【核心素養(yǎng)】
1．利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解決條件求值問(wèn)題，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．把誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系綜合考查，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)展示】
（一）同角三角函數(shù)
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)必會(huì)的三種方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,等類型可進(jìn)行弦化切.
(2)“1”的靈活代換法: 等.
(3)和積轉(zhuǎn)換法:利用的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.
（二）誘導(dǎo)公式
六組誘導(dǎo)公式
對(duì)于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”
【?？碱}型剖析】
題型一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
例1.（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
例2．（2021·湖南·高考真題）已知，且為第四象限角，則____________
例3.（2020·金華市江南中學(xué)高一月考）已知=2，則tanx=____，sinxcsx=____.
例 4.（2021·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）已知tanα＝2，求sinα和csα的值．
【規(guī)律方法】
1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的三種應(yīng)用方法--“弦切互化法”、““1”的靈活代換法”、“和積轉(zhuǎn)換法”
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可實(shí)現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，注意等；
(2)由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號(hào)，當(dāng)角所在的象限不明確時(shí)，要進(jìn)行分類討論．
2. 利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．
（1）若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是將分子、分母同除以csα(或cs2α)轉(zhuǎn)化為tanα的代數(shù)式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么運(yùn)算量會(huì)很大，問(wèn)題的解決就會(huì)變得繁瑣．
（2）形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代換，分子、分母同除以cs2α再求解．
題型二：sinαcsα與sinαcsα的關(guān)系及應(yīng)用
例5.（2022·浙江溫州·高二期末）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
例6. （2022·遼寧沈陽(yáng)·高一期中）已知，且函數(shù)．
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若，求和的值．
【總結(jié)提升】
(1)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα這三個(gè)式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
題型三：誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用
例7．（2008·天津·高考真題（文））設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
例8．（2014·安徽·高考真題（理））設(shè)函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．0D．
例9．（2007·天津·高考真題（文））“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
例10. （2020·永州市第四中學(xué)高一月考）已知是第四象限角，.
（1）化簡(jiǎn).
（2）若，求的值.
【總結(jié)提升】
1.用誘導(dǎo)公式求值時(shí),要善于觀察所給角之間的關(guān)系,利用整體代換的思想簡(jiǎn)化解題過(guò)程.常見(jiàn)的互余關(guān)系有-α與+α,+α與-α,+α與-α等,常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有-θ與+θ,+θ與-θ,+θ與-θ等.
2.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的步驟:(1)負(fù)化正;(2)大化小;(3)小化銳;(4)銳求值.
題型四：同角公式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例11. （2021·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三月考（理））已知，則＝（ ）
A．-7B．C．D．5
例12.（2021·江蘇·高考真題）已知，且，則的值是_________.
例13.（2016·全國(guó)·高考真題（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ–）=___________.
例14．（2022·河北·滄縣中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與單位圓（半徑為1的圓）的交點(diǎn)為，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到角的終邊，記的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Q．
(1)若，，求角的值；
(2)若，求tan的值．
【規(guī)律方法】
1.明確三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則和方向
(1)切化弦，統(tǒng)一名．
(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．
(3)用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn)．
也就是：“統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了”．
2.化簡(jiǎn)要求:(1)化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變形;(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單,能求值的要求出值.
3.三角恒等式的證明一般有三種方法：①一端化簡(jiǎn)等于另一端；②兩端同時(shí)化簡(jiǎn)使之等于同一個(gè)式子；③作恒等式兩端的差式使之為0．
4證明條件恒等式，一般有兩種方法：一是在從被證等式一邊推向另一邊的適當(dāng)時(shí)候?qū)l件代入，推出被證等式的另一邊，這種方法稱作代入法；二是直接將條件等式變形，變形為被證的等式，這種方法稱作推出法，證明條件等式時(shí)，不論使用哪一種方法，都要依據(jù)要證的目標(biāo)的特征進(jìn)行變形．
角
函數(shù)
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α

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