件________與事件________相互獨立．
5.二項分布
(1)在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，
則，此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X～B(n，p)，
并稱p為成功概率
(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)
【典例講練】
題型一 條件概率與全概率公式
【例1-1】設，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用條件概率的公式算出，也利用條件概率公式算出最終答案
【詳解】因為，且，所以
，所以，
故選：D.
【例1-2】某地市場調查發(fā)現(xiàn)，的人喜歡在網上購買家用小電器，其余的人則喜歡在實體店購買家用小電器.經該地市場監(jiān)管局抽樣調查發(fā)現(xiàn)，在網上購買的家用小電器的合格率為，而在實體店購買的家用小電器的合格率為.現(xiàn)該地市場監(jiān)管局接到一個關于家用小電器不合格的投訴電話，則這臺被投訴的家用小電器是在網上購買的概率是__________.
【答案】
【分析】設A=“家用小電器不合格”，B=“家用小電器在網上購買的”，由條件概率的計算公式可得答案.
【詳解】設A=“家用小電器不合格”，B=“家用小電器在網上購買的”，則
，，故
故答案為：
【例1-3】一電器商城出售的某種家電產品來自甲?乙?丙三家工廠，這三家工廠的產品比例為，且它們的產品合格率分別為96%，95%，98%，現(xiàn)從該商城的這種家電產品中隨機抽取一件，則取到的產品是合格品的概率為___________.
【答案】0.96
【分析】易知取到合格品的情況有三種，分別算出每一種合格品的概率即可.
【詳解】由題意知，取到合格品的情況又三種：甲廠合格、乙廠合格、丙廠合格概率分別為所以渠道合格品的概率為
故答案為：0.96
歸納總結：
【練習1-1】新冠病毒存在人際間傳播現(xiàn)象，即存在A傳B，B又傳C，C又傳D的傳染現(xiàn)象，那么A，B，C就被稱為第一代?第二代?第三代傳播者.假設一個身體健康的人被第一代?第二代?第三代傳播者感染的概率分別為0.9，0.8，0.7.已知健康的小明參加了一次多人宴會，參加宴會的人中有5名第一代傳播者，3名第二代傳播者，2名第三代傳播者，若小明參加宴會僅和感染的10個人中的一個有所接觸，則被感染的概率為___________；若小明被感染，則是被第三代傳播者感染的概率為___________.
【答案】 0.83##； .
【分析】設事件“小明與第一代傳播者接觸”，事件“小明與第二代傳播者接觸”，事件“小明與第三代傳播者接觸”，事件“小明被感染”，則，，，，，，根據(jù)事全概率公式以及貝葉斯公式計算可得答案.
【詳解】設事件“小明與第一代傳播者接觸”，事件“小明與第二代傳播者接觸”，
事件“小明與第三代傳播者接觸”，事件“小明被感染”，
則，，，
，，，
所以小明被感染的概率為
；
小明被感染,則是被第三代感染的概率為
故答案為：0.83；.
題型二 相互獨立事件的概率
【例2-1】已知事件相互獨立，且，則下列結論中錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)事件，，，都相互獨立，利用相互獨立事件概率公式計算即可.
【詳解】由題意，事件相互獨立，則，，都相互獨立，
事件與事件為對立事件，且，則，故正確；事件與事件為相互獨立，則，故正確；
事件相互獨立，事件為和事件，則，故C錯誤；
事件，相互獨立，而事件為和事件，
所以，故D正確.
故選：C.
【例2-2】甲、乙兩人獨立地破譯密碼的概率分別為、. 求：
（1）兩個人都譯出密碼的概率；
（2）兩個人都譯不出密碼的概率；
（3）恰有一人譯出密碼的概率；
（4）至多一人譯出密碼的概率；
（5）至少一人譯出密碼的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【分析】（1）利用相互獨立事件的概率乘法公式可求得結果；
（2）利用相互獨立事件的概率乘法公式結合對立事件的概率公式可求得結果；
（3）利用相互獨立事件的概率乘法公式結合互斥事件的概率加法公式可求得結果；
（4）結合（1）由對立事件的概率公式可求得結果；
（5）結合（2）由對立事件的概率公式可求得結果.
【詳解】記事件為“甲獨立地譯出密碼”，事件為“乙獨立地譯出密碼”.
（1）兩個人都譯出密碼的概率為.
（2）兩個人都譯不出密碼的概率為.
（3）恰有一人譯出密碼分為兩類：甲譯出乙譯不出，乙譯出甲譯不出，
即，
∴
.
（4）至多一人譯出密碼的對立事件是兩人都譯出密碼，
∴其概率為.
（5）至少一人譯出密碼的對立事件為兩個都沒有譯出密碼，
∴其概率為.
歸納總結：
【練習2-1】【多選題】先后兩次擲一枚質地均勻的骰子，表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（ ）
A．與互斥B．
C．與對立D．與相互獨立
【答案】BD
【分析】AC選項可以根據(jù)互斥和對立的定義判斷，D選項可以通過判斷是否成立，B選項依據(jù)“正難則反” 的思路計算.
【詳解】A選項，兩次投擲的點數(shù)不同，仍有可能點數(shù)之和為4，于是與可以同時發(fā)生，并不互斥，A選項錯誤；
兩次都不出現(xiàn)奇數(shù)點的事件記為，依題意，于是，B選項正確；
C選項，當?shù)谝淮瓮冻銎鏀?shù)點，第二次投出偶數(shù)點，那么事件同時發(fā)生了，并不互斥，根據(jù)互斥和對立的關系，與也不對立，C選項錯誤；
D選項，，兩次投擲的點數(shù)相同，顯然是6種情況，于是，意為兩次投出的點數(shù)均為偶數(shù)，顯然只有3種情況，于是，符合獨立事件的定義，故D選項正確.
故選：BD
【練習2-2】某學校派出甲、乙、丙三名同學參加英語演講比賽，已知甲、乙、丙三人晉級的概率分別為，，，且三人是否晉級彼此獨立.
(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人晉級的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中恰有兩人晉級的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）正難則反，先求三個人全沒有晉級的概率，再用對立事件求概率即可；（2）分成三種情況，分別考慮其中有一人沒有晉級的情況.
(1)
設甲乙丙三人至少一人晉級的事件為，依題意；
(2)
設甲乙丙三人至少一人晉級的事件為，依題意.
題型三 獨立重復試驗
【例3-1】【多選】下列說法正確的是（ ）．
A．設為重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，則
B．在重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響
C．對于重伯努利試驗，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同
D．如果在次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在重伯努利試驗中，這個事件恰好發(fā)生次的概率，
【答案】ABD
【分析】根據(jù)重伯努利試驗的特征和二項分布的定義可依次判斷各個選項得到結果.
【詳解】一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗為重伯努利試驗．
在重伯努利試驗中，各次試驗的結果相互之間沒有影響，各次試驗中事件發(fā)生的概率相同．故B正確，C錯誤．
二項分布的定義為：在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，
則這個事件恰好發(fā)生次的概率，．
如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作．故A正確，D正確．
故選：ABD．
【例3-2】某項比賽規(guī)則是3局2勝，甲乙兩人進行比賽，假設甲每局獲勝的概率為，則由此估計甲獲勝的概率為______.
【答案】
【分析】由題可知甲獲勝的有兩類，和，然后利用獨立事件概率公式計算即得.
【詳解】因為甲獲勝的方式有和兩種，
所以甲獲勝的概率為.
故答案為：.
歸納總結：
【練習3-1】甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多得2分或打滿6局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽結束時甲得2分乙得0分的概率為___________，設比賽停止時已打局數(shù)為，則___________.
【答案】
【分析】比賽結束時甲得2分乙得0分的情況是比賽進行了2局，甲2局都勝；表示的是前4局中沒有分出勝負，即前2局中各勝一局，第3、4局各勝一局，代入計算即可得出答案.
【詳解】比賽結束時甲得2分乙得0分的情況是比賽進行了2局，甲2局都勝，所以，
則比賽結束時甲得2分乙得0分的概率為.
因為表示的是前4局中沒有分出勝負，即前2局中各勝一局，第3、4局各勝一局，
所以.
故答案為：；
題型四 二項分布
【例4-1】已知隨機變量，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二項分布的期望和方差公式，結合二項分布的定義即可求解.
【詳解】由，得，解得
所以.
故選：D.
【例4-2】某人在11次射擊中擊中目標的次數(shù)為X，若，若最大，則k＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】若最大，則，解出的范圍，代入數(shù)值.
【詳解】因為 ，若最大，則
，化簡得： ， .
代入已知數(shù)值得： ，所以 時最大.
故選：C.
【例4-3】福州紙傘是歷史悠久的中國傳統(tǒng)手工藝品，屬于福州三寶之一．紙傘的制作工序大致分為三步：第一步削傘架，第二步裱傘面，第三步繪花刷油．已知某工藝師在每個步驟制作合格的概率分別為，，，只有當每個步驟制作都合格才認為制作成功1次．
(1)求該工藝師進行3次制作，恰有1次制作成功的概率；
(2)若該工藝師制作4次，其中制作成功的次數(shù)為，求的分布列．
【答案】(1) (2)的分布列見解析
【分析】（1）先求出1次制作成功的概率，在結合二項分布概率公式，即可求解；（2）若該工藝師制作4次，其中制作成功的次數(shù)為，的可能取值為0，1，2，3，4，即可得的分布列.
（1）由題意可知，1次制作成功的概率為，
所以該工藝師進行3次制作，恰有1次制作成功的概率．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，，
它的分布列為
即
歸納總結：
【練習4-1】【多選題】如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一木塊上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留著適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為、、、、，用表示小球落入格子的號碼，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】設，則，分別計算出概率，計算出方差后可判斷各選項．
【詳解】設，依題意，，
對于A選項，，A對；
對于B選項，，
由二項式系數(shù)的性質可知中，最大，
則，B對；
對于C選項，，C錯；
對于D選項，，D對.
故選：ABD.
【練習4-2】某射擊運動員進行了4次射擊，假設每次射擊命中目標的概率都為，且各次命中目標與否是相互獨立的.用表示這4次射擊中命中目標的次數(shù)，求隨機變量的分布列和期望.
【答案】分布列見解析；
期望：，
【分析】先分析的可能取值為0,1,2,3,4，再由二項分布知識可得概率和分布列.
【詳解】每次射擊都有兩種可能的結果：命中目標或沒有命中目標，并且每次射擊命中目標的概率
都是，每次射擊沒有命中目標的概率均為.在4次射擊中，命中目標的次
數(shù)的可能取值為0,1,2,3,4.
事實上，當時，4次射擊有次命中目標，有次沒有命中目
標，這包含種情況.根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，可
得
的分布如下表：
則
【完成課時作業(yè)（七十一）】
【課時作業(yè)（七十一）】
A組 礎題鞏固
1．設X為隨機變量，且，若隨機變量X的方差，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二項分布的方差公式可求得，再根據(jù)二項分布的概率求解即可
【詳解】因為，故，故
故選：B
2．冬天的北方室外溫度極低，若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，將會大大地方便人們的出行．某科研人員制作石墨烯發(fā)熱膜的過程分為三步，且第一步成功的概率為，若第一步成功，第二步失敗的概率為，若前兩步成功，第三步失敗的概率為，則這位科研人員成功制作出石墨烯發(fā)熱膜的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由對立事件、條件概率、全概率的公式代入即可得出答案.
【詳解】記事件表示“制作石墨烯發(fā)熱膜第i步時失敗”（i＝1，2，3），
記事件B表示“成功制作出石墨烯發(fā)熱膜”．因為，
所以．
故選：B.
3．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨立B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立D．丙與丁相互獨立
【答案】B
【分析】根據(jù)獨立事件概率關系逐一判斷
【詳解】 ，
故選：B
4．【多選題】同時拋擲兩個質地均勻的四面分別標有1，2，3，4的正四面體一次，記事件A表示“第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)”，事件B表示“第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)”，事件C表示“兩個四面體向下的一面同時出現(xiàn)奇數(shù)或者同時出現(xiàn)偶數(shù)”，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由相互獨立事件的乘法公式可判斷A、C、D；由條件概率公式可判斷B；
【詳解】因為事件A，B，C兩兩相互獨立，所以，
，，所以，故A正確．
易知，，所以，故B正確．
事件A，B，C不可能同時發(fā)生，故，故C錯誤；
，故D錯誤．
故選：AB．
5．【多選題】已知某足球運動員每次定點射門的命中率為0.5，則下述正確的是（ ）
A．若共進行10次射門，則命中次數(shù)的數(shù)學期望等于5B．若共進行10次射門，則命中5次的概率最大
C．若共進行5次射門，則命中次數(shù)的方差等于1D．若共進行5次射門，則至少有兩次命中的概率為
【答案】AB
【分析】由二項分布的概率公式以及期望方差公式依次判斷即可.
【詳解】設表示運動員命中次數(shù)為次，由題意可知，隨機變量服從二項分布，若進行10次射門，則，
，若進行5次射門，則，
；
對于A，由二項分布期望公式得數(shù)學期望為，A正確；
由二項式系數(shù)性質知中最大，則命中5次的概率最大，B正確；
對于C，由二項分布方差公式知，命中次數(shù)的方差等于，C錯誤；
對于D，至少命中兩次的概率，D錯誤.
故選：AB.
6．記為事件的對立事件，且，則___________.
【答案】##0.75
【分析】利用條件概率公式可得，進而即得.
【詳解】因為，
∴，
∴.
故答案為：.
7．青花釉里紅，俗稱“青花加紫”，是我國珍貴的瓷器品種之一．釉里紅的燒制工藝難度較大，因此燒制成功率較低假設釉里紅瓷器開窯后經檢驗分為成品和廢品兩類，從某工匠燒制的一批釉里紅瓷器中，有放回地抽取兩次，每次隨機抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率為．記從該批瓷器中任取1件是成品的概率為p．
(1)求p的值．
(2)假設該工匠燒制的任意1件這種瓷器是成品的概率均為p，且每件瓷器的燒制相互獨立，這種瓷器成品每件利潤為10萬元，廢品的利潤為0元．現(xiàn)他燒制3件這種資器，設這3件瓷器的總利潤為X萬元，求X的分布列及數(shù)學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)獨立事件的乘法公式即可求解；（2）根據(jù)二項分布的概率公式即可求解分布列以及期望.
(1)
設A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”，表示事件“取出的2件瓷器中無成品”，表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”，
則
，
解得．
(2)
設這3件中成品的件數(shù)為Y．
由題可知．
因為，
所以，
，
，
，
所以X的分布列為
所以．
8．在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【答案】(1)歲；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應區(qū)間的中點值的和即可求出；
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
（1）平均年齡 （歲）．
（2）設{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．
（3）設“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
B組 挑戰(zhàn)自我
1．【多選題】如圖所示的電路由，兩個系統(tǒng)組成，其中M，N，P，Q，L是五個不同的元件，若元件M，N，P，Q，L出現(xiàn)故障的概率分別為，，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．元件M，N均正常工作的概率為B．系統(tǒng)正常工作的概率為
C．系統(tǒng)正常工作的概率為D．系統(tǒng)，均正常工作的概率為
【答案】BD
【分析】對于A，利用獨立事件的概率公式求解即可，對于B，先求出系統(tǒng)不能正常工作的概率，然后利用對立事件的概率公式求解，對于C，先求出系統(tǒng)不能正常工作的概率，然后利用對立事件的概率公式求解，對于D，利用獨立事件的概率公式求解即可，
【詳解】設事件A，B，C，D，E分別表示M，N，P，Q，L元件出現(xiàn)故障，則，，，，所以元件M，N均正常工作的概率為，A錯誤，
系統(tǒng)正常工作的概率為，B正確；
系統(tǒng)正常工作的概率為，C錯誤；
系統(tǒng)，均正常工作的概率為，D正確.
故選：BD.
2．設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定兩位同學每天到校情況相互獨立．用X表示甲同學上學期間的某周五天中7：30之前到校的天數(shù)，則______，記“上學期間的某周的五天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學恰好多3天”為事件M，則______．
【答案】
【分析】設乙同學上學期間的五天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則，，然后根據(jù)二項分布的知識算出答案即可.
【詳解】由題意知，它的分布列為，k＝0，1，2，3，4，5，
所以．
設乙同學上學期間的五天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則，它的分布列為，
且事件，
又事件，，之間互斥，且X與Y相互獨立，
所以．
故答案為：；.
3．每年的月日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權日”.為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了名高一學生進行在線調查，得到了這名學生的日平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)為進一步了解這名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人.記日平均閱讀時間在內的學生人數(shù)為，求的分布列；
(2)以調查結果的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生日平均閱讀時間在(單位：小時)內的概率，其中.求當最大時，的取值.
【答案】(1)分布列見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的性質，結合古典概型的計算公式進行求解即可；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1，結合二項分布的性質進行求解即可.
(1)
由分層抽樣性質知，從閱讀時間在中抽取5人，從閱讀時間在中抽取4人，從閱讀時間在中抽取1人，
從該10人中抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
則的分布列為：
(2)
（2）由概率和為1得：，
解得：.
學生日平均閱讀時間在的概率，則，
因此有且，解得，
當時，最大.
X
0
1
2
3
4
P
x
0
1
2
3
4
P

X
0
10
20
30
P
0
1
2
3

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