1．(2023·北京·高考真題（文））下列函數(shù)中，在區(qū)間 上為減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全國·高考真題（理））函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·全國·高考真題（理））設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高考真題（理））下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調遞增的是（ ）
A．f(x)=│cs 2x│B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cs│x│D．f(x)= sin│x│
5．(2023·全國·高考真題（理））設函數(shù)f(x)=cs(x+)，則下列結論錯誤的是（ ）
A．f(x)的一個周期為?2πB．y=f(x)的圖像關于直線x=對稱
C．f(x+π)的一個零點為x=D．f(x)在(,π)單調遞減
6．（2023·全國·高考真題（理））設函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：
①在（）有且僅有3個極大值點
②在（）有且僅有2個極小值點
③在（）單調遞增
④的取值范圍是[)
其中所有正確結論的編號是（ ）
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
7．(2023·全國·高考真題（理））已知函數(shù)為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調，則的最大值為（ ）
A．11B．9
C．7D．5
8.(2023·天津·高考真題（文））f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函數(shù)f（x）的最小正周期為6π，且當x=時，f（x）取得最大值，則（ ）
A．f（x）在區(qū)間[﹣2π，0]上是增函數(shù)B．f（x）在區(qū)間[﹣3π，﹣π]上是增函數(shù)
C．f（x）在區(qū)間[3π，5π]上是減函數(shù)D．f（x）在區(qū)間[4π，6π]上是減函數(shù)
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A．的圖象關于點對稱B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞減D．在上的最小值為0
10．（2023·海南·高考真題）下圖是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．的圖象關于原點對稱
C．若，則
D．對，，，有成立
12．(2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．在上單調遞增
C．的解集為．
D．的圖象的對稱軸方程為
三、填空題
13．(2023·江蘇·高考真題）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值是________．
14．(2023·上海市嘉定區(qū)第二中學模擬預測）已知函數(shù)，其中， ，恒成立，且在區(qū)間 上恰有個零點，則的取值范圍是______________．
15．(2023·北京·高考真題（理））設函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為__________．
16．（2023·全國·高考真題（理））已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．
四、解答題
17．(2023·山東·高考真題）已知函數(shù)，，，函數(shù)的部分圖象如下圖，求
（1）函數(shù)的最小正周期及的值：
（2）函數(shù)的單調遞增區(qū)間．
18．(2023·北京通州·一模）已知函數(shù)的最小正周期為．
(1)求的值；
(2)從下面四個條件中選擇兩個作為已知，求的解析式，并求其在區(qū)間上的最大值和最小值．
條件①：的值域是；
條件②：在區(qū)間上單調遞增；
條件③：的圖象經(jīng)過點；
條件④：的圖象關于直線對稱．
注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分．
19．(2023·浙江省杭州學軍中學模擬預測）已知函數(shù)滿足：
①的最大值為2；②；的最小正周期為．
(1)求的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間與最小值．
20．(2023·遼寧·葫蘆島市第六高級中學高一階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)在上有兩個零點，求m的取值范圍．
21．(2023·寧夏中衛(wèi)·三模（理））函數(shù)的部分圖象如圖所示：
(1)求函數(shù)的解析式與單調遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)在上的值域．
22．(2023·北京門頭溝·一模）已知函數(shù)，是函數(shù)的對稱軸，且在區(qū)間上單調．
(1)從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；
條件②：是的對稱中心；
條件③：是的對稱中心.
(2)根據(jù)（1）中確定的，求函數(shù)的值域．
專題5.3 三角函數(shù)的圖象與性質（真題測試）
一、單選題
1．(2023·北京·高考真題（文））下列函數(shù)中，在區(qū)間 上為減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
【詳解】
試題分析：在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上先增后減；在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上為減函數(shù)，選D.
2．(2023·全國·高考真題（理））函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由函數(shù)的奇偶性結合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質逐項排除即可得解.
【詳解】
令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當時，，所以，排除C.
故選：A.
3．(2023·全國·高考真題（理））設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
由的取值范圍得到的取值范圍，再結合正弦函數(shù)的性質得到不等式組，解得即可．
【詳解】
解：依題意可得，因為，所以，
要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：
則，解得，即．
故選：C．
4．（2023·全國·高考真題（理））下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調遞增的是（ ）
A．f(x)=│cs 2x│B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cs│x│D．f(x)= sin│x│
答案：A
【解析】
分析：
本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．
【詳解】
因為圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調遞減，排除B，故選A．
5．(2023·全國·高考真題（理））設函數(shù)f(x)=cs(x+)，則下列結論錯誤的是（ ）
A．f(x)的一個周期為?2πB．y=f(x)的圖像關于直線x=對稱
C．f(x+π)的一個零點為x=D．f(x)在(,π)單調遞減
答案：D
【解析】
【詳解】
f(x)的最小正周期為2π，易知A正確；
f＝cs＝cs3π＝－1，為f(x)的最小值，故B正確；
∵f(x＋π)＝cs＝－cs，∴f＝－cs＝－cs＝0，故C正確；
由于f＝cs＝csπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調，故D錯誤．
故選D.
6．（2023·全國·高考真題（理））設函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：
①在（）有且僅有3個極大值點
②在（）有且僅有2個極小值點
③在（）單調遞增
④的取值范圍是[)
其中所有正確結論的編號是（ ）
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
答案：D
【解析】
分析：
本題為三角函數(shù)與零點結合問題，難度大，通過整體換元得，結合正弦函數(shù)的圖像分析得出答案．
【詳解】
當時，，
∵f（x）在有且僅有5個零點，
∴，
∴，故④正確，
由，知時，
令時取得極大值，①正確；
極小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；
因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案，
當時，，
若f（x）在單調遞增，
則 ，即 ，
∵，故③正確．
故選D．
7．(2023·全國·高考真題（理））已知函數(shù)為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調，則的最大值為（ ）
A．11B．9
C．7D．5
答案：B
【解析】
分析：
根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤12，結合x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結合f（x）在（，）上單調，可得ω的最大值．
【詳解】
∵x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω為正奇數(shù)，
∵f（x）在（，）上單調，則，
即T，解得：ω≤12，
當ω＝11時，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此時f（x）在（，）不單調，不滿足題意；
當ω＝9時，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此時f（x）在（，）單調，滿足題意；
故ω的最大值為9，
故選B．
8.(2023·天津·高考真題（文））f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函數(shù)f（x）的最小正周期為6π，且當x=時，f（x）取得最大值，則（ ）
A．f（x）在區(qū)間[﹣2π，0]上是增函數(shù)B．f（x）在區(qū)間[﹣3π，﹣π]上是增函數(shù)
C．f（x）在區(qū)間[3π，5π]上是減函數(shù)D．f（x）在區(qū)間[4π，6π]上是減函數(shù)
答案：A
【解析】
【詳解】
試題分析：由函數(shù)f（x）的最小正周期為6π，根據(jù)周期公式可得ω=，且當x=時，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）=2，結合已知﹣π＜φ≤π可得φ= 可得，分別求出函數(shù)的單調增區(qū)間和減區(qū)間，結合選項驗證即可
解：∵函數(shù)f（x）的最小正周期為6π，根據(jù)周期公式可得ω=，
∴f（x）=2sin（φ），
∵當x=時，f（x）取得最大值，∴2sin（φ）=2，
∵﹣π＜φ≤π，∴φ=，∴，
由 可得函數(shù)的單調增區(qū)間：，
由可得函數(shù)的單調減區(qū)間：，
結合選項可知A正確，
故選A．
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A．的圖象關于點對稱B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調遞減D．在上的最小值為0
答案：ABC
【解析】
分析：
AB選項，代入檢驗是否是對稱中心和對稱軸，C選項，求出，由數(shù)形結合驗證單調性，D選項，求出，結合求出最小值.
【詳解】
當時，，所以的圖象關于點對稱，A正確；
當時，，所以的圖象關于直線對稱，B正確；
當時，，在上單調遞減，故C正確；
當時，，在上的最小值為，D錯誤.
故選：ABC
10．（2023·海南·高考真題）下圖是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】
分析：
首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導公式可得正確結果.
【詳解】
由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,
不妨令,
當時，，
解得：，
即函數(shù)的解析式為：
.
而
故選：BC.
11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．的圖象關于原點對稱
C．若，則
D．對，，，有成立
答案：ACD
【解析】
分析：
利用正弦型函數(shù)的周期公式求周期判斷A，利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B，利用正弦型函數(shù)的單調性可判斷C，利用正弦型函數(shù)的值域可判斷D.
【詳解】
∵函數(shù)的周期，所以恒成立，
故A正確；
又，所以，，所以，
所以的圖象不關于原點對稱，故B錯誤；
當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，故C正確；
因為 ，所以，故，
，又，即，
所以對有成立，故D正確.
故選：ACD.
12．(2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．在上單調遞增
C．的解集為．
D．的圖象的對稱軸方程為
答案：BC
【解析】
分析：
對于A：由圖易知函數(shù)的周期為，則，所以錯誤；
對于B：由已求出的解析式可計算出函數(shù)的單調遞增區(qū)間為
，再判斷與該區(qū)間的包含關系可得B正確；
對于C:由函數(shù)的解析式結合周期性可令，
不難判斷的解集為，則C正確；
對于D:利用整體換元的思想可解得函數(shù)圖像的對稱軸方程為，
則D錯誤.
【詳解】
對于A選項：由圖知，函數(shù)的最小正周期，
所以，所以．因為點在的圖象
上，所以，所以，即．
因為，所以，所以，故A錯誤；
對于B選項：令，得，即的單調遞增區(qū)間為，因為，
所以B正確；
對于C選項:令，則，所以，解得，
所以的解集為，故C正確；
對于D:令，解得，所以的圖象
的對稱軸方程為，故D錯誤．
故選：BC．
三、填空題
13．(2023·江蘇·高考真題）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值是________．
答案：.
【解析】
【詳解】
分析：由對稱軸得，再根據(jù)限制范圍求結果.
詳解：由題意可得，所以，因為，所以
點睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求對稱軸；(4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間.
14．(2023·上海市嘉定區(qū)第二中學模擬預測）已知函數(shù)，其中， ，恒成立，且在區(qū)間 上恰有個零點，則的取值范圍是______________．
答案：
【解析】
分析：
確定函數(shù)的，由此可得，再利用在區(qū)間 上恰有個零點得到，求得答案.
【詳解】
由已知得：恒成立，則 ，
，
由得，
由于在區(qū)間 上恰有3個零點，
故，則， ，
則,
只有當時，不等式組有解，此時，故，
故答案為：
15．(2023·北京·高考真題（理））設函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為__________．
答案：
【解析】
分析：
根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達式，進而確定其最小值.
【詳解】
因為對任意的實數(shù)x都成立，所以取最大值，
所以，
因為，所以當時，取最小值為.
【點睛】
函數(shù)的性質
（1）.
（2）周期
（3）由求對稱軸，最大值對應自變量滿足，最小值對應自變量滿足，
（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.
16．（2023·全國·高考真題（理））已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．
答案：2
【解析】
分析：
先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗證數(shù)值可得.
【詳解】
由圖可知，即，所以；
由五點法可得，即；
所以.
因為，；
所以由可得或；
因為，所以，
方法一：結合圖形可知，最小正整數(shù)應該滿足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整數(shù)為2.
方法二：結合圖形可知，最小正整數(shù)應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.
故答案為：2.
四、解答題
17．(2023·山東·高考真題）已知函數(shù)，，，函數(shù)的部分圖象如下圖，求
（1）函數(shù)的最小正周期及的值：
（2）函數(shù)的單調遞增區(qū)間．
答案：（1）最小正周期；；（2），．
【解析】
分析：
（1）根據(jù)解析式可直接求出最小正周期，代入點可求出；
（2）令可解出單調遞增區(qū)間.
【詳解】
（1）函數(shù)的最小正周期，
因為函數(shù)的圖象過點，因此，即，又因為，因此．
（2）因為函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，．
因此，解得，
因此函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，
18．(2023·北京通州·一模）已知函數(shù)的最小正周期為．
(1)求的值；
(2)從下面四個條件中選擇兩個作為已知，求的解析式，并求其在區(qū)間上的最大值和最小值．
條件①：的值域是；
條件②：在區(qū)間上單調遞增；
條件③：的圖象經(jīng)過點；
條件④：的圖象關于直線對稱．
注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分．
答案：(1)
(2)答案見解析
【解析】
分析：
（1）由周期可得；
（2）由①中確定，由③得出的關系式，由④可確定，條件②不能得出確定的值，在區(qū)間上單調遞增，沒有說就是單調增區(qū)間，由它可能確定參數(shù)的范圍．因此考慮方案：①③；①④；③④分別求解．
(1)
因為，所以．
(2)
（2）方案一：
選擇①，③
因為的值域是，
所以．
所以．
因為的圖象經(jīng)過點，
所以，
即．
又，所以．
所以的解析式為．
因為，
所以．
當，
即時，
取得最小值；
當，即時，
取得最大值．
方案二：
選擇條件①，④
因為的值域是，
所以．
所以．
因為的圖象關于直線對稱，
所以，
所以．
又，所以．
所以的解析式為．
以下同方案一．
方案三：
選擇條件③，④
因為的圖象關于直線對稱，
所以，
所以．
又，
所以．
因為的圖象經(jīng)過點，
所以，
即．
所以的解析式為．
以下同方案一．
19．(2023·浙江省杭州學軍中學模擬預測）已知函數(shù)滿足：
①的最大值為2；②；的最小正周期為．
(1)求的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間與最小值．
答案：(1)
(2)，
【解析】
分析：
（1）根據(jù)題干中的三個條件，可分別求出的值，即可求得的解析式；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調區(qū)間，整體代入求解函數(shù)在區(qū)間上的單調性及最值即可.
(1)
由條件③，得又，所以．
由條件①，得，又，所以．
由條件②，得，又，所以．
所以．
經(jīng)驗證，符合題意．
(2)
函數(shù)的單調遞增區(qū)間為．
由，得．又因為，
所以在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
因為，所以，
所以當，即時，取得最小值，．
故在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間為，最小值為.
20．(2023·遼寧·葫蘆島市第六高級中學高一階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)在上有兩個零點，求m的取值范圍．
答案：(1)；
(2).
【解析】
分析：
（1）根據(jù)圖象求出A，再由過定點求出，再由求出；
（2）由求出，利用正弦函數(shù)的圖象與性質分析函數(shù)的端點及極值，即可求解.
(1)
由圖可得，，將點的坐標代入解析式可得，
結合圖象可得，，又因為，所以．
將點的坐標代入解析式可得，
結合圖象可得，，則，，
又因為，所以，
故．
(2)
當時，，
令，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
，，．
若函數(shù)在上有兩個不相等的實數(shù)根，
故m的取值范圍為
21．(2023·寧夏中衛(wèi)·三模（理））函數(shù)的部分圖象如圖所示：
(1)求函數(shù)的解析式與單調遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)在上的值域．
答案：(1)，單調遞減區(qū)間
(2)
【解析】
分析：
（1）根據(jù)圖像即可寫出，再由圖像過即可求出其周期，則可求出，在將點帶入，則可求出.由在區(qū)間上單調遞減，則可求出的單調遞減區(qū)間.
（2）由.
(1)
觀察圖象得：，令函數(shù)的周期為T，則，
由得：，而，于是得，
所以函數(shù)的解析式是．
由解得：，
所以的單調遞減區(qū)間是．
(2)
由（1）知，當時，，則當，即時，
當，即時，，
所以函數(shù)在上的值域是．
22．(2023·北京門頭溝·一模）已知函數(shù)，是函數(shù)的對稱軸，且在區(qū)間上單調．
(1)從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；
條件②：是的對稱中心；
條件③：是的對稱中心.
(2)根據(jù)（1）中確定的，求函數(shù)的值域．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根據(jù)題意得到和，
再根據(jù)選擇的條件得到第三個方程，分析方程組即可求解；
（2）先求出所在的范圍，再根據(jù)圖像求出函數(shù)值域即可.
(1)
因為在區(qū)間上單調，所以，
因為，且，解得；又因為是函數(shù)的對稱軸，
所以；
若選條件①：因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，
因為，所以， 所以，即，
當時，，滿足題意，故.
若選條件②：因為是的對稱中心，所以，
所以，此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)解析式.
若條件③：因為是的對稱中心，所以，
所以，解得，所以.
(2)
由（1）知，，
所以等價于，，
所以，所以，
即函數(shù)的值域為：.

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