一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1.隨機變量的分布列如表格所示，其中，則等于（ ）
A.B.C.D.
2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A.B.C.D.
3.已知，則（ ）
A.12B.9C.6D.4
4.對于數(shù)據(jù)組（），如果由經(jīng)驗回歸方程得到的對應自變量的估計值是，那么將稱為對應點的殘差.某學校利用實踐基地開展勞動教育活動，在其中一塊土地上栽種某種蔬菜，并指定一位同學觀測其中一棵幼苗生長情況，該同學獲得前6天的數(shù)據(jù)如下：
經(jīng)這位同學的研究，發(fā)現(xiàn)第天幼苗的高度的經(jīng)驗回歸方程為，據(jù)此計算樣本點處的殘差為（ ）
A.0.1B.C.0.9D.
5.如圖，有4種不同的顏色供選擇，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（ ）
該試卷源自 每日更新，享更低價下載。A.48B.56C.72D.256
6.一個不透明的袋中裝有4個紅球，4個黑球，2個白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機抽取3個球，事件：“這3個球的顏色各不相同”，事件：“這3個球中至少有1個黑球”，則（ ）
A.B.C.D.
7.從0、1、2、3、4、5、6這七個數(shù)字中，取三個不同的數(shù)組成一個十位數(shù)字大于個位數(shù)和百位數(shù)的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A.40B.48C.55D.70
8.已知，若，則（ ）
A.240B.C.280D.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知二項式的展開式中共有7項，則下列說法正確的有（ ）
A.為7B.所有項的二項式系數(shù)和為32
C.二項式系數(shù)最大的項為第4項D.沒有常數(shù)項
10.在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設取的4個小球中白球的個數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.B.
C.隨機變量服從超幾何分布D.隨機變量服從二項分布
11.已知事件，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.與互斥B.與相互獨立
C.D.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.把正確答案填在答題卡的相應位置.）
12.在高考志愿模擬填報實驗中，共有9個專業(yè)可供學生甲填報，其中學生甲感興趣的專業(yè)有3個.若在實驗中，學生甲隨機選擇3個專業(yè)進行填報，則填報的專業(yè)中至少有1個是學生甲感興趣的概率為______.
13.從集合中任選兩個元素作為橢圓方程中的和，則能組成落在矩形區(qū)域內(nèi)的橢圓個數(shù)為______.
14.甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.3，0.5，0.6.飛機被一人擊中而落地的概率為0.2，被兩人擊中而落地的概率為0.8，若三人都擊中，飛機必定被擊落.則飛機被擊落的概率為______.
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）
15.（13分）已知5名同學站成一排，要求甲站在正中間，乙不站在兩端，記滿足條件的所有不同的排法種數(shù)為.
（1）求的值；
（2）求二項式的展開式中的常數(shù)項.
16.（15分）某產(chǎn)品的廣告費用支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表.
（1）在給出的坐標系中畫出散點圖；
（2）建立銷售額關于廣告費用支出的一元線性回歸模型；
（3）利用所建立的模型，預測當廣告費用支出為12萬元時，銷售額為多少.
（參考公式：線性回歸方程中的系數(shù)，）
17.（15分）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局，三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.
（1）求甲學校獲得冠軍的概率；
（2）用表示乙學校的總得分，求的分布列與期望.
18.（17分）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是語文、數(shù)學、外語三門為必選科目，“1”指的是要在物理、歷史里選一門，“2”指考生要在生物、化學、思想政治、地理4門中選擇2門.
（1）若按照“”模式選科，求甲、乙兩名學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；
（2）某教育部門為了調(diào)查學生語數(shù)外三科成績，從當?shù)夭煌膶W校中抽取高一學生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試（滿分450分），假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布.
①估計4000名學生中成績介于190分到355分之間的有多少人（結(jié)果保留到個位）；
②該地某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有12名同學獲得425分以上的高分”，請結(jié)合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語是否可信.
附：，，.
19.（17分）某商場舉辦摸球贏購物券活動.現(xiàn)有完全相同的甲、乙兩個小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個小球，其中甲盒中有8個黑球和2個白球，乙盒中有3個黑球和7個白球.參加活動者首次摸球，可從這兩個盒子中隨機選擇一個盒子，再從選中的盒子中隨機摸出一個球，若摸出黑球，則結(jié)束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進行第二次摸球，第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機摸出一個球；方案二，從另外一個盒子中隨機摸出一個球，若第二次摸出黑球，則結(jié)束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結(jié)束摸球，得100元購物券.用X表示一位參加活動者所得購物券的金額.
（1）在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率.
（2）①在第一次摸出白球的條件下，通過計算，說明選擇哪個方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依據(jù)以上分析，求隨機變量X的數(shù)學期望的最大值.
2024年春季期中教學監(jiān)測（高二數(shù)學）參考答案
1. A
【詳解】由題知，，得，即.
2. A
【詳解】由隨機變量服從正態(tài)分布，
因為，可得，
所以.
3. D
【詳解】因為，則，所以.
4. B
【詳解】，，
因為經(jīng)驗回歸方程過樣本中心點，所以，解得，
所以經(jīng)驗回歸方程為.當時，.
所以樣本點處的殘差為.
5. A
【詳解】將四個區(qū)域標記為，，，，如下圖所示：
第一步涂：4種涂法，第二步涂：3種涂法，第三步涂：2種涂法，第四步涂：2種涂法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，一共有種著色方法.
6. D
【詳解】由題意知，，，
所以.
7. C
【詳解】由題意知，分兩種情況討論：①若選出的數(shù)字中含有0，則0必須在個位上，此時只需在其它6個數(shù)中選出2個，大的放在十位，小的放在百位，共有個三位數(shù)；
②若選出的數(shù)字中不含有0，此時只需在0以外得其它6個數(shù)中選出3個，最大的放在十位，其他兩個放在百位和個位，共有個三位數(shù)，
綜上，滿足題意得三位數(shù)共有55個.
8. C
【詳解】令，則有，
即，故，
即有，
對，有，
令，則有，即.
9. CD
【詳解】因為二項式的展開式中共有項，所以，解得，故A錯誤；
二項式所有項的二項式系數(shù)和為，故B錯誤；
因為二項式展開式中共有7項，所以二項式系數(shù)最大的項為第4項，故C正確；
二項式展開式的通項為（，），
令，解得（舍去），所以展開式中沒有常數(shù)項，故D正確.
10. BC
【詳解】由題意知隨機變量服從超幾何分布；的取值分別為0，1，2，3，4，
則，，
，，
11. BCD
【詳解】由題意可知，，，
所以，相互獨立，
由相互獨立本件的性質(zhì)可知與相互獨立，且與相互獨立，即A錯誤，B正確；
所以，，即C正確，D正確.
12.
【詳解】隨機選擇3個專業(yè)，基本事件總數(shù)為，
填報的專業(yè)中沒有感興趣的專業(yè)包含的基本事件數(shù)為，
由題可知，填報的專業(yè)中至少有1個是學生甲感興趣的概率為.
13. 72
【詳解】由題設，，所以，且，
在1、2、3、4、…、8中任取兩個作為、，共有種方法；
可在9、10中取一個作為，在1、2、…、8中取一個作為，共有種方法，
由分類加法計數(shù)原理，滿足條件的橢圓的個數(shù)為：.
14. 0.46
【詳解】解析：設事件，事件，，
由題意可得，，，，
，
，
由全概率公式得，
所以飛機被擊落的概率為0.46.
15.【詳解】（1）解：首先將甲排在中間位置，再排乙，乙排在甲左右兩個位置中的一個位置，再排其余3人，
則所有不同的排法種數(shù).
（2）解：由（1）知，，
∴的展開式的通項公式為，
令，解得，
∴展開式中的常數(shù)項為.
16.【詳解】（1）解：如圖所示，
（2）解：，
，
則，
，
所以，
則，
所以銷售額關于廣告費用支出的一元線性回歸為；
（3）解：由（2）得，當時，，
所以當廣告費用支出為12萬元時，銷售額為107萬元.
17.【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，，，
所以甲學校獲得冠軍的概率為
（2）依題可知，的可能取值為0，10，20，30，
所以，，
，
，
即的分布列為
期望.
18.【詳解】（1）甲、乙兩名學生必選語文、數(shù)學、外語.
若另一門相同的為物理、歷史中的一門，有種，
在生物、化學、思想政治、地理4門中，甲、乙選擇不同的2門，
則有種，共種；
若另一門相同的為生物、化學、思想政治、地理4門中的一門，則有種.
所以甲、乙兩個學生恰有四門學科相同的選法總數(shù)為.
（2）①設此次網(wǎng)絡測試的成績記為，則.
由題知，，，，
則，
所以.
所以估計4000名學生中成績介于190分到355分之間的約有3274人.
②不可信.
，
則；
4000名學生中成績大于410分的約有人，
這說明4000名考生中，只有約5人的成績高于410分.
所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有12名同學獲得425分以上的高分”的宣傳語不可信.
19.【詳解】（1）設試驗一次，“取到甲盒”為事件，“取到乙盒”為事件，
“第一次摸出黑球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，，
所以，
所以選中的盒子為甲盒的概率為
（2）①，
所以方案一中取到黑球的概率為：
，
方案二中取到黑球的概率為：
因為，所以方案二中取到黑球的概率更大.
②隨機變量的值為300，200，100，
依據(jù)以上分析，若采用方案一：
，
，
，
，
若采用方案二：
，
，
，
，
所以隨機變量的數(shù)學期望的最大值282.0
1
第天
1
2
3
4
5
6
高度
1
4
7
9
11
13
廣告費用支出
3
5
6
7
9
銷售額
20
40
60
50
80
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06

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