2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)玉林市高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】一個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)改變成原來的相反數(shù)，即可選出答案.【詳解】一個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)改變成原來的相反數(shù)，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.2．直線的傾斜角是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意結(jié)合斜率的定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線斜率的定義可知：，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線傾斜角的定義，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.3．已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得圓心坐標(biāo).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心的坐標(biāo)為.故選：A.4．在等比數(shù)列中，，，則等于（    ）A． B．5 C． D．9【答案】D【分析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴．故選：D5．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則實(shí)數(shù)的值是（    ）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)焦半徑公式求，再代入點(diǎn)求的值.【詳解】拋物線上點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，，解得點(diǎn)在拋物線上，，又.故選：C.6．如圖，空間四邊形中，，，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：B.7．在數(shù)列中，，則的值為（    ）A． B．7 C． D．8【答案】A【分析】先判斷數(shù)列單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性去絕對值進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】數(shù)列中，，則，則當(dāng)時(shí)，在數(shù)列中；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，則，.故選：A.8．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為與是雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)得到一個(gè)關(guān)于的等式，最后根據(jù)的關(guān)系求出離心率即可.【詳解】依題意，易得以為直徑的圓的方程為，設(shè)，則，又由雙曲線易得雙曲線的漸近線為，如圖，聯(lián)立，解得或，，又軸，由得，，即.故選：D. 二、多選題9．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.則以下幾個(gè)命題正確的有（    ）A．直線l恒過定點(diǎn)(3，1)B．直線l與圓C相切C．直線l與圓C恒相交D．直線l與圓C相離【答案】AC【分析】求出直線所過的定點(diǎn)，確定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而確定直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】將直線l的方程整理為x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由解得：則無論m為何值，直線l過定點(diǎn)(3，1)，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線l與圓C恒相交，故AC正確.故選：AC10．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（    ）A．已知任意非零向量，若，則B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個(gè)點(diǎn)，則三點(diǎn)共線【答案】BD【分析】由向量平行的性質(zhì)判斷A；根據(jù)空間向量共面定理即可判斷選項(xiàng)B；用向量運(yùn)算法則判斷C；由共線向量定理判斷D.【詳解】對于：若，則，且，故錯誤；對于，若對空間中任意一點(diǎn)，有，，四點(diǎn)共面，故B正確；對于，是空間中的一組基底，且，共面，不可以構(gòu)成空間的一組基底，故C錯誤；對于，若空間四個(gè)點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，故D正確.故選：BD11．已知數(shù)列滿足：，，，3，4，…，則下列說法正確的是（    ）A．B．對任意，恒成立C．不存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列【答案】ABD【分析】首先判斷D，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，通過D構(gòu)造等差數(shù)列的定義，即可判斷；根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再通過代入的方法，判斷ABC.【詳解】因?yàn)?/span>，（）,所以,（）,即，因?yàn)?/span>，所以，得，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即，得，故D正確；A.，故A正確；B.，所以，故B正確；C. 若存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列，則，即，得，令，滿足等式，所以C錯誤；故選：ABD12．拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到時(shí)，，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．拋物線的方程為B．存在直線，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱C．的最小值為6D．當(dāng)直線過焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切【答案】ACD【分析】根據(jù)得到故,A正確，中點(diǎn)在拋物線上，B 錯誤,，C正確，計(jì)算D正確，得到答案.【詳解】,故，,故,A正確；設(shè),設(shè)中點(diǎn)，則，相減得到,即,因?yàn)?/span>A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱，所以,故,故,點(diǎn)在拋物線上，不成立，故不存在，B錯誤；過作垂直于準(zhǔn)線于,則，當(dāng)共線時(shí)等號成立，故C正確；如圖所示：為中點(diǎn)，故,故為直徑的圓與軸相切，故D正確；故選：ACD. 三、填空題13．已知直線與垂直，則__________.【答案】9【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件即得.【詳解】由題可得，解得.故答案為：9.14．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則______.【答案】70【分析】利用等比數(shù)列的求和公式的基本量運(yùn)算即得，或利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題可知，方法一：由已知條件可列出方程組兩式作商得，∴，∴.方法二：由性質(zhì)得，，即，∴，∴.方法三：運(yùn)用性質(zhì).由已知條件，，易得，∴，即，∴.由，解得.方法四：運(yùn)用性質(zhì)，，，，…成等比數(shù)列解答.∵，，成等比數(shù)列，而，，∴，即，∴.故答案為：70.15．如圖所示，二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，且，，，，，則的長______． 【答案】【分析】推導(dǎo)出，從而，結(jié)合，，，能求出的長．【詳解】二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面、內(nèi)，且所以,所以，， ，的長．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的運(yùn)算法則以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，是中檔題．16．已知線段是圓的一條動弦，且，若點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【分析】過圓心作，由已知求得，再求出圓心到直線的距離，求得的最小值，再由求解.【詳解】如圖，為直線上的任意一點(diǎn)，過圓心作，連接，由，可得，由，當(dāng)共線時(shí)取等號，又是的中點(diǎn)，所以，所以.則此時(shí)，的最小值為.故答案為： 四、解答題17．在中，，，.(1)求的中線所在直線的方程；(2)求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由中點(diǎn)坐標(biāo)公示求得的中點(diǎn)，寫出的斜率，用點(diǎn)斜式得到方程.(2)求出所在直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，求出的距離，代入面積公示得到答案.【詳解】（1）由，，得的中點(diǎn)為，又，所以，所以中線所在直線的方程為，即.（2）由，，得，直線的方程為，即， 點(diǎn)到直線的距離為，又，所以的面積為.18．如圖，在棱長為2的正方體中，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)求EF與CG所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)根據(jù)空間向量證明垂直關(guān)系即可證明結(jié)果；(2)根據(jù)空間向量求線線夾角的方法求解.【詳解】（1）建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則，則， 所以，即，所以.（2）由（1）知， 則，因?yàn)?/span>與所成角的范圍為，所以其夾角余弦值為.19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n．(1)求{an}通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn【答案】(1)(2) 【分析】（1）由與的關(guān)系即可求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，符合上式．所以的通項(xiàng)公式為.（2），，．20．已知曲線C是到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)組成的集合．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)B的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)；問在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得為定值 【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)距離之比等于常數(shù)列出等式，即可得到曲線方程；（2）設(shè)直線l方程為，點(diǎn)，聯(lián)立曲線C的方程，利用韋達(dá)定理可以求出，由于為定值可知，可求出參數(shù)t的值，即可得定點(diǎn)坐標(biāo)和定值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，也符合題意.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可知，則有，整理得，故曲線C的方程為.（2）設(shè)直線l方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立，得，所以，因此若，即時(shí)，，所以定值為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l為，聯(lián)立可求得，，所以，符合題意.故存在定點(diǎn)，使得為定值.21．如圖，在四邊形中，于交點(diǎn)，.沿將翻折到的位置，使得二面角的大小為.(1)證明：平面平面；(2)在線段上（不含端點(diǎn)）是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見解析 【分析】（1）先由題設(shè)條件證線面垂直，進(jìn)而可證面面垂直.（2）由已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，通過三點(diǎn)共線設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出二面角對應(yīng)的兩個(gè)平面的法向量，再通過二面角的余弦值的絕對值等于其法向量所成角的余弦值的絕對值求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，平面,平面,又因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.（2）過作，因?yàn)?/span>平面，所以，因?yàn)?/span>，平面,平面所以平面，如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，與過點(diǎn)作平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?/span>，所以二面角的平面角為，即則，，.設(shè)，則.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取因?yàn)?/span>是平面的一個(gè)法向量.所以，解得或（舍）.所以為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即.故：存在點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)滿足條件.22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的周長是18，，是軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，若，動點(diǎn)滿足.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)動直線過定點(diǎn)與曲線交于不同兩點(diǎn)A，（點(diǎn)在軸上方），在線段上取點(diǎn)使得，證明：當(dāng)直線運(yùn)動過程中，點(diǎn)在某定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由知點(diǎn)G是的重心，取點(diǎn)，，不妨設(shè)，，由幾何關(guān)系得，符合橢圓定義，按橢圓定義求方程即可；（2）設(shè)，，，（，且），所以，，由向量與坐標(biāo)關(guān)系可整理得①，②，由結(jié)合點(diǎn)A，B在橢圓上的兩方程消元可得，即可證點(diǎn)Q總在定直線上【詳解】（1）由知點(diǎn)G是的重心，取點(diǎn)，，不妨設(shè)，，則，，且，所以點(diǎn)是以，為焦點(diǎn)的橢圓（除去長軸端點(diǎn)），設(shè)橢圓的方程是，則，，于是，即，從而，點(diǎn)的軌跡方程為：.（或根據(jù)橢圓定義求出點(diǎn)H的軌跡方程，然后利用重心坐標(biāo)公式求點(diǎn)G的軌跡方程）（2）證明：設(shè)，，，（，且），所以，，于是，，，，從而①，②，又點(diǎn)A，B在橢圓上，即③，④，由并結(jié)合③④可得，即點(diǎn)Q總在定直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：線段長度比例可轉(zhuǎn)換成向量數(shù)乘關(guān)系，即可得出坐標(biāo)間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)在曲線上形成的方程，結(jié)合式子特征進(jìn)行消元即可 

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