專題03：二次根式1. 二次根式的定義：一般地，形如的式子叫做二次根式.2. 二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.3. 無理式的定義：根號下含有字母的式子并且開不盡方的根式叫做無理式，如是無理式，而不是無理式.4. 分母有理化：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。 方法：分子、分母同時乘分母的有理化因式，或通過約分的方法達(dá)到分母有理化的目的.5. 有理化因式：兩個含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個代數(shù)式叫做互為有理化因式，常用的有理化因式有：（1）與；（2）與；（3）與.4. 分子有理化：把分子中的根號化去，叫做分母有理化. 方法：分子、分母同時乘分子的有理化因式.5. 二次根式的大小比較：二次根式比較大小的方法有平方比較法、作差比較法、求商比較法、求倒數(shù)比較法等，其中，比較常用的是平方比較法.6. 二次根式的運算：二次根式的加減類似于多項式的加減，先化成最簡二次根式，再對同類二次根式進(jìn)行合并；二次根式的乘法類似于多項式的乘法；二次根式的除法，通常寫成分?jǐn)?shù)的形式，再進(jìn)行分母有理化.例1：二次根式的意義已知實數(shù)滿足，求的值是多少？【解答】2019【解析】∵二次根式有意義，，即，，，解得，等式兩邊平方，整理得.例2：二次根式的性質(zhì)與化簡若實數(shù)、滿足，求、之間的數(shù)量關(guān)系？【解答】【解析】，，同理可得，①＋②可得，.例3：分母有理化已知，求的值.【解答】當(dāng)時，原式.例4：比較大小試比較與的大小.【解答】【解析】化簡后分母相同，分子不同，所以倒數(shù)大的反而小，所以.例5：雙重二次根式化簡已知，則               .【解答】【解析】將的左邊分子有理化得，化簡得，兩式相加得，解得，. 鞏固練習(xí)一．選擇題1．若x2+y2＝1，則的值為（　?。?/span>A．0 B．1 C．2 D．32．已知x＝﹣2，x4+8x3+16x2的值為（　?。?/span>A． B． C．3 D．93．若二次根式有意義，且關(guān)于x的分式方程有正數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的和是（　?。?/span>A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣44．設(shè)x、y、z是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式：，則x3+y3+z3﹣3xyz的值是（　?。?/span>A．0 B．1 C．3 D．條件不足，無法計算5．設(shè)，則S最接近的整數(shù)是（　?。?/span>A．2015 B．2016 C．2017 D．20186．若關(guān)于a的二次根式有意義，且a為整數(shù)，若關(guān)于x的分式方程1的解為正數(shù)，則滿足條件的所有a的值的和為（　　）A．﹣7 B．﹣10 C．﹣12 D．﹣15二．填空題7．已知a、b滿足，則ab的值為　     　．8．已知，則4x2+4x﹣2017＝　      　．9．若，則a2004×b2005＝　      　．10．已知xy＝3，那么的值是　    　．11．當(dāng)x＝，y＝時，的值為        　．12．閱讀材料：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時，有b≥0，∴a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．請利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）當(dāng)x＞0時，代數(shù)式的最小值為 　   　；（2）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為12和27，則四邊形ABCD面積的最小值為 　   　．三．解答題13．已知，求代數(shù)式的值．14．已知x，y都是有理數(shù)，并且滿足，求的值．  15．已知：，求的值．  16．已知，且19x2+123xy+19y2＝1985．試求正整數(shù)n．  17．已知矩形的周長為cm，一邊長為cm，求此矩形的另一邊長和它的面積？  18．觀察下列格式，，（1）化簡以上各式，并計算出結(jié)果；（2）以上格式的結(jié)果存在一定的規(guī)律，請按規(guī)律寫出第5個式子及結(jié)果（3）用含n（n≥1的整數(shù)）的式子寫出第n個式子及結(jié)果，并給出證明的過程．        19．小麗根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．下面是小麗的探究過程，請補充完整：（1）具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，特例1：特例2：特例3：特例4：　   　．（填寫一個符合上述運算特征的例子）；（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運算規(guī)律為：　   　；（3）證明你的猜想；（4）應(yīng)用運算規(guī)律化簡：　   　． 20．閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式運算時，我們有時會碰上這樣的式子，其實我們還可以將其進(jìn)一步化簡：（Ⅰ）．以上這種化簡的步驟叫作分母有理化．（Ⅱ）還可以用以下方法化簡．（1）請用不同的方法化簡．①參照（Ⅰ）式，化簡　   　；②參照（Ⅱ）式，化簡　   　；（2）化簡：．    21．閱讀材料：像＝b﹣1（b≥0）……兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如與，與，與等都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．例如：．解答下列問題：（1）與　  　互為有理化因式，將分母有理化得      　；（2）計算：；（3）已知有理數(shù)a、b滿足，求a、b的值． 22．某同學(xué)在解答題目：“化簡并求值，其中，”時：解答過程是：；（1）請判斷他的解答是否正確；如果不正確，請寫出正確的解答過程．（2）設(shè)（n為正整數(shù)），考察所求式子的結(jié)構(gòu)特征：①先化簡通項公式；②求出與S最接近的整數(shù)是多少？  23. 閱讀下面計算過程：；. 請解決下列問題（1）根據(jù)上面的規(guī)律，請直接寫出＝             　．（2）利用上面的解法，請化簡：．（3）你能根據(jù)上面的知識化簡嗎？若能，請寫出化簡過程．

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