(1)求證：；
(2)若的面積為，求的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，取的中點(diǎn)M，N，連接，求的長(zhǎng)．
2．正方形中，，分別為，上一點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
(1)求證：≌；
(2)求證：；
(3)求證：
3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，點(diǎn)N在正方形ABCD外部，且滿(mǎn)足，，連接AN，CN，取AN的中點(diǎn)E，連接BE，AC，交于F點(diǎn)．
(1)依題意補(bǔ)全圖形；
(2)求的度數(shù)；
(3)設(shè)，若點(diǎn)M沿著線(xiàn)段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，則在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段EN所掃過(guò)的面積為多少？
4．如圖，在正方形OABC中，邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)D在線(xiàn)段OA上，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊作等腰直角三角形BDE，BE交y軸于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E到x軸的距離；
(2)連接DF，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的周長(zhǎng)是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出其周長(zhǎng)；
(3)連接CE，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CE的最小值．
5．已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PB，PE交射線(xiàn)DC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF垂直AC所在的直線(xiàn)，垂足為點(diǎn)F．
（1）如圖，當(dāng)E點(diǎn)在線(xiàn)段DC上時(shí)，求證：PB＝PE；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，直接寫(xiě)出此時(shí)AP的長(zhǎng)，如果不能，說(shuō)明理由；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AP、PF、FC的長(zhǎng)度是否滿(mǎn)足某種數(shù)量關(guān)系？若滿(mǎn)足，試寫(xiě)出解答過(guò)程；若不滿(mǎn)足，試說(shuō)明理由．
6．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于O．
（1）如圖1，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°，線(xiàn)段AF、BF和EF之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你用等式直接寫(xiě)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，設(shè)E、F分別是AB上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且∠EOF＝45°，請(qǐng)你用等式表示線(xiàn)段AE、BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
7．如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，E是對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，連接AE，CE．
（1）求證：AE＝CE；
（2）如圖2，點(diǎn)P是邊CD上的一點(diǎn)，且PE⊥BD于E，連接BP，O為BP的中點(diǎn)，連接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若OE＝，求CE的長(zhǎng)．
8．已知正方形，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，交于，交于，，垂足為點(diǎn)，求證：
(1)；
(2)；
(3)．
9．如圖，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．
（1）四邊形的形狀是 ．
（2）如圖，若，猜想線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（3）如圖，若，，則的長(zhǎng)度為 ．（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）
10．如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且PC＝PE．
(1)求證：PA＝PE；
(2)求證：AE＝DP；
(3)若已知正方形的邊長(zhǎng)為2，求CP+BP的最小值．
11．在正方形ABCD中，E是CD邊上任意一點(diǎn)，連接AE．∠EAF＝45°，AE所在的直線(xiàn)與BC交于點(diǎn)F，連接EF．
(1)以A為圓心，AE為半徑作圓，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接AG（如圖1）．
求證：BF+DE＝EF；
(2)點(diǎn)E在DC邊上移動(dòng)，當(dāng)EC＝CF時(shí)，直線(xiàn)EF與AB、AD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)M、N（如圖2）,直接寫(xiě)出EF、MF、NE的數(shù)量關(guān)系：________________．
12．如圖1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線(xiàn)上，P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．
（1）探究PG與PC的位置關(guān)系及的值；（寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）
（2）如圖2，將原問(wèn)題中的正方形ABCD和正方形BEFC換成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG與PC的位置關(guān)系及的值．寫(xiě)出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，將圖2中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線(xiàn)上，問(wèn)題（2）中的其他條件不變，你在（2）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明．
13．菱形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB，AD上的點(diǎn)，CF，DE相交于點(diǎn)G．
(1)如圖1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求證：DE＝CF；
(2)如圖2，若DE＝CF．試探究此時(shí)∠EGF和∠A滿(mǎn)足什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
(3)如圖3，在（1）的條件下，平移線(xiàn)段DE到MN，使G為CF的中點(diǎn)，連接BD交MN于點(diǎn)H，若∠FCD＝15°，求的值．
14．如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE．
（1）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2，①線(xiàn)段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ；②直線(xiàn)DG與直線(xiàn)BE之間的位置關(guān)系是 ．
（2）探究：如圖3，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，證明：直線(xiàn)DG⊥BE．
（3）應(yīng)用：在（2）情況下，連結(jié)GE（點(diǎn)E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，則線(xiàn)段DG是多少？（直接寫(xiě)出結(jié)論）
15．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)．將△BPC沿PC翻折至△EPC，延長(zhǎng)CE交射線(xiàn)AD于點(diǎn)D．
（1）如圖1，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求出AD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，延長(zhǎng)PE交AD于點(diǎn)F，連接CF，求證：∠PCF＝45°；
（3）如圖3，∠MON＝45°，在∠MON內(nèi)部有一點(diǎn)Q，且OQ＝8，過(guò)點(diǎn)Q作OQ的垂線(xiàn)GH分別交OM、ON于G、H兩點(diǎn)．當(dāng)QG＝2時(shí)，求QH的值．
16．定義，我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
性質(zhì)探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給出證明．
問(wèn)題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，則①求證：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
17．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．
（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：____；
（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）
18．已知：正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在的直線(xiàn)上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE=PD總成立．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上時(shí)，請(qǐng)你猜想PE與PB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)你利用圖3畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形，并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明）
難點(diǎn)特訓(xùn)（二）和正方形有關(guān)的壓軸大題
1．如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)A作，垂足為G，與邊相交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)若的面積為，求的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，取的中點(diǎn)M，N，連接，求的長(zhǎng)．
答案：(1)見(jiàn)詳解
(2)5或
(3)或
分析：（1）先證得，易證，由此的，又由互余可得出，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形得面積求得AE，再根據(jù)勾股定理求得DE，根據(jù)（1）中AF=DE即可得出結(jié)論；
（3）連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P，連接PF，可證明，所以PM=AM，DP=AE=3或1，又MN是的中位線(xiàn)，求出PF的長(zhǎng)即可；
（1）
證明：
在和中
在和中
（2）
∴設(shè)，則
∴
解得：
∵或
或
（3）
如圖，連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P，連接PF，
∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)
或1
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
綜上，MN的長(zhǎng)度為或
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等、勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用做出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
2．正方形中，，分別為，上一點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
(1)求證：≌；
(2)求證：；
(3)求證：
答案：(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，判定
（2）根據(jù)全等的性質(zhì)可得，再根據(jù),得出，進(jìn)而得到即
（3）連接OC，在取點(diǎn)H，使得，連接OH，證明為等腰直角三角形，進(jìn)而得出再判定得出根據(jù)即可得到
（1）
證明：∵ 四邊形是正方形
，
在和中，
（2）
證明：
，
又
，即
（3）
證明：如圖，連接OC，
在取點(diǎn)H，使得，連接OH
∵ O為BD的中點(diǎn)，即O為正方形的對(duì)稱(chēng)中心，
∴ 是等腰直角三角形，
由（1）知
在和中，
又
是等腰直角三角形
在和中，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是證出是等腰直角三角形，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行求解．
3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，點(diǎn)N在正方形ABCD外部，且滿(mǎn)足，，連接AN，CN，取AN的中點(diǎn)E，連接BE，AC，交于F點(diǎn)．
(1)依題意補(bǔ)全圖形；
(2)求的度數(shù)；
(3)設(shè)，若點(diǎn)M沿著線(xiàn)段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，則在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段EN所掃過(guò)的面積為多少？
答案：(1)補(bǔ)圖見(jiàn)解析；
(2)；
(3)
分析：（1）依題意補(bǔ)全圖形，即可；
（2）連接CE，先證得．再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得．可得≌，即可求解；
（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)E在AC的垂直平分線(xiàn)上，可得點(diǎn)E在BD上，從而得到在點(diǎn)M沿著線(xiàn)段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，線(xiàn)段EN所掃過(guò)的圖形為四邊形DFCN．此時(shí)DN=CD=2，∠CDN=90°，再證得四邊形DFCN為梯形．然后根據(jù)梯形的面積，即可求解．
（1）
解∶依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示．
（2）
證明：連接CE，如圖2所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵在中，點(diǎn)E是AN中點(diǎn)，
∴．
∵，，，
∴≌，
∴．
∴．
（3）
解∶ 連接DE，
∵由（2）得：AE=CE，
∴點(diǎn)E在AC的垂直平分線(xiàn)上，
在正方形ABCD中，BD垂直平分AC，∠ACD=45°，△BCD為等腰直角三角形，
∴點(diǎn)E在BD上，
∴BF=DF=CF，
∴在點(diǎn)M沿著線(xiàn)段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，線(xiàn)段EN所掃過(guò)的圖形為四邊形DFCN．此時(shí)DN=CD=2，∠CDN=90°，
∴
∵，
∴∠ACN=90°，即CN⊥AC，
∴，
∴四邊形DFCN為梯形．
∵，
∴BC=CD=AB=2，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，梯形等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，梯形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在正方形OABC中，邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)D在線(xiàn)段OA上，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊作等腰直角三角形BDE，BE交y軸于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E到x軸的距離；
(2)連接DF，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的周長(zhǎng)是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出其周長(zhǎng)；
(3)連接CE，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CE的最小值．
答案：(1)1
(2)的周長(zhǎng)不改變，其周長(zhǎng)為8；
(3)2
分析：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H．證明△EDH≌△DBA（AAS），推出DH=AB，EH=AD=1，可得結(jié)論．
（2）結(jié)論：△ODF的周長(zhǎng)不變．想辦法證明DF=CF+AD即可．
（3）由（1）可知，OE=OH，推出∠EOH=∠COE=45°，推出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線(xiàn)OE，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥OE于T，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)T重合時(shí)，EC的值最?。?br>（1）
解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H．
∵四邊形OABC是正方形，B（4，4），
∴OA=AB=4，∠BAD=90°，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB，∠EDB=∠EHD=∠BAD=90°，
∴∠EDH+∠BDA=90°，∠BDA+∠ABD=90°，
∴∠EDH=∠ABD，
∴△EDH≌△DBA（AAS），
∴EH=AD=1，
即點(diǎn)E到x軸的距離為1；
（2）
解：△ODF的周長(zhǎng)不變．
理由：將△BCF繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAJ．如圖，
∵∠CBF=∠ABJ，
∴∠CBA=∠FBJ=90°，
∵∠EBD=45°，
∴∠DBF=∠DBJ=45°，
∵DB=DB，BF=BJ，
∴△DBF≌△DBJ（SAS），
∴DF=DJ，
∵DJ=DA+AJ，CF=AJ，
∴DF=CF+AD，
∴△ODF的周長(zhǎng)=OF+DF+OD=OF+CF+OD+AD=OC+OA=8，
∴△ODF的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為8．
（3）
解：由（1）可知，△EDH≌△DBA（AAS），
∴DH=AB，EH=AD，
∵OA=AB，
∴DH=OA，
∴OH=DA
∴EH=OH，
∴∠EOH=∠COE=45°，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是射線(xiàn)OE，
過(guò)點(diǎn)C作CT⊥OE于T，如圖，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)T重合時(shí)，EC的值最小，
最小值CT=OC=2，
∴EC的最小值為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，此題屬于四邊形綜合題，屬于中考?jí)狠S題．
5．已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PB，PE交射線(xiàn)DC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF垂直AC所在的直線(xiàn)，垂足為點(diǎn)F．
（1）如圖，當(dāng)E點(diǎn)在線(xiàn)段DC上時(shí)，求證：PB＝PE；
（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，直接寫(xiě)出此時(shí)AP的長(zhǎng)，如果不能，說(shuō)明理由；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AP、PF、FC的長(zhǎng)度是否滿(mǎn)足某種數(shù)量關(guān)系？若滿(mǎn)足，試寫(xiě)出解答過(guò)程；若不滿(mǎn)足，試說(shuō)明理由．
答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）AP=2，理由見(jiàn)解析；（3）AP+CF=PF.
分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DC于 H，要證PB= PE，只需證到△PGB≌△PHE即可；
（2）可分點(diǎn)E在線(xiàn)段DC上和點(diǎn)E在線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況討論，通過(guò)計(jì)算就可求出符合要求的AP的長(zhǎng)；
（3）連接BD，如圖，易證△BOP≌△PFE，則有BO= PF，可得出最后結(jié)論.
【詳解】解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DC于 H
∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC
∴∠GCP=∠CPG=∠ACD=∠HPC=45°
在△PCG和△PHC中
∴△PCG≌△PCH（ASA）
∴PG=PH
∴四邊形PGCH是正方形
∴∠HPE+∠EPG=90°
∵BP⊥PE
∴∠BPE=90°
∴∠BPG+∠EPG=90°
∴∠HPE=GPB
在△PBG和△PEH中
∴△PBG≌△PEH（AAS）
∴PB=PE
（2）①若點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，如圖所示
∵∠BPE=∠BCE=90°
∴∠PBC+∠PEC=180°
∵∠PBC＜90°
∴∠PEC＞90°
若三角形PEC為等腰三角形，則EP=EC
∴∠EPC=ECP=45°
∴∠PEC=90°與∠PEC＞90°矛盾
∴點(diǎn)E在線(xiàn)段DC上時(shí)不能構(gòu)成等腰三角形；
②若點(diǎn)E在線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖所示
若三角形PEC是等腰三角形
∵∠PCE=135°
∴此時(shí)只能是CP=CE
∴∠CPE=∠CEP=22.5°
∴∠APB=180°-90°-22.5°=67.5°
∵∠PRC=∠BPE+∠PBR=∠CER+∠ECR，∠BPE=∠RCE=90°
∴∠PBR=∠CER=22.5°
∴∠ABP=67.5°
∴∠APB=∠APB
∴AP=AB=2
（3）如圖所示，連接BD
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠BOP=90°
∵PE⊥PB
∴∠BPE=90°
∴∠PBO=90°-∠BPO=∠EPF
∵FE⊥AC
∴∠PFE=90°
∴∠BOP=∠PFE
∵PB=PE
∴△BOP≌△PFE
∴BO=PF
∴AP+FC++PF=AC=2OB
∴AP+CF=PF
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，四邊形的內(nèi)角和和三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
6．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于O．
（1）如圖1，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°，線(xiàn)段AF、BF和EF之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你用等式直接寫(xiě)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，設(shè)E、F分別是AB上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且∠EOF＝45°，請(qǐng)你用等式表示線(xiàn)段AE、BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
答案：（1）EF2＝AF2+BF2；（2）EF2＝BF2+AE2，見(jiàn)解析
分析：（1）首先證明△EOA≌△FOB，推出AE＝BF，從而得出結(jié)論；
（2）在BC上取一點(diǎn)H，使得BH＝AE．由△OAE≌△OBH，推出AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，由△FOE≌△FOH，推出EF＝FH，由∠FBH＝90°，推出FH2＝BF2+BH2，由此即可解答．
【詳解】解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一點(diǎn)H，使得BH＝AE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中?，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2；
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
7．如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，E是對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，連接AE，CE．
（1）求證：AE＝CE；
（2）如圖2，點(diǎn)P是邊CD上的一點(diǎn)，且PE⊥BD于E，連接BP，O為BP的中點(diǎn)，連接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若OE＝，求CE的長(zhǎng)．
答案：（1）詳見(jiàn)解析；（2）30°；（3）2
分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，得到AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，進(jìn)而判斷△ADE≌△CDE得到結(jié)論；
（2）直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可以得到OB＝OE，∠OBE＝∠OEB＝15°，再利用外角和定理求得；
（3）連接OC，與（2）同理得到∠POC＝60°，則△EOC為直接三角形，再應(yīng)用勾股定理求得．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∵∠PBC＝30°，
∴∠PBE＝15°，
∵PE⊥BD，O為BP的中點(diǎn)，
∴EO＝BO＝PO，
∴∠OBE＝∠OEB＝15°，
∴∠EOP＝∠OBE＋∠OEB＝30°；
（3）如圖，連接OC，
∵點(diǎn)O是BP的中點(diǎn)，∠BCP＝90°，
∴CO＝BO，
∴EO＝CO＝，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠POC＝60°，
∴∠EOC＝∠EOP＋∠POC＝90°，
∵EC2＝EO2＋CO2＝4，
∴EC＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，綜合性較強(qiáng)，要注意數(shù)形結(jié)合．
8．已知正方形，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，交于，交于，，垂足為點(diǎn)，求證：
(1)；
(2)；
(3)．
答案：(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
分析：(1)利用全等三角形的性質(zhì)，分別證明PA=PE，PA=PC，推出PE=PC，再利用等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)證明即可；
(2)證明四邊形PHBF是正方形，推出BH=BF，，再證明△PHA≌△PFE，推出AH=EF，可得結(jié)論；
(3)如圖2中，設(shè)PF交EG于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)P作PL⊥EG于點(diǎn)L，GK⊥PF于點(diǎn)K，連接CJ，證明△PKG≌△GLP(AAS)，推出PL=GK，PK=GL，證明△PFE≌△ELP(AAS)，推出PF=EL，可得結(jié)論．
(1)
證明：如圖：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，連接CP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，，
∵PF⊥BC，PH⊥AB，
∴PH=PF，
∵AP⊥PE，
∴，
∴∠APH=∠EPF，
在和中，

∴，
∴PA=PE，
在△ABP和△CBP中，
∴，
∴PA=PC，
∴PE=PC，
∵PF⊥EC，
∴EF=FC；
(2)
證明：∵，
∴四邊形PHBF是矩形，
∵PH=PF，
∴四邊形PHBF是正方形，
∴BH=BF，，
∵，
∴AH=EF，
∵BH=BF，
∴；
(3)
證明：如圖2中，設(shè)PF交EG于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)P作PL⊥EG于點(diǎn)L，GK⊥PF于點(diǎn)K，連接CJ，
∵PF⊥BC，EF=FC，
∴JE=JC，
∴∠JEC=∠JCE，
∵，，
∴∠JCG=∠CGJ，
∴JC=JG，
∴JE=JG，
∵，
∴PJ=JE=JG，
∴∠JEP=∠JPE，∠JPG=∠JGP，
∵PL⊥GJ，GK⊥JP，
∴，
在△PKG和△GLP中，

∴，
∴PL=GK，PK=GL，
∵，
∴四邊形FCGK是矩形，
∴GK=CF=EF，CG=FK，
∴PL=EF，
在△PFE和△ELP中，
.
∴，
∴PF=EL，
∴




【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
9．如圖，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．
（1）四邊形的形狀是 ．
（2）如圖，若，猜想線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（3）如圖，若，，則的長(zhǎng)度為 ．（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）
答案：（1）四邊形是正方形；（2），理由見(jiàn)解析；（3）
分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的特征可得到∠G＝∠AEB＝90°、∠EBG＝90°、BG＝BE，再由∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四邊形BGFE是正方形；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，由DA＝DE得AH＝AE，再證明△ADH≌△BAE，且由四邊形BGFE是正方形，得到，可證得結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，由旋轉(zhuǎn)及四邊形BGFE是正方形可得如下關(guān)系：AE＝CG＝FG+CF＝FG+3＝BE+3，在Rt△BAE中根據(jù)勾股定理求出BE、AE的長(zhǎng)，由（2）可知，△ADH≌△BAE，得到DH＝AE，AH＝BE，再由勾股定理求出DE的長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）四邊形是正方形．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠G＝∠AEB＝90°，BG＝BE，∠CBG=∠ABE
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠CBE=90°
∴∠CBG+∠CBE=90°
∴∠EBG＝90°
又∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°
∴四邊形BGFE是矩形
∵BG=BE
∴四邊形BGFE是正方形；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
，
四邊形是正方形，
，
（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H
∵BE＝FG，CF＝3，
∴AE＝CG＝FG+CF＝FG+3＝BE+3，
∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝，
∴(BE+3)2+BE2＝152，
解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合題意，舍去），
∴AE＝9+3＝12，
由（2）得，△ADH≌△BAE，
∴DH＝AE＝12，AH＝BE＝9，
∴HE＝AE﹣AH＝12﹣9＝3，
∵∠DHE＝90°，
∴DE＝＝．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形．
10．如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且PC＝PE．
(1)求證：PA＝PE；
(2)求證：AE＝DP；
(3)若已知正方形的邊長(zhǎng)為2，求CP+BP的最小值．
答案：(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)
分析：（1）根據(jù)ASA證明△ADP≌△CDP，推出AP=CP即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)P作OG⊥AD于G，PH⊥AB于H，設(shè)PG=x，證明四邊形AHPG是矩形，得到AE=2AH=2x，由∠GDP=45°，∠DGP=90°得到DP=PG=x，進(jìn)而得到結(jié)論；
（3）把BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交AD于G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BG于H，連接AC，交BD于O，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得PH=PB，可得CH為CP+BP的最小值，根據(jù)正方形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出OC、OP、PC、PB和PH的長(zhǎng)，即可得答案．
（1）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，BD為對(duì)角線(xiàn)，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，
∵DP=DP，
∴△ADP≌△CDP，
∴AP=CP，
∵PC=PE，
∴PA=PE．
（2）
過(guò)點(diǎn)P作OG⊥AD于G，PH⊥AB于H，
設(shè)PG=x，
∵∠GAH=∠AGP=∠AHP=90°，
∴四邊形AHPG是矩形，
∴AH=PG=x，
∵PA=PE，
∴AE=2AH=2x，
∵∠GDP=45°，∠DGP=90°
∴DP=PG=x，
∴AE＝DP；
（3）
如圖，把BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，交AD于G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BG于H，連接AC，交BD于O，
∵∠PBH=30°，
∴PH=PB，
∴當(dāng)C、P、H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)PC+PB有最小值CH，
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴OC=OB=，
∵∠PBH+∠BPH=90°，∠OCP+∠OPC=90°，∠OPC=∠BPH，
∴∠OCP=∠PBH=30°，
∴OP=CP，
在Rt△OPC中，PC2=OP2+OC2，即4OP2=OP2+2，
∴OP=（負(fù)值舍去），
∴，
∴，，
∴CH=CP+PH=+=，
∴CP+BP最小值為．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
11．在正方形ABCD中，E是CD邊上任意一點(diǎn)，連接AE．∠EAF＝45°，AE所在的直線(xiàn)與BC交于點(diǎn)F，連接EF．
(1)以A為圓心，AE為半徑作圓，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接AG（如圖1）．
求證：BF+DE＝EF；
(2)點(diǎn)E在DC邊上移動(dòng)，當(dāng)EC＝CF時(shí)，直線(xiàn)EF與AB、AD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)M、N（如圖2）,直接寫(xiě)出EF、MF、NE的數(shù)量關(guān)系：________________．
答案：(1)見(jiàn)解析
(2)EF2＝MF2+NE2
分析：（1）根據(jù)已知條件證得，可得，可知，可證得，即可證得BF+DE＝EF；
（2）連接GM，證得，可知GM=EN，，，可知是直角三角形，由（1）可知EF=GF，即，即可求出EF、MF、NE的數(shù)量關(guān)系．
（1）
解：由題意得，AG=AE，AD=AB，
∵，
∴（HL），
∴，
∵∠EAF＝45°，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴（SAS），
∴EF=GF=GB+BF=DE+BF；
（2）
解：EF2＝MF2+NE2，理由如下，
連接GM，如圖所示，
∵EC＝CF，∠C=90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴AN=AM，
由（1）得，
在中，
∵，
∴（SAS），
∴GM=EN，，
∴，
由（1）可知，EF=GF，
∴在Rt中，由勾股定理得：，
即：．
故：EF、MF、NE的數(shù)量關(guān)系為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．如圖1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線(xiàn)上，P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．
（1）探究PG與PC的位置關(guān)系及的值；（寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）
（2）如圖2，將原問(wèn)題中的正方形ABCD和正方形BEFC換成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG與PC的位置關(guān)系及的值．寫(xiě)出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，將圖2中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線(xiàn)上，問(wèn)題（2）中的其他條件不變，你在（2）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明．
答案：（1）PG⊥PC；＝1；（2）PG⊥PC；，證明見(jiàn)解析（3）仍成立，證明見(jiàn)解析
分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建全等三角形求解．延長(zhǎng)GP交DC于H，可證三角形DHP和PGF全等，已知的有DCGF，根據(jù)平行線(xiàn)間的內(nèi)錯(cuò)角相等可得出兩三角形中兩組對(duì)應(yīng)的角相等，又有DP＝PF，因此構(gòu)成了全等三角形判定條件中的（AAS），于是兩三角形全等，那么HP＝PG，DH＝GF＝BG，那么可得出CH＝CG，于是三角形CHG就是等腰三角形且CP是底邊上的中線(xiàn)，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的特點(diǎn)，即可得出CP＝PG＝PH，CP⊥PG；
（2）方法同（1），證三角形CHG是個(gè)等腰三角形，且頂角為120°，可根據(jù)30°的直角三角形來(lái)得出PG、CP的比例關(guān)系；
（3）經(jīng)過(guò)（1）（2）的解題過(guò)程，我們要構(gòu)建出以CP為底邊中線(xiàn)的等腰三角形，那么可延長(zhǎng)GP到H，使PH＝PG，連接CH、DH，那么根據(jù)前兩問(wèn)的解題過(guò)程，我們要求的是三角形CHG是個(gè)等腰三角形，關(guān)鍵是證三角形CDH和CBG全等，已知的只有CD＝CB，我們可通過(guò)其他的全等三角形來(lái)得出三角形CDH和CBG全等的條件．三角形DHP和FGP中，有一組對(duì)頂角，DP＝PF，HP＝PG，那么這兩個(gè)三角形就全等，可得出DH＝GF＝BG，∠HDP＝∠GFP，根據(jù)平行線(xiàn)間的內(nèi)錯(cuò)角相等可得出∠CDP＝∠EFD，那么∠CDH＝∠EFG＝∠CBG，由此可得出三角形CDH和CBG全等，然后證法同（2）．
【詳解】解：（1）線(xiàn)段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；＝1；證明如下：
如圖1，延長(zhǎng)GP交DC于H，
∵DCGF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP
又P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，
∴DP＝PF，
∴△DHP≌△PGF，
∴HP＝PG，DH＝GF，
∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，
∴CD=CB，GF=BG，
∴CH=CD-DH=BC-BG=BC-FG=BC-DH=CG，
即CH＝CG，
∴三角形CHG就是等腰三角形且CP是底邊上的中線(xiàn)，
∴CP＝PG＝PH，CP⊥PG；
∴線(xiàn)段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；＝1；
（2）猜想：線(xiàn)段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC；．
證明：如圖2，延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，
∵P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，
∴FP＝DP，
由題意可知DCGF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三線(xiàn)合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
又∵∠CPG=90°，
∴2CP=CG，PG=PG，
∴；
（3）在（2）中得到的兩個(gè)結(jié)論仍成立．
證明：如圖3，延長(zhǎng)GP到H，使PH＝PG，
連接CH，CG，DH，
∵P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，
∴FP＝DP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP＋∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝120°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，點(diǎn)A、B、G又在一條直線(xiàn)上，
∴∠GBC＝120°，
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°，
即∠HCG＝120°，
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴．即PG＝PC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形，菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵．
13．菱形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB，AD上的點(diǎn)，CF，DE相交于點(diǎn)G．
(1)如圖1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求證：DE＝CF；
(2)如圖2，若DE＝CF．試探究此時(shí)∠EGF和∠A滿(mǎn)足什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
(3)如圖3，在（1）的條件下，平移線(xiàn)段DE到MN，使G為CF的中點(diǎn)，連接BD交MN于點(diǎn)H，若∠FCD＝15°，求的值．
答案：(1)見(jiàn)解析
(2)∠EAF+∠EGF=180°，證明見(jiàn)解析；
(3)
分析：（1）由菱形ABCD中和∠A=90°可得菱形ABCD是正方形，根據(jù)正方形性質(zhì)得AD=DC，∠A=∠CDF=90°，再加上DE⊥CF，得到∠CGD=90°，所以∠ADE=∠DCF，即證得Rt△ADE≌Rt△DCF，即可證得DE=CF；
（2）過(guò)D作DR⊥AB于R，過(guò)C作CS⊥AD于S，根據(jù)菱形的面積證得DR=CS，推出∴Rt△DRE≌Rt△CSF (HL)，得到∠CFS=∠RED，由∠CFS+ ∠AFG=180°，推出∠EAF+∠EGF=180°；
（3）由（1）的條件可得MN=CF，MN⊥CF，加上G為CF的中點(diǎn)，即MN垂直平分CF，聯(lián)想到連接FM即有FM=MC且∠DMF=∠MFC+∠FCD=30°，利用四邊形KTDC是矩形，證得△THF≌△KCH，推出TF=HK，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠TFH+∠THF=90°，用∠HFM分別表示這兩個(gè)角求出∠HFM=60°，得到∠TFH=60°，由此得到HF=2TF，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BH=2HK，即可得到答案
（1）
證明：∵菱形ABCD中，∠A=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠CDF=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠CGD=90°，
∴∠DCF+∠CDE=∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
∴ Rt△ADE ≌5Rt△DCF，
∴DE=CF；
（2）
解：∠EAF+∠EGF=180°；證明如下：
過(guò)D作DR⊥AB于R，過(guò)C作CS⊥AD于S，如圖，
∵S菱形ABCD=AB×DR=AD×CS，AB=AD，
∴DR=CS，
∵DE=CF，
∴Rt△DRE≌Rt△CSF (HL)，
∴∠CFS=∠RED，
∵∠CFS+ ∠AFG=180°，
∴∠RED+∠ AFG=180°，
∴∠EAF+∠EGF=180°；
（3）
連接FM，過(guò)H作TK// AB交AD于T，交BC于K，連接CH，如圖，

由（1）知MN⊥CF，
又G為CF的中點(diǎn)，
∴MN是CF的垂直平分線(xiàn)，
∴MF=CM，CH=FH，
∴∠MFC=∠MCF=15°，∠HCF=∠HFC，
∴∠FMD=30°，∠HCM=∠HFM，
∵∠TKC=∠KTD=∠BCD=90°，
∴四邊形KTDC是矩形，
∴TD=KC，
∵四邊形ABCD是正方形，BD是對(duì)角線(xiàn)，
∴∠TDH=45°=∠THD，
∴TD=TH=CK，
∴△TFH≌△KHC，
∴HK=TF，∠THF=∠HCK，
∵∠TFH=180°-60°-∠HFM=120°-∠HFM，∠THF=∠HCK=90°-∠HFM，
∴120°-∠HFM+90°-∠HFM=90°，
解得∠HFM=60°，
∴∠TFH=60°，
∴FH=2TF=2HK，
∵∠KBH=45°，
∴BH=HK，
∴
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的定義和性質(zhì)，正確引出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵
14．如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE．
（1）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2，①線(xiàn)段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ；②直線(xiàn)DG與直線(xiàn)BE之間的位置關(guān)系是 ．
（2）探究：如圖3，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，證明：直線(xiàn)DG⊥BE．
（3）應(yīng)用：在（2）情況下，連結(jié)GE（點(diǎn)E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，則線(xiàn)段DG是多少？（直接寫(xiě)出結(jié)論）
答案：（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）證明見(jiàn)解析；（3）
分析：（1）先判斷出△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；
（2）先利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等判斷出△ABE∽△ADG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；
（3）先求出BE，進(jìn)而得出BE=AB，即可得出四邊形ABEG是平行四邊形，進(jìn)而得出∠AEB=90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）①∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；
②如圖2，延長(zhǎng)BE交AD于G，交DG于H，
由①知，△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∵∠AGB+∠ABE=90°，
∴∠AGB+∠ADG=90°，
∵∠AGB=∠DGH，
∴∠DGH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG
（2）∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，
∴∠BAD=∠DAG，
∴∠BAE=∠DAG，
∵AD=2AB，AG=2AE，
∴，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∵∠AGB+∠ABE=90°，
∴∠AGB+∠ADG=90°，
∵∠AGB=∠DGH，
∴∠DGH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG；
（3）如圖4，（為了說(shuō)明點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條線(xiàn)上，特意畫(huà)的圖形）
∵EG∥AB，
∴∠DME=∠DAB=90°，
在Rt△AEG中，AE=1，
∴AG=2AE=2，
根據(jù)勾股定理得，EG=，
∵AB=，
∴EG=AB，
∵EG∥AB，
∴四邊形ABEG是平行四邊形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上如圖5，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，BE==2，
由（3）知，△ABE∽△ADG，
∴，
∴，
∴DG=4．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本題的關(guān)鍵．
15．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)．將△BPC沿PC翻折至△EPC，延長(zhǎng)CE交射線(xiàn)AD于點(diǎn)D．
（1）如圖1，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求出AD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，延長(zhǎng)PE交AD于點(diǎn)F，連接CF，求證：∠PCF＝45°；
（3）如圖3，∠MON＝45°，在∠MON內(nèi)部有一點(diǎn)Q，且OQ＝8，過(guò)點(diǎn)Q作OQ的垂線(xiàn)GH分別交OM、ON于G、H兩點(diǎn)．當(dāng)QG＝2時(shí)，求QH的值．
答案：（1）；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（3）．
分析：（1）如圖1，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠A=∠B=90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．作于，設(shè)，根據(jù)AB＝BC＝12，得到，，根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，過(guò)C作CK⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于K，推出四邊形ABCK是正方形，求得CK=CB，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠CEP=∠B=90°，BC=CE，∠BCP=∠ECP，得到CE= CB= CK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）如圖3，將△OQG沿OM翻折至△OUG，將△OQH沿ON翻折至△OWH，延長(zhǎng)UG，WH交于V，根據(jù)已知條件和折疊的性質(zhì)，利用有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形和鄰邊相等的矩形是正方形，推出四邊形UOWV是正方形，設(shè)QH=y，在中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖1，連結(jié)，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°
∵將△BPC沿PC翻折至△EPC，
∴∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，
∴∠DEP=90°
∵當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，
∴AP=BP
∴PA=PE
∵PD=PD
∴，
∴
作于，設(shè)，AB＝BC＝12，則，
由勾股定理得，
解得，
∴
（2）如圖2，作交延長(zhǎng)線(xiàn)于，
∴
∴四邊形為矩形
又∵AB＝BC
∴矩形為正方形
∴CK=CB，∠BCK=90°
∵將△BPC沿PC翻折至△EPC，
∴∠FED=90°，CE= CB= CK，
又∵CF=CF
∴，
∴∠ECF=∠KCF
∴∠BCP+∠KCF=∠PCE+∠FCE=45°
∴∠PCF=45°
(3)如圖3，將△OQG沿OM翻折至△OUG，將△OQH沿ON翻折至△OWH，延長(zhǎng)UG，WH交于V，
∴∠UOG=∠QOG，∠WOH=∠QOH，OU=OQ=OW=8，UG=QG=2，
設(shè)QH=WH=y
∴ ∠UOW=2∠MON=90°，
∵GH⊥OQ
∴∠OQG=∠OQH=90° ．
∴∠U=∠W=90°=∠UOW，
∴四邊形UOWV是正方形
∴UV=WV=8，∠V=90°，
∴GV=6，HV=8-y，GH=y+2
∴
∴
解得，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
16．定義，我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
性質(zhì)探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給出證明．
問(wèn)題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，則①求證：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
答案：（1）是；（2）AB2+CD2=BC2+AD2；（3）①證明見(jiàn)解析；② ．
分析：概念理解：根據(jù)垂直平分線(xiàn)的判定定理證明即可；
性質(zhì)探究：根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；
問(wèn)題解決：根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算即可．
【詳解】概念理解：四邊形ABCD是垂美四邊形．理由如下：
∵AB=AD，∴點(diǎn)A在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上．
∵CB=CD，∴點(diǎn)C在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上，∴直線(xiàn)AC是線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；
性質(zhì)探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：
如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E．
∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；
問(wèn)題解決：①連接CG、BE，如圖3所示：
∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG=∠AEC．
又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=2，AB=5，∴BC=，CG=2，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，∴GE=．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題．考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
17．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．
（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：____；
（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）
答案：（1）AH=AB；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）6
分析：（1）先證明，可得，，再證明即可；
（2）延長(zhǎng)至，使，證明，能得到；
（3）分別沿、翻折和，得到和，然后分別延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，得正方形，設(shè)，則，，在中，由勾股定理，解得．
【詳解】解：（1）如圖①，．理由如下：
四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
是等腰三角形，
又，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
故答案為：；
（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長(zhǎng)至，使．
∵四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
∴≌（SAS），
，，
，
，
，
，
在和中，
，
．
，，
、是和對(duì)應(yīng)邊上的高，
．
（3）如圖③分別沿、翻折和，得到和，
，，．
分別延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，得正方形，
由（2）可知，．
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理，得，
，
解得，．（不符合題意，舍去），
．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；正確作出輔助線(xiàn)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
18．已知：正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在的直線(xiàn)上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE=PD總成立．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上時(shí)，請(qǐng)你猜想PE與PB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)你利用圖3畫(huà)出滿(mǎn)足條件的圖形，并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明）
答案：（1）PE=PB，證明見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）畫(huà)圖見(jiàn)解析，PE=PB，PE⊥PB
分析：（1）證明△PDC≌△PBC（SAS），即可解決問(wèn)題．
（2）證明△PDC≌△PBC（SAS），即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3所示：結(jié)論：①PE=PB，②PE⊥PB．利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【詳解】（1）解：猜想：PE=PB，
理由：如圖1中，
∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線(xiàn)，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB．
故答案為：PE=PB．
（2）解：（1）中的結(jié)論成立．
∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線(xiàn)，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB．
（3）解：如圖3所示：結(jié)論：①PE=PB，②PE⊥PB．
理由：設(shè)PB交EC于J．
∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線(xiàn)，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，∠BCD=∠BCE=90°，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PC=PC，
∴△PDC≌△PBC（SAS），
∴PD=PB，∠1=∠2，
∵PE=PD，
∴PE=PB，∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠CJB=∠PJE，
∴∠BCJ=∠JPE=90°，
∴PB⊥PE，PB=PE．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．

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