注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
4.測(cè)試范圍:(必修第三冊(cè)+必修第四冊(cè))(人教B版2019)
5.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分(選擇題 共58分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合,終邊在直線上,則( )
A.B.C.D.2
3.已知向量,滿足,,則( ).
A.3B.4C.5D.6
4.如圖所示,梯形是平面圖形用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖,,,則平面圖形中對(duì)角線的長(zhǎng)度為( )
A.B.C.D.
5.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為若滿足,則該三角形為( )
A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.不能確定
6.設(shè)是三個(gè)不同的平面,a,b是兩條不同的直線,則下列命題中為真命題的是( )
A.若,則B.若,則
C.若,則與異面D.若,則
7.已知,則的值為( )
A.B.C.D.
8.秦九韶(1208年~1268年),字道古,祖籍魯郡(今河南省范縣),出生于普州(今四川安岳縣).南宋著名數(shù)學(xué)家,與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家.1247年秦九韶完成了著作《數(shù)書九章》,其中的大衍求一術(shù)(一次同余方程組問題的解法,也就是現(xiàn)在所稱的中國(guó)剩余定理)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法(高次方程正根的數(shù)值求法)是有世界意義的重要貢獻(xiàn).設(shè)的三個(gè)內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,面積為,秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”公式為,若,,則由“三斜求積術(shù)”公式可得的面積為( )
A.B.C.D.1
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.若z是非零復(fù)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是( )
A.若,則B.若,則
C.若,則D.若,則
10.已知函數(shù),如圖,圖象經(jīng)過點(diǎn),,則( )
A. B.
C.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸 D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
11.《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體,如圖所示,該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)的柱體(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).圖中的曲池,垂直于底面,,底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為,弧AD的長(zhǎng)度是弧BC長(zhǎng)度的3倍,,則下列說(shuō)法正確的是( ).
A.弧AD長(zhǎng)度為B.曲池的體積為
C.曲池的表面積為D.三棱錐的體積為5
第二部分(非選擇題 共92分)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知向量,若向量在上的投影向量為,且與不共線,請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的向量的坐標(biāo) .
13.如圖,已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于,燈塔在觀察站的北偏東的方向,燈塔在觀察站的南偏東的方向,則燈塔與燈塔間的距離為 ().
14.如圖,已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱的長(zhǎng)為2,E、F分別為和AC中點(diǎn),則直線EF與平面所成角的余弦值為 ,異面直線與所成角的余弦值為 .
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步棸。
15.(本小題滿分13分)如圖,在斜坐標(biāo)系中,分別是與軸?軸正方向同向的單位向量,且的夾角為,定義向量在該斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為有序數(shù)對(duì),記為.在斜坐標(biāo)系中,完成如下問題:
(1)若,求;
(2)若,求(用表示);
(3)若,求向量的夾角的大小.
16.(本小題滿分15分)在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且.
(1)求角;
(2)射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)交線段于點(diǎn),且,求的面積的最小值.
17.(本小題滿分15分)已知函數(shù).
(1)若,的最小值為,求的對(duì)稱中心;
(2)已知,函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在(且)上恰好有12個(gè)零點(diǎn),求的最小值.
18.(本小題滿分17分)如圖所示,在長(zhǎng)方形中,,為的中點(diǎn),以為折痕,把折起到的位置,且平面平面.
(1)求證:;
(2)求四棱錐的體積;
(3)在棱上是否存在一點(diǎn)P,使得平面,若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
19.(本小題滿分17分)由倍角公式,可知可以表示為的二次多項(xiàng)式.對(duì)于,我們有
可見也可以表示成的三次多項(xiàng)式.
(1)利用上述結(jié)論,求的值;
(2)化簡(jiǎn);并利用此結(jié)果求的值;
(3)已知方程在上有三個(gè)根,記為,求證:.

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