（試卷總分150分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.下列說法中，正確的是（ ）
A.若，，則一定有
B.若，則
C.若，，則
D.若，則
3.已知命題，，則的一個必要不充分條件是（ ）
A.B.C.D.
4.已知線性回歸方程相應(yīng)于點的殘差為，則的值為（ ）
A.B.3C.D.2.9
5.中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能（六藝）：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團(tuán)周末開展“六藝”課程講座活動，一天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，則“射”與“數(shù)”之間間隔一藝的不同排課方法總數(shù)有（ ）
A.432種B.240種C.192種D.96種
6.我中有6個球，其中紅黃藍(lán)紫白黑球各一個，甲乙兩人按序從袋中有放回的隨機(jī)摸取一球，記事件：甲和乙至少一人摸到紅球，事件：甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率（ ）
A.B.C.D.
7.已知上的可導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A.B.C.D.
8.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)所得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（ ）
A.2021B.2022C.2023D.2024
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分.
9.下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A.B.
C.D.
10.已知隨機(jī)變是服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即，若，則下列說法正確的有（ ）
A.B.
C.在上是增函數(shù)D.
11.若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（ ）
A.B.C.D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則這四人中，________研究的兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高.
13.已知函數(shù)，則的定義域是________；單調(diào)增區(qū)間為________.
14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，記為的導(dǎo)函數(shù)，若，則在點處的切線一般式方程為________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知的展開式中共有10項.
（1）求展開式中各項系數(shù)之和；
（2）求展開式中的常數(shù)項，并確定有理項有多少項.
16.（15分）2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，設(shè)立全民健身日（FitnessDay）是適應(yīng)人民群眾體育的需求，促進(jìn)全民健身運動開展的需要.某學(xué)校為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了跑步競賽活動，活動分為長跑、短跑兩類項目，該班級所有同學(xué)均參加活動，且男女同學(xué)人數(shù)比為，每位同學(xué)選擇一項活動參加.統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
（1）求的值并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否推斷選擇跑步項目的類別與其性別相關(guān)；
（2）賽后校記者團(tuán)對參加長跑比賽的同學(xué)按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8名同學(xué)，再從這8名同學(xué)中抽取2名同學(xué)接受采訪，記隨機(jī)變量X表示抽到的2人中女生的人數(shù)，求X的布列與數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
17.（15分）已知函數(shù)
（1）求，，的值;
（2），求a的值；
（3）請在給定的坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的值域（無需寫出理由）.
18.（17分）甲、乙兩支隊伍進(jìn)行某項比賽，賽制分為兩種，一種是五局三勝制，另一種是三局兩勝制，根據(jù)以往數(shù)據(jù)，在決勝局（在五局三勝制中指的是第五局比賽，在三局兩勝制中指的是第三局比賽）中，甲、乙兩隊獲勝的概率均為；而在非決勝局中，甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為.
（1）若采用五局三勝制，直到比賽結(jié)束，共進(jìn)行了Y局比賽，求隨機(jī)變量Y的分布列，并指出進(jìn)行幾局比賽的可能性最大；
（2）如果你是甲隊的領(lǐng)隊，你希望舉辦方采用五局三勝制還是三局兩勝制？
19.（17分）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象在處的切線斜率相同.
（1）求實數(shù)m的值；
（2）證明：當(dāng)時，；
（3）設(shè)a為正實數(shù)，討論方程的解的個數(shù).
2024年春季期高二期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)參考答案及解析
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【解答】依題意，，而，所以.故選：C.
2.【解答】對于A，若，，，，則，故A錯誤.
對于B，若，則，故B錯誤.
對于C，，
若，，則，即，所以C錯誤.
對于D，由，可知，即，所以，故D正確.故選：D.
3.【解答】因為，，所以在上恒成立，
只需在上的最大值小于，
因為在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為1，
所以，A選項既不是充分條件，也不是必要條件；
B選項因為所以是的一個必要不充分條件.正確；
C選項是的充要條件；
D因為，所以是的充分不必要條件.故選：B.
4.【解答】由線性回歸方程，取，得，
又相應(yīng)于點的殘差為，.解得.故選：B.
5.【解答】根據(jù)題意，“射”與“數(shù)”之間間隔一藝，有種排課方法.故選：C.
6.【解答】袋中有6個球，其中紅黃藍(lán)白黑球各一個，甲乙兩人按序從袋中有放回的隨機(jī)摸取一球，
記事件：甲和乙至少一人摸到紅球，則事件的基本事件個數(shù)為，
事件：甲和乙摸到的球顏色不同，則事件的基本事件個數(shù)為，
則，故選：A.
7.【解答】由函數(shù)的圖象可得，當(dāng)，時，，
當(dāng)時，.
由①或②
解①得，，解②得，，
綜上，不等式的解集為，故選：A.
8.【解答】已知
則，即除以8所得的余數(shù)為7，
顯然2023除以8所得的余數(shù)為7，即b的值可以是2023.故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分.
9.【解答】當(dāng)時，A顯然錯誤；
令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；
由題意得，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.故選：CD.
10.【解答】因為，所以，故A正確；
因為，，
當(dāng)時，，則，
又，所以不成立，故B錯誤；
，當(dāng)增大時也增大，所以在上是增函數(shù)，故C正確；，故D正確.故選：ACD.
11.【解答】，
既有極小值又有極大值，
在上有兩個不同的實數(shù)根，
，，
，，，顯然不一定成立.故選：ABC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【解答】因為，所以這四人中，甲研究的兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高.故答案為：甲.
13.【解答】由，解得，則定義域是
令，其對稱軸方程為，圖象是開口向下的拋物線，
則在上為增函數(shù)，
又為定義域內(nèi)的增函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為：；.（備注：單調(diào)增區(qū)間為也正確，答對第1個空得2分，第2個空得3分）
14.【解答】因為是定義在上的偶函數(shù)，
所以①，且為奇函數(shù)，，
所以②，由①②可得，
即的周期為12，且，所以，
又，，得，
所以在點處的切線方程為：，即.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15.【解答】（1）由題意知，在的展開式中，
令.得：，
因此的展開式中，所有項的系數(shù)之和是
（2）展開式的通項：
令，解得，
因此展開式中的常數(shù)項
要使為有理項，則，
則，故展開式中有理項有5項.
16.【解答】（1）依題意男女同學(xué)人數(shù)的比例為，所以，故，
零假設(shè)：選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān)，
.
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān).
（2）抽取8名同學(xué)中有6名男生，2名女生，
則的所有可能取值為0，1，2，
則，，，
則的分布列為：
17.【解答】（1）函數(shù)
，，，
.
（2）①當(dāng)時，，（舍去），
②當(dāng)時，，解得，
又，，
③當(dāng)時，，，
綜上所述，的值為或4.
（3）函數(shù)的圖象，如圖：
由圖象可知，函數(shù)的值域為.
18.【解答】（1）的所有可能取值為3，4，5，
，
，，
故的分布列為：
因為，進(jìn)行4局比賽的可能性最大.
（2）采用三局兩勝時，甲獲勝概率，
采用五局三勝時，甲獲勝概率，
，如果我是甲隊領(lǐng)隊，采用五局三勝制.
19.【解答】（1），
，
由題意可得，，解得；
（2）證明：由（1）知，，
令，
則，
在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，
又，
時，，
即當(dāng)時，；
（3）令，則定義域是，.
令，
（i）當(dāng)時，，則，
在上單調(diào)遞減，且，
在上存在1個零點；
（ii）當(dāng)時，，
設(shè)方程的兩根分別為，，且，
則，，
所以有兩個零點，，且，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
故，且，則，
又因為，，且，
故有，由零點存在性定理可知，
在恰有一個零點，在也恰有一個零點，
易知是的零點，所以恰有三個零點；
綜上所述，當(dāng)時，方程有1個解；
當(dāng)時，方程有3個解.長跑
短跑
男同學(xué)
a
10
女同學(xué)
10
10
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3
4
5

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