A．1B．2C．3D．4
2．如圖，正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，在AB上取一點F，使點B關(guān)于直線EF的對稱點G落在AD上，連接EG交CD于點H，連接BH交EF于點M，連接CM．則下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，則BM＝．
A．①②③④B．①②C．③④D．①②④
3．如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接、、．給出下列結(jié)論：
①；
②
③
④其中正確的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④
4．如圖，已知AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝45°，AD⊥BD，BD＝2，CD＝3，則AB長為（ ）
A．3B．2C．D．
5．已知如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB，交CB的延長線于G，連接GF，若AD⊥BD．下列結(jié)論：①DE∥BF；②四邊形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=．其中正確的是（ ）
A．①②③④B．①②C．①③D．①②④
6．在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，為平面直角坐標系內(nèi)一點，，，則的值為（ ）
A．14B．C．或14D．或
7．如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC=60°，AB=BC，連接OE，下列結(jié)論：①∠CAD=30°；②S?ABCD=AB?AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
8．如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD＝DE，連接BE分別交AC，AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①；②與EGD全等的三角形共有2個；③S四邊形ODEG＝S四邊形ABOG；④由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；
A．①③④B．①④C．①②③D．②③④
9．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，對角線AC上有一點P，使的和最小，則這個最小值為（ ）．
A．2B．C．4D．
10．如圖，在菱形中，，，點是線段上一動點，點是線段上一動點，則的最小值（ ）
A．B．C．D．
11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分別以AB，AC，BC為邊向△ABC外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直線ED，HI交于點J，過點F作KF // HI，交DE于點K，過點G作GM // DE，與HI，KF分別交于點M，L. 則四邊形KLMJ的面積為（ ）
A．90B．100C．110D．120
12．如圖，矩形ABCD的周長為1，連接矩形ABCD四條邊中點得到四邊形A1B1C1D1，再連接四邊形A1B1C1D1四條邊中點得到四邊形A2B2C2D2，如此繼續(xù)下去…，則四邊形A10B10C10D10的周長為（ ）
A．（）5B．（）10C．（）5D．（）10
13．已知三角形的邊長分別是5、7、8，則這個三角形的面積是（ ）
A．9B．C．10D．
14．如圖，正方形中，為上一點，線段的垂直平分線交于，為垂足，交正方形的兩邊于、，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
15．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F(xiàn)是CB延長線上一點，AF⊥CF，垂足為F．下列結(jié)論：①∠ACF＝45°；②四邊形ABCD的面積等于AC2；③CE＝2AF；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正確的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
16．如圖，邊長為2的正方形EFGH在邊長為6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移過程中，始終保持EF∥AB，線段BH的中點為M，AF的中點為N，則線段MN的長為（ ）
A．B．C．D．
17．如圖，在矩形中，，E為的中點，將沿著對折后得到，延長交于點F，連接并延長交于點H，連接，若，則下列說法：①；②四邊形是平行四邊形；③，其中正確的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
18．如圖，在中，，為邊上的高，為邊的中點，點在邊上，，若，，則邊的長為（ ）
A．B．C．D．
19．如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取一點E，使得∠CDE＝15°，連接BE并延長BE到F，使CF＝CB，BF與CD相交于點H，若AB＝，則下列結(jié)論：①∠CBE＝15°； ②AE＝；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．正確的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
20．如圖，在矩形中，為的中點，過點且分別交于交于，點是的中點，且，OE=1，則下列結(jié)論：①；②；③四邊形為菱形；④．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
21．已知、是兩個連續(xù)自然數(shù)，且，設(shè)，則下列對的表述中正確的是（ ）
A．總是偶數(shù)B．總是奇數(shù)
C．總是無理數(shù)D．有時是有理數(shù)，有時是無理數(shù)
22．如圖，在邊長為 2 的等邊三角形 ABC 中，分別以點 A，C 為圓心，m 為半徑作弧，兩弧交于點 D，連接 BD，CD．若 BD 的長為，則 CD 的最大值為( )
A．2B．C．D．
23．如圖，菱形ABCD的周長為24，∠ABD＝30°，Q是BC的中點，則PC+ PQ的最小值是（ ）
A．6B．3C．3D．6
24．如圖，?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點E、P，連接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，則下列結(jié)論：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正確的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
第II卷（非選擇題）
請點擊修改第II卷的文字說明
二、填空題
25．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為___．
26．如圖，正方形ABCO和正方形DEFO的頂點A、E、O在同一直線l上，且，，給出下列結(jié)論：①，②，③△COF的面積，④，其中正確的是______．
27．如圖，在邊長為的菱形中，，是邊的中點，是邊上一動點，將沿所在的直線翻折得到，連接，則長度的最小值是______．
28．如圖，分別以RtABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊ACD和ABE，F(xiàn)為AB的中點，連接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，則以下4個結(jié)論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF＝BE；④S四邊形BCDE＝1：7，中正確的是_____．
29．如圖，在長方形中，，，、分別是、的中點，則到的距離是______．
30．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點．若，則__________．
31．如圖，矩形的對角線，交于點，，，過點作，交于點，過點作，垂足為．則的值為______．
32．如圖，在中，，，E，F(xiàn)分別為CA，CB上的點，，M，N分別為AF，BE的中點，若，則MN＝______．
33．如圖，正方形中，為上一動點（不含、，連接交于，過作交于，過作于，連接，．下列結(jié)論：①；②；③平分；④，正確的是__（填序號）．
34．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點P為BC邊上一動點，以P為直角頂點，AP為直角邊作等腰Rt△APE，M為邊AE的中點，當點P從點B運動到點C，則點M運動的路徑長為______．
35．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度伸長為的倍，得到線段；又將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，長度伸長為的倍，得到線段；如此下去，得到線段，，，為正整數(shù)，則點的坐標是______ ．
36．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E為BC上兩點，若∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，則的值_______．
37．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點E是邊BC的中點，連接AE，若將△ABE沿AE翻折，點B落在點F處，連接FC，則CF＝________．
38．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，DE平分∠ADC，點P在DE上，則AP+PB的最小值是 _____．
39．已知，如圖：一張矩形紙片，，，為邊上一動點，將矩形沿折疊，要使點落在上，則折痕的長度是________；若點落在上，則折痕與的位置關(guān)系是__________.若翻折后點的對應(yīng)點是點，連接，則在點運動的過程中，的最小值是______.
40．如圖，把一個矩形剪成①②③④四個部分能夠重新拼成一個正方形，已知，則的長為__________．
41．如圖，在正方形ABCD中，點E在BC上，點F在CD上，連接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，則正方形的邊長為__________．
42．我們把聯(lián)結(jié)四邊形對邊中點的線段稱為“中對線”． 凸四邊形的對角線 ，且這兩條對角線的夾角為60°，那么該四邊形較長的“中對線”的長度為_________．
43．小兵在學習了勾股定理的趙爽弦圖后，嘗試用小正方形做類似的圖形，經(jīng)過嘗試后，得到如圖：長方形ABCD內(nèi)部嵌入了6個全等的正方形，其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，則小正方形的邊長為 _____．
44．如圖，△ABC中，點E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點D，BD＝9，AC＝11.5，則邊BC的長為 _____．
45．如圖，正方形，是對角線上一動點，，且，連接，，，若，則長度的最小值為______．
46．如圖，在平面直角坐標系中，點，點是x軸上的一個動點．
（1）用含x的式子表示線段的長是_____；
（2）結(jié)合圖形，判斷式子的最小值是____．
47．已知A，C兩點坐標分別為和，平行四邊形ABCD的一個內(nèi)角為45°，點B在軸上，則點D的坐標為__________．
48．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是（﹣2，1），點C的縱坐標是4，點B的橫坐標為，則矩形AOBC的面積為___．
49．如圖，在中，，，，點為上任意一點，連接，以，為鄰邊作，連接，則的最小值為______．
50．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD?DC＝2，則AC＝_____．
難點特訓(xùn)（四）選填壓軸50道
1．如圖，點E是正方形外一點，連接和，過點A作垂線交于點P．若．下列結(jié)論：①；②；③點B到直線的距高為；④．則正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
分析：①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需證明∠EAB＝∠PAD即可用SAS說明△APD≌△AEB；
②易知∠AEB＝∠APD＝135°，則∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；
③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值為，根據(jù)垂線段最短可知B到直線AE的距離小于；則③錯誤；
④要求正方形的面積，則需知道正方形一條邊的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝，過點A作AH⊥BE交BE延長線于H點，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正確；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正確；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．
∵B點到直線AE的距離小于BE，所以點B到直線AE的距離為是錯誤的，
所以③錯誤；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝，
如圖所示，過點A作AH⊥BE交BE延長線于H點．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．
所以BH＝．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（）2+（）2＝，
所以S正方形ABCD＝．
所以④正確．
所以只有①和②、④的結(jié)論正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解決復(fù)雜幾何圖形時要會分離圖形，分離出對解決問題有價值的圖形單獨解決．
2．如圖，正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，在AB上取一點F，使點B關(guān)于直線EF的對稱點G落在AD上，連接EG交CD于點H，連接BH交EF于點M，連接CM．則下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，則BM＝．
A．①②③④B．①②C．③④D．①②④
答案：A
分析：①正確．如圖1中，過點B作BK⊥GH于K．想辦法證明Rt△BHK≌Rt△BHC（HL）可得結(jié)論．
②正確．分別證明∠GBH=45°，∠4=45°即可解決問題．
③正確．如圖2中，過點M作MW⊥AD于W，交BC于T．首先證明MG=MD，再證明△BTM≌△MWG（AAS），推出MT=WG可得結(jié)論．
④正確．求出BT=2，TM=1，利用勾股定理即可判斷．
【詳解】解：如圖1中，過點B作BK⊥GH于K．
∵B，G關(guān)于EF對稱，
∴EB＝EG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴∠AGB＝∠EBG，
∴∠AGB＝∠BGK，
∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，
∴△BAG≌△BKG（AAS），
∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，
∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），
∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正確，
∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，
過點M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．
∵∠1＝∠2，
∴MQ＝MP，
∵∠MEQ＝∠MER，
∴MQ＝MR，
∴MP＝MR，
∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，
∴∠GBH＝∠4，故②正確，
如圖2中，過點M作MW⊥AD于W，交BC于T．
∵B，G關(guān)于EF對稱，
∴BM＝MG，
∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，
∴△MCB≌△MCD（SAS），
∴BM＝DM，
∴MG＝MD，
∵MW⊥DG，
∴WG＝WD，
∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，
∴∠BMT+∠GMW＝90°，
∵∠GMW+∠MGW＝90°，
∴∠BMT＝∠MGW，
∵MB＝MG，
∴△BTM≌△MWG（AAS），
∴MT＝WG，
∵MC＝TM，DG＝2WG，
∴DG＝CM，故③正確，
∵AG＝1，DG＝2，
∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，
∴BM＝，故④正確，
故選：A．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
3．如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接、、．給出下列結(jié)論：
①；
②
③
④其中正確的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④
答案：C
分析：利用SAS證明△AGB≌△ACE，即可判斷①；
證明∠BNM=∠MAE=90，即可判斷②；
假設(shè)③成立，利用勾股定理對等式變形證得=，而與不一定相等，即可判斷③；
利用勾股定理證得，從而證得結(jié)論④成立．
【詳解】解：∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴AC=AG，AB=AE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△AGB和△ACE中，
∵，
∴△AGB≌△ACE(SAS)，
∴GB=CE，故①正確；
設(shè)BA、CE相交于點M，
∵△AGB≌△ACE，
∴∠GBA=∠CEA，
又∵∠BMN=∠EMA，
∴∠BNM=∠MAE=90，
∴，故②正確；
設(shè)正方形和正方形的邊長分別為和,
∵為直角三角形，且為斜邊，
∴，
假設(shè)成立，
則有，
整理得：，即，
∴，即，
∵與不一定相等，
∴假設(shè)不成立，故③不正確；
連接CG，BE，設(shè)BG、CE相交于N，
∵，
∴，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，，
∴，故④正確；
綜上，①②④正確，
故選：C．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，已知AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝45°，AD⊥BD，BD＝2，CD＝3，則AB長為（ ）
A．3B．2C．D．
答案：B
分析：過C作CM⊥AD于M，CN⊥BD交延長線于N，設(shè)AC=BC=x，則AB=x，求出MC=MD=CN=DN=3，根據(jù)S△ABC+S△BDC=S△ACD+S△ABD，證得AD=，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，列得（x）2=（）2+22，求出x即可．
【詳解】解：過C作CM⊥AD于M，CN⊥BD交延長線于N，
設(shè)AC=BC=x，則AB=x，
∵∠ADC＝45°，AD⊥BD，
∴∠CDN=∠ADC＝45°，
∴MC=MD=CN=DN=3，
∵S△ABC+S△BDC=S△ACD+S△ABD，
∴
解得AD=，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∴（x）2=（）2+22，
解得x=（負值舍去），
∴AB=x=2，
故選：B．
【點睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確引出輔助線及掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．已知如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB，交CB的延長線于G，連接GF，若AD⊥BD．下列結(jié)論：①DE∥BF；②四邊形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=．其中正確的是（ ）
A．①②③④B．①②C．①③D．①②④
答案：D
【詳解】解：①∵在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，
∴四邊形DEBF為平行四邊形，∴DE∥BF
故①正確；
②由①知四邊形DEBF為平行四邊形，
∵AD⊥BD E為邊AB的中點，
∴DE=BE=AE，
∴四邊形BEDF是菱形
故②正確；
③∵AG∥DB AD∥BG AD⊥BD，
∴AGBD為矩形，
∴AD=BG=BC，要使FG⊥AB，
則BF=BC=BG，不能證明BF=BC，
即FG⊥AB不恒成立，
故③不正確；
④由③知BC=BG，
∴S△BFG=．
∵F為CD中點，
∴S△FCG=S平行四邊形ABCD，
∴S△BFG=，
故④正確．
故選擇D．
6．在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，為平面直角坐標系內(nèi)一點，，，則的值為（ ）
A．14B．C．或14D．或
答案：D
分析：分當點C在x軸上方和點C在x軸下方兩種情況，畫出圖形求解即可．
【詳解】解：當點C在x軸上方時，如圖1所示，作CD⊥x軸，
∵A點的坐標為（0，5），B的坐標為（-2，0），
∴OA=5，OB=2，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=OA=5，CD=OB=2，
∴C點坐標為（-7，2），
∴ab=-7×2=-14；
當點C在x軸下方時，如圖2所示，作CE⊥x軸，
與（1）證明方法一樣可證得△ABO≌△BCE（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=3，
∴OE=5-2=3，
∴C點坐標為（3，-2），
∴ab=3×（-2）=-6．
故選：D．

圖1 圖2
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了分類討論的思想、坐標與圖形性質(zhì)等知識．
7．如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC=60°，AB=BC，連接OE，下列結(jié)論：①∠CAD=30°；②S?ABCD=AB?AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
答案：C
分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等邊三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正確；由于AC⊥AB，得到S?ABCD=AB?AC，故②正確，根據(jù)AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB＜OB，故③錯誤；根據(jù)三角形的中位線定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正確．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正確；
∵AC⊥AB，
∴S?ABCD=AB?AC，故②正確，
∵AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，
∴AB＜OB，故③錯誤；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
∴OE=BC，故④正確．
故選C．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ABE是等邊三角形，OE是△ABC的中位線是關(guān)鍵．
8．如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD＝DE，連接BE分別交AC，AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論正確的是（ ）
①；②與EGD全等的三角形共有2個；③S四邊形ODEG＝S四邊形ABOG；④由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；
A．①③④B．①④C．①②③D．②③④
答案：A
分析：①由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG＝CD＝AB，①正確；
②先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證△ABD、△BCD是等邊三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，則四邊形ABDE是菱形，④正確；
③由菱形的性質(zhì)得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS證明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，則②不正確；
由中線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等，得出③正確．
【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位線，
∴OG＝CD＝AB，故①正確；
連接AE，
∵ABCE，AB＝DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等邊三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四邊形ABDE是菱形，故④正確；
∴AD⊥BE，
由菱形的性質(zhì)得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正確；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四邊形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等，故③正確；
故選：A．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，對角線AC上有一點P，使的和最小，則這個最小值為（ ）．
A．2B．C．4D．
答案：B
分析：由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BD，與AC的交點即為F點．此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結(jié)果．
【詳解】解：連接BD，與AC交于點F．
∵點B與D關(guān)于AC對稱，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面積為12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值為2．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了軸對稱--最短路線問題，難點主要是確定點P的位置．注意充分運用正方形的性質(zhì)：正方形的對角線互相垂直平分．再根據(jù)對稱性確定點P的位置即可．
10．如圖，在菱形中，，，點是線段上一動點，點是線段上一動點，則的最小值（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先作點E關(guān)于AC的對稱點點G，再連接BG，過點B作BH⊥CD于H，運用勾股定理求得BH和GH的長，最后在Rt△BHG中，運用勾股定理求得BG的長，即為PE+PF的最小值．
【詳解】解：作點E關(guān)于AC的對稱點點G，連接PG、PE，則PE=PG，CE=CG=2，
連接BG，過點B作BH⊥CD于H，則∠BCH=∠CBH=45°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴
∴Rt△BHC中，BH=CH= ，
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，
∵當點F與點B重合時，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故選：D．
【點睛】本題以最短距離問題為背景，主要考查了菱形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，一般情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．注意：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．
11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，分別以AB，AC，BC為邊向△ABC外作正方形ABED，正方形ACHI，正方形BCGF．直線ED，HI交于點J，過點F作KF // HI，交DE于點K，過點G作GM // DE，與HI，KF分別交于點M，L. 則四邊形KLMJ的面積為（ ）
A．90B．100C．110D．120
答案：C
分析：先由勾股定理得出 ，在由正方形的性質(zhì)推出四邊形KLMJ， DGIA都是矩形，再由矩形的性質(zhì)得出，延長AC至O，則CO⊥ML，可證 ，繼而得出四邊形COMH是矩形，可得，同理可得，四邊形EKQB是矩形，，即可求解四邊形KLMJ的面積．
【詳解】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4
由勾股定理可得
四邊形ABED， ACHI， BCGF都是正方形
四邊形的四個角都是90°，四條邊平行且相等


四邊形KLMJ， DGIA都是矩形


延長AC至O，則CO⊥ML







四邊形COMH是矩形
同理可得，四邊形EKQB是矩形
四邊形KLMJ的面積

故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，熟練運用知識點是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，矩形ABCD的周長為1，連接矩形ABCD四條邊中點得到四邊形A1B1C1D1，再連接四邊形A1B1C1D1四條邊中點得到四邊形A2B2C2D2，如此繼續(xù)下去…，則四邊形A10B10C10D10的周長為（ ）
A．（）5B．（）10C．（）5D．（）10
答案：A
分析：根據(jù)矩形ABCD的周長，四邊形A2B2C2D2的周長、四邊形A4B4C4D4的周長，找到規(guī)律即可解題．
【詳解】解：順次連接四邊形A1B1C1D1四邊的中點得到四邊形A2B2C2D2，
連接AC，BD交于點O，
∵四邊形A1B1C1D1是矩形ABCD的中點四邊形，
∴A1B1的中點A2在AC上，A1D1的中點D2在BD上，
∴A2D2=AD，
同理A2B2=AB，B2C2=BC，C2D2=CD，
∴四邊形A2B2C2D2的周長為四邊形ABCD周長的一半，即為矩形ABCD周長的，
同理：四邊形A4B4C4D4的周長為四邊形A2B2C2D2周長的一半，即為矩形ABCD周長的，
……，
∴四邊形A10B10C10D10周長為矩形ABCD周長的，
故選：A ．
【點睛】本題考查了中點四邊形以及矩形的性質(zhì)，找到連接矩形、菱形中點所得的中點四邊形的周長為原四邊形周長的一半是解題的關(guān)鍵．
13．已知三角形的邊長分別是5、7、8，則這個三角形的面積是（ ）
A．9B．C．10D．
答案：D
分析：畫出三角形的邊長分別是作CD⊥AB于D，先由勾股定理計算出CD的長度，再根據(jù)面積公式計算即可．
【詳解】如圖：作CD⊥AB于D，
由勾股定理得： ，
即，
解得：，
∴，
∴△ABC的面積＝．
故選：D
【點睛】此題考查了勾股定理、三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，正方形中，為上一點，線段的垂直平分線交于，為垂足，交正方形的兩邊于、，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
答案：B
分析：①過N作，則，先證明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，證明，得出，證出，即可得出；
②，是等腰直角三角形，，即可得出；
③假設(shè)成立，證明，得出，可判斷③不一定成立；
④過P作的平行線交于K，證出，，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：①正確；過N作分別交、于S、T，則，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵線段的垂直平分線交于點N，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正確；
由①得：，是等腰直角三角形，，
∴，故②正確；
∵，，
∴，
若，
則．
∵，
∴，
∴，顯然不一定成立，故③錯誤；
過P作的平行線交于K，
∴．
∵垂直平，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于點G，作于點H，
則，
由①得：，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正確；
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強，特別是需要通過作輔助線證明三角形全等．
15．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F(xiàn)是CB延長線上一點，AF⊥CF，垂足為F．下列結(jié)論：①∠ACF＝45°；②四邊形ABCD的面積等于AC2；③CE＝2AF；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正確的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
答案：C
分析：證明≌，得出，正確；由，得出，正確；
證出，，正確；由，不能確定，不正確；即可得出答案．
【詳解】解：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE＝45°，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACF＝∠E＝45°，①正確；
∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
∴S四邊形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC2，②正確；
∵△ABC≌△ADE，
∠ACB＝∠AEC＝45°，
∵∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴AC平分∠ECF，
過點A作AG⊥CG，垂足為點G，如圖所示：
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，
∴AF＝AG，
又∵AC＝AE，
∴∠CAG＝∠EAG＝45°，
∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，
∴CG＝AG＝GE，
∴CE＝2AG，
∴CE＝2AF，③正確；
∵S△ABF+S△ADE＝S△ABF+S△ABC＝S△ACF，
不能確定S△ACF＝S△BCD，④不正確；
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，邊長為2的正方形EFGH在邊長為6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移過程中，始終保持EF∥AB，線段BH的中點為M，AF的中點為N，則線段MN的長為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：連接EM并延長交BC于點R，連接EN并延長交AB于點P，證明△BRM≌△HEM(AAS)，推出RM=EM，BR=EH=2，同理可得△APN≌△FEN，推出PN=EN，AP=EF=2，勾股定理求出PR，根據(jù)三角形中位線的定義及性質(zhì)求出MN．
【詳解】解：如圖，連接EM并延長交BC于點R，連接EN并延長交AB于點P，
∵正方形EFGH在正方形ABCD所在平面上平移，在平移過程中，始終保持EF∥AB，
∴BCEH，
∴∠RBM=∠EHM，∠BRM=∠HEM，
∵BM=MH，
∴△BRM≌△HEM(AAS)，
∴RM=EM，BR=EH=2，
∵EFAB，
同理可得△APN≌△FEN，
∴PN=EN，AP=EF=2，
∴BP=AB-AP=6-2=4，
在Rt△BPR中，BP2+BR2=PR2，
∴42+22=PR2，
∴PR=2，
∵RM=EM，PN=EN，
∴MN是△PRE的中位線，
∴MN=PR=，
故選：C．
【點睛】此題考查了正方形及平移的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的定義和性質(zhì)，正確理解題意并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在矩形中，，E為的中點，將沿著對折后得到，延長交于點F，連接并延長交于點H，連接，若，則下列說法：①；②四邊形是平行四邊形；③，其中正確的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
答案：D
分析：由E是BC的中點，沿折疊后得到，利用證明，可得，判斷①正確；根據(jù)， ，可得，可判斷②正確，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求出的值，即可可判斷③．
【詳解】解: 在矩形中，
∵ 是的中點，
∴，
∵由折疊可知：，
∴，
∴，
在和中

∴
∴
∴
∴，故①正確；
∵
∴,
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形, 故②正確；
設(shè)則，
在中:
∴
∴
∴, 故③正確；
故選：D．
【點睛】此題考查了矩形中的翻折的問題、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折、勾股定理等知識．
18．如圖，在中，，為邊上的高，為邊的中點，點在邊上，，若，，則邊的長為（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：作AB的中點M，連接ME，過F點作，首先證得是等邊三角形，再證明，從而得到，利用勾股定理求得DF的長度，從而得到DE的長度，再根據(jù)在中E是中點，從而計算出BC的長度．
【詳解】如下圖所示，作AB的中點M，連接ME，過F點作，垂足為N
在中，M是中點，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，
∴，
∵M、E為中點，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，E是中點，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考慮直角三角形、等邊三角形、全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形、等邊三角形、全等三角形的相關(guān)知識．
19．如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取一點E，使得∠CDE＝15°，連接BE并延長BE到F，使CF＝CB，BF與CD相交于點H，若AB＝，則下列結(jié)論：①∠CBE＝15°； ②AE＝；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．正確的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③④
答案：A
分析：用正方形的性質(zhì)BC=CD，∠BCE=∠DCE=，結(jié)合CE共用，推出△CBE≌△CDE，得到∠CBE= ∠CDE=，判斷①正確；
過D作DM⊥AC于M，根據(jù)AD＝CD＝，∠ADC=，得到∠ADM=∠CDM=∠ADC=，AM=CM=DM=AC，推出AC=AD=2，得到AM＝DM＝，∠EDM=∠CDM-∠CDE=，推出ME＝DM＝×＝1，得到AE＝+1，判定②正確；
結(jié)果CM=DM＝，EM＝1，推出CE＝CM﹣EM＝﹣1，得到S△DEC＝×（﹣1）×＝，判定③錯誤；
在EF上取一點G，使EG＝EC，連接CG，根據(jù)BC＝CF，得到∠CBE＝∠F=∠CDE＝，根據(jù)∠CEG＝∠CBE+∠BCE=推出△CEG是等邊三角形，得到∠CGE＝，CE＝GC，推出∠GCF＝∠CGE-∠F=，得到∠ECD＝GCF，根據(jù)CD=CE，推出△DEC≌△FGC，得到DE＝GF，根據(jù)EF＝EG+GF，推出EF＝CE+DE，判定④正確．
【詳解】①∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝．
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE＝，故①正確；
②過D作DM⊥AC于M，
∵AD=CD，
∴∠ADM=∠CDM=∠ADC=，AM=CM=AC，
∵∠ADC=，
∴DM=AC，
∴∠EDM=∠CDM-∠CDE=，
∵AD＝CD＝，
∴AC=AD=2，
∴AM＝DM＝，
∴ME＝DM＝×＝1，
∴AE＝+1，故②正確；
③∵CM=DM＝，EM＝1，
∴CE＝CM﹣EM＝﹣1，
∴S△DEC＝×（﹣1）×＝，故③錯誤；
④在EF上取一點G，使EG＝EC，連接CG，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝．
∴∠CEG＝．
∴△CEG是等邊三角形．
∴∠CGE＝，CE＝GC，
∴∠GCF＝∠CGE-∠F=，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+DE，故④正確．
故正確的是①②④．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握這些判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
20．如圖，在矩形中，為的中點，過點且分別交于交于，點是的中點，且，OE=1，則下列結(jié)論：①；②；③四邊形為菱形；④．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
答案：B
分析：根據(jù)條件，OG是直角△AOE斜邊上的中線，且△FOC△EOA，設(shè)BC=a，AC=2a，AO=OC=a，然后在直角三角形ABC，直角三角形AOE中利用勾股定理求出AB、AE等的長再逐一進行判斷即可得．
【詳解】解：∵EF⊥AC，G是AE的中點，
∴AG=OG=GE，
∴∠OAE=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=AC=OC，
設(shè)BC=a，AC=2a，AO=OC=a，
∴，
在直角△AOE中，∠EAO=30°，
∴AE=2OE，
∴，即
∴OE=，AE=，
∴OG=，
∴CD=AB=3OG，故①正確；
OG=≠a=BC，故②錯誤；
連接AF、CE，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴ABCD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△FOC與△EOA中，
，
∴△FOC△EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形，故③正確；
∵=，=a?a=a2，
∴=，故④正確，
綜上所述，結(jié)論正確的是①③④，
故選：B．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及菱形的判定的性質(zhì)，正確理解圖形中∠CAB=30°，從而確定BC、AB以及OA、OC之間的關(guān)系是關(guān)鍵．
21．已知、是兩個連續(xù)自然數(shù)，且，設(shè)，則下列對的表述中正確的是（ ）
A．總是偶數(shù)B．總是奇數(shù)
C．總是無理數(shù)D．有時是有理數(shù)，有時是無理數(shù)
答案：B
分析：由題意可知，，，代入，根據(jù)非負數(shù)的算術(shù)平方根求解即可．
【詳解】由題意可知，，，
而,
則，
由于是自然數(shù)，所以是奇數(shù)，
故選B
【點睛】本題考查了一個非負數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)題意將，代入是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，在邊長為 2 的等邊三角形 ABC 中，分別以點 A，C 為圓心，m 為半徑作弧，兩弧交于點 D，連接 BD，CD．若 BD 的長為，則 CD 的最大值為( )
A．2B．C．D．
答案：B
分析：如圖，由題意知，是的垂直平分線，交于，在上，，，，由，可知，，分別在和中，用勾股定理求解與的值，比較后取最大值即可．
【詳解】解：如圖，由題意知，是的垂直平分線，交于，在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴的最大值為，
故選B．
【點睛】本題考查了垂直平分線，等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
23．如圖，菱形ABCD的周長為24，∠ABD＝30°，Q是BC的中點，則PC+ PQ的最小值是（ ）
A．6B．3C．3D．6
答案：B
分析：連接AQ， AC，AP，由菱形的對稱軸可知， ，從而當點 、 、 三點共線時，PC+ PQ最小，根據(jù)題意可得△ABC是等邊三角形，然后在Rt△ABQ中，由勾股定理，求出 即可．
【詳解】解：如圖，連接AQ， AC，AP，
由菱形的對稱軸可知， ，
∴，
即當點 、 、 三點共線時，PC+ PQ最小，
∵∠ABD＝30°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵點Q為BC的中點，
∴AQ⊥BC，
∵菱形ABCD的周長為24，
∴AB＝BC＝6，
∵Q是BC的中點，
∴ ，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：
，
即PC+ PQ的最小值是 ．
故選：B
【點睛】本題主要考查了軸對稱——最短路線問題，菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，當點 、 、 三點共線時，PC+ PQ最小是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點E、P，連接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，則下列結(jié)論：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正確的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案：A
分析：①先根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)得：∠BAE＝∠BEA，則AB＝BE＝2，由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，即可得到E為BC中點，再根據(jù)中位線定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根據(jù)勾股定理計算OC，OD的長，即可求BD的長；③根據(jù)大角對大邊進行計算求解即可得到答案；④過點P分別作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E為BC的中點
∴OE為△ABC的中位線
∴OE=AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正確
Rt△EOC中，OC＝，
在Rt△OCD中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正確
在Rt△AOE中，∵AE是斜邊
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞∠ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正確
過點P分別作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN（角平分線的性質(zhì)）
∴
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴
∴
∴
∴
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AO=OC=，
∴
∴④正確
綜上，正確的個數(shù)是4個
故選：A．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，大角對大邊等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵，并熟練掌握同高三角形面積的關(guān)系．
第II卷（非選擇題）
請點擊修改第II卷的文字說明
二、填空題
25．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為___．
答案：2
分析：連接DN、DB，先根據(jù)勾股定理求出BD，再根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝DN，要使EF長度最大則需DN長度最大，然后結(jié)合圖形解答即可．
【詳解】解：連接DN、DB，如圖所示，
在中，∠A＝90°，AB＝，AD＝2，
∴，
∵點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，
∴EF是△DMN的中位線，
∴EF＝DN，
由題意得，當點N與點B重合時DN最大，最大值為4，
∴EF長度的最大值為2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的中位線，熟練掌握勾股定理及中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，正方形ABCO和正方形DEFO的頂點A、E、O在同一直線l上，且，，給出下列結(jié)論：①，②，③△COF的面積，④，其中正確的是______．
答案：①③##③①
分析：由正方形的性質(zhì)得出△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，得出OE＝EF＝4，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，①正確，求出AE＝OA+OE＝6+4＝10，②錯誤；作FG⊥CO交CO延長線于G，連接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，則OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝8，得出S△COF＝×6×2＝6，③正確；由勾股定理得出CF＝2，BD＝4，CF≠BD，④不正確；即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵正方形ABCO和正方形DEFO的頂點A，E，O在同一直線l上，且EF＝2，AB＝6，
∴△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，
∴，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，
∴ OE＝EF＝4，
故①正確，
∴AE＝OA+OE＝6+4＝10，
故②錯誤；
作FG⊥CO交CO延長線于G，連接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，如圖所示：
則∠ FMO＝∠MOG＝∠ G＝90°，∠AHD＝∠OAH＝∠DMO＝90°，
∴四邊形MFGO是矩形，四邊形AHDM是矩形，
∵∠MOF＝45°，
∴△MOF是等腰直角三角形，
∴MO＝MF，
∴四邊形MFGO是正方形，
∴OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝6+2＝8，
∴S△COF＝×CO×FG＝6，
故③正確；
∵CG＝OC+OG＝6+2＝8，
∴CF＝，
∵BH＝AB﹣AH＝4，
∴BD＝，
∴CF≠BD，
故④錯誤；
故答案為：①③．
【點睛】此題考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．如圖，在邊長為的菱形中，，是邊的中點，是邊上一動點，將沿所在的直線翻折得到，連接，則長度的最小值是______．
答案：##
分析：根據(jù)題意，在的運動過程中在以為圓心、為直徑的圓上的弧上運動，當取最小值時，由兩點之間線段最短知此時、、三點共線，得出的位置，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出的長即可．
【詳解】解：如圖所示：過點作，交的延長線于點，

是定值，長度取最小值時，
在上時，
在邊長為的菱形中，，為中點，
，，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了翻折變換，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，找到當點在上，的長度最小是本題的關(guān)鍵．
28．如圖，分別以RtABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊ACD和ABE，F(xiàn)為AB的中點，連接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，則以下4個結(jié)論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF＝BE；④S四邊形BCDE＝1：7，中正確的是_____．
答案：①②④
分析：由平行四邊形的判定定理判斷②，再由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)判斷①，然后由三角形的三邊關(guān)系判斷③，最后由等邊三角形的性質(zhì)分別求出△ACD、△ACB、△ABE的面積，計算即可判斷④．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∵△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，AC=CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F為AB的中點，
∴BF=AB，
∴BF∥CD，BF=CD，
∴四邊形BCDF是平行四邊形，故②正確；
∴DF∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥DF，故①正確；
∵DA=CA，DF=BC，AB=BE，BC+AC>AB，
∴DA+DF>BE，故③錯誤；
設(shè)AC=x，則AB=2x，
∴，
∴，故④正確；
故答案為：①②④．
【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，正確理解等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，在長方形中，，，、分別是、的中點，則到的距離是______．
答案：
分析：作于，此時EG即為則E到DF的距離，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理進行解答即可．
【詳解】四邊形是矩形，
，，，
、分別是、的中點，
，，
，
的面積矩形的面積的面積的面積的面積
，
作于，如圖所示：
則的面積，
，
即到的距離是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了點到直線的距離問題，運用了矩形的性質(zhì)和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．
30．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點．若，則__________．
答案：20
分析：由垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，從而求解.
【詳解】∵四邊形ABCD是垂美四邊形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案為：20.
【點睛】本題主要考查四邊形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運用勾股定理.
31．如圖，矩形的對角線，交于點，，，過點作，交于點，過點作，垂足為．則的值為______．
答案：
分析：依據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到的面積為12，再根，即可到的值．
【詳解】解：∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面積為48，
，
∴AO=DO==5，
∵對角線AC，BD交于點O，
∴，
∵ ，，
∴ ，即12=，
∴12 ，
∴，
∴
故答案：．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解題時注意：矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等且互相平分．
32．如圖，在中，，，E，F(xiàn)分別為CA，CB上的點，，M，N分別為AF，BE的中點，若，則MN＝______．
答案：
分析：取AB的中點D，連接MD、ND，如圖，先判斷DM為△ABF的中位線，DN為△ABE的中位線得到DM=BF=2，DM∥BF，DN=AE=2，再證明AE⊥BF，則DM⊥DN，然后根據(jù)△DMN為等腰直角三角形確定MN的長．
【詳解】解：取AB的中點D，連接MD、ND，如圖，AE=1，
∵CA=CB，CE=CF，
∴BF=AE=1，
∵點M、N分別為AF、BE的中點，
∴DM為△ABF的中位線，DN為△ABE的中位線，
∴DM=BF=，DM∥BF，DN=AE=，DN∥AE，
∵AE⊥BF，
∴DM⊥DN，
∴△DMN為等腰直角三角形，
∴MN=DM=．
故答案為．
【點睛】本題考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．
33．如圖，正方形中，為上一動點（不含、，連接交于，過作交于，過作于，連接，．下列結(jié)論：①；②；③平分；④，正確的是__（填序號）．
答案：①②④
分析：連接，延長交于點．可證，進而可得，由此可得出；再由，即可得出；連接交于點，則，證明，即可得出，進而可得；過點作于點，交于點，由于是動點，的長度不確定，而是定值，即可得出不一定平分．
【詳解】解：如圖，連接，延長交于點．
∵為正方形的對角線
∴，
在和中
∴
∴，
∵， ，
∴
∵，
∴
∴
∴
故①正確；
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
故②正確；
連接交于點，則
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
故④正確．
過點作于點，交于點，是動點
∵的長度不確定，而是定值
∴不一定等于
不一定平分
故③錯誤；
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)，合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
34．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點P為BC邊上一動點，以P為直角頂點，AP為直角邊作等腰Rt△APE，M為邊AE的中點，當點P從點B運動到點C，則點M運動的路徑長為______．
答案：
分析：連接AC，BD相交于點O，連接EC，過點E作ET⊥BC交BC的延長線于T．根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)可確定AB=PT，PB=ET，根據(jù)線段的和差關(guān)系和等邊對等角確定∠TCE=45°，根據(jù)平行線的判定定理可確定，根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形的中位線定理可確定，進而可確定點M的運動軌跡是OD，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OD的長度．
【詳解】解：如下圖所示，連接AC，BD相交于點O，連接EC，過點E作ET⊥BC交BC的延長線于T．
∵△APE是等腰直角三角形，
．
∴∠APB+∠TPE=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，ET⊥BC，
∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．
∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．
∴∠BAP=∠TPE．
．
．
∵四邊形ABCD是正方形，
．
．
∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．
．
∴∠TEC=∠TCE=45°．
∵正方形ABCD中，AC，BD相交于點O，
∴O是AC的中點，∠DBC=45°．
∴∠DBC=∠TCE．
．
∵M是AE的中點，
∴OM是△ACE的中位線．
∴．
∴點M在直線OD上．
∵點P在BC邊上移動，
∴點M的運動軌跡是OD．
∵正方形ABCD的邊長是6，且AC，BD相交于點O，
∴AB=6，AD=6，O是BD的中點．
∴．
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的判定定理，勾股定理，正確確定點M的運動軌跡是解題關(guān)鍵．
35．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度伸長為的倍，得到線段；又將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，長度伸長為的倍，得到線段；如此下去，得到線段，，，為正整數(shù)，則點的坐標是______ ．
答案：
分析：根據(jù)題意得出，，，如此下去，得到線段，，，再利用旋轉(zhuǎn)角度得出點的坐標與點的坐標在同一直線上，進而得出答案．
【詳解】解：點的坐標為，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度伸長為的倍，得到線段；
，，
，如此下去，得到線段，，
，
由題意可得出線段每旋轉(zhuǎn)次旋轉(zhuǎn)一周，
，
點的坐標與點的坐標在同一直線上，正好在軸的負半軸上，
點的坐標是．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了點的變化規(guī)律，根據(jù)題意得出點的坐標與點的坐標在同一直線上是解題關(guān)鍵．
36．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E為BC上兩點，若∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，則的值_______．
答案：
分析：先由AB＝AC，∠BAC＝90°，得∠B＝∠ACB＝45°，將△ABD繞點A逆時針90°，得到△ACF，連接EF，則AF＝AD，CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，再證明△FAE≌△DAE，得∠AEF＝∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝75°，則∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEF＝30°，而∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，所以EF＝2CF，由勾股定理得CECF，則．
【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝45°，∠ADE＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝75°，
將△ABD繞點A逆時針90°，得到△ACF，連接EF，則AF＝AD，CF＝BD，∠CAF＝∠BAD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AED＝75°，
∴∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEF＝30°，
∴EF＝2CF，
∴CECF，
∴，
∴的值為，
故答案為：．
【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
37．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點E是邊BC的中點，連接AE，若將△ABE沿AE翻折，點B落在點F處，連接FC，則CF＝________．
答案：####3.6
分析：連接BF，由四邊形ABCD是矩形，得BC＝AD＝6，∠ABE＝90°，而E是邊BC的中點，則EB＝ECBC＝3，所以AE5，由折疊得AF＝AB＝4，EF＝EB，EF＝EB＝EC，可證明∠BFC＝∠EFB＋∠EFC＝90°，由S△AFE＝S△ABE4×3＝6得S四邊形ABEF＝12，則5BF＝12，得BF，再根據(jù)勾股定理求出CF的長即可．
【詳解】解：如圖，連接BF，∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠ABE＝90°，
∵E是邊BC的中點，
∴EB＝ECBC＝3，
∴AE5，
由折疊得AF＝AB＝4，EF＝EB，
∴EF＝EB＝EC，
∴∠EFB＝∠EBF，∠EFC＝∠ECF，
∴2∠EFB+2∠EFC＝180°，
∴∠BFC＝∠EFB＋∠EFC＝90°，
∵S△AFE＝S△ABE4×3＝6，
∴S四邊形ABEF＝6＋6＝12，
∵AE垂直平分BF，
∴S四邊形ABEFAE?BF＝12，
∴5BF＝12，
∴BF，
∴CF，
故答案為：．
【點睛】此題考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、根據(jù)面積等式列方程求線段長度等知識與方法，證明∠BFC＝90°是解題的關(guān)鍵．
38．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，DE平分∠ADC，點P在DE上，則AP+PB的最小值是 _____．
答案：
分析：延長至，使，則，，即的最小值是．
【詳解】解：延長至，使，
則，
平分，
，
，
，
，
即的最小值是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了軸對稱最小值問題，解題的關(guān)鍵是熟練運用軸對稱的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)．
39．已知，如圖：一張矩形紙片，，，為邊上一動點，將矩形沿折疊，要使點落在上，則折痕的長度是________；若點落在上，則折痕與的位置關(guān)系是__________.若翻折后點的對應(yīng)點是點，連接，則在點運動的過程中，的最小值是______.
答案： 垂直 4
分析：由折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出四邊形是正方形，然后利用勾股定理即可求BE的長度；由折疊的性質(zhì)即可得出若點落在上，則折痕與的位置關(guān)系；分析得出當在BD上時，的長度最小，然后利用即可求解．
【詳解】如圖，
由折疊的性質(zhì)可知， ，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴ ，
∴四邊形是正方形，
，
；
若點落在上，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，BE垂直平分，所以折痕與的位置關(guān)系是垂直；
如圖，當在BD上時，的長度最小，
，
．
，
，
∴的最小值是4．
故答案為：，垂直，4．
【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
40．如圖，把一個矩形剪成①②③④四個部分能夠重新拼成一個正方形，已知，則的長為__________．
答案：10
分析：根據(jù)圖形可得，，，可證明，得出AE＝4，繼續(xù)證明到四邊形EGCF是平行四邊形，得到EF＝CG，由正方形得，即可得到．
【詳解】
解：如圖，由矩形ABCD得：，，，，，
由正方形得：，，
∴，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
即，
∴AE＝4，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形EGCF是平行四邊形，
∴EF＝CG，
由正方形得，
∴，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了圖形的剪拼、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點，理清圖形變化前后的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
41．如圖，在正方形ABCD中，點E在BC上，點F在CD上，連接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，則正方形的邊長為__________．
答案：6
分析：延長CB至點G，使BG＝DF，并連接AG，證明△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF，設(shè)正方形邊長為x，在Rt△CEF中應(yīng)用勾股定理進行求解．
【詳解】如圖，延長CB至點G，使BG＝DF，并連接AG，
在△ABG和△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°，
∴∠EAF＝∠GAE，
在△AEG和△AEF中，，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴GE＝EF，
設(shè)正方形邊長為x，則BG＝DF＝x－4，GE＝EF＝x－1，CE＝x－3，
在Rt△CEF中，，
解得，，
∴正方形的邊長為6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，巧作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
42．我們把聯(lián)結(jié)四邊形對邊中點的線段稱為“中對線”． 凸四邊形的對角線 ，且這兩條對角線的夾角為60°，那么該四邊形較長的“中對線”的長度為_________．
答案：
分析：根據(jù)三角形中位線定理可得菱形EFGH，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得EH，利用勾股定理求出EN，可得EG．
【詳解】解：如圖，設(shè)兩條對角線AC、BD的夾角為60°，
取四邊的中點并連接起來，設(shè)AC與EH交于M，HF與EG交于N，
∴EH是三角形ABD的中位線，
∴EH=BD=2，EH∥BD，
同理，F(xiàn)G=BD=2，F(xiàn)G∥BD，EF=AC=2，EF∥AC，HG=AC=2，HG∥AC，
∴EH∥HG∥AC，EF=FG=HG=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵EH=BD=2，EH∥BD，
∴∠AOB=60°=∠AME，
∵FE∥AC，
∴∠FEH=∠AME=60°，
∴∠HEN=∠FEN=30°，
∴HN=EH=1，
∴EN==，
∴EG=，
∴較長的“中對線”長度為．
故答案為：．
【點睛】此題考查的是三角形的中位線定理，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握其定理是解決此題關(guān)鍵．
43．小兵在學習了勾股定理的趙爽弦圖后，嘗試用小正方形做類似的圖形，經(jīng)過嘗試后，得到如圖：長方形ABCD內(nèi)部嵌入了6個全等的正方形，其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，則小正方形的邊長為 _____．
答案：
分析：如圖，作出輔助線，每個小正方形都分為四個全等的直角三角形和一個正方形，假設(shè)小直角三角形長邊直角邊長為b，短邊直角邊長為a，找出等量關(guān)系，列二元一次方程組解出a、b，再由勾股定理算出原圖中的小正方形邊長．
【詳解】解：如圖，作輔助線，發(fā)現(xiàn)每個小正方形都分為四個全等的直角三角形和一個正方形，假設(shè)小直角三角形長邊直角邊長為b，短邊直角邊長為a，由題意，得
，
解得：，
小正方形的邊長為：a2 + b2，
故答案為：．
【點睛】此題考查了用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到等量關(guān)系求解．
44．如圖，△ABC中，點E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點D，BD＝9，AC＝11.5，則邊BC的長為 _____．
答案：3
分析：延長BD到F，使得DF＝BD，連接CF，過點C作CH∥AB，BF于點H，則△BCF是等腰三角形，得出BC＝CF，再證明HF＝CH，EH＝CE，AC＝BH，求出DH、CH的長，最后由勾股定理求出CD的長與BC的長即可．
【詳解】解：延長BD到F，使得DF＝BD，連接CF，如圖所示：
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
過點C作CH∥AB，交BF于點H，
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝CH，
∵EB＝EA，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵CH∥AB，
∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，
∴∠CHE＝∠ECH，
∴EH＝CE，
∵EA＝EB，
∴AC＝BH，
∵BD＝9，AC＝11.5，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝11.5﹣9＝ ，
∴HF＝CH＝DF﹣DH＝BD﹣DF＝9﹣2.5＝ ，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
在Rt△BCD中，由勾股定理得： ，
故答案為：．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能夠在圖中添加適合的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．
45．如圖，正方形，是對角線上一動點，，且，連接，，，若，則長度的最小值為______．
答案：2
分析：過C作于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)易得，進而得到，，易得到是等腰直角三角形，進而求出，當E運動到時，CE最小，最小值即為CE的長度，此時EF最小值為，求出即可求解．
【詳解】解：過C作于點，如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴當CE最小時，EF最小，
∴當E運動到時，CE最小，最小值即為CE的長度，此時EF最小值為．
∵，，
∴，
∴EF最小值為．
故答案為：2．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求出是解答關(guān)鍵．
46．如圖，在平面直角坐標系中，點，點是x軸上的一個動點．
（1）用含x的式子表示線段的長是_____；
（2）結(jié)合圖形，判斷式子的最小值是____．
答案： 5
分析：（1）直接根據(jù)坐標系中兩點之間的距離公式計算即可；
（2）根據(jù)題意得出求PA+PB的最小值，作點B關(guān)于x軸的對稱點B’，連接AB’與x軸交于點P’，此時PA+PB取得最小值，利用坐標系中兩點之間的距離公式求解即可得出結(jié)果．
【詳解】解：（1），
故答案為：；
（2）由題意可得：，即為求PA+PB的最小值，
作點B關(guān)于x軸的對稱點B’，連接AB’與x軸交于點P’，此時PA+PB取得最小值，如圖所示：
PA+PB=AB’=，
即的最小值為5，
故答案為：5．
【點睛】題目主要考查距離最短問題、坐標系中兩點之間的距離及軸對稱的性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)圖形求解是解題關(guān)鍵．
47．已知A，C兩點坐標分別為和，平行四邊形ABCD的一個內(nèi)角為45°，點B在軸上，則點D的坐標為__________．
答案：(-3，2)#(-5，2)
分析：本題分兩種情況討論，過點C作CE⊥x軸于點E，在直角△BCE中，∠CBE＝45°，根據(jù)三角函數(shù)得到BE＝2，AE＝5，求得CD的長即可．
【詳解】解：過點C作CE⊥x軸于點E，
∵A，C兩點坐標分別為和，
∴，，
分兩種情況進行討論：
①如圖1，當∠DAB＝45°時：
∴∠CBE＝45°，
∵CE＝2，
∴BE＝CEtan45°＝2，
∴，
∴點D的坐標為(2-5，2)，即(-3，2)；
②如圖2，當∠CBA＝45°時：
∵CE＝2，
∴BE＝CEtan45°＝2，
∴，
∴點D的坐標為(2-7，2)，即(-5，2)；
∴由①②可知點D的坐標為：(-3，2)或(-5，2)．
故答案為：(-3，2)或(-5，2)
【點睛】本題結(jié)合平面直角坐標系考查了平行四邊形的性質(zhì)，分兩種情況進行討論是正確解決本題的關(guān)鍵．
48．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是（﹣2，1），點C的縱坐標是4，點B的橫坐標為，則矩形AOBC的面積為___．
答案：
分析：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸交x軸于點H，過點A作AF∥x軸，交點為F，則AF⊥CF，延長CA交x軸于點G，得矩形ADHF，證明△AFC≌△OEB，根據(jù)矩形AOBC的面積＝AO?AC即可求出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸交x軸于點H，過點A作AF∥x軸，交點為F，則AF⊥CF，延長CA交x軸于點G，
∴HF＝AD，AF＝HD，
∵點A的坐標是（﹣2，1），點C的縱坐標是4，點B的橫坐標為，
∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝，
∴OA＝＝，
∵四邊形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB （AAS），
∴CF＝BE，AF＝OE＝，
∵HF＝AD＝1，HC＝4，
∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3，
∴AC＝＝，
∴矩形AOBC的面積＝AO?AC＝＝ ．
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．
49．如圖，在中，，，，點為上任意一點，連接，以，為鄰邊作，連接，則的最小值為______．
答案：
分析：由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，EF最短也就是EO最短，故應(yīng)該過O作BC的垂線OD，所以點E與點D重合時，OE長度最小．
【詳解】解：如圖，在中，，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，
當最短也就是最短，則過作的垂線，垂足為，
在中，，，
．
點與點重合時，長度最小，此時．
．
故答案是：．
【點睛】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短是解題的關(guān)鍵．
50．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD?DC＝2，則AC＝_____．
答案：＋1
分析：作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BE＝CE．再利用勾股定理得到AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，將兩式相減整理得出AB2＝AD2＋BD?DC，進而求出AC．
【詳解】解：如圖，作AE⊥BC于E，
又∵AB＝AC，
∴BE＝CE．
根據(jù)勾股定理得，AB2＝AE2＋BE2，AD2＝AE2＋DE2，
兩式相減得，AB2﹣AD2＝（AE2＋BE2）﹣（AE2＋DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE＋DE）（BE﹣DE）＝BD?DC，
∴AB2＝AD2＋BD?DC＝22＋2＝4＋2，
∴AC＝AB＝＝＋1.
故答案為：＋1.
【點睛】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．也考查了等腰三角形的性質(zhì)，準確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

人教版八年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練期末難點特訓(xùn)(一)選填壓軸50道(原卷版+解析)：

這是一份人教版八年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練期末難點特訓(xùn)(一)選填壓軸50道(原卷版+解析)，共76頁。試卷主要包含了某組數(shù)據(jù)方差計算公式為，下列命題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

期末難點特訓(xùn)（三）選填壓軸50道-【微專題】2022-2023學年九年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練（人教版）：

這是一份期末難點特訓(xùn)（三）選填壓軸50道-【微專題】2022-2023學年九年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練（人教版），文件包含期末難點特訓(xùn)三選填壓軸50道原卷版docx、期末難點特訓(xùn)三選填壓軸50道解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共86頁， 歡迎下載使用。

人教版七年級數(shù)學下冊常考提分精練期末難點特訓(xùn)(一)選填壓軸50道(原卷版+解析)：

這是一份人教版七年級數(shù)學下冊?？继岱志毱谀╇y點特訓(xùn)(一)選填壓軸50道(原卷版+解析)，共48頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

期末難點特訓(xùn)（一）選填壓軸50道-【微專題】2022-2023學年八年級數(shù)學下冊常考點微專題提分精練（蘇科版）

期末難點特訓(xùn)（一）選填壓軸50道-【微專題】2022-2023學年八年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練（蘇科版）
蘇科版八年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練難點特訓(xùn)(四)選填壓軸50道(原卷版+解析)

蘇科版八年級數(shù)學下冊常考點微專題提分精練難點特訓(xùn)(四)選填壓軸50道(原卷版+解析)
期末難點特訓(xùn)（三）選填壓軸50道-【微專題】2022-2023學年九年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練（人教版）

期末難點特訓(xùn)（三）選填壓軸50道-【微專題】2022-2023學年九年級數(shù)學下冊常考點微專題提分精練（人教版）
人教版七年級數(shù)學上冊?？继岱志?期末難點特訓(xùn)（三）選填壓軸題50道（原卷版+解析版）

人教版七年級數(shù)學上冊?？继岱志?期末難點特訓(xùn)（三）選填壓軸題50道（原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部