1．如圖，在四邊形中，，，，，，點從點出發(fā)，以的速度向點運動；點從點同時出發(fā)，以的速度向點運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)點，運動的時間為ts．
（1）邊的長度為________，的取值范圍為________．
（2）從運動開始，當________時，．
（3）在整個運動過程中是否存在值，使得四邊形是菱形．若存在，請求出值；若不存在，請說明理由．
2．在正方形ABCD中，點E是CD邊上任意一點．連接AE，過點B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如圖1，過點D作DG⊥AE于G，求證：△AFB≌△DGA；
(2)如圖2，點E為CD的中點，連接DF，求證：FH+FE＝DF；
(3)如圖3，AB＝2，連接EH，點P為EH的中點，在點E從點D運動到點C的過程中，點P隨之運動，請直接寫出點P運動的路徑長為
3．如圖，將一個正方形紙片放置在平面直角坐標系中，點，．動點在邊上，點在邊上，沿折疊該紙片，使點的對應(yīng)點始終落在邊上(點不與，重合)，點落在點處，與交于點．
（1）求點的坐標；
（2）當點落在的中點時，求點的坐標；
（3）當點在邊上移動時，設(shè)，求點的坐標(用表示)．
4．在平面直角坐標系中，對于點與，給出如下的定義：
將過點的直線記為，若直線與有且只有兩個公共點，則稱這兩個公共點之間的距離為直線與的“穿越距離”，記作．
例如，已知過點的直線與，其中，，，，如圖所示，則．
請解決下面的問題：
已知，其中，，，．
（1）當時，已知，為過點的直線．
①當時，________________；當時，________________；
②若，結(jié)合圖象，求的值；
（2）已知，為過點的直線，若有最大值，且最大值為，直接寫出的取值范圍．
5．如圖1，在平面直角坐標系中，點A（0，4），點B（m，0），以AB為邊在右側(cè)作正方形ABCD．
（1）當點B在x軸正半軸上運動時，求點C的坐標．（用m表示）
（2）當m=0時，如圖2，P為OA上一點，過點P作PM⊥PC，PM=PC，連MC交OD于點N，求AM+2DN的值；
（3）如圖3，在第（2）問的條件下，E、F分別為CD、CO上的點，作EG∥x軸交AO于G，作FH∥y軸交AD于H，K是EG與FH的交點．若S四邊形KFCE=2S四邊形AGKH，試確定∠EAF的大小，并證明你的結(jié)論．
6．如圖①，在中，已知分別是上的兩點，且．．
（1）求梯形的面積；
（2）如圖②，有一梯形與梯形重合，固定，將梯形向右運動，當點D與點C重合時梯形停止運動；
①若某時段運動后形成的四邊形中，，求運動路程的長，并求此時的值；
②設(shè)運動中的長度為，試用含的代數(shù)式表示梯形與重合部分面積．
7．在正方形中，動點分別從兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線上移動；
（1）如圖①，當分別移動到邊的延長線上時，連接和與的關(guān)系為_________；
（2）如圖②，已知正方形的邊長為點和分別從點同時出發(fā)，以相同的速度沿方向向終點和運動，連接和，交于點，請你畫出點運動路線的草圖，試求出線段的最小值．
（3）如圖③，在（2）的條件下，求周長的最大值；
8．在正方形中，點在邊上，交于點.
（1）如圖1，連接，求證:；
（2）如圖2，點在上，交于點N，交于點，求證:；
（3）如圖3，點在的延長線上，在直線的右側(cè)作且為線段的中點，當點從點運動到點時，寫出點運動的路徑長并簡要說明理由.
9．如圖，平面直角坐標系中有三點。
（1）連接，若
①線段的長為 （直接寫出結(jié)果）
②如圖1，點為軸負半軸上一點，點為線段上一點，連接作,且,當點從向運動時，點不變，點隨之運動，連接,求線段的中點的運動路徑長;
（2）如圖2，作,連接并延長，交延長線于于.若,且，在平面內(nèi)是否存在點,使以為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點的坐標;若不存在，請說明理由.
10．如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（b，0），C（b，-2a）．且+|b-l|=0．CD∥AB，AD∥BC
（1）直接寫出B、C、D各點的坐標：B 、C 、D ；
（2）如圖1，P（3，10），點E，M在四邊形ABCD的邊上，且E在第二象限．若△PEM是以PE為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出點E的坐標，并對其中一種情況計算說明；
（3）如圖2，F(xiàn)為y軸正半軸上一動點，過F的直線j∥x軸，BH平分∠FBA交直線j于點H．G為BF上的點，且∠HGF=∠FAB，F(xiàn)在運動中FG的長度是否發(fā)生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出定值．
難點特訓（三）和特殊四邊形動點有關(guān)的壓軸大題
1．如圖，在四邊形中，，，，，，點從點出發(fā)，以的速度向點運動；點從點同時出發(fā)，以的速度向點運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)點，運動的時間為ts．
（1）邊的長度為________，的取值范圍為________．
（2）從運動開始，當________時，．
（3）在整個運動過程中是否存在值，使得四邊形是菱形．若存在，請求出值；若不存在，請說明理由．
答案：（1），；（2）或；（3）不存在，見解析．
分析：（1）過點作于，再利用勾股定理，即可得出結(jié)論，用點，的運動速度，即可求出t的范圍；
（2）構(gòu)造出直角三角形，表示出，利用勾股定理建立方程求解，即可得出結(jié)論；
（3）先利用求出時間，再求出，進而得出，判斷，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖1，過點作于，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
根據(jù)勾股定理得，，
點在上運動，
，
點在上運動，
，
，
故答案為，；
（2）如圖2，
過點作于，則四邊形是矩形，
，，
，
，
，
根據(jù)勾股定理得，，
或，
故答案為或；
（3）不存在，理由：
得四邊形是菱形，
，
，
，
此時，，
而，
四邊形不可能是菱形．
【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
2．在正方形ABCD中，點E是CD邊上任意一點．連接AE，過點B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如圖1，過點D作DG⊥AE于G，求證：△AFB≌△DGA；
(2)如圖2，點E為CD的中點，連接DF，求證：FH+FE＝DF；
(3)如圖3，AB＝2，連接EH，點P為EH的中點，在點E從點D運動到點C的過程中，點P隨之運動，請直接寫出點P運動的路徑長為
答案：(1)見解析
(2)見解析
(3)
分析：（1）由正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，再證∠BAF=∠ADG，然后由AAS證△AFB≌△DGA即可；
（2）過點D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延長線于J，先證△ABH≌△DAE（ASA），得AH=DE，再證△DJH≌△DKE（AAS），得DJ=DK，JH=EK，則四邊形DKFJ是正方形，得FK=FJ=DK=DJ，則DF=FJ，進而得出結(jié)論；
（3）取AD的中點Q，連接PQ，延長QP交CD于R，過點P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，設(shè)PT=b，由（2）得△ABH≌△DAE（ASA），則AH=DE，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得PD=PH=PE，然后由等腰三角形的性質(zhì)得DH=2DK=2b，DE=2DT，則AH=DE=2-2b，證出PK=QK，最后證點P在線段QR上運動，由等腰直角三角形的性質(zhì)得QR=DQ=，即可求解．
【詳解】（1）（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵DG⊥AE，BF⊥AE，
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠BAF=∠ADG，
在△AFB和△DGA中，
，
∴△AFB≌△DGA（AAS）；
（2）證明：過點D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延長線于J，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAH=∠ADE=90°，AB=AD=CD，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°，
∴∠DAE=∠ABH，
在△ABH和△DAE中，
，
∴△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH=DE，
∵點E為CD的中點，
∴DE=EC=CD，
∴AH=DH，
∴DE=DH，
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，
∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°，
∴四邊形DKFJ是矩形，
∴∠JDK=∠ADC=90°，
∴∠JDH=∠KDE，
在△DJH和△DKE中，
，
∴△DJH≌△DKE（AAS），
∴DJ=DK，JH=EK，
∴四邊形DKFJ是正方形，
∴FK=FJ=DK=DJ，
∴DF=FJ，
∴FH+FE=FJ-HJ+FK+KE=2FJ=DF；
（3）解：如圖3，取AD的中點Q，連接PQ，延長QP交CD于R，過點P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，
設(shè)PT=b，
由（2）得：△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH=DE，
∵∠EDH=90°，點P為EH的中點，
∴PD=EH=PH=PE，
∵PK⊥DH，PT⊥DE，
∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°，
∴四邊形PTDK是矩形，
∴PT=DK=b，PK=DT，
∵PH=PD=PE，PK⊥DH，PT⊥DE，
∴DH=2DK=2b，DE=2DT，
∴AH=DE=2-2b，
∴PK=DE=1-b，QK=DQ-DK=1-b，
∴PK=QK，
∵∠PKQ=90°，
∴△PKQ是等腰直角三角形，
∴∠KQP=45°，
∴點P在線段QR上運動，△DQR是等腰直角三角形，
∴QR=DQ=，
∴點P的運動軌跡的長為．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明△AFB≌△DGA和△ABH≌△DAE是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，將一個正方形紙片放置在平面直角坐標系中，點，．動點在邊上，點在邊上，沿折疊該紙片，使點的對應(yīng)點始終落在邊上(點不與，重合)，點落在點處，與交于點．
（1）求點的坐標；
（2）當點落在的中點時，求點的坐標；
（3）當點在邊上移動時，設(shè)，求點的坐標(用表示)．
答案：（1）；（2）；（3）
分析：（1）因為C點為正方形的端點，且正方形的邊長及坐標軸中的位置已知，所以可以很快確定出C點的坐標，
（2）運用圖形的翻折，設(shè)OE=x可以將邊長AE、AM、EM用x表示出來，再運用勾股定理，即可求出x的值，E點的坐標便可知，
（3）將OE的長設(shè)為a，AM的長設(shè)為t，將邊長AE、AM、EM用a、x表示出來，再運用勾股定理，便可求出a與t的關(guān)系式，則E點坐標便可求得．
【詳解】解：（1）證明：∵正方形，，，
∴，且每個內(nèi)角都是90°，即，，
∴點的坐標為．
（2）∵M為AC中點，
∴，
設(shè)，則，，
在中，，即，求得，
∴．
（3）設(shè)點E的坐標為，
由題意可知：，，，
在中，，即，
整理得，
∴點E的坐標為．
【點睛】本題主要考查了寫出直角坐標系中點的坐標、折疊問題與勾股定理的結(jié)合、正方形中的動點問題，做題的關(guān)鍵在于通過折疊的圖形其邊長一一對應(yīng)相等，所以可以將未知的邊長用已知量來表示，之后再運用計算公式進行求解，便可得出答案．
4．在平面直角坐標系中，對于點與，給出如下的定義：
將過點的直線記為，若直線與有且只有兩個公共點，則稱這兩個公共點之間的距離為直線與的“穿越距離”，記作．
例如，已知過點的直線與，其中，，，，如圖所示，則．
請解決下面的問題：
已知，其中，，，．
（1）當時，已知，為過點的直線．
①當時，________________；當時，________________；
②若，結(jié)合圖象，求的值；
（2）已知，為過點的直線，若有最大值，且最大值為，直接寫出的取值范圍．
答案：（1）①2；；②，；（2）
分析：（1）①由題意和圖像即可得出；
②根據(jù)題意表示出一次函數(shù)的表達式，根據(jù)“穿越距離”，的長度列方程求解即可；
（2）由一次函數(shù)的圖像和的最大值求解即可．
【詳解】（1）當時，，．
由圖可知,四邊形ABCD為正方形，
又∵點在直線上．
所以將代入
得：，即．
∴．
①當時，
∴：．
∴．
當時，將代入，得出
∴：．
直線經(jīng)過和，
∴由題意可知：．
②如圖，．
過作于，則．
∵，
∴．
∴．
∴．
結(jié)合圖象，由正方形的軸對稱性可知，均符合題意．
（2）設(shè)直線的表達式為，
將代入得：，，
∴．
如圖所示，設(shè)直線與線段AB交于點，與線段CD交于點．
∴將代入得：，解得：，
將代入得：，解得：．
∵的最大值為，
又因為平行線段和之間的距離為2，
∴由勾股定理可得PQ之間的水平距離，
代入得：，
解得：．
∴，，此時Q點與B點重合．
∴由“穿越距離”得定義和圖像可得，若有最大值，且最大值為，
C點需在P點的右邊，即C點的橫坐標需大于P點的橫坐標，
∴；
D點需在P點的左邊或和P點重合，即D點的橫坐標需小于等于P點的橫坐標，
∴，解得：；
綜上所述，的取值范圍是.
【點睛】此題考查了一次函數(shù)圖像和平行四邊形結(jié)合動點問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到題目中的等量關(guān)系列出方程．
5．如圖1，在平面直角坐標系中，點A（0，4），點B（m，0），以AB為邊在右側(cè)作正方形ABCD．
（1）當點B在x軸正半軸上運動時，求點C的坐標．（用m表示）
（2）當m=0時，如圖2，P為OA上一點，過點P作PM⊥PC，PM=PC，連MC交OD于點N，求AM+2DN的值；
（3）如圖3，在第（2）問的條件下，E、F分別為CD、CO上的點，作EG∥x軸交AO于G，作FH∥y軸交AD于H，K是EG與FH的交點．若S四邊形KFCE=2S四邊形AGKH，試確定∠EAF的大小，并證明你的結(jié)論．
答案：（1）C(m+4，m)；（2）AM+2DN=4；（3）∠EAF=45°，證明見解析
分析：（1）如圖1中，作軸于．利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）如圖2中，作軸于，作交于．構(gòu)造平行四邊形，全等三角形解決問題即可；
（3）如圖3中，延長到，使得．則．設(shè)，，由題意，，，，利用勾股定理想辦法證明，再證明，可得即可解決問題；
【詳解】解：（1）如圖1中，作軸于．
，
，，
，
又，
，
，，
．
（2）如圖2中，作軸于，作交于．
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
∵，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
，
，
．
（3）如圖3中，延長到，使得．則．
設(shè)，，由題意，，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或特殊四邊形解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考壓軸題．
6．如圖①，在中，已知分別是上的兩點，且．．
（1）求梯形的面積；
（2）如圖②，有一梯形與梯形重合，固定，將梯形向右運動，當點D與點C重合時梯形停止運動；
①若某時段運動后形成的四邊形中，，求運動路程的長，并求此時的值；
②設(shè)運動中的長度為，試用含的代數(shù)式表示梯形與重合部分面積．
答案：（1）梯形的面積為16；（2）①BD＝4，G′B2；②當0≤x＜時，S＝；當≤x≤時，S＝．
分析：（1）在Rt△ABC中由AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB＝45°，又由GF∥BC得到∠AGF＝∠AFG＝45°，由此得到AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，然后根據(jù)S梯形BCFG＝S△ABC?S△AGF進行計算；
（2）①根據(jù)平移可知BDG′G是平行四邊形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD＝BG＝4，如圖③，過點G′作G′M⊥BC于點M，在Rt△G′DM中，求出DM＝G'M＝，接著得到BM＝，然后在Rt△G′BM中，根據(jù)勾股定理可以求出G'B2；②在Rt△AGF與Rt△ABC中分別求出GF，BC，當0≤x＜時，其重合部分為梯形，如圖②，過G點作GH垂直BC于點H，得GH＝，而BD＝GG′＝x，DC＝，G'F'＝，根據(jù)梯形面積公式即可用x表示S；當≤x≤時，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③，斜邊DC＝，斜邊上的高為，根據(jù)三角形面積公式即可用x表示S．
【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝∠AFG＝45°，
∴AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，
∴S梯形BCFG＝S△ABC?S△AGF＝×6×6?×2×2＝16；
（2）①∵在運動過程中有DG′∥BG且DG′＝BG，
∴BDG′G是平行四邊形，
當DG⊥BG′時，BDG′G是菱形，
∴BD＝BG＝4，
如圖③，當BDG′G為菱形時，過點G′作G′M⊥BC于點M，
在Rt△G′DM中，∠G′DM＝45°，DG′＝4，
∴DM＝G′M且DM2＋G'M2＝DG'2，
∴DM＝G′M＝，
∴BM＝，
連接G′B．
在Rt△G′BM中，G′B2＝BM2＋G′M2＝；
②在Rt△AGF與Rt△ABC中，GF＝，BC＝，
當0≤x＜時，其重合部分為梯形，如圖②，
過G點作GH垂直BC于點H，則GH＝，
∵BD＝GG′＝x，
∴DC＝，G′F′＝，
∴S＝；
當≤x≤時，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③，
∵斜邊DC＝，
∴斜邊上的高為，
∴S＝．
【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及梯形和三角形的面積公式等，在有關(guān)動點的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對各種可能出現(xiàn)的圖形對每一種可能的情形都分別進行研究和求解．換句話說，分類思想在動態(tài)問題中運用最為廣泛．
7．在正方形中，動點分別從兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線上移動；
（1）如圖①，當分別移動到邊的延長線上時，連接和與的關(guān)系為_________；
（2）如圖②，已知正方形的邊長為點和分別從點同時出發(fā)，以相同的速度沿方向向終點和運動，連接和，交于點，請你畫出點運動路線的草圖，試求出線段的最小值．
（3）如圖③，在（2）的條件下，求周長的最大值；
答案：（1）AE＝DF，AE⊥DF；（2）點運動路線見解析；線段CP的最小值為；（3）△APD周長的最大值為．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)利用SAS證明△ADE≌△DCF，可得AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，延長FD交AE于點G，求出∠ADG＋∠DAE＝90°即可；
（2）根據(jù)AE⊥DF可知點P在以AD為直徑的圓弧上，當O、C、P三點共線時，線段CP最小，求出OC即可得到線段CP的最小值；
（3）如圖③，以AD為斜邊向外作等腰直角△ADG，過點G作GM⊥AE于M，GN⊥FD交FD的延長線于點N，連接GP，首先證明△AMG≌△DNG，四邊形GMPN是正方形，然后求出PA＋PD＝2GM，且GM的最大值＝AG＝，再由三角形周長公式可得答案．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動，
∴DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，
延長FD交AE于點G，如圖①所示，則∠CDF＋∠ADG＝90°，
∴∠ADG＋∠DAE＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AE⊥DF，
故答案為：AE＝DF，AE⊥DF；
（2）由（1）可知AE⊥DF，
∴在點E、F的運動過程中，∠APD始終是90°，
∴點P在以AD為直徑的圓弧上，即劣弧DH，如圖所示，
設(shè)圓心為O，連接OC，則O、C、P三點共線時，線段CP最小，
∵圓心O為AD中點，正方形的邊長為4，
∴OA＝OD＝OP＝2，
∴OC＝，
∴線段CP的最小值為：；
（3）如圖③，以AD為斜邊向外作等腰直角△ADG，過點G作GM⊥AE于M，GN⊥FD交FD的延長線于點N，連接GP，
∵∠GMP＝∠MPN＝∠N＝90°，
∴四邊形GMPN是矩形，
∴∠MGN＝∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝∠DGN，
∵∠AMG＝∠DNG＝90°，AG＝DG，
∴△AMG≌△DNG（AAS），
∴AM＝DN，MG＝NG，
∴矩形GMPN是正方形，
∴PA＋PD＝PM＋AM＋PN－DN＝PM＋PN＝2PM＝2GM，
∵GM≤AG，
∴GM的最大值＝AG＝，
∴PA＋PD的最大值為，
∴△APD周長的最大值為：．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的推論、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
8．在正方形中，點在邊上，交于點.
（1）如圖1，連接，求證:；
（2）如圖2，點在上，交于點N，交于點，求證:；
（3）如圖3，點在的延長線上，在直線的右側(cè)作且為線段的中點，當點從點運動到點時，寫出點運動的路徑長并簡要說明理由.
答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）；理由見解析．
分析：（1）如圖1中，只要證明即可解決問題．
（2）如圖2中，連接，作于．利用平行線等分線段定理解決問題即可．
（3）如圖3中，連接，，作交于．利用全等三角形的性質(zhì)證明，點的運動軌跡是線段，求出的長，利用三角形的中位線定理即可解決問題．
【詳解】（1）證明：如圖1中，
四邊形是正方形，
，，
，
，
．
（2）證明：如圖2中，連接，作于．
，，
，
，
，
，，
．
（3）解：如圖3中，連接，，作交于．
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
點的運動軌跡是線段，
點從運動到時，，
，
，
當點從點運動到點時，點運動的路徑長為．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
9．如圖，平面直角坐標系中有三點。
（1）連接，若
①線段的長為 （直接寫出結(jié)果）
②如圖1，點為軸負半軸上一點，點為線段上一點，連接作,且,當點從向運動時，點不變，點隨之運動，連接,求線段的中點的運動路徑長;
（2）如圖2，作,連接并延長，交延長線于于.若,且，在平面內(nèi)是否存在點,使以為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點的坐標;若不存在，請說明理由.
答案：（1）① ② （2）
分析：（1）①由兩點的距離公式可得出答案；
②分別作出點D運動到點A，B時的等腰直角三角形DCE，畫出運動路徑如圖，求出E1，E2的坐標，即可求出E1E2的長，則答案可求出；
（2）連接BH，證明∠HBA＝45°，過點H作HN⊥AB，求出H點坐標，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求出M點坐標．
【詳解】（1）①∵A（?3，0），C（?4，1），
∴AC＝．
故答案為：．
②分別作出點D運動到點A，B時的等腰直角三角形DCE，畫出運動路徑如圖，
∵C（?4，1），△CAE1為等腰直角三角形，A,D重合，A（-3，0）
∴CD=AC==AE1
∴CE1=
∵CE1∥x軸
∴E1（?2，1），
分別過點C，E2作x軸的垂線，垂足分別為M，N，
∵∠CBM＝∠BE2N，∠CMB＝∠BNE2，BC＝BE2，
∴△CMB≌△BNE2（AAS），
∴E2N＝BM＝5，CM＝BN＝1，
∴E2（2，5），
∴E1E2＝．
∵Q1Q2為△PE1E2的中位線，
∴線段EP的中點Q的運動路徑長Q1Q2＝E1E2＝2．
（2）如圖，連接BH，
∵AF⊥AC，GH⊥CF，
又A（?3，0），B（1，0），BF＝BG，
∴BH＝GF＝AB＝4，
又∵∠C＝67.5°，
∴∠AGB＋∠CFB＝112.5°，
∴∠ABG＋∠HBF＝360°?2（∠AGB＋∠CFB）＝135°，
即∠HBA＝45°，
過點H作HN⊥AB，∴△BHN是等腰直角三角形，
∴HN＝BN，
∴BH==HN
∴HN＝BN=BH=2，
∴H（1?2，2），
∵A（?3，0），B（1，0），
如圖，四邊形ABM1H是平行四邊形時，A平移至B的方式是：向右平移4個單位，
∴H點向右平移4個單位得到M1；
四邊形ABH M2是平行四邊形時，B平移至A的方式是：向左平移4個單位，
∴H點向右平移4個單位得到M2；
四邊形AHBM3是平行四邊形時，H平移至B的方式是：向右平移2個單位，向下平移2個單位，
∴A點向右平移2個單位，向下平移2個單位M3；
∴使以B，A，H，M為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標為．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了兩點間的距離公式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握坐標與圖形的性質(zhì)．
10．如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（b，0），C（b，-2a）．且+|b-l|=0．CD∥AB，AD∥BC
（1）直接寫出B、C、D各點的坐標：B 、C 、D ；
（2）如圖1，P（3，10），點E，M在四邊形ABCD的邊上，且E在第二象限．若△PEM是以PE為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出點E的坐標，并對其中一種情況計算說明；
（3）如圖2，F(xiàn)為y軸正半軸上一動點，過F的直線j∥x軸，BH平分∠FBA交直線j于點H．G為BF上的點，且∠HGF=∠FAB，F(xiàn)在運動中FG的長度是否發(fā)生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出定值．
答案：（1）（1，0），（1，8），（-4，8）；（2）點E坐標（-1，8）或（-4，7）；（3）不發(fā)生變化.
分析：（1）根據(jù)題意可求a=-4，b=1，可得A，B，C三點坐標，由題意可證四邊形ABCD是矩形，可求CD=AB=5，AD=BC=8，即可求點D坐標；
（2）分點E在CD上，點EAD上討論，通過等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，可求點E坐標；
（3）點H作HR⊥BF于點R，通過證△HFR≌△FBO和△HRG≌△FOA，可得RF=1，RG=4，即可求FG=3，則點F在運動中FG的長度不發(fā)生變化．
【詳解】（1）∵+|b-l|=0，
∴b=1，a=-4，
∴A（-4，0），B（1，0），C（1，8），
∴BC⊥AB，AB=5，BC=8，
∵CD∥AB，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，且BC⊥AB
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，CD=AB=5
∴D（-4，8）
（2）如圖，若點E在CD上時，過點E作EN∥y軸，過點M作MN⊥EN于N，過點P作PH⊥EN于點H，
∵∠PEH+∠HPE=90°，∠PEH+∠MEN=90°，
∴∠MEN=∠HPE，且PE=EM，∠PHE=∠MNE=90°，
∴△PHE≌△ENM（AAS）
∴PH=EN，HE=MN=2，
∵CE⊥EN，MN⊥EN，∠DCB=90°，
∴四邊形MNEC是矩形，
∴CE=MN=2，且點C（1，8）
∴點E坐標（-1，8）
如圖，若點E在AD上，過點P作PH⊥AD，交AD的延長線于H，
∵∠PEH+∠AEM=90°，∠PEH+∠HPE=90°
∴∠HPE=∠AEM，且PE=EM，∠PHE=∠EAM=90°
∴△PHE≌△EAM（AAS）
∴AE=PH=7
∴點E坐標（-4，7）
（3）不發(fā)生變化，
如圖，過點H作HR⊥BF于點R，
∵BH平分∠ABF，
∴∠FBH=∠ABH，
∵FH∥AB，
∴∠FHB=∠ABH，∠HFR=∠ABF，
∴∠FHB=∠FBH，
∴HF=FB，且∠HFR=∠ABF，∠FOB=∠HRF，
∴△HFR≌△FBO（AAS）
∴RF=OB=1，HR=FO，
∵∠HGF=∠FAB，HR=FO，∠HRG=∠AOF=90°，
∴△HRG≌△FOA（AAS），
∴RG=AO=4，
∴FG=RG-RF=4-1=3，
∴點F在運動中FG的長度不發(fā)生變化．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及分類思想的運用，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．

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