【核心素養(yǎng)】
1.與不等式相結(jié)合考查三角函數(shù)定義域的求法，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．與二次函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等結(jié)合考查函數(shù)的值域(最值)，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3．借助函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．
4.五點(diǎn)作圖與函數(shù)圖象變換、函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合考查三角函數(shù)圖象問(wèn)題，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
5．將函數(shù)圖象、性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)、極值、最值等問(wèn)題綜合考查y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)展示】
（一）“五點(diǎn)法”作圖
“五點(diǎn)法”作圖：先列表，令，求出對(duì)應(yīng)的五個(gè) SKIPIF 1 < 0 的值和五個(gè)值，再根據(jù)求出的對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)描出五個(gè)點(diǎn)，再把五個(gè)點(diǎn)利用平滑的曲線連接起來(lái)，即得到在一個(gè)周期的圖象，最后把這個(gè)周期的圖象以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數(shù)的圖象.
（二）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【特別提醒】
(1)正、余弦函數(shù)一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度是半個(gè)周期，y＝tan x無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，y＝tan x在整個(gè)定義域內(nèi)不單調(diào)．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A和ω的符號(hào)．盡量化成ω＞0的形式，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆．
（三）常用結(jié)論
1．對(duì)稱與周期
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq \f (1,4)個(gè)周期．
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期．
2．函數(shù)具有奇、偶性的充要條件
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(3)函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(4)函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．
【常考題型剖析】
題型一：“五點(diǎn)法”做函數(shù)的圖象
例1. （2023·山東·高考真題）小明同學(xué)用“五點(diǎn)法”作某個(gè)正弦型函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表如下：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求：
（1）實(shí)數(shù)，，的值；
（2）該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
例2．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，.若，，且的最小值為，，求解下列問(wèn)題.
(1)化簡(jiǎn)的表達(dá)式并求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)請(qǐng)完善表格并利用五點(diǎn)作圖法繪制該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，并求在區(qū)間上的最值.
【規(guī)律方法】
用“五點(diǎn)法”作圖應(yīng)抓住四條：①將原函數(shù)化為或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)特殊點(diǎn)，當(dāng)畫出某指定區(qū)間上的圖象時(shí)，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn)．
題型二：三角函數(shù)的定義域
例3.(2023·寧夏·銀川一中高一期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
例 4. 函數(shù)y＝eq \r(sin x－cs x)的定義域?yàn)? ．
【總結(jié)提升】
三角函數(shù)定義域的求法
(1)求三角函數(shù)的定義域?；癁榻馊遣坏仁?組)．
(2)解三角不等式(組)時(shí)常借助三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線．
(3)對(duì)于函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的定義域可令ωx＋φ≠kπ＋eq \f (π,2)，k∈Z求解．
題型三：三角函數(shù)的值域(最值)
例5.(2023·山東·高考真題（文））函數(shù)的最大值與最小值之和為（ ）
A．B．0C．－1D．
例6. (2023·安徽·碭山中學(xué)高一期中）函數(shù)，的值域?yàn)開_____．
例7．(2023·北京·高考真題（文））函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）寫出的最小正周期及圖中、的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【總結(jié)提升】
求三角函數(shù)的值域(最值)的三種類型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x±cs x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．
題型四：三角函數(shù)的單調(diào)性
例8．（2023·全國(guó)·高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
例9．(2023·全國(guó)·高考真題（文））函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
例10.(2023·安徽·高考真題（理））已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例11. (2023·西安模擬)已知ω＞0，函數(shù)f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是( )
A．(0,2] B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (3,4))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (5,4)))
【規(guī)律方法】
1.三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法
(1)將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)．
(2)根據(jù)y＝sin x和y＝cs x的單調(diào)區(qū)間及A的正負(fù)，列不等式求解．
2. 已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的三種方法
（1）子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
（3）周期性法：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過(guò)周期列不等式(組)求解.
3.比較三角函數(shù)值大小.
題型五：三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性
例12.(2023·全國(guó)·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
例13. （2023·全國(guó)·高考真題（文））函數(shù)f(x)=在[—π，π]的圖像大致為
A．B．
C．D．
例14.(2023·四川·高考真題（文））下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
例15.（2023·全國(guó)·高考真題（理））關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：
①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱．
④f（x）的最小值為2．
其中所有真命題的序號(hào)是__________．
【規(guī)律方法】
1.求三角函數(shù)周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函數(shù)f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B與f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期為T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函數(shù)f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)對(duì)稱性求最值
①兩對(duì)稱軸距離的最小值和兩對(duì)稱中心距離的最小值都等于eq \f (T,2)；
②對(duì)稱中心到對(duì)稱軸距離的最小值等于eq \f (T,4)；
③兩個(gè)最大(小)值點(diǎn)之差的最小值等于T.
2.三角函數(shù)是奇、偶函數(shù)的充要條件
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；偶函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．
3．如何判斷函數(shù)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見的結(jié)論如下：
(1)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；
(2)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；
(3)若為奇函數(shù)則有.
4.求對(duì)稱軸方程(對(duì)稱中心坐標(biāo))的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱軸方程，只需對(duì)ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，對(duì)稱中心橫坐標(biāo)只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的對(duì)稱軸方程，只需對(duì)ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需對(duì)ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
題型六：三角函數(shù)的解析式
例16．(2023·全國(guó)·高考真題（文））函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．
C．
D．
例17．（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（ ）
A．B．
C．D．
【總結(jié)提升】
1.由的圖象求其函數(shù)式：
已知函數(shù)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置．
2. 根據(jù)圖象求解析式問(wèn)題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)確定A，h的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖象上的一個(gè)特殊點(diǎn)確定φ值．
題型七：三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
例18．(2023·浙江·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
例19．(2023·全國(guó)·高考真題（理））記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為____________．
例20．(2023·全國(guó)·高考真題（理））函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
性質(zhì)
圖象
定義域
值域
最值
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
既無(wú)最大值，也無(wú)最小值
周期性
奇偶性
,奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．
在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．
在上是增函數(shù)．
對(duì)稱性
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形.
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形.
對(duì)稱中心
無(wú)對(duì)稱軸，是中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱圖形.
0
0
3
0
-3
0
專題5.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（知識(shí)點(diǎn)講解）
【知識(shí)框架】

【核心素養(yǎng)】
1.與不等式相結(jié)合考查三角函數(shù)定義域的求法，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．與二次函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等結(jié)合考查函數(shù)的值域(最值)，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3．借助函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．
4.五點(diǎn)作圖與函數(shù)圖象變換、函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合考查三角函數(shù)圖象問(wèn)題，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
5．將函數(shù)圖象、性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)、極值、最值等問(wèn)題綜合考查y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)展示】
（一）“五點(diǎn)法”作圖
“五點(diǎn)法”作圖：先列表，令，求出對(duì)應(yīng)的五個(gè) SKIPIF 1 < 0 的值和五個(gè)值，再根據(jù)求出的對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)描出五個(gè)點(diǎn)，再把五個(gè)點(diǎn)利用平滑的曲線連接起來(lái)，即得到在一個(gè)周期的圖象，最后把這個(gè)周期的圖象以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數(shù)的圖象.
（二）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【特別提醒】
(1)正、余弦函數(shù)一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度是半個(gè)周期，y＝tan x無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，y＝tan x在整個(gè)定義域內(nèi)不單調(diào)．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A和ω的符號(hào)．盡量化成ω＞0的形式，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆．
（三）常用結(jié)論
1．對(duì)稱與周期
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq \f (1,4)個(gè)周期．
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期．
2．函數(shù)具有奇、偶性的充要條件
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(3)函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(4)函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．
【?？碱}型剖析】
題型一：“五點(diǎn)法”做函數(shù)的圖象
例1. （2023·山東·高考真題）小明同學(xué)用“五點(diǎn)法”作某個(gè)正弦型函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表如下：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求：
（1）實(shí)數(shù)，，的值；
（2）該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
答案：（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【解析】
分析：
（1）利用三角函數(shù)五點(diǎn)作圖法求解，，的值即可.
（2）首先根據(jù)（1）知：，根據(jù)題意得到，從而得到函數(shù)的最值.
【詳解】
（1）由表可知，則，
因?yàn)椋?，所以，解得，即?br>因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)，則，即，
所以，，解得，，
又因?yàn)?，所?
（2）由（1）可知.
因?yàn)?，所以?br>因此，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.
所以該函數(shù)在區(qū)間上的最大值是3，最小值是.
例2．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，.若，，且的最小值為，，求解下列問(wèn)題.
(1)化簡(jiǎn)的表達(dá)式并求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)請(qǐng)完善表格并利用五點(diǎn)作圖法繪制該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，并求在區(qū)間上的最值.
答案：(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2)完善表格見解析；圖象見解析；最大值為，最小值為.
【解析】
分析：
（1）利用最大值點(diǎn)和零點(diǎn)可確定最小正周期，由此可求得；利用可求得，由此可得解析式；令即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）令，利用五點(diǎn)作圖法即可完善表格并得到圖象，結(jié)合圖象可求得最值.
(1)
若，，即是的最大值點(diǎn)，是的零點(diǎn)，且的最小值為，設(shè)的最小正周期為，則，即，解得：.
由可得：，即有，
或，又，，
綜上所述：；
令，解得：，
的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)
根據(jù)“五點(diǎn)作圖法”的要求先完成表格：令.
由圖可知：當(dāng)時(shí)，取到最大值；當(dāng)時(shí)，取到最小值.
【規(guī)律方法】
用“五點(diǎn)法”作圖應(yīng)抓住四條：①將原函數(shù)化為或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)特殊點(diǎn)，當(dāng)畫出某指定區(qū)間上的圖象時(shí)，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn)．
題型二：三角函數(shù)的定義域
例3.(2023·寧夏·銀川一中高一期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
利用關(guān)于正切型函數(shù)的不等式去求函數(shù)的定義域
【詳解】
由，可得，則
則函數(shù)的定義域?yàn)?br>故選：C
例 4. 函數(shù)y＝eq \r(sin x－cs x)的定義域?yàn)? ．
答案：
【解析】法一：要使函數(shù)有意義，必須使sin x－cs x≥0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的圖象，如圖所示．在[0,2π]內(nèi)，滿足sin x＝cs x的x為，，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?
法二：sin x－cs x＝sin（）≥0，將視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)y＝sin x的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋ (k∈Z)，所以定義域?yàn)?br>【點(diǎn)睛】若定義域中含kπ或2kπ應(yīng)注明k∈Z.
【總結(jié)提升】
三角函數(shù)定義域的求法
(1)求三角函數(shù)的定義域?；癁榻馊遣坏仁?組)．
(2)解三角不等式(組)時(shí)常借助三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線．
(3)對(duì)于函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的定義域可令ωx＋φ≠kπ＋eq \f (π,2)，k∈Z求解．
題型三：三角函數(shù)的值域(最值)
例5.(2023·山東·高考真題（文））函數(shù)的最大值與最小值之和為（ ）
A．B．0C．－1D．
答案：A
【解析】
故選A
例6. (2023·安徽·碭山中學(xué)高一期中）函數(shù)，的值域?yàn)開_____．
答案：
【解析】
分析：
由的范圍求出的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br>，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：.
例7．(2023·北京·高考真題（文））函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）寫出的最小正周期及圖中、的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
答案：（1），，；（2）最大值0，最小值.
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）由圖可得出該三角函數(shù)的周期，從而求出；（2）把看作一個(gè)整體，從而求出最大值與最小值.
（1）由題意知：的最小正周期為，令y=3，則，解得，所以，.
（2）因?yàn)?，所以，于?br>當(dāng)，即時(shí)，取得最大值0；
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
【總結(jié)提升】
求三角函數(shù)的值域(最值)的三種類型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x±cs x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．
題型四：三角函數(shù)的單調(diào)性
例8．（2023·全國(guó)·高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
對(duì)于函數(shù)，由，
解得，
取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，
則，，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；
取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，
且，，CD選項(xiàng)均不滿足條件.
故選：A.
例9．(2023·全國(guó)·高考真題（文））函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
【詳解】
由五點(diǎn)作圖知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故單調(diào)減區(qū)間為（，），，故選D.
例10.(2023·安徽·高考真題（理））已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
【解析】
分析：
依題意可求ω＝2，又當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，可解得φ，從而可求解析式f（x）＝Asin（2x），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式即可比較大?。?br>【詳解】
解：依題意得，函數(shù)f（x）的周期為π，
∵ω＞0，
∴ω2．
又∵當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，
∴2φ＝2kπ，k∈Z，可解得：φ＝2kπ，k∈Z，
∴f（x）＝Asin（2x+2kπ）＝Asin（2x）．
∴f（﹣2）＝Asin（﹣4）＝Asin（4+2π）＞0．
f（2）＝Asin（4）＜0，
f（0）＝AsinAsin0，
又∵4+2π，而f（x）＝Asinx在區(qū)間（，）是單調(diào)遞減的，
∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．
故選A．
例11. (2023·西安模擬)已知ω＞0，函數(shù)f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是( )
A．(0,2] B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (3,4))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (5,4)))
答案：D
【解析】法一：(反子集法)∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))，∴ωx＋eq \f (π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (πω,2)＋\f (π,4)，πω＋\f (π,4))).
∵f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上單調(diào)遞減，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f (π,2)ω＋\f (π,4)≥\f (π,2)＋2kπ，k∈Z，,πω＋\f (π,4)≤\f (3π,2)＋2kπ，k∈Z，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≥4k＋\f (1,2)，k∈Z，,ω≤2k＋\f (5,4)，k∈Z.))
又ω＞0，k∈Z，
∴k＝0，此時(shí)eq \f (1,2)≤ω≤eq \f (5,4)，故選D．
法二：(子集法)由2kπ＋eq \f (π,2)≤ωx＋eq \f (π,4)≤2kπ＋eq \f (3π,2)，得eq \f (2kπ,ω)＋eq \f (π,4ω)≤x≤eq \f (2kπ,ω)＋eq \f (5π,4ω)，k∈Z，
因?yàn)閒 (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,4)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上單調(diào)遞減，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f (2kπ,ω)＋\f (π,4ω)≤\f (π,2)，,\f (2kπ,ω)＋\f (5π,4ω)≥π，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω≥4k＋\f (1,2)，,ω≤2k＋\f (5,4).))因?yàn)閗∈Z，ω＞0，所以k＝0，
所以eq \f (1,2)≤ω≤eq \f (5,4)，即ω的取值范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (5,4))).故選D．
【規(guī)律方法】
1.三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法
(1)將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)．
(2)根據(jù)y＝sin x和y＝cs x的單調(diào)區(qū)間及A的正負(fù)，列不等式求解．
2. 已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的三種方法
（1）子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
（3）周期性法：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過(guò)周期列不等式(組)求解.
3.比較三角函數(shù)值大小.
題型五：三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性
例12.(2023·全國(guó)·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
答案：A
【解析】
分析：
由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.
【詳解】
由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故選：A
例13. （2023·全國(guó)·高考真題（文））函數(shù)f(x)=在[—π，π]的圖像大致為
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正確答案．
【詳解】
由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又．故選D．
例14.(2023·四川·高考真題（文））下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可．
【詳解】
解：y＝cs（2x）＝﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確
y＝sin（2x）＝cs2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；
y＝sin2x+cs2xsin（2x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；
y＝sinx+csxsin（x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；
故選A．
例15.（2023·全國(guó)·高考真題（理））關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：
①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱．
④f（x）的最小值為2．
其中所有真命題的序號(hào)是__________．
答案：②③
【解析】
分析：
利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對(duì)稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】
對(duì)于命題①，，，則，
所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于命題②，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題②正確；
對(duì)于命題③，，
，則，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，命題③正確；
對(duì)于命題④，當(dāng)時(shí)，，則，
命題④錯(cuò)誤.
故答案為：②③.
【規(guī)律方法】
1.求三角函數(shù)周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函數(shù)f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B與f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期為T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函數(shù)f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)對(duì)稱性求最值
①兩對(duì)稱軸距離的最小值和兩對(duì)稱中心距離的最小值都等于eq \f (T,2)；
②對(duì)稱中心到對(duì)稱軸距離的最小值等于eq \f (T,4)；
③兩個(gè)最大(小)值點(diǎn)之差的最小值等于T.
2.三角函數(shù)是奇、偶函數(shù)的充要條件
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；偶函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．
3．如何判斷函數(shù)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見的結(jié)論如下：
(1)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；
(2)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；
(3)若為奇函數(shù)則有.
4.求對(duì)稱軸方程(對(duì)稱中心坐標(biāo))的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱軸方程，只需對(duì)ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，對(duì)稱中心橫坐標(biāo)只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的對(duì)稱軸方程，只需對(duì)ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需對(duì)ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
題型六：三角函數(shù)的解析式
例16．(2023·全國(guó)·高考真題（文））函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
【解析】
【詳解】
試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.
例17．（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由圖可得：函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，即可得到，結(jié)合是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.
【詳解】
由圖可得：函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，
將它代入函數(shù)可得：
又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，
所以，解得：
所以函數(shù)的最小正周期為
故選：C
【總結(jié)提升】
1.由的圖象求其函數(shù)式：
已知函數(shù)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置．
2. 根據(jù)圖象求解析式問(wèn)題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)確定A，h的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖象上的一個(gè)特殊點(diǎn)確定φ值．
題型七：三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
例18．(2023·浙江·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【詳解】
，因?yàn)椋?，，因此在上有零點(diǎn)，故在上有零點(diǎn)；
，而，即，因此，故在上一定存在零點(diǎn)；
雖然，但，又，即，從而，于是在區(qū)間上有零點(diǎn)，也即在上有零點(diǎn)，
排除B，C，D，那么只能選A．
例19．(2023·全國(guó)·高考真題（理））記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為____________．
答案：
【解析】
分析：
首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；
【詳解】
解： 因?yàn)椋?，?br>所以最小正周期，因?yàn)椋?br>又，所以，即，
又為的零點(diǎn)，所以，解得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；
故答案為：
例20．(2023·全國(guó)·高考真題（理））函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．
答案：
【解析】
分析：
求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【詳解】
詳解：
由題可知，或
解得,或
故有3個(gè)零點(diǎn)．
性質(zhì)
圖象
定義域
值域
最值
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
既無(wú)最大值，也無(wú)最小值
周期性
奇偶性
,奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．
在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．
在上是增函數(shù)．
對(duì)稱性
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形.
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形.
對(duì)稱中心
無(wú)對(duì)稱軸，是中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱圖形.
0
0
3
0
-3
0
0

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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題4.2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題4.1導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題4.1導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)
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