知識點1：并集和交集的定義
【知識點撥】(1)簡單地說，集合A和集合B的全部(公共)元素組成的集合就是集合A與B的并(交)集；(2)當集合A，B無公共元素時，不能說A與B沒有交集，只能說它們的交集是空集；(3)在兩個集合的并集中，屬于集合A且屬于集合B的元素只顯示一次；(4)交集與并集的相同點是：由兩個集合確定一個新的集合，不同點是：生成新集合的法則不同．
知識點2：并集和交集的性質
【題型歸納目錄】
題型1：并集的運算
題型2：交集的運算
題型3：根據(jù)交集求參數(shù)問題
題型4：根據(jù)并集求參數(shù)問題
題型5：交集、并集的綜合運算
【典例例題】
題型1：并集的運算
例1．(2023·浙江杭州·高一?？茧A段練習)設集合，，則元素的個數(shù)為( )
A．2B．3C．8D．9
【答案】C
【解析】因為集合，，
所以
所以元素的個數(shù)為8，
故選：C
例2．(2023·云南普洱·高一校考階段練習)已知集合，，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，，
所以，
故選：A.
例3．(2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末)已知集合，，則( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為集合，，
根據(jù)并集的定義可知，.
故選：B
變式1．(2023·四川宜賓·高一?？茧A段練習)已知集合，，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為集合，，
所以，
故選:D.
變式2．(2023·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級中學?？计谀?已知集合，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】已知集合，
所以.
故選：C
變式3．(2023·廣東惠州·高一惠州市惠陽高級中學實驗學校?？茧A段練習)已知集合，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，故.
故選：C
變式4．(2023·江蘇鹽城·高一江蘇省阜寧中學校考階段練習)已知集合，，則( )
A．SB．TC．RD．
【答案】A
【解析】集合，.
當時，有；
當時，有.
所以，所以.
故選：A
變式5．(2023·河北石家莊·高一校考階段練習)設集合，，則A∪B中的元素個數(shù)是
A．11B．10C．16D．15
【答案】C
【解析】由題意可得：,,
據(jù)此可得：，
則A∪B中的元素個數(shù)是16.
本題選擇C選項.
題型2：交集的運算
例4．(2023·高一課時練習)集合，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為集合，
所以.
故選：D.
例5．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學校校考期中)已知集合，則( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因為，
所以.
故選：B
例6．(2023·高一單元測試)已知集合，，則( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題意得，又因為，
則，
故選：A.
變式6．(2023·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥?集合，集合，則( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為集合，集合，
所以.
故選：C.
變式7．(2023·廣東汕尾·高一華中師范大學海豐附屬學校校考階段練習)設集合，，則等于( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為，，
所以，
故選：A．
變式8．(2023·遼寧沈陽·高一東北育才學校校考期末)已知集合，，則( )
A．B．C．，D．
【答案】D
【解析】由題意可知，解得，
所以.
故選：D.
題型3：根據(jù)交集求參數(shù)問題
例7．(2023·高一課時練習)設集合,
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】(1)當時，，；
(2)，
當時，滿足題意，此時，解得；
當時，解得，
實數(shù)m的取值范圍為.
例8．(2023·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末)集合，集合.
(1)當時，求，；
(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)解不等式，得，
所以，
當時，則，
所以，；
(2)因為，所以
當時，，即，此時；
當時，，則，解得:，
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.
例9．(2023·福建泉州·高一?？茧A段練習)設集合.
(1)討論集合與的關系；
(2)若，且，求實數(shù)的值.
【解析】(1)，
當時，；
當時，，是的真子集.
(2)當時，因為，所以，所以.
當時，解得(舍去)或，此時，符合題意.
當時，解得，此時符合題意.
綜上，或.
變式9．(2023·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考期末)設集合，.
(1)若，求a的值；
(2)若，求實數(shù)a組成的集合C.
【解析】(1)由，解得或，所以，
因為，
所以，則，
所以；
(2)因為，則，
當時，；
當時，；
當時，，
綜上可得集合.
變式10．(2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校考期中)已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范圍.
【解析】(1)因為，，
所以.
(2)因為，且，
所以，即的取值范圍為.
變式11．(2023·貴州銅仁·高一?？奸_學考試)已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】(1)當時，，，.
(2)
當時，，解得，
當時，或，解得：或，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍．
題型4：根據(jù)并集求參數(shù)問題
例10．(2023·上海寶山·高一上海市吳淞中學?？茧A段練習)設集合，，
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)由集合可得，
由可得，
故，解得或，
當時，，此時不滿足題意，舍去，
當時，，滿足題意，
故；
(2)由得，
當時，即時，滿足題意；
當時，即時，滿足題意；
當時，即時，，解得，
綜上可得，或；
即實數(shù)的取值范圍為.
例11．(2023·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習)設集合.已知.
(1)求集合A；
(2)若，求所有滿足條件的的取值集合.
【解析】(1)因為，
又，，
所以，，
所以；
(2)由，可得，
當時，則關于的方程沒有實數(shù)根，所以；
當時，此時，則，
所以或，解得或；
綜上，所有滿足條件的的取值集合為.
例12．(2023·上海虹口·高一上外附中?？茧A段練習)已知，若，求實數(shù)的值.
【解析】因為中，且兩根之積為，又，
故，所以，則，
由上知：，所以，代入得，顯然滿足.
所以.
變式12．(2023·上海徐匯·高一?？计谀?已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)，；
時，，故
(2)由于，故，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.
變式13．(2023·福建龍巖·高一?？茧A段練習)已知集合，，.
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍.
【解析】(1)若,
則，
解得；
故的取值范圍為
(2)若，則，
則或，
解得或.
故的取值范圍為或
變式14．(2023·上海金山·高一上海市金山中學?？计谀?已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求實數(shù)的取值集合.
【解析】(1)當時，，又，
所以；
(2)由解得，，
若，則，，符合題意；
若，由于，所以；
綜上所述，實數(shù)的取值集合為.
變式15．(2023·安徽滁州·高一?？茧A段練習)已知集合，集合．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【解析】(1)，
∵，∴，
∴；
(2)∵，∴，
∵
∴①，即時，，滿足題意；
②時，，∴，解得，
綜上得，或．
變式16．(2023·上海浦東新·高一校考階段練習)已知，且，若，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】由得，即. 由得，解得.
故實數(shù)的取值范圍為
題型5：交集、并集的綜合運算
例13．(多選題)(2023·江蘇連云港·高一連云港高中?？茧A段練習)對于非空集合，，我們把集合且叫做集合與的差集，記作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，則有，2，，如果，集合與之間的關系為( )
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】差集的定義，且，
，，
故選：．
例14．(多選題)(2023·江西宜春·高一江西省樟樹中學校考階段練習)設集合，則下列說法不正確的是( )
A．若有4個元素，則B．若，則有4個元素
C．若，則D．若，則
【答案】ABC
【解析】(1)當時，，；
(2)當時，，；
(3)當時，，；
(4)當時，，；
故A，B，C，不正確，D正確
故選：ABC
例15．(多選題)(2023·江蘇連云港·高一階段練習)已知集合，，則( )
A．集合B．集合可能是
C．集合可能是D．0可能屬于B
【答案】ABD
【解析】∵，∴，故A正確．
∵集合，∴集合中一定包含元素1，2，3，
∵，∴集合可能是，故B正確；
∵不是自然數(shù)，∴集合不可能是，故C錯誤；
∵0是最小的自然數(shù)，∴0可能屬于集合，故D正確.
故選：ABD.
變式17．(多選題)(2023·廣西桂林·高一?？茧A段練習)若集合，則( )
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】對于AB，因為，
所以，，故AB正確；
對于C，因為，但，所以不成立，故C錯誤；
對于D，由選項AB易知，故D錯誤.
故選：AB.
變式18．(多選題)(2023·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學校考階段練習)若集合，則下列結論正確的有( )
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】因為，所以，A正確；
，當時，，B錯誤；
因為，而，所以，C正確；
因為，而，所以，D正確.
故選：ACD.
變式19．(多選題)(2023·山東菏澤·高一?？茧A段練習)若集合，則下列結論正確的是( )
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】，
∴，，，
故選：BCD．
變式20．(多選題)(2023·江蘇蘇州·高一吳縣中學?？茧A段練習)下列命題為真命題的是( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】ABC
【解析】若，則中的元素中都有，則，故A正確.
若，則.因為含有中的全部元素，故B正確.
因為，所以是的公共元素，故，所以C正確.
因為，所以是的元素或的元素，不一定是公共元素，故D不對.
故選：ABC
【過關測試】
一、單選題
1．(2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學校聯(lián)考期末)集合滿足，則集合中的元素個數(shù)為( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】因為，所以，
又，所以，則，故集合中的元素個數(shù)為.
故選：B.
2．(2023·湖北黃岡·高一黃岡中學校聯(lián)考期中)設集合，，則圖陰影區(qū)域表示的集合是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可知，圖陰影區(qū)域表示的集合是,
所以.
故選：A.
3．(2023·湖北·高一校聯(lián)考期中)已知集合，，若，則( )
A．0B．1C．0或1D．2
【答案】C
【解析】由題意可得：
若，則，此時，，若，則或符合題意；
若，則，不符合題意.
故選:C
4．(2023·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末)已知集合，，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，，
所以，
故選：C.
5．(2023·浙江金華·高一?？茧A段練習)設，，若，則實數(shù)組成的集合的子集個數(shù)有( )
A．2B．3C．4D．8
【答案】D
【解析】，，
，
或或，
當時，，
當時，，得，
當時，，得，
實數(shù)組成的集合為，
其子集的個數(shù)為.
故選：D.
6．(2023·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習)已知集合，，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意，，，所以.
故選：C
7．(2023·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習)設集合A、B、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【解析】對于A， ，當時，結論不成立，則A錯誤；
對于B, ，當時，結論不成立，則B錯誤；
對于C，，當時，結論不成立，則C錯誤；
對于D，因為，，所以，又，所以，則，則D正確.
故選：D
8．(2023·云南曲靖·高一曲靖一中?？茧A段練習)定義集合運算，若集合，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入驗證，
故.
故選：D.
二、多選題
9．(2023·高一單元測試)設，若，則m的值可以為( )
A．0B．C．1D．2
【答案】ABC
【解析】，
，
當時，，符合；
當時，，
或，
或.
故選：ABC.
10．(2023·江蘇連云港·高一連云港高中校考階段練習)設，均為有限集，中元素的個數(shù)為，中元素的個數(shù)為，中元素的個數(shù)為，下列各式可能成立的是( )
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】由并集的定義知，當集合與中沒有公共元素時，有，所以可能成立；
當集合與中有公共元素時，，所以可能成立；
當集合與集合為相等集合時，，所以可能成立；
根據(jù)集合的并集運算可知不能成立.
故選：ABD．
11．(2023·遼寧沈陽·高一沈陽市外國語學校?？茧A段練習)設，，若，則實數(shù)的值可以為( )
A．B．0C．3D．
【答案】ABD
【解析】，，又 ，
當時，，符合題意；
當時， ，
要使，則或，
解得或．
綜上，或或．
故選：ABD．
12．(2023·江蘇泰州·高一泰州中學校考期中)設集合，，若，則實數(shù)的值可以為( )
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】由得：或，即；
，；
當時，，滿足題意；
當時，，則或，解得：或；
綜上所述：實數(shù)的取值集合為.
故選：ABC.
三、填空題
13．(2023·上海閔行·高一?？计谀?已知，，則_______.
【答案】
【解析】因為集合，，因此，.
故答案為：.
14．(2023·上海浦東新·高一?？茧A段練習)已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】因為，所以，
若即，則，滿足題意；
若即，
因為，所以解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍是，
故答案為:.
15．(2023·高一課時練習)已知集合，，則_________.
【答案】
【解析】因為，所以，易知，
當時，，此時，，不合題意舍去；
當時，，此時，，滿足題意，
所以.
故答案為：
16．(2023·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥?設集合，，若，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】，，，故.
故答案為：
四、解答題
17．(2023·高一課時練習)設方程的解集是A，方程的解集是B，，求．
【解析】因為，則是方程的一個實根，
則，解得，解方程，得或，
.
，則是方程的一個實根，
則，解得，解方程，得或
，.
18．(2023·高一單元測試)已知全集為，集合，．
(1)求；
(2)若，且?，求的取值范圍．
【解析】(1)解不等式，解得，
所以，
所以；
(2)由(1)得，
又?，
則或，解得或，
即.
19．(2023·福建泉州·高一?？茧A段練習)在①；②這二個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.
問題：已知集合.
(1)當時，求；
(2)若__________，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)當時，集合，所以；
(2)若選擇①，則，
因為，所以，又，
所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是
若選擇②，
因為，所以，又
所以或，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍是或
20．(2023·安徽宿州·高一校考階段練習)已知集合A＝{x|2a

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