注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．在的展開式中，含的項的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角小于，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．已知正四棱柱的底面邊長為2，高為6，則該正四棱柱的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
5．若函數(shù)的定義域為，對任意，都有，則稱為單射函數(shù)．若函數(shù)，則“”是“是單射函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中記載了關(guān)于家畜偷吃禾苗的問題．假設(shè)有羊、騾子、馬、牛吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、騾子的主人、馬的主人、牛的主人共賠償12斗粟，羊的主人說：“羊吃得最少，羊和騾子吃的禾苗總數(shù)只有馬和牛吃的禾苗總數(shù)的一半．”騾子的主人說：“騾子吃的禾苗只有羊和馬吃的禾苗總數(shù)的一半．”馬的主人說：“馬吃的禾苗只有騾子和牛吃的禾苗總數(shù)的一半．”若按照此比率償還，則羊的主人應(yīng)賠償?shù)乃诘亩窋?shù)為（ ）
A．1B．C．2D．
8．已知定義域均為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．的實部為B．的虛部為
C．D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限
10．已知函數(shù)有2個極值點，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
11．已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列可能為常數(shù)列
B．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列
C．若，則
D．若，記是數(shù)列的前項積，則的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．2018年至2023年某國財政收入增長速度分別為，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為______．
13．已知分別是橢圓的左、右焦點，是上的一點，且，則的離心率為______．
14．至少經(jīng)過正五棱臺的3個頂點的平面共有______個．
四、解答題：本題共小題，共77分，解答應(yīng)與中文丁以功，學(xué)習(xí)之語表示方法
15．（13分）
已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，向量，且．
（1）求；
（2）若的面積為，求．
16．（15分）
已知為拋物線的焦點，且上一點到點的距離為4．
（1）求的方程；
（2）若斜率為2的直線與交于兩點，且，求的方程．
17．（15分）
如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，側(cè)面平面分別為的中點．
（1）證明：平面．
（2）若求直線與平面所成角的正弦值．
18．（17分）
某種資格證考試分為筆試和面試兩部分，考試流程如下：每位考生一年內(nèi)最多有兩次筆試的機(jī)會，最多有兩次面試的機(jī)會．考生先參加筆試，一旦某次筆試通過，不再參加以后的筆試，轉(zhuǎn)而參加面試；一旦某次面試通過，不再參加以后的面試，便可領(lǐng)取資格證書，否則就繼續(xù)參加考試．若兩次筆試均未通過或通過了筆試但兩次面試均未通過，則考試失?。讻Q定參加考試，直至領(lǐng)取資格證書或考試失敗，他每次參加筆試通過的概率均為，每次參加面試通過的概率均為，且每次考試是否通過相互獨立．
（1）求甲在一年內(nèi)考試失敗的概率；
（2）求甲在一年內(nèi)參加考試次數(shù)的分布列及期望．
19．（17分）
已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．
（1）求的值；
（2）證明：．
2024年春季期高二年級期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)試題參考答案
1．C由題意得，所以．
2．B含的項為，所以所求的系數(shù)為．
3．B由題意得的漸近線方程為，則．
4．D由題意得該正四棱柱的外接球的半徑為，所以該正四棱柱的外接球的表面積為．
5．D當(dāng)時，在上不是單射函數(shù)，當(dāng)時，，所以不是單射函數(shù)．當(dāng)時，是單射函數(shù)．故“”是“是單射函數(shù)”的既不充分也不必要條件．
6．C由題意得，由，得，即．故的最小值為．
7．B由題意得羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次成等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，公差為，則羊、騾子、馬、牛吃的禾苗數(shù)依次為．由題意得
即解得
8．B令，則，所以單調(diào)遞減．
由，得，所以．
9．AC由題意得，所以的實部為，虛部為，
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限．
10．BC由題意得的導(dǎo)函數(shù)有兩個異號零點．
由，得恒成立，A錯誤．
由，得，令，得，B正確．
由，得，令，得，
因為，所以有兩個異號零點，C正確．
由，得，令，得，D錯誤．
11．ABD由，可得，則．若，則，所以，故數(shù)列可能為常數(shù)列，若，則數(shù)列為等比數(shù)列，故A、B正確；若，則，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，故，故C錯誤；若，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最大值為，D正確．
12．該組數(shù)據(jù)從小到大依次為，因為，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．
13．由，得．因為，所以，得．
14．42如圖，在正五棱臺中，僅經(jīng)過5個頂點的平面有2個．因為，所以僅經(jīng)過這8個頂點中的4個頂點的平面有4個，類似于的平行線還有4組，則僅經(jīng)過4個頂點的平面有個．故所求的平面共有個．
15．解：（1）由題意得，
由正弦定理得，
又，所以，則，即．
因為，所以．
（2）由，
得，
結(jié)合，得．
由余弦定理得，
得．
16．解：（1）由拋物線的性質(zhì)，得點到的準(zhǔn)線的距離為4，
則的準(zhǔn)線方程為，
得，即．
故的方程為．
（2）設(shè)．
聯(lián)立得，
由，得，
則
所以，
得．
故的方程為（或）．
17．（1）證明：連接，設(shè)與相交于點，因為，
，所以為平行四邊形，即為的中點．
連接，因為為的中點，所以．
因為平面平面，所以平面．
（2）解：因為，所以．因為平面平面-，平面平面平面，所以平面．
取的中點，連接．因為是等腰梯形，所以．
以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以．
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，可得．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
18．解：（1）甲每次參加筆試未通過的概率均為，每次參加面試未通過的概率均為．
甲兩次筆試均未通過的概率為，
甲通過了第一次筆試，但兩次面試均未通過的概率為，
甲未通過第一次筆試，通過了第二次筆試，但兩次面試均未通過的概率為
所以甲在一年內(nèi)考試失敗的概率為．
（2）由題意得的可能取值為，
所以的分布列為
故
．
19．（1）解：由題意得，
由切線的斜率為，得，
則切線方程為，
當(dāng)時，，所以，得．
（2）證明：由（1）可知，
要證，即證．
設(shè)，則．
令，易得是減函數(shù)．
因為，所以存在唯一，使得，即．
當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以．
設(shè)，則．
當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以．
因為（兩個不等式中的等號不能同時成立），所以，
即．
2
3
4

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