知識(shí)梳理
1．條件概率及其性質(zhì)
(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A)來(lái)表示，其公式為P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?).
(2)條件概率具有的性質(zhì)
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，
則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互獨(dú)立事件
(1)對(duì)于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B是相互獨(dú)立事件．
(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．
P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與eq \x\t(B)，eq \x\t(A)與B，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)也都相互獨(dú)立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立．
3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．
(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)．設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．
題型歸納
題型1條件概率
【例1-1】(1)已知一種元件的使用壽命超過(guò)1年的概率為0.8，超過(guò)2年的概率為0.6，若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞，則這個(gè)元件使用壽命超過(guò)2年的概率為( )
A．0.75 B．0.6
C．0.52 D．0.48
(2)將三顆骰子各擲一次，記事件A為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，B為“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則條件概率P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________.
【解析】 (1)設(shè)一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞為事件A，使用到2年時(shí)還未損壞為事件B，則由題意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，則這個(gè)元件使用壽命超過(guò)2年的概率為P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(0.6,0.8)＝0.75，故選A.
(2)P(A|B)的含義是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的條件下，“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的概率，因?yàn)椤爸辽俪霈F(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”有6×6×6－5×5×5＝91種情況，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)，且三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”共有Ceq \\al(1,3)×5×4＝60種情況，所以P(A|B)＝eq \f(60,91).P(B|A)的含義是在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，即在“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的條件下，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的概率，因?yàn)椤叭齻€(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”有6×5×4＝120種情況，所以P(B|A)＝eq \f(60,120)＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)A (2)eq \f(60,91) eq \f(1,2)
【跟蹤訓(xùn)練1-1】某種電路開關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為eq \f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為eq \f(1,5)，則開關(guān)在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為________．
【解析】設(shè)“開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“開關(guān)第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B，則“開關(guān)兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈”為事件AB，“開關(guān)在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B|A，由題意得P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(2,5).
【答案】eq \f(2,5)
【跟蹤訓(xùn)練1-2】現(xiàn)有3道理科題和2道文科題共5道題，若不放回地一次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為________．
【解析】法一：設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(3×2,A\\al(2,5)),\f(3,5))＝eq \f(1,2).
法二：在第1次抽到理科題的條件下，還有2道理科題和2道文科題，故在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為eq \f(1,2).
【答案】eq \f(1,2)
【名師指導(dǎo)】
條件概率的3種求法
題型2相互獨(dú)立事件的概率
【例2-1】 11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為 0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為 0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．
【解】 (1)X＝2就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．
因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲獲勝，就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．
因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
【跟蹤訓(xùn)練2-1】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4).
(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；
(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率．
【解】 (1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3，
則P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)，
P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(11,24)，
P(X＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)，
P(X＝3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24).
所以隨機(jī)變量X的分布列為
(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝eq \f(1,4)×eq \f(11,24)＋eq \f(11,24)×eq \f(1,4)
＝eq \f(11,48).
所以這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為eq \f(11,48).
【名師指導(dǎo)】
利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路
(1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥簡(jiǎn)單事件的和．
(2)將彼此互斥簡(jiǎn)單事件中的簡(jiǎn)單事件，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知(易求)概率的相互獨(dú)立事件的積事件．
(3)代入概率的積公式求解．
題型3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
【例3-1】設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為eq \f(2,3).假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．
(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率．
【解】 (1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為eq \f(2,3)，故X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，從而P(X＝k)＝Ceq \\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3－k，k＝0,1,2,3.
所以隨機(jī)變量X的分布列為
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×eq \f(2,3)＝2.
(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．
由題意知事件{X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}與{Y＝1}，事件{X＝2}與{Y＝0}均相互獨(dú)立，
從而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝eq \f(8,27)×eq \f(2,9)＋eq \f(4,9)×eq \f(1,27)＝eq \f(20,243).
【跟蹤訓(xùn)練3-1】食品安全問(wèn)題越來(lái)越受到人們的重視，某超市在某種蔬菜進(jìn)貨前，要求食品安檢部門對(duì)每箱蔬菜進(jìn)行三輪各項(xiàng)指標(biāo)的綜合檢測(cè)，只有三輪檢測(cè)都合格，蔬菜才能在該超市銷售．已知每箱這種蔬菜第一輪檢測(cè)不合格的概率為eq \f(1,7)，第二輪檢測(cè)不合格的概率為eq \f(1,8)，第三輪檢測(cè)合格的概率為eq \f(8,9)，每輪檢測(cè)只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測(cè)是否合格相互之間沒(méi)有影響．
(1)求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；
(2)如果這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利400元，如果不能在該超市銷售，則每箱虧損200元，現(xiàn)有4箱這種蔬菜，求這4箱蔬菜總收益的分布列．
【解】(1)記Ai(i＝1,2,3)分別為事件“第一、二、三輪檢測(cè)合格”，A為事件“每箱這種蔬菜不能在該超市銷售”．
由題設(shè)知P(A1)＝1－eq \f(1,7)＝eq \f(6,7)，P(A2)＝1－eq \f(1,8)＝eq \f(7,8)，P(A3)＝eq \f(8,9)，
所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－eq \f(6,7)×eq \f(7,8)×eq \f(8,9)＝eq \f(1,3).
(2)設(shè)這4箱蔬菜的總收益為隨機(jī)變量X，則X的所有可能取值為1 600,1 000,400，－200，－800，
且P(X＝1 600)＝Ceq \\al(4,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0＝eq \f(16,81)，
P(X＝1 000)＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,81)，
P(X＝400)＝Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(24,81)，
P(X＝－200)＝Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(8,81)，
P(X＝－800)＝Ceq \\al(0,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(1,81).
故X的分布列為
【跟蹤訓(xùn)練3-2】已知某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為eq \f(1,3)，某植物研究所分三個(gè)小組分別獨(dú)立進(jìn)行該種子的發(fā)芽試驗(yàn)，每次試驗(yàn)種一粒種子，每次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立．假定某次試驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次試驗(yàn)是成功的，如果種子沒(méi)有發(fā)芽，則稱該次試驗(yàn)是失敗的．
(1)第一小組做了四次試驗(yàn)，求該小組恰有兩次失敗的概率；
(2)第二小組做了四次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功與失敗的次數(shù)的差的絕對(duì)值為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)第三小組進(jìn)行試驗(yàn)，到成功了四次為止，在第四次成功之前共有三次失敗的前提下，求恰有兩次連續(xù)失敗的概率．
【解】(1)該小組恰有兩次失敗的概率P＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4－2＝eq \f(24,81)＝eq \f(8,27).
(2)由題意可知X的取值集合為{0,2,4}，
則P(X＝0)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4－2＝eq \f(24,81)＝eq \f(8,27)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4－1＋Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4－3＝eq \f(32＋8,81)＝eq \f(40,81)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(0,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4＋Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(16＋1,81)＝eq \f(17,81).
故X的分布列為
E(X)＝0×eq \f(8,27)＋2×eq \f(40,81)＋4×eq \f(17,81)＝eq \f(148,81)，即所求數(shù)學(xué)期望為eq \f(148,81).
(3)由題意可知，在第四次成功之前共有三次失敗的前提下，共有Ceq \\al(3,6)＝20(個(gè))基本事件，而滿足恰有兩次連續(xù)失敗的基本事件共有Aeq \\al(2,4)＝12(個(gè))，從而由古典概型可得所求概率P＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5).
【名師指導(dǎo)】
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問(wèn)題的類型及解題策略
(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．
(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率．定義法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?)
縮樣法
縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,4)
eq \f(11,24)
eq \f(1,4)
eq \f(1,24)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)
X
1 600
1 000
400
－200
－800
P
eq \f(16,81)
eq \f(32,81)
eq \f(24,81)
eq \f(8,81)
eq \f(1,81)
X
0
2
4
P
eq \f(8,27)
eq \f(40,81)
eq \f(17,81)

相關(guān)試卷

高中數(shù)學(xué)高考第6節(jié) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 課件練習(xí)題：

這是一份高中數(shù)學(xué)高考第6節(jié) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 課件練習(xí)題，共57頁(yè)。PPT課件主要包含了點(diǎn)擊右圖進(jìn)入等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)高考課后限時(shí)集訓(xùn)70 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 作業(yè)：

這是一份高中數(shù)學(xué)高考課后限時(shí)集訓(xùn)70 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 作業(yè)，共8頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)高考第60講 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（學(xué)生版）：

這是一份高中數(shù)學(xué)高考第60講 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（學(xué)生版），共4頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第60講《n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布》達(dá)標(biāo)檢測(cè)(解析版)

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第60講《n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布》達(dá)標(biāo)檢測(cè)(解析版)
北師大版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章第7節(jié)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布課時(shí)作業(yè)理含解析

北師大版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章第7節(jié)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布課時(shí)作業(yè)理含解析
第60講 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）

第60講 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納 （學(xué)生版+教師版）
專題9.7 條件概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘

專題9.7 條件概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部