高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點講解+真題測試專題5.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式(知識點講解)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【核心素養(yǎng)】
1．利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解決條件求值問題，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
2．把誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系綜合考查，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
【知識點展示】
（一）同角三角函數(shù)
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.三角函數(shù)求值與化簡必會的三種方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcsα;形如asinx+bcsxcsinx+dcsx,等類型可進行弦化切.
(2)“1”的靈活代換法: 等.
(3)和積轉(zhuǎn)換法:利用的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化.
（二）誘導(dǎo)公式
六組誘導(dǎo)公式
對于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時，原函數(shù)值的符號”
【?？碱}型剖析】
題型一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
例1.(2023·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
例2．（2023·湖南·高考真題）已知，且為第四象限角，則____________
例3.（2023·金華市江南中學(xué)高一月考）已知=2，則tanx=____，sinxcsx=____.
例 4.（2023·江蘇·高一課時練習(xí)）已知tanα＝2，求sinα和csα的值．
【規(guī)律方法】
1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的三種應(yīng)用方法--“弦切互化法”、““1”的靈活代換法”、“和積轉(zhuǎn)換法”
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可實現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，注意等；
(2)由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，因為利用“平方關(guān)系”公式，需求平方根，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當(dāng)角所在的象限不明確時，要進行分類討論．
2. 利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．
（1）若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是將分子、分母同除以csα(或cs2α)轉(zhuǎn)化為tanα的代數(shù)式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么運算量會很大，問題的解決就會變得繁瑣．
（2）形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代換，分子、分母同除以cs2α再求解．
題型二：sinαcsα與sinαcsα的關(guān)系及應(yīng)用
例5.(2023·浙江溫州·高二期末）已知，，則（）
A．B．C．D．
例6. (2023·遼寧沈陽·高一期中）已知，且函數(shù)．
(1)化簡；
(2)若，求和的值．
【總結(jié)提升】
(1)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα這三個式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
題型三：誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用
例7．（2008·天津·高考真題（文））設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
例8．(2023·安徽·高考真題（理））設(shè)函數(shù)滿足當(dāng)時，，則（）
A．B．C．0D．
例9．（2007·天津·高考真題（文））“”是“”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
例10. （2023·永州市第四中學(xué)高一月考）已知是第四象限角，.
（1）化簡.
（2）若，求的值.
【總結(jié)提升】
1.用誘導(dǎo)公式求值時,要善于觀察所給角之間的關(guān)系,利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有π3-α與π6+α,π3+α與π6-α,π4+α與π4-α等,常見的互補關(guān)系有π6-θ與5π6+θ,π3+θ與2π3-θ,π4+θ與3π4-θ等.
2.利用誘導(dǎo)公式化簡求值的步驟:(1)負(fù)化正;(2)大化小;(3)小化銳;(4)銳求值.
題型四：同角公式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例11. （2023·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三月考（理））已知，則＝（）
A．-7B．C．D．5
例12.（2023·江蘇·高考真題）已知，且，則的值是_________.
例13.(2023·全國·高考真題（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ–）=___________.
例14．(2023·河北·滄縣中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與單位圓（半徑為1的圓）的交點為，將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到角的終邊，記的終邊與單位圓的交點為Q．
(1)若，，求角的值；
(2)若，求tan的值．
【規(guī)律方法】
1.明確三角函數(shù)式化簡的原則和方向
(1)切化弦，統(tǒng)一名．
(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．
(3)用因式分解將式子變形，化為最簡．
也就是：“統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了”．
2.化簡要求:(1)化簡過程是恒等變形;(2)結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求值的要求出值.
3.三角恒等式的證明一般有三種方法：①一端化簡等于另一端；②兩端同時化簡使之等于同一個式子；③作恒等式兩端的差式使之為0．
4證明條件恒等式，一般有兩種方法：一是在從被證等式一邊推向另一邊的適當(dāng)時候?qū)l件代入，推出被證等式的另一邊，這種方法稱作代入法；二是直接將條件等式變形，變形為被證的等式，這種方法稱作推出法，證明條件等式時，不論使用哪一種方法，都要依據(jù)要證的目標(biāo)的特征進行變形．
角
函數(shù)
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
專題5.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式（知識點講解）
【知識框架】

【核心素養(yǎng)】
1．利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解決條件求值問題，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
2．把誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系綜合考查，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
【知識點展示】
（一）同角三角函數(shù)
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.三角函數(shù)求值與化簡必會的三種方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcsα;形如asinx+bcsxcsinx+dcsx,等類型可進行弦化切.
(2)“1”的靈活代換法: 等.
(3)和積轉(zhuǎn)換法:利用的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化.
（二）誘導(dǎo)公式
六組誘導(dǎo)公式
對于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時，原函數(shù)值的符號”
【?？碱}型剖析】
題型一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
例1.(2023·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
答案：A
【解析】
分析：
由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】
因為可得：
當(dāng)時，，充分性成立；
當(dāng)時，，必要性不成立；
所以當(dāng)，是的充分不必要條件.
故選：A.
例2．（2023·湖南·高考真題）已知，且為第四象限角，則____________
答案：
分析：
首先求的值，再求.
【詳解】
，且為第四象限角，
，
.
故答案為：
例3.（2023·金華市江南中學(xué)高一月考）已知=2，則tanx=____，sinxcsx=____.
答案：3
【解析】
分析：
將=2左端分子分母同除以，得，解得，
.
故答案為：；
例 4.（2023·江蘇·高一課時練習(xí)）已知tanα＝2，求sinα和csα的值．
答案：當(dāng)α是第一象限角，則csα＝， sinα＝；
當(dāng)α是第三象限角，則csα＝－， sinα＝－.
分析：
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】
解由＝tanα＝2，可得sinα＝2csα.
又sin2α＋cs2α＝1，故(2csα)2＋cs2α＝1，解得cs2α＝.
又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角．
當(dāng)α是第一象限角，則csα＝， sinα＝；
當(dāng)α是第三象限角，則csα＝－， sinα＝－.
【規(guī)律方法】
1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的三種應(yīng)用方法--“弦切互化法”、““1”的靈活代換法”、“和積轉(zhuǎn)換法”
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可實現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，注意等；
(2)由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，因為利用“平方關(guān)系”公式，需求平方根，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當(dāng)角所在的象限不明確時，要進行分類討論．
2. 利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．
（1）若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是將分子、分母同除以csα(或cs2α)轉(zhuǎn)化為tanα的代數(shù)式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么運算量會很大，問題的解決就會變得繁瑣．
（2）形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代換，分子、分母同除以cs2α再求解．
題型二：sinαcsα與sinαcsα的關(guān)系及應(yīng)用
例5.(2023·浙江溫州·高二期末）已知，，則（）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
利用平方關(guān)系，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式，即可求解.
【詳解】
，，，，，
，所以.
故選：C
例6. (2023·遼寧沈陽·高一期中）已知，且函數(shù)．
(1)化簡；
(2)若，求和的值．
答案：(1)
(2)，
【解析】
分析：
（1）利用三角函數(shù)恒等變換公式直接化簡即可，
（2）對平方可求出，再由可得，然后求出，從而可求得的值
(1)
．
(2)
由，
平方可得，
即．
∴．
又，∴，，
∴，
∵，
∴．
【總結(jié)提升】
(1)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα這三個式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
題型三：誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用
例7．（2008·天津·高考真題（文））設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【詳解】
因為，，所以，，且，所以，，所以,
故選D.
例8．(2023·安徽·高考真題（理））設(shè)函數(shù)滿足當(dāng)時，，則（）
A．B．C．0D．
答案：A
【解析】
【詳解】
試題分析：由題意，
，故選A.
例9．（2007·天津·高考真題（文））“”是“”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
答案：A
【解析】
分析：
【詳解】
由已知，充分性成立；
由不能得出，如也滿足．
故選：A.
例10. （2023·永州市第四中學(xué)高一月考）已知是第四象限角，.
（1）化簡.
（2）若，求的值.
答案：（1）；（2）
【解析】
（1）．
．
（2）因為
，
所以．
因為是第四象限角，
所以，
所以．
【總結(jié)提升】
1.用誘導(dǎo)公式求值時,要善于觀察所給角之間的關(guān)系,利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關(guān)系有π3-α與π6+α,π3+α與π6-α,π4+α與π4-α等,常見的互補關(guān)系有π6-θ與5π6+θ,π3+θ與2π3-θ,π4+θ與3π4-θ等.
2.利用誘導(dǎo)公式化簡求值的步驟:(1)負(fù)化正;(2)大化小;(3)小化銳;(4)銳求值.
題型四：同角公式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例11. （2023·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三月考（理））已知，則＝（）
A．-7B．C．D．5
答案：D
分析：
先通過誘導(dǎo)公式對等式進行化簡，進而弦化切求出正切值，然后對所求式子進行弦化切，最后得到答案.
【詳解】
由題意，，
則.
故選：D.
例12.（2023·江蘇·高考真題）已知，且，則的值是_________.
答案：
分析：
先用誘導(dǎo)公式化簡，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得.
【詳解】
，因為，所以，所以，所以，所以.
故答案為：.
例13.(2023·全國·高考真題（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ–）=___________.
答案：
【解析】
分析：
由題求得θ的范圍，結(jié)合已知求得cs（θ），再由誘導(dǎo)公式求得sin（）及cs（），進一步由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得tan（θ）的值．
【詳解】
解：∵θ是第四象限角，
∴，則，
又sin（θ），
∴cs（θ）．
∴cs（）＝sin（θ），sin（）＝cs（θ）．
則tan（θ）＝﹣tan（）．
故答案為．
例14．(2023·河北·滄縣中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與單位圓（半徑為1的圓）的交點為，將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到角的終邊，記的終邊與單位圓的交點為Q．
(1)若，，求角的值；
(2)若，求tan的值．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）當(dāng)時，得到，結(jié)合三角函數(shù)的定義求得，即可求解；
（2）由，結(jié)合題意得到，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，得出，聯(lián)立方程組，即可求解.
(1)
解：當(dāng)時，即角的終邊與單位圓（半徑為1的圓）的交點為，
根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，
因為，所以，
(2)
解：因為，所以，
即①，平方得，且，
因為，所以，
則②，
由①②得，則.
【規(guī)律方法】
1.明確三角函數(shù)式化簡的原則和方向
(1)切化弦，統(tǒng)一名．
(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．
(3)用因式分解將式子變形，化為最簡．
也就是：“統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了”．
2.化簡要求:(1)化簡過程是恒等變形;(2)結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求值的要求出值.
3.三角恒等式的證明一般有三種方法：①一端化簡等于另一端；②兩端同時化簡使之等于同一個式子；③作恒等式兩端的差式使之為0．
4證明條件恒等式，一般有兩種方法：一是在從被證等式一邊推向另一邊的適當(dāng)時候?qū)l件代入，推出被證等式的另一邊，這種方法稱作代入法；二是直接將條件等式變形，變形為被證的等式，這種方法稱作推出法，證明條件等式時，不論使用哪一種方法，都要依據(jù)要證的目標(biāo)的特征進行變形．
角
函數(shù)
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α

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