【例1】某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按元/千瓦時收費(fèi)，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費(fèi)，超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費(fèi).
(1)求某戶居民的用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：千瓦時）的函數(shù)解析式；
(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中今年1月份用電費(fèi)用小于260元的占，求的值；
(3)根據(jù)（2）中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的分位數(shù)和平均數(shù).
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1】某花店每天以每枝8元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝18元的價格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花回收給農(nóng)場，每枝可換取3元．花店記錄了100天玫瑰花的日銷量（單位：枝），整理得下表．
(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天銷量n（單位；枝，）的函數(shù)解析式；
(2)根據(jù)所列表格數(shù)據(jù)，以100天記錄的日銷量的頻率作為概率．
①若花店兩天的銷量互不影響，求兩天一共售出30枝玫瑰花的概率；
②若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，求兩種情況下一天利潤的分布列，并以兩種情況的利潤的期望值作為依據(jù)，判斷應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？
題型二 概率、統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)
【例2】2．隨著中國經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，市場石料需求急增．西部某縣有豐富的優(yōu)質(zhì)石料，當(dāng)?shù)卣疀Q定有序開發(fā)本縣石料資源．因建立石料廠會破壞生態(tài)，該縣決定石料開發(fā)走“開發(fā)治理結(jié)合，人類生態(tài)友好”的路線.當(dāng)?shù)卣垏噎h(huán)保機(jī)構(gòu)每年對該縣與石料開發(fā)相關(guān)的生態(tài)（以下簡稱生態(tài)）進(jìn)行評估．若生態(tài)開始變差，則下一年石料廠將停產(chǎn)（本問題中，時間以整數(shù)年為單位），生態(tài)友好后復(fù)產(chǎn)．該縣在建石料廠之初投入巨資進(jìn)行與之有關(guān)的生態(tài)建設(shè)，考慮到可持續(xù)發(fā)展，這種生態(tài)投入（以下簡稱生態(tài)投入）將逐年減少（a是常數(shù)，）億元．該縣從2021年起，若某年生態(tài)友好，則下一年生態(tài)變差的概率是；若某年生態(tài)變差，則下一年生態(tài)友好的概率為．模型顯示，生態(tài)變差的概率不大于0.16683時，該縣生態(tài)將不再變差，生態(tài)投入結(jié)束．
(1)若2021年該縣生態(tài)變差的概率為，求該縣2022年生態(tài)友好的概率；
(2)若2021年該縣生態(tài)變差概率為，生態(tài)投入是40億元，a為何值時，從2021年開始到生態(tài)投入結(jié)束，對該縣總生態(tài)投入額最??？并求出其最小值．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2】某盒子裝有60個小球（除顏色之外其他完全相同），其中有若干黑球，其他均為白球．為了估計(jì)黑球的數(shù)目，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)：從盒子中有放回地抽取4個球，記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X，作為一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果．進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)共5次，記錄下第i次實(shí)驗(yàn)中實(shí)際抽到黑球的數(shù)目．已知從該盒子中任意抽取一個球，抽到黑球的概率為．
(1)求X的分布列；
(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，已知第i次實(shí)驗(yàn)中抽到黑球的數(shù)目如下表所示．
設(shè)函數(shù)．
（?。┣蟮臉O大值點(diǎn)；
（ⅱ）據(jù)（?。┕烙?jì)該盒子中黑球的數(shù)目，并說明理由．
題型三 概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列
【例3】2022年4月23日是第27個“世界讀書日”，某校組織“讀書使青春展翅，知識讓生命飛翔”主題知識競賽，規(guī)定參賽同學(xué)每答對一題得2分，答錯得1分，不限制答題次數(shù).已知小明能正確回答每題的概率都為，且每次回答問題是相互獨(dú)立的，記小明得分的概率為，.
(1)求，的值；
(2)求.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3】足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.
(1)為了解喜愛足球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：
依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)?
(2)校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．
（i）求（直接寫出結(jié)果即可）；
（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。?br>【請完成課時作業(yè)（七十三）】
【課時作業(yè)（七十三）】
1.為響應(yīng)“雙減政策”，豐富學(xué)生課余生活，某校舉辦趣味知識競答活動，每班各選派兩名同學(xué)代表班級回答4道題，每道題隨機(jī)分配給其中一個同學(xué)回答．小明，小紅兩位同學(xué)代表高二1班答題，假設(shè)每道題小明答對的概率為，小紅答對的概率為，且每道題是否答對相互獨(dú)立．記高二1班答對題目的數(shù)量為隨機(jī)變量X．
(1)若，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若高二1班至少答對一道題的概率不小于，求p的最小值．
2．一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代…，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的，且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
(1)已知，，，，求；
(2)設(shè)表示該生物臨近滅絕的概率，當(dāng)時，證明：p是關(guān)于x的方程的最小正實(shí)根．
3．某科技公司新研制生產(chǎn)一種特殊疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．某次檢驗(yàn)中，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項(xiàng)指標(biāo)值，根據(jù)測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）技術(shù)分析人員認(rèn)為，本次測量的該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計(jì)算，并計(jì)算測量數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率；
（3）設(shè)生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標(biāo)值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿足函數(shù)關(guān)系假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計(jì)算生產(chǎn)疫苗的平均成本．
參考數(shù)據(jù)：，則，．
4．一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第站、第站、第站、、第站，共站，設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第站（獲勝）或第站（失?。r，游戲結(jié)束（骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)、、、、、）．
(1)求、、，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示；
(2)求證：為等比數(shù)列；
(3)求玩該游戲獲勝的概率．
日銷量（枝）
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
20
20
10
15
12
11
12
1
2
3
4
5
2
3
2
3
3
喜愛足球運(yùn)動
不喜愛足球運(yùn)動
合計(jì)
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合計(jì)
80
120
200
專題研究 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題
編寫：廖云波
題型一 概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)
【例1】某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按元/千瓦時收費(fèi)，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費(fèi)，超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費(fèi).
(1)求某戶居民的用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：千瓦時）的函數(shù)解析式；
(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中今年1月份用電費(fèi)用小于260元的占，求的值；
(3)根據(jù)（2）中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的分位數(shù)和平均數(shù).
【答案】(1)
(2)
(3)電量的分位數(shù)為375千瓦時.平均數(shù)275千瓦時
【分析】（1）根據(jù)題目條件，列出函數(shù)解析式即可；
（2）將代入（1）中解析式得到的值，再結(jié)合頻率分布直方圖求的值；
（3）根據(jù)百分位數(shù)和平均數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算即可.
（1）
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
所以與之間的函數(shù)解析式為
（2）
由（1）可知，當(dāng)時，，即用電量小于400千瓦時的占，
結(jié)合頻率分布直方圖可知，
解得.
（3）
設(shè)75%分位數(shù)為，
由題圖知，用電量低于300千瓦時的頻率為
，
用電量低于400千瓦時的頻率為，
所以分位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，
即用電量的分位數(shù)為375千瓦時.
平均數(shù)= 千瓦時.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)1】某花店每天以每枝8元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝18元的價格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花回收給農(nóng)場，每枝可換取3元．花店記錄了100天玫瑰花的日銷量（單位：枝），整理得下表．
(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天銷量n（單位；枝，）的函數(shù)解析式；
(2)根據(jù)所列表格數(shù)據(jù)，以100天記錄的日銷量的頻率作為概率．
①若花店兩天的銷量互不影響，求兩天一共售出30枝玫瑰花的概率；
②若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，求兩種情況下一天利潤的分布列，并以兩種情況的利潤的期望值作為依據(jù)，判斷應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？
【答案】(1)()
(2)①;②分布列見解析，應(yīng)購進(jìn)17枝.
【分析】（1）根據(jù)利潤等于總收入減去進(jìn)貨總價，再加上退貨收入即可得出答案；
（2）設(shè)購進(jìn)16枝玫瑰花時，一天的利潤為，寫出的所有可能取值，根據(jù)表格求出對應(yīng)概率，再根據(jù)期望公式求出的期望，同理求出購進(jìn)17枝玫瑰花時，一天的利潤為的期望，在比較期望的大小，即可得出結(jié)論.
(1)
當(dāng)時，()；
當(dāng)時，.
所以().
(2)
①當(dāng)一天銷量為14枝另一天銷量為16枝時，
兩天一共售出30枝玫瑰花的概率為，
當(dāng)兩天銷量都是15枝時，
兩天一共售出30枝玫瑰花的概率為，
所以兩天一共售出30枝玫瑰花的概率為；
②若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝玫瑰花時，設(shè)一天的利潤為，
則可取，
，
，
，
則（元），
若花店計(jì)劃一天購進(jìn)17枝玫瑰花時，設(shè)一天的利潤為，
則可取，
，
，
，
，
則（元），
因?yàn)椋?br>所以應(yīng)購進(jìn)17枝.
題型二 概率、統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)
【例2】2．隨著中國經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，市場石料需求急增．西部某縣有豐富的優(yōu)質(zhì)石料，當(dāng)?shù)卣疀Q定有序開發(fā)本縣石料資源．因建立石料廠會破壞生態(tài)，該縣決定石料開發(fā)走“開發(fā)治理結(jié)合，人類生態(tài)友好”的路線.當(dāng)?shù)卣垏噎h(huán)保機(jī)構(gòu)每年對該縣與石料開發(fā)相關(guān)的生態(tài)（以下簡稱生態(tài)）進(jìn)行評估．若生態(tài)開始變差，則下一年石料廠將停產(chǎn)（本問題中，時間以整數(shù)年為單位），生態(tài)友好后復(fù)產(chǎn)．該縣在建石料廠之初投入巨資進(jìn)行與之有關(guān)的生態(tài)建設(shè)，考慮到可持續(xù)發(fā)展，這種生態(tài)投入（以下簡稱生態(tài)投入）將逐年減少（a是常數(shù)，）億元．該縣從2021年起，若某年生態(tài)友好，則下一年生態(tài)變差的概率是；若某年生態(tài)變差，則下一年生態(tài)友好的概率為．模型顯示，生態(tài)變差的概率不大于0.16683時，該縣生態(tài)將不再變差，生態(tài)投入結(jié)束．
(1)若2021年該縣生態(tài)變差的概率為，求該縣2022年生態(tài)友好的概率；
(2)若2021年該縣生態(tài)變差概率為，生態(tài)投入是40億元，a為何值時，從2021年開始到生態(tài)投入結(jié)束，對該縣總生態(tài)投入額最??？并求出其最小值．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，對該縣總生態(tài)投入額最小，最小值為億元
【分析】（1）考慮到有“該縣2021年生態(tài)友好，那么它2022年生態(tài)友好與該縣年生態(tài)變差，而年生態(tài)友好”兩種情況，故分別求出每種情況的概率，再根據(jù)互斥事件的概率公式求得答案;
（2）由題意推出該縣從年開始的第年生態(tài)變差的概率，列出不等式求得，再求出對該縣總生態(tài)總投入額的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，可得答案.
(1)
設(shè)“該縣2021年生態(tài)友好”，“該縣2022年生態(tài)友好”，
∵該縣2021年生態(tài)變差的概率為，即，，
∴如果該縣2021年生態(tài)友好，那么它2022年生態(tài)友好的概率為
，
該縣2021年變差，那么它2022年友好的概率為
．
因?yàn)椤霸摽h2021年生態(tài)友好，那么它2022年生態(tài)友好”與“該縣年生態(tài)變差，而年生態(tài)友好”是互斥事件，
所以，,
所以，該縣2022年生態(tài)友好的概率為．
(2)
設(shè)該縣2021年生態(tài)變差的概率為,
同（1）可得，該縣年生態(tài)友好的概率為，
∴該縣年生態(tài)變差的概率為，
∴該縣年生態(tài)變差的概率為，
該縣從年開始的第年生態(tài)變差的概率為
,,
∴若從年開始到生態(tài)投入結(jié)束共有年，則，
即,
∴，
對該縣總生態(tài)投入額
,
∴．
若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增,
由于時，，所以，當(dāng)時，最小，且最小值是億元,
也就是說，當(dāng)時，對該縣總生態(tài)投入額最小，最小值為億元．
歸納總結(jié)：
【練習(xí)2】某盒子裝有60個小球（除顏色之外其他完全相同），其中有若干黑球，其他均為白球．為了估計(jì)黑球的數(shù)目，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)：從盒子中有放回地抽取4個球，記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X，作為一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果．進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)共5次，記錄下第i次實(shí)驗(yàn)中實(shí)際抽到黑球的數(shù)目．已知從該盒子中任意抽取一個球，抽到黑球的概率為．
(1)求X的分布列；
(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，已知第i次實(shí)驗(yàn)中抽到黑球的數(shù)目如下表所示．
設(shè)函數(shù)．
（?。┣蟮臉O大值點(diǎn)；
（ⅱ）據(jù)（?。┕烙?jì)該盒子中黑球的數(shù)目，并說明理由．
【答案】(1)分布列見解析
(2)（?。?；（ⅱ）39，理由見解析
【分析】（1）由，列出分布列；
（2）結(jié)合（1）得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解；由取得最大值，即取得最大值，出現(xiàn)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率最大求解．
(1)
由題可知．所以X的分布列為
(2)
（?。┯桑?）可知，
，
；
則．
令可得．
列表如下：
所以存在唯一極大值點(diǎn)；
（ⅱ）估計(jì)該盒子中黑球的數(shù)目為．理由如下：
由（?。┛芍?，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，即取得最大值，出現(xiàn)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率最大，因此可以認(rèn)為從盒子中任意抽取一個球，抽到黑球的概率為，從而估計(jì)該盒子中黑球的數(shù)目為39是合理的．
題型三 概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列
【例3】2022年4月23日是第27個“世界讀書日”，某校組織“讀書使青春展翅，知識讓生命飛翔”主題知識競賽，規(guī)定參賽同學(xué)每答對一題得2分，答錯得1分，不限制答題次數(shù).已知小明能正確回答每題的概率都為，且每次回答問題是相互獨(dú)立的，記小明得分的概率為，.
(1)求，的值；
(2)求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由得2分即回答1題正確或者回答2題都錯誤，得3分即回答2題1題正確，1題錯誤或者回答3題都錯誤，根據(jù)互斥事件概率加法公式及相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求解；
（2）由小明得分有兩種情況，一種是小明在得分的情況下又答1題錯誤；另一種是小明在得分的情況下又答1題正確，可得，進(jìn)而利用配湊法，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有，從而利用累加法可求.
(1)
解：得2分即回答1題正確或者回答2題都錯誤，所以，
得3分即回答2題1題正確，1題錯誤或者回答3題都錯誤，所以；
(2)
解：因?yàn)樾∶鞯梅钟袃煞N情況，一種是小明在得分的情況下又答1題錯誤；
另一種是小明在得分的情況下又答1題正確.
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以，
因此是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
當(dāng)時，，
，
又符合上式，
所以.
歸納總結(jié)：
【練習(xí)3】足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.
(1)為了解喜愛足球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：
依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)?
(2)校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．
（i）求（直接寫出結(jié)果即可）；
（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小．
【答案】(1)喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)
(2)（i）；（ii）證明見解析，甲的概率大
【分析】（1）計(jì)算出卡方，與10.828比較得到結(jié)論；
（2）（i）根據(jù)傳球的等可能性推出，（ii）推導(dǎo)出，構(gòu)造出等比數(shù)列，
求出，得到，比較出大小.
（1）
假設(shè)：喜愛足球運(yùn)動與性別獨(dú)立，即喜愛足球運(yùn)動與性別無關(guān)．
根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，
即認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001．
（2）
（i）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故．
（ii）第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時，第次觸球者是甲的概率為，
第次觸球者不是甲的概率為，
則，
從而，
又，是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．
則，
∴，，
，故第19次觸球者是甲的概率大
【請完成課時作業(yè)（七十三）】
【課時作業(yè)（七十三）】
1.為響應(yīng)“雙減政策”，豐富學(xué)生課余生活，某校舉辦趣味知識競答活動，每班各選派兩名同學(xué)代表班級回答4道題，每道題隨機(jī)分配給其中一個同學(xué)回答．小明，小紅兩位同學(xué)代表高二1班答題，假設(shè)每道題小明答對的概率為，小紅答對的概率為，且每道題是否答對相互獨(dú)立．記高二1班答對題目的數(shù)量為隨機(jī)變量X．
(1)若，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若高二1班至少答對一道題的概率不小于，求p的最小值．
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
(2)
【分析】（1）X的可能取值為0，1，2，3，4．，由二項(xiàng)分布求得各概率得分布列，由期望公式得期望；
（2）由對立事件的概率公式求得事件“至少答對一道題的概率”的概率，列不等式求解．
(1)
X的可能取值為0，1，2，3，4．
高二1班答對某道題的概率，
則，．
則X得分布列為
則．
(2)
高二1班答對某道題的概率為，
答錯某道題的概率為．
則，解得，
所以p的最小值為．
2．一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代…，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的，且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
(1)已知，，，，求；
(2)設(shè)表示該生物臨近滅絕的概率，當(dāng)時，證明：p是關(guān)于x的方程的最小正實(shí)根．
【答案】(1)1.1
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)期望公式直接計(jì)算可得；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，討論可知.
(1)
由題知：，
(2)
因?yàn)?br>所以，p是方程的正實(shí)根
令，則
令，所以當(dāng)時，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增
又因?yàn)椋?br>當(dāng)時，
所以存在，使得
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
又因?yàn)椋?br>所以在上存在唯一零點(diǎn)，
綜上，所以p是方程的最小正實(shí)根
3．某科技公司新研制生產(chǎn)一種特殊疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．某次檢驗(yàn)中，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項(xiàng)指標(biāo)值，根據(jù)測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）技術(shù)分析人員認(rèn)為，本次測量的該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計(jì)算，并計(jì)算測量數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率；
（3）設(shè)生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標(biāo)值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿足函數(shù)關(guān)系假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計(jì)算生產(chǎn)疫苗的平均成本．
參考數(shù)據(jù)：，則，．
【答案】（1）；（2）；；（3）元．
【分析】（1）由頻率之和等于1求出a的值；
（2）先由頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法得出，再由參考數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率；
（3）先由頻率分布直方圖得出每組的質(zhì)量指標(biāo)值，再根據(jù)生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間的函數(shù)關(guān)系得出生產(chǎn)疫苗的平均成本．
【詳解】解：（1）由
解得．
（2）依題意，
故
所以
故測量數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為
（3）根據(jù)題意得
故生產(chǎn)該疫苗的平均成本為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題二的關(guān)鍵在于由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)的方法得出，進(jìn)而由正態(tài)分布的性質(zhì)得出概率.
4．一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第站、第站、第站、、第站，共站，設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第站（獲勝）或第站（失?。r，游戲結(jié)束（骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)、、、、、）．
(1)求、、，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示；
(2)求證：為等比數(shù)列；
(3)求玩該游戲獲勝的概率．
【答案】(1)，，，且.
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意可直接求得、、，然后討論棋子跳到第站，所包括兩種情形，可得出關(guān)于和的表達(dá)式；
（2）計(jì)算得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（3）求得，利用累加法可求得，即可得解.
(1)
解：棋子開始在第站是必然事件，所以，
棋子跳到第站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以；
棋子跳到第站，包括兩種情形，①第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為；②前兩次擲骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以；
棋子跳到第站，包括兩種情形，①棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為；
②棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為，
故，
棋子跳到站只有一種情況，棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為，所以，.
(2)
證明：由（1）可得且，
所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為.
(3)
解：由（2）可知，
所以，
.
所以，玩該游戲獲勝的概率為.
日銷量（枝）
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
20
20
10
15
12
11
12
1
2
3
4
5
2
3
2
3
3
X
0
1
2
3
4
P
區(qū)間
符號
正
負(fù)
遞增
遞減
喜愛足球運(yùn)動
不喜愛足球運(yùn)動
合計(jì)
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合計(jì)
80
120
200
X
0
1
2
3
4
P

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