【核心素養(yǎng)】
1.通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
2.結(jié)合復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模等概念的認(rèn)識(shí)，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
3.結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
4.考查復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算，與三角函數(shù)相結(jié)合，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
【知識(shí)點(diǎn)展示】
1．復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量eq \(OZ,\s\up14(→))所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角，我們規(guī)定在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作arg z．r(cs θ＋isin θ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式．a(chǎn)＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱代數(shù)形式．
2．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算
若復(fù)數(shù)z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，則
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)=
r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2)eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1?cs θ1＋isin θ1?,r2?cs θ2＋isin θ2?)
＝eq \f(r1,r2) [cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和．
兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.
【常考題型剖析】
題型一：復(fù)數(shù)的輻角與輻角主值
例1.（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）復(fù)數(shù)1＋i的輻角主值為（ ）
A．B．C．D．
例2.（2022·重慶·高一階段練習(xí)）復(fù)數(shù)的輻角主值是（ ）
A．B．C．D．
例3.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（ ）
A．B．C．D．
【總結(jié)提升】
(1)任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍．
(2)復(fù)數(shù)0的輻角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．
（5）一般在復(fù)數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值，這使表達(dá)式簡(jiǎn)便，又便于運(yùn)算，但三角形式輻角不一定取主值.
題型二：復(fù)數(shù)代數(shù)形式與三角形式互化
例4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)化成三角形式，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例5.（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）復(fù)數(shù)的三角形式為（ ）
A．B．
C．D．
例6.（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）將復(fù)數(shù)z＝化為代數(shù)形式為_(kāi)_______．
【規(guī)律方法】
1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟
（1）先求復(fù)數(shù)的模.
（2）決定輻角所在的象限.
（3）根據(jù)象限求出輻角.
（4）求出復(fù)數(shù)的三角形式.
2.復(fù)數(shù)的三角形式z＝r（cs θ＋isin θ）必須滿足“模非負(fù)、余正弦、＋相連、角統(tǒng)一、i跟sin”，否則就不是三角形式，只有化為三角形式才能確定其模和輻角.如（2）小題.
題型三：復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算
例7.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)的三角形式是（ ）
A．B．
C．D．
例8.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算：_________．(用代數(shù)形式表示)
例9. （2022·黑龍江·佳木斯一中三模（理））任意一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667—1754年）創(chuàng)立的，指的是設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)（用三角函數(shù)形式表示），，則：，”已知復(fù)數(shù)，則______.
【總結(jié)提升】
（1）乘法法則：模相乘，輻角相加．
（2）除法法則：模相除，輻角相減．
（3）復(fù)數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角為n倍．
拓廣：
(1)有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘，結(jié)論亦成立．
即z1·z2…zn＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)…rn(cs θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cs(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．
(2)當(dāng)z1＝z2＝…＝zn＝z時(shí)，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn(cs nθ＋isin nθ)，這就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則，即：模數(shù)乘方，輻角n倍．
題型四 復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義
例10.【多選題】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位向量分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，且，則可能為（ ）
A．B．C．D．
例11.【多選題】（2022·遼寧大連·高一期末）設(shè)非零復(fù)數(shù)、所對(duì)應(yīng)的向量分別為，，則下列選項(xiàng)能推出的是（ ）
A．B．C．D．
例12.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B所表示的復(fù)數(shù)分別是＋i和2，則點(diǎn)C所表示的復(fù)數(shù)為_(kāi)_______．
例13.（2022·福建省德化第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到向量.
(1)求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
(2)已知點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足，且，求復(fù)數(shù)z.
例14. 在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－eq \r(,3)i對(duì)應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針和順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)eq \f(π,3)，求所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
【規(guī)律方法】
兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫(huà)出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))， eq \(OZ2,\s\up14(→))，然后把向量 eq \(OZ1,\s\up14(→))繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ2?如果θ2＜0，就要把 eq \(OZ1,\s\up14(→))繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角|θ2|?，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍，得到向量 eq \(OZ,\s\up14(→))， eq \(OZ,\s\up14(→))表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.

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