1．已知一次函數(shù)y1=k1x+b1和y2=k2x+b2圖象如圖所示，直線y1與直線y2交于A點（0，3），直線y1、y2分別與x軸交于B、C兩點．
(1)求函數(shù) y1、y2的解析式．
(2)求△ABC的面積．
(3)已知點P在x軸上，且滿足△ACP是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．
2．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸和y軸分別交于點和點B，正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點．
(1)求直線AB的解析式；
(2)求OD的長；
(3)設P是x軸上一動點，若使是等腰三角形，請直接寫出符合條件的點P的坐標．
3．如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點C、B，與直線相交于點A．
(1)求A點坐標；
(2)在直線上是否存在點Q，使的面積等于6？若存在，請求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由．
(3)如果在y軸上存在一點P，使得為等腰三角形，求P點的坐標．
4．如圖直線與軸、軸分別交于點、，與直線交于點．
(1)求點的坐標；
(2)如果在軸上存在一點，使是以為底邊的等腰三角形，則點的坐標是________；
(3)點在線段上，使的面積等于6，求點的坐標．
5．如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（4，0）和點D（2，1.5），與y軸交于點B，將△AOB沿直線CD對折，使點A與點B重合，直線CD與x軸交于點C，與AB交于點D．
(1)求一次函數(shù)解析式；
(2)求DC的長；
(3)點P是x軸上一動點，若△PAB是等腰三角形，直接寫出點P的坐標．
6．已知一次函數(shù)和圖像如圖所示，直線與直線交于點，直線、分別與軸交于、兩點．
(1)求函數(shù)、的解析式．
(2)求的面積．
(3)已知點在軸上，且滿足是等腰三角形，請直接寫出點的坐標．
7．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于點A，點B．
(1)求點A和點B的坐標；
(2)若點P在x軸上，且，求點P的坐標．
(3)在y軸是否存在點M，使三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出點M坐標，若不存在，請說明理由．
8．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸交于點，與正比例的函數(shù)的圖象交于點C．
(1)求一次函數(shù)的解析式及點C的坐標；
(2)請結(jié)合圖象直接寫出不等式組的解集；
(3)在x軸上是否存在一點P，使是等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
9．如圖，把矩形放入平面直角坐標系中，使、分別落在x、y軸的正半軸上，對角線所在直線解析式為，將矩形沿著折疊，使點A落在邊上的點D處．
(1)求點E的坐標；
(2)在y軸上是否存在點P，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
10．如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點A，，點在軸上（不與原點重合），并且使以點A，，為頂點的三角形是等腰三角形，則的坐標為______ ．
二、解答題(共0分)
11．如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，點C，過點A作軸，垂足為點A，過點C作軸，垂足為點C，兩條垂線相交于點B．
(1)填空：線段的長為___________；
(2)折疊圖1中的，使點A與點C重合，再將折疊后的圖形展開，折痕 交于點D，交于點E，連接，如圖2．
①求線段的長___________．
②在y軸上，是否存在點P，使得為以為腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的所有點Р的坐標；若不存在，請說明理由．
12．已知四邊形OABC是邊長為4的正方形，分別以OA、OC所在的直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系，直線l經(jīng)過A、C兩點．
(1)求直線l的函數(shù)表達式；
(2)若P是直線l上的一個動點，請直接寫出當△OPA是等腰三角形時點P的坐標；
(3)如圖2，若點D是OC的中點，E是直線l上的一個動點，求使OE+DE取得最小值時點E的坐標．
13．一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，并與直線相交于點，與軸相交于點，其中點的橫坐標為．
(1)求點的坐標和，的值；
(2)點為直線上一動點，當點運動到何位置時，的面積等于？請求出點的坐標；
(3)在軸上是否存在點，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
14．如圖，直線交x軸和y軸于點A和點C，點B的坐標為，作出直線.
(1)求點A的坐標，并求出直線的解析式；
(2)在x軸上是否存在一點M，使是以為腰的等腰三角形，若存在請求出點M的坐標；若不存在請說明理由；
(3)點P為線段上一動點,當時，求點P的坐標．
15．如圖1，平面直角坐標系中，一次函數(shù)圖象分別交x軸、y軸于點A、B，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，并與x軸交于點C，點P是直線上的一個動點．
(1)求點A、點B的坐標；
(2)如圖2，過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q，垂足為點H．試探究直線上是否存在點P，使？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
(3)試探究x軸上是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．
16．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸分別交于點A（6，0）和B（0，2），動點C在x軸上運動（不與點O、點A重合），連接BC．
(1)若點C為（3，0），則△ABC的面積為 ；
(2)若點C（x，0）在線段OA上運動（不與點O、點A重合），求△ABC面積y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)在x軸上是否存在點C，使△ABC為等腰三角形？若存在請直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
17．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，），B（3，0），點P是直線AB上一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，連接OP．
(1)求直線AB的解析式，并直接寫出∠ABO的度數(shù)；
(2)若△OBP是以OB為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的點P的坐標；
(3)求OP＋PM的最小值．
18．如圖，在平面直角坐標xOy中，已知直線y＝﹣2x+2與x軸交于點B，與y軸交于點A，直線l過原點，與AB交于點C，△OBC的面積為．
(1)求A、B兩點的坐標．
(2)求直線l的解析式．
(3)若直線l上有一動點P（不與O重合），連接AP，PQ⊥AP，交x軸于點Q，當△AOP為等腰三角形時，求點Q的坐標．
19．如圖所示，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，直線與x軸交于點C，與y軸交于點D．
(1)直接寫出點B、C的坐標：
(2)點是直線圖象上一點，設的面積為S，請求出S關于x的函數(shù)關系式；并探究當點M運動到什么位置時（求出M點坐標即可），的面積為10，并說明理由．
(3)線段CD上是否存在點P，使為等腰三角形，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
專題27 一次函數(shù)與等腰三角形結(jié)合
1．已知一次函數(shù)y1=k1x+b1和y2=k2x+b2圖象如圖所示，直線y1與直線y2交于A點（0，3），直線y1、y2分別與x軸交于B、C兩點．
(1)求函數(shù) y1、y2的解析式．
(2)求△ABC的面積．
(3)已知點P在x軸上，且滿足△ACP是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．
答案：(1)，
(2)3
(3)或或或
分析：（1）把點的坐標代入函數(shù)解析式即可得到函數(shù)y1和y2的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)三角形的面積公式計算即可得△ABC的面積；
（3）根據(jù)勾股定理得到，分類討論：①當時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到P1（?3，0）；②當AC＝CP＝時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到P2，③當AP＝PC＝3時，P在AC的垂直平分線上，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：把A（0，3），C（3，0）代入y2＝k2x＋b2得，
解得：，
故函數(shù)y2的函數(shù)關系式y(tǒng)2＝?x＋3；
把A（0，3），B（1，0）代入y1＝k1x＋b1得，
解得：，
故y1的函數(shù)關系式為：y1＝?3x＋3．
（2）解：，
．
（3）解：∵OA＝OC＝3，
∴，
①當時，，
∴P1（?3，0）；
②當時，，
∴P2；
③當時，P在AC的垂直平分線上，
∴P與O重合，
∴P3（0，0），
④當時，，
∴P4；
綜上所述：P點坐標為：或或或．
【點睛】本題考查了兩直線相交的問題，三角形的面積，求交點坐標，待定系數(shù)法求解析式，認真審題，弄清題意是解題的關鍵．解第（3）問時需要進行分類討論．
2．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸和y軸分別交于點和點B，正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點．
(1)求直線AB的解析式；
(2)求OD的長；
(3)設P是x軸上一動點，若使是等腰三角形，請直接寫出符合條件的點P的坐標．
答案：(1)
(2)
(3)，或或或
分析：（1）由解析式求得的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）過點作軸于點，利用勾股定理即可求解；
（3）根據(jù)軸上點的坐標特點設出點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式解答即可．
【詳解】（1）∵點在正比例函數(shù)的圖象上
∴
∴
依題意得：
解得：
∴直線AB的解析式為：
（2）過點D作軸于點C．
則，
依勾股定理得：
∴
（3）在中，令，解得，
，
，
設點坐標為，
當時，，
，解得，
點的坐標為，；
當時，，
，解得或，
點的坐標為或；
當時，，
，解得（與點重合，舍去）或，
點的坐標為；
綜上，點坐標為，或或或．
【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理及兩點間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，在解（3）時要注意分類討論，不要漏解．
3．如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點C、B，與直線相交于點A．
(1)求A點坐標；
(2)在直線上是否存在點Q，使的面積等于6？若存在，請求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由．
(3)如果在y軸上存在一點P，使得為等腰三角形，求P點的坐標．
答案：(1)(2,3)
(2)存在，Q點坐標為：、
(3)存在，P點坐標為：、、、
分析：（1）聯(lián)立兩直線的解析式，解二元一次方程組即可求解；
（2）先求出B、C兩點的坐標，進而求出，，分類討論：當Q點在射線AB上時，有：，根據(jù)，可得，此時Q點坐標可求；當Q點在射線AC上時，有：，根據(jù)，可得，此時Q點坐標可求；
（3）利用勾股定理求出OA，在分類討論：當OA=OP時，可得，即此時P點坐標可求；當AO=AP時， ，根據(jù)A點坐標為：(2,3)，可得，進而可得，即此時P點坐標可求；當AP=OP時，即有，根據(jù)勾股定理可得，，則有，即此時P點坐標可求．
(1)
聯(lián)立，解得：，
即A點坐標為：(2,3)；
(2)
存在，
∵直線與坐標軸的交點C、B，
∴當x=0時，y=7，即B點作標為(0,7)，
當y=0時，x=，即C點坐標為(,0)，
∴OB=7，OC=，
∵A點坐標為：(2,3)，
∴，，
當Q點在射線AB上時，如圖，
有：
∵，，
∴，解得，
∴根據(jù)Q點在直線，可得，
即此時Q點坐標為：，
當Q點在射線AC上時，如圖，
有：，
∵，，
∴，解得，
∴根據(jù)Q點在直線，可得，
即此時Q點坐標為：，
綜上：Q點坐標為：、；
(3)
存在，
∵A點坐標為：(2,3)，
∴，
分類討論：
當OA=OP時，△OAP是等腰三角形，
即，
∵P點在y軸上，
∴，
∴，
即此時P點坐標為：、；
當AO=AP時，△OAP是等腰三角形，
即，
∵A點坐標為：(2,3)，
∴，
∵P點在y軸上，
∴，
∴解得：，（舍去），
即此時P點坐標為：；
當AP=OP時，△OAP是等腰三角形，
∵AP=OP，
∴，
∵P點在y軸上，
∴，，
∴，
解得：，
此時P點坐標為：．
綜上所述：P點坐標為：、、、．
【點睛】本題考查了求解兩直線交點坐標、已知坐標系中三角形面積求點坐標、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，利用勾股定理求出坐標系兩點之間的距離是解答本題的關鍵．解答本題要注重分類討論的思想．
4．如圖直線與軸、軸分別交于點、，與直線交于點．
(1)求點的坐標；
(2)如果在軸上存在一點，使是以為底邊的等腰三角形，則點的坐標是________；
(3)點在線段上，使的面積等于6，求點的坐標．
答案：(1)A；
(2)；
(3)Q，
分析：（1）聯(lián)立方程組，即可求得；
（2）設點坐標是，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）作軸于點，則，根據(jù)列出關于的方程解方程求得即可．
（1）
聯(lián)立方程組得：，
解得：，
點坐標是；
（2）
設點坐標是，
是以為底邊的等腰三角形，
，
，
解得，
點坐標是，
故答案為：；
（3）
直線與軸、軸分別交于點、，
，，，
，
設點的坐標是，
作軸于點，如圖，
則，
，
，即，
，
把代入，得，
的坐標是，．
【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了交點的求法，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的求法等，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關鍵．
5．如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（4，0）和點D（2，1.5），與y軸交于點B，將△AOB沿直線CD對折，使點A與點B重合，直線CD與x軸交于點C，與AB交于點D．
(1)求一次函數(shù)解析式；
(2)求DC的長；
(3)點P是x軸上一動點，若△PAB是等腰三角形，直接寫出點P的坐標．
答案：(1)y= x+3
(2)DC的長為
(3)P點坐標為（，0）或（?1，0）或（9，0）或（?4，0）．
分析：（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設點C的坐標為（c，0），可得OC＝c，BC＝AC＝4?c，在Rt△BOC中，用勾股定理列方程求出c的值，再用兩點間距離公式求解即可；
（3）求出AB＝5，然后分PA＝PB，PA＝AB和PB＝AB三種情形分別求解即可解決問題．
【詳解】（1）解：設一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b，
∵點A（4，0），D（2，1.5）在一次函數(shù)圖象上，
∴，解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（2）由（1）知，一次函數(shù)的解析式為，
令x＝0，則y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
由折疊知，BC＝AC，
設點C的坐標為（c，0），
∴OC＝c，BC＝AC＝4?c，
在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得，，
∴，
∴c＝，
∴C（，0），
∵D（2，1.5），
∴DC＝；
（3）∵A（4，0），B（0，3），
∴AB＝，
當PA＝PB時，點P與點C重合，此時P（，0）；
當PA＝AB＝5時，∵A（4，0），
∴P（?1，0）或（9，0）；
當PB＝AB時，可得PO＝AO＝4，
∴P（?4，0），
綜上所述，若△PAB是等腰三角形，P點坐標為（，0）或（?1，0）或（9，0）或（?4，0）．
【點睛】此題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理，翻折的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
6．已知一次函數(shù)和圖像如圖所示，直線與直線交于點，直線、分別與軸交于、兩點．
(1)求函數(shù)、的解析式．
(2)求的面積．
(3)已知點在軸上，且滿足是等腰三角形，請直接寫出點的坐標．
答案：(1)，
(2)3
(3)點坐標為：或，或或，
分析：（1）把點的坐標代入函數(shù)解析式即可得到函數(shù)和的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)三角形的面積公式計算即可的面積；
（3）根據(jù)勾股定理得到，分類討論：①當時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，②當時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，或，．③當時，在的垂直平分線上，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（1）
由圖象得：，，
把，代入得
解得：．
故函數(shù)的函數(shù)關系式，
把，代入得，
解得：．
故的函數(shù)關系式為：；
（2）
；
（3）
，
，
①當時，
，
；
②當時，
或，
，或，；
③當時，在的垂直平分線上，
，
與重合，
，
綜上所述：點坐標為：或，或或，．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了兩直線相交的問題，三角形的面積，求交點坐標，待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，認真審題，弄清題意是解題的關鍵．解第（3）問時需要進行分類討論．
7．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于點A，點B．
(1)求點A和點B的坐標；
(2)若點P在x軸上，且，求點P的坐標．
(3)在y軸是否存在點M，使三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出點M坐標，若不存在，請說明理由．
答案：(1)A ;B
(2)或
(3)存在, M坐標為和
分析：（1）分別代入y＝0，x＝0，求出與之對應的x，y值，進而可得出點A，B的坐標；
（2）設點P的坐標為，由三角形的面積公式結(jié)合，可得出，進而可得出點P的坐標；
（3）由OA，OB的長可求出AB的長，分AB＝AM，BA＝BM，MA＝MB三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出點M的坐標．
(1)
∵當時，，解得：，
∴點A的坐標為；
∵當時，，
∴點B的坐標為．
(2)
設點P的坐標為，
∵，
∴
∴，
∴點P的坐標為或．
(3)
∵OB＝4，OA＝2，
∴AB＝．
分三種情況考慮（如圖所示）：
①當AB＝AM時，OM＝OB＝4，
∴點M1的坐標為（0，?4）；
②當BA＝BM時，BM＝2，
∴點M2的坐標為（0，4＋2），點M3的坐標為（0，4?2）；
③當MA＝MB時，設OM＝a，則BM＝AM＝4?a，
∴AM2＝OM2＋OA2，即（4?a）2＝a2＋22，
∴a＝，
∴點M4的坐標為（0，）．
綜上所述：在y軸上存在點M，使三角形MAB是等腰三角形，點M坐標為和（0，）．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出點A，B的坐標；（2）利用兩三角形面積間的關系，找出OP的長；（3）分AB＝AM，BA＝BM，MA＝MB三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)求出點M的坐標．
8．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸交于點，與正比例的函數(shù)的圖象交于點C．
(1)求一次函數(shù)的解析式及點C的坐標；
(2)請結(jié)合圖象直接寫出不等式組的解集；
(3)在x軸上是否存在一點P，使是等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
答案：(1)一次函數(shù)的解析式為，點C的坐標
(2)
(3)存在，P點的坐標為或或或
分析：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）由圖象即可求解；
（3）分①②②三種情況解答即可．
【詳解】（1）∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸交于點，
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為，
∵與函數(shù)的圖象交于點C，
∴，
∴，
當時，，
∴點C的坐標；
（2）由圖象得：即一次函數(shù)的圖象在正比例的函數(shù)的圖象的下方，并在x軸的上方，
∵一次函數(shù)的解析式為，C點的坐標，點，
∴不等式組的解集為；
（3）設，
∵，，
∴，
，
，
要使是等腰三角形，
①當OC＝PC時，
∴，
，
解得或，
當時與O點重合（舍去），
∴，
∴；
②當時，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
③當時，
∴，
∴，
解得，
∴．
綜上所述，存在，P點的坐標為或或或．
【點睛】本次是一次函數(shù)的綜合題，考查一次函數(shù)的性質(zhì)、利用圖象求不等式組的解集，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等是解題的關鍵．
9．如圖，把矩形放入平面直角坐標系中，使、分別落在x、y軸的正半軸上，對角線所在直線解析式為，將矩形沿著折疊，使點A落在邊上的點D處．
(1)求點E的坐標；
(2)在y軸上是否存在點P，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
答案：(1)；
(2)點P的坐標為或或或．
分析：（1）由直線解析式求出點A，C的坐標，設，則由折疊的性質(zhì)可知，求出，，在中，由勾股定理得：，即，解得，即；
（2）為等腰三角形，分情況討論：①當時，②當時，③當時，分別建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵對角線所在直線解析式為，
∴令，得，令，得，
∴，，，
設，則由折疊的性質(zhì)可知，
在中，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，解得，
∴；
（2）解：設，
∵，，
∴，，，
∵為等腰三角形，
∴分情況討論：
①當時，即，解得：或，
∴或；
②當時，即，解得：，
∴，
③當時，即，解得：或（于點D重合，故舍去），
∴，
綜合以上可得，點P的坐標為或或或．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合，掌握一次函數(shù)及其應用，等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．
10．如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點A，，點在軸上（不與原點重合），并且使以點A，，為頂點的三角形是等腰三角形，則的坐標為______ ．
答案：、或
分析：根據(jù)題意，可以求得點A和點的坐標，再根據(jù)勾股定理，可以得到的長，然后利用分類討論的方法可以求得點的坐標．
【詳解】解：一次函數(shù)，
當時，，當時，，
點A的坐標為，點的坐標為，
，，
，
當點在點上方時，此時，
點的坐標為；
當點在點的下方時，此時，
點的坐標為；
當時，點在軸的負半軸上時，此時點的坐標為；
由上可得，點的坐標為、或，
故答案為：、或．
【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
二、解答題(共0分)
11．如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，點C，過點A作軸，垂足為點A，過點C作軸，垂足為點C，兩條垂線相交于點B．
(1)填空：線段的長為___________；
(2)折疊圖1中的，使點A與點C重合，再將折疊后的圖形展開，折痕 交于點D，交于點E，連接，如圖2．
①求線段的長___________．
②在y軸上，是否存在點P，使得為以為腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的所有點Р的坐標；若不存在，請說明理由．
答案：(1)
(2)①線段的長為5；②或或
分析：（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A，C的坐標，利用矩形的性質(zhì)及勾股定理，可得出的長；
（2）①設，則，在中，利用勾股定理可求出a的值，進而可得出線段的長；
②設點P的坐標為，利用兩點間的距離公式可求出 的值，分及二種情況，可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，進而可得出點P的坐標．
【詳解】（1）當時，，
∴點C的坐標為；
當時，，解得：，
∴點A的坐標為．
由已知可得：四邊形為矩形，
∴．
故答案為： ．
（2）①設，則．
在中，，即，
解得：，
∴線段的長為5．
②存在，設點P的坐標為．
∵點A的坐標為，點D的坐標為，
∴ ．
當時，，
解得：，
∴點P的坐標為或；
當AP＝DP時，
解得：，
∴點P的坐標為．
綜上所述：在y軸上存在點P，使得為以為腰的等腰三角形，點P的坐標為或或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、兩點間的距離以及解解一元一次方程，解題的關鍵是：（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點的坐標；（2）①通過解直角三角形，求出的長；②分及二種情況，找出關于t的一元一次方程．
12．已知四邊形OABC是邊長為4的正方形，分別以OA、OC所在的直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系，直線l經(jīng)過A、C兩點．
(1)求直線l的函數(shù)表達式；
(2)若P是直線l上的一個動點，請直接寫出當△OPA是等腰三角形時點P的坐標；
(3)如圖2，若點D是OC的中點，E是直線l上的一個動點，求使OE+DE取得最小值時點E的坐標．
答案：(1)
(2)P點坐標為（0，4）或（2，2）或或
(3)
分析：（1）由題意易得A，C兩點坐標，設出一次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）設出點坐標，分別表示出，，的長，然后根據(jù)等腰三角形兩腰相等分三種情況列方程求解即可；
（3）由題意可知點O與點B關于直線l對稱，連接BD，與l的交點即為點E，求出DB的解析式與l的解析式聯(lián)立可得E的坐標．
【詳解】（1）解：設直線l的函數(shù)表達式為，將A（4，0）和C（0，4）代入得，
解得，
∴直線l的函數(shù)表達式；
（2）解：設點坐標為，則，，，
①當，則，解得，（舍去），
∴點坐標為；
②當，則，解得，，
∴點坐標為或；
③當，則，解得，
∴點坐標為；
綜上所述，點坐標為或或或；
（3）解：由題意知O與B關于直線l對稱，如圖連接DB，交AC于點E，則點E為所求，此時OE+DE取得最小值，
設DB所在直線為，將點D（0，2）、B（4，4）代入得，
解得 ，
∴直線DB為，
聯(lián)立方程組：，
解得，
∴點E的坐標為．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用；解題的關鍵在于對等腰三角形腰的不同情況的討論，考查了學生對一次函數(shù)與幾何圖形的綜合運用的能力，要求學生能對平面圖形中的最短距離求解時巧妙地運用線段之間的轉(zhuǎn)化．
13．一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，并與直線相交于點，與軸相交于點，其中點的橫坐標為．
(1)求點的坐標和，的值；
(2)點為直線上一動點，當點運動到何位置時，的面積等于？請求出點的坐標；
(3)在軸上是否存在點，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
答案：(1)，
(2)或；
(3)存在，P的坐標為或或或
分析：（1）一次函數(shù)的圖像與相交于點，點的橫坐標為，則點，將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式，即可求解；
（2）設點，則的面積：，進行計算即可；
（3）設點，根據(jù)題意得，，，分情況討論：①當時，②當時，，③當時，，分別求解即可．
【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖像與相交于點，點的橫坐標為．
則點B的縱坐標為： ，
即點B的坐標為：，
將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式中，
，
解得：，；
（2）解：設點，
則的面積：，
解得：或，
即點或；
（3）解：設點，
∵點A、的坐標分別為：、，
∴，，，
①當時，
解得：或；
②當時，，
（舍去）或；
③當時，，
解得：；
綜上點的坐標為：或或或 ．
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關鍵是理解題意，掌握這些知識點．
14．如圖，直線交x軸和y軸于點A和點C，點B的坐標為，作出直線.
(1)求點A的坐標，并求出直線的解析式；
(2)在x軸上是否存在一點M，使是以為腰的等腰三角形，若存在請求出點M的坐標；若不存在請說明理由；
(3)點P為線段上一動點,當時，求點P的坐標．
答案：(1)點，；
(2)存在，，
(3)P
分析：（1）先根據(jù)直線可得點，點，然后運用待定系數(shù)法求得直線的解析式的解析式即可；
（2）設點M的坐標為，由勾股定理可求得的長，然后再分和兩種情況解答即可；
（3）如圖，當點P在線段上時，設與交于點H，再證可得，進而得到點H坐標；然后用待定系數(shù)法求得直線解析式，最后與直線聯(lián)立即可解答．
【詳解】（1）解：∵直線交x軸和y軸于點A和點C
∴點，點，
設直線的解析式為，
由題意可得：， 解得：，
∴直線的解析式為．
（2）解：設點M的坐標為
在中
由勾股定理得
當時，，解得：
∴
當時，由于軸
∴
∴
綜上：在x軸上存在點M，使是以為腰的等腰三角形，．
（3）解：如圖，當點P在線段上時，設與交于點H，
在和中，
，
∴，
∴，
∴點H坐標為，
設直線解析式，
由題意可得，解得：，
∴直線解析式為，
聯(lián)立方程組得：，解得：，
∴點P．
【點睛】本題屬于一次函數(shù)與幾何的綜合題，主要考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直線的交點等知識點，靈活運用相關知識點成為解答本題的關鍵．
15．如圖1，平面直角坐標系中，一次函數(shù)圖象分別交x軸、y軸于點A、B，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，并與x軸交于點C，點P是直線上的一個動點．
(1)求點A、點B的坐標；
(2)如圖2，過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q，垂足為點H．試探究直線上是否存在點P，使？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
(3)試探究x軸上是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．
答案：(1)
(2)存在，或
(3)存在，M點坐標為或或或
分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點在坐標軸上的特點，求出A、B點坐標即可；
（2）先確定直線的解析式，再設P，則，根據(jù)題意得到求出t的值即可求點P的坐標；
（3）設M，分別求出根據(jù)等腰三角形的邊的關系，分三種情況討論即可求解．
【詳解】（1）解：（1）令則
令則
（2）存在點P，使理由如下：
將代入可得
令則
設P，則
解得或
或
（3）存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形，理由如下：
設
∴
當時，，
解得或（舍），
當時，
解得或，
∴或；
當時，
解得，
∴；
綜上所述：M點坐標為或或或．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．
16．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸分別交于點A（6，0）和B（0，2），動點C在x軸上運動（不與點O、點A重合），連接BC．
(1)若點C為（3，0），則△ABC的面積為 ；
(2)若點C（x，0）在線段OA上運動（不與點O、點A重合），求△ABC面積y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)在x軸上是否存在點C，使△ABC為等腰三角形？若存在請直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
答案：(1)3
(2)y=-x+6(0＜x＜6)；
(3)存在，點C的坐標為：（-6，0）或（6+4，0）或（6-4，0）或（2，0）．
分析：（1）由點A（6，0）和B（0，2），點C為（3，0），即可求得AC與OB的長，繼而可求得△ABC的面積；
（2）由點C（x，0）在線段OA上運動（不與點0、點A重合），即可求得AC=6-x，OB=2，繼而求得△ABC面積y關于x的函數(shù)解析式，寫出自變量x的取值范圍；
（3）分別從AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可求得答案．
（1）
解：∵A（6，0）和B（0，2），C（3，0），
∴AC=6-3=3，OB=2，
∴=AC?OB=×3×2=3；
故答案為：3；
（2）
解：∵AC=6-x，OB=2，
∴=AC?OB=×（6-x）×2=-x+6；
∵點C（x，0）在線段OA上運動（不與點O、點A重合），
∴自變量x的取值范圍為：0＜x＜6；
∴y=-x+6(0＜x＜6)；
（3）
解：如圖，
①當AB=BC時，
∵OB⊥x軸，
∴OA=OC，
∴點的坐標為：（-6，0）；
②當AB=AC時，
∵AB=，
點（6+4，0），點（6-4，0）；
③當AC=BC時，
設點（x，0），
則6-x=，
解得：x=2，
∴點的坐標為：（2，0）；
綜上可得：點C的坐標為：（-6，0）或（6+4，0）或（6-4，0）或（2，0）．
【點睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．
17．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，），B（3，0），點P是直線AB上一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，連接OP．
(1)求直線AB的解析式，并直接寫出∠ABO的度數(shù)；
(2)若△OBP是以OB為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的點P的坐標；
(3)求OP＋PM的最小值．
答案：(1)y＝－x＋，∠ABO＝30°
(2)所有滿足條件的點P的坐標為（3＋，－）或（3－，）或（－，）
(3)OP＋PM的最小值為
分析：（1）根據(jù)A、B兩點的坐標求出OA、OB，利用勾股定理求得AB，可求得，設AB直線為，代入A、B兩點坐標，即可求解；
（2）分OB=OP，OB=PB兩種情況，利用等要三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）作點M關于AB的對稱點，設點的軌跡為，由對稱可得，則，可得直線與x軸的夾角為，可得當時，OP＋PM的最小，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴，
設AB直線為，將A、B兩點代入可得：
，解得，即；
（2）解：當OB=OP時，如圖，過點P作x軸的垂線，垂足為M，
∵OB=3，，
∴OB=OP=3，，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
當OB=PB時，如圖，過點P作x軸的垂線，垂足為M，
則OB=PB=3，設，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點P的坐標為；
同理可得點的坐標為；
綜上，，，；
（3）解：作點M關于AB的對稱點，如圖
設點的軌跡為，
由對稱可得，，
則，即直線與x軸的夾角為，，
∴當時，OP＋PM的最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
18．如圖，在平面直角坐標xOy中，已知直線y＝﹣2x+2與x軸交于點B，與y軸交于點A，直線l過原點，與AB交于點C，△OBC的面積為．
(1)求A、B兩點的坐標．
(2)求直線l的解析式．
(3)若直線l上有一動點P（不與O重合），連接AP，PQ⊥AP，交x軸于點Q，當△AOP為等腰三角形時，求點Q的坐標．
答案：(1)點A、B的坐標分別為（0，2）、（1，0）
(2)y＝x
(3)點Q的坐標為（2，0）或（0，0）或（2﹣2，0）或（﹣2﹣2，0）
分析：（1）對于y＝﹣2x+2，令y＝﹣2x+2＝0，則x＝1，令x＝0，則y＝2，即可求解；
（2）由△OBC的面積＝＝，解得，將點C的縱坐標代入y＝﹣2x+2得，＝﹣2x+2，解得x＝，故點C（，），即可求解；
（3）證明△PMQ≌△PNA（AAS），求出點Q（2m﹣2，0），利用△AOP為等腰三角形求出m的值，即可求解．
【詳解】（1）對于y＝﹣2x+2，令y＝﹣2x+2＝0，則x＝1，
令x＝0，則y＝2，
故點A、B的坐標分別為（0，2）、（1，0）；
（2）∵△OBC的面積＝＝＝，解得，
將點C的縱坐標代入y＝﹣2x+2得，＝﹣2x+2，解得x＝，
故點C（，），
設直線l的表達式為y＝kx，將點C的坐標代入上式并解得k＝1，
故直線l的表達式為y＝x；
（3）設點P（m，m），過點O作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，
∵PQ⊥AP，則∠APQ＝90°，
∴∠QPM+∠MPA＝90°，
∵∠MPA+∠NPA＝90°，
∴∠MPQ＝∠NPA，
在△PMQ和△PNA中，
，
∴△PMQ≌△PNA（AAS），
則MQ＝AN＝m﹣2，則OQ＝m+m﹣2＝2m﹣2，
故點Q（2m﹣2，0），
在△AOP中，點A、P、O的坐標分別為（0，2）、（m，m）、（0，0），
則 ，
當AP＝AO時，則，解得m＝0（舍去）或2；
當AP＝OP時，同理可得m＝1；
當AO＝PO時，同理可得m＝±，
故m＝2或或1，
故點Q的坐標為（2，0）或（0，0）或（2﹣2，0）或（﹣2﹣2，0）．
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
19．如圖所示，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，直線與x軸交于點C，與y軸交于點D．
(1)直接寫出點B、C的坐標：
(2)點是直線圖象上一點，設的面積為S，請求出S關于x的函數(shù)關系式；并探究當點M運動到什么位置時（求出M點坐標即可），的面積為10，并說明理由．
(3)線段CD上是否存在點P，使為等腰三角形，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
答案：(1)，；
(2)；或；
(3)存在，或，或，．
分析：（1）在，中，分別令，即可求點、的坐標；
（2）由，可求；再令，即可求點的坐標；
（3）設，則，，，分三種情況討論：①當時，；②當時，，；③當時，，．
（1）
解：在中，令，則，
，
在中，令，則，
；
（2）
解：點是直線圖象上一點，
，
；
當時，，
解得或，
或；
（3）
解：存在點，使為等腰三角形，理由如下：
設，
，根據(jù)兩點距離公式可得：，，
①當時，，
解得（舍或，
；
②當時，，
解得（舍或，
，；
③當時，，
解得，
，；
綜上所述：點坐標為或，或，．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．

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