◎題型1：角平分線的性質(zhì)
角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.
用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：
若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.
例．(2023·廣西玉林·八年級期末）如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．∠CPO＝∠DOPB．PC＝PDC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD
變式1．(2023·遼寧遼陽·七年級期末）如圖，中，，平分交于點，點為的中點，連接，若，，則的面積為（ ）
A．18B．24C．36D．72
變式2．(2023·廣西北?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，平分，垂直于E，，，則的面積為（ ）
A．7B．8C．9D．10
變式3．(2023·陜西榆林·七年級期末）如圖，BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點E ，于點F，若DE＝3，AB＝7，BC＝9，求△ABC的面積．
◎題型2：作角平分線
（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.
（3）畫射線OC.
射線OC即為所求.
例．(2023·河南洛陽·八年級期末）用直尺和圓規(guī)做的平分線時，下列哪個不是正確步驟（ ）
A．在射線、上，分別用圓規(guī)截取、，使
B．分別以點和點為圓心，適當長（大于線段長的一半）為半徑用圓規(guī)做圓弧，在內(nèi)，兩弧相交于點
C．用直尺做直線
D．用直尺做射線
變式1 規(guī)在BC邊上找一點D，使AD=BD，下列作法正確的是（ ）
A．B．C．D．
變式2．(2023·山東聊城·一模）如圖，已知，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCD的度數(shù)為（ ）
A．26°B．36°C．27°D．22°
變式3．(2023·江西省吉安市第二中學八年級期中）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D為AB中點，DEAC，請用無刻度的直尺按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．
(1)在圖1中，作∠BAC的平分線AM；
(2)在圖2中，作AC的中點F．
◎題型3：角平分線的判定
角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
用符號語言表示角的平分線的判定：
若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB
例．(2023·福建漳州·八年級期中）小明同學只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（ ）
A．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上
B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等
C．三角形的三條高交于一點
D．三角形三邊的垂直平分線交于一點
變式1．(2023·全國·九年級課時練習）如圖，在鈍角中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點，的對應點分別為，，連接．則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．平分
變式2．(2023·安徽安慶·八年級期末）三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是（ ）
A．三邊中線的交點B．三邊垂直平分線的交點
C．三內(nèi)角平分線的交點D．三邊上高的交點
變式3．（2023·江西·新余四中八年級期中）如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點F，BE＝CD．
求證：
(1)Rt△BCERt△CBD；
(2)AF平分∠BAC．
◎題型4：角平分線的實際應用
例．（2023·湖南長沙·八年級期中）如圖：AB、AC、BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應修建在（ ）
A．△ABC三條角平分線的交點位置B．△ABC三條高的交點位置
C．△ABC三邊的中垂線的交點位置D．以上說法都不正確
變式1．(2023·海南華僑中學八年級期末）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE⊥AB于點E，DE=3，△ABC的面積為15，AB＝6，則AC的長是（ ）
A．8B．6C．5D．4
變式2．（2023·廣西玉林·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，點D到AB的距離為3cm，則DB的值是（ ）
A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm
變式3．(2023·安徽蕪湖·八年級期末）已知：如圖，平分，C，D分別在上，若，求證：．
專題08 角平分線的性質(zhì)和判定
【思維導圖】
◎題型1：角平分線的性質(zhì)
角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.
用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：
若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.
例．(2023·廣西玉林·八年級期末）如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．∠CPO＝∠DOPB．PC＝PDC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD
答案：A
【解析】
分析：
先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PC＝PD，再利用HL證明△OCP≌△ODP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CPO＝∠DPO，OC＝OD．
【詳解】
解：∵OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D，
∴PC＝PD，故B正確；
在Rt△OCP與Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP（HL），
∴∠CPO＝∠DPO，OC＝OD，故C、D正確．
不能得出∠CPO＝∠DOP，故A錯誤．
故選：A．
【點睛】
本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，得出PC＝PD是解題的關鍵．
變式1．(2023·遼寧遼陽·七年級期末）如圖，中，，平分交于點，點為的中點，連接，若，，則的面積為（ ）
A．18B．24C．36D．72
答案：C
【解析】
分析：
過D作DF⊥AB于F，由角平分線的性質(zhì)求出DF，根據(jù)三角形的面積公式即可求出ΔBDE的面積．
【詳解】
解：過D作DF⊥AB于F，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵BD平分∠ABC，CD＝6，
∴DF＝CD＝6，
∵點E為AB的中點，AB=24，
∴BE=12，
∴ΔBDE的面積＝BE?DF＝×12×6＝36，
故選C．
【點睛】
本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，解題的關鍵是掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
變式2．(2023·廣西北?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，平分，垂直于E，，，則的面積為（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：C
【解析】
分析：
過點D作DF⊥BA交BA延長于F，利用角平分線的性質(zhì)求得DF=DE=3，即可用三角形面積公式求解．
【詳解】
解：如圖，過點D作DF⊥BA交BA延長于F，
∵平分，垂直于E，DF⊥BA交BA延長于F，
∴DF=DE=3，
∴S△ABD==×6×3=9，
故選：C．
【點睛】
本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．
變式3．(2023·陜西榆林·七年級期末）如圖，BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點E ，于點F，若DE＝3，AB＝7，BC＝9，求△ABC的面積．
答案：24
【解析】
分析：
由BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點E ，于點F，得到DE＝DF＝3，由即可得到答案．
【詳解】
解：∵BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點E ，于點F，
∴DE＝DF＝3，
∵AB＝7，BC＝9，
∴＝24，
即△ABC的面積是24．
【點睛】
此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．
◎題型2：作角平分線
（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.
（3）畫射線OC.
射線OC即為所求.
例．(2023·河南洛陽·八年級期末）用直尺和圓規(guī)做的平分線時，下列哪個不是正確步驟（ ）
A．在射線、上，分別用圓規(guī)截取、，使
B．分別以點和點為圓心，適當長（大于線段長的一半）為半徑用圓規(guī)做圓弧，在內(nèi)，兩弧相交于點
C．用直尺做直線
D．用直尺做射線
答案：C
【解析】
分析：
根據(jù)作一個角的平分線的步驟判斷即可．
【詳解】
解：作∠AOB的平分線的步驟：
①在射線、上，分別用圓規(guī)截取、，使．
②分別以點和點為圓心，適當長（大于線段長的一半）為半徑用圓規(guī)做圓弧，在內(nèi)，兩弧相交于點．
③用直尺做射線OC．
故選項A，B，D正確，
故選：C．
【點睛】
本題考查作圖——復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．
變式1 規(guī)在BC邊上找一點D，使AD=BD，下列作法正確的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根據(jù)“要在BC邊上找一點D，使AD=BD”知點D應該是線段AB垂直平分線與BC的交點，據(jù)此求解即可．
【詳解】
解：A、由作圖知，AD⊥BC，不能得到AD=BD，故該選項不符合題意；
B、由作圖知，AD平分∠BAC，不能得到AD=BD，故該選項不符合題意；
C、由作圖知，CA=CD，不能得到AD=BD，故該選項不符合題意；
D、由作圖知，點D是線段AB垂直平分線與BC的交點，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知AD=BD，故該選項符合題意；
故選：D．
【點睛】
本題主要考查作圖—基本作圖，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)．
變式2．(2023·山東聊城·一模）如圖，已知，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCD的度數(shù)為（ ）
A．26°B．36°C．27°D．22°
答案：C
【解析】
分析：
根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分，結(jié)合，可得，進而即可求解．
【詳解】
解：由圖中尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故選：C．
【點睛】
本題考查了尺規(guī)作角平分線以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，得到BC平分是解題的關鍵．
變式3．(2023·江西省吉安市第二中學八年級期中）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC， DE=DA，D為AB中點，DEAC，請用無刻度的直尺按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．
(1)在圖1中，作∠BAC的平分線AM；
(2)在圖2中，作AC的中點F．
答案：(1)見解析
(2)見解析
【解析】
分析：
．
（1）由題意得，三角形ABC是等腰三角形，D為AB中點，DE∥AC，延長ED與BC交于點M，連接AM，即為∠BAC的平分線；
（2）由（1）可知，BC，AB得中點，連接CD，即可得三角形ABC得重心，點B與重心所在直線交AC與點F，即點F就是AC得中點．
(1)
解：由題意得，三角形ABC是等腰三角形，D為AB中點，DE∥AC，
延長ED與BC交于點M，連接AM，即為∠BAC的平分線，如圖所示：
(2)
解：如圖所示：由（1）可知，BC，AB得中點，連接CD，即可得三角形ABC得重心，點B與重心所在直線交AC與點F，即點F就是AC得中點．
【點睛】
本題考查了尺規(guī)作圖，三角形得角平分線，中點，解題的關鍵是掌握這些知識點．
◎題型3：角平分線的判定
角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
用符號語言表示角的平分線的判定：
若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB
例．(2023·福建漳州·八年級期中）小明同學只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（ ）
A．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上
B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等
C．三角形的三條高交于一點
D．三角形三邊的垂直平分線交于一點
答案：A
【解析】
分析：
過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，因為是兩把完全相同的長方形直尺，可得PE=PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB
【詳解】
如圖所示：過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，
∵兩把完全相同的長方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），
故選A．
【點睛】
本題主要考查了基本作圖，關鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上這一判定定理．
變式1．(2023·全國·九年級課時練習）如圖，在鈍角中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點，的對應點分別為，，連接．則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．C．D．平分
答案：D
【解析】
分析：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，結(jié)合∠BAC=35°，可知∠BAE=35°，則可證得△CAB≌△EAB，即可作答．
【詳解】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=70°-35°=35°，AC=AE，AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE，故A、B錯誤，
∴∠CAB=∠EAB，
∵AC=AE，AB=AB，
∴△CAB≌△EAB，
∴△EAB≌△EAD
∴∠BEA=∠DEA，
∴AE平分∠BED，故D正確，
∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C錯誤，
故選：D．
【點睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，求出∠BAE=35°是解答本題的關鍵．
變式2．(2023·安徽安慶·八年級期末）三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是（ ）
A．三邊中線的交點B．三邊垂直平分線的交點
C．三內(nèi)角平分線的交點D．三邊上高的交點
答案：C
【解析】
分析：
根據(jù)角平分線的判定定理可得：到三角形三邊距離相等的點應在三角形三個內(nèi)角的角平分線上，即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：如圖，
∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，
∴點O在∠A的平分線上，
同理可證：點O在∠B的平分線上，點O在∠C的平分線上，
即O是三條角平分線的交點，
故選：C．
【點睛】
本題考查了三角形的中線，角平分線，垂直平分線，高等知識點，注意：三角形的三個角的平分線交于一點，這點到三角形三邊的距離相等．
變式3．（2023·江西·新余四中八年級期中）如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點F，BE＝CD．
求證：
(1)Rt△BCERt△CBD；
(2)AF平分∠BAC．
答案：(1)詳見解析
(2)詳見解析
【解析】
分析：
（1）根據(jù)高的定義求出∠BEC＝∠CDB＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理HL推出即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，證得EF＝DF，利用角平分線性質(zhì)逆定理即可得證．
(1)
證明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCE和△CBD是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
，
∴Rt△BCERt△CBD（HL）；
(2)
解：∵Rt△BCERt△CBD，
∴CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，
∴CF＝BF，
∴CE﹣CF＝BD﹣BF，
∴EF＝DF，
又∵EFAB，DFAC，
∴點F在∠BAC的平分線上，
∴AF平分∠BAC．
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的逆定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的逆定理是解題的關鍵．
◎題型4：角平分線的實際應用
例．（2023·湖南長沙·八年級期中）如圖：AB、AC、BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應修建在（ ）
A．△ABC三條角平分線的交點位置B．△ABC三條高的交點位置
C．△ABC三邊的中垂線的交點位置D．以上說法都不正確
答案：A
【解析】
分析：
根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)解答．
【詳解】
解：∵加油站在三條公路圍成的平地上且到三條公路的距離相等，
∴加油站應該在△ABC三條角平分線的交點處．
故選：A
【點睛】
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎題，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．
變式1．(2023·海南華僑中學八年級期末）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE⊥AB于點E，DE=3，△ABC的面積為15，AB＝6，則AC的長是（ ）
A．8B．6C．5D．4
答案：D
【解析】
分析：
過點D作DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF＝3，根據(jù)三角形ABC的面積為15，求出AC的值即可．
【詳解】
過點D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝3，
∴，
解得AC＝4．故D正確．
故選：D．
【點睛】
本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．
變式2．（2023·廣西玉林·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，點D到AB的距離為3cm，則DB的值是（ ）
A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm
答案：D
【解析】
分析：
過點D作，交AB于點E；根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，結(jié)合垂線的性質(zhì)，得，從而完成求解．
【詳解】
如圖，過點D作，交AB于點E
∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，
∴
∵且點D到AB的距離為3cm
∴
∵BC＝8cm
∴
故選：D．
【點睛】
本題考查了角平分線、垂線的知識；解題的關鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)，從而完成求解．
變式3．(2023·安徽蕪湖·八年級期末）已知：如圖，平分，C，D分別在上，若，求證：．
答案：見解析
【解析】
分析：
如圖，作輔助線，證明△PMC≌△PND，得到PM=PN，即可解決問題．
【詳解】
證明：過P作PE⊥OA于點E，過P作PF⊥OB于點F，
則∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠1=∠2，
在△POE和△POF中
，
≌，
∴PE=PF，
∵∠PCO+∠PDO=180°，∠PCO+∠PCE=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PEC≌△PFD，
∴PC=PD．
【點睛】
本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點的應用問題；解題的關鍵是作輔助線；牢固掌握定理是靈活運用、解題的基礎和關鍵．

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