1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線PA是一次函數(shù)的圖象，直線PB是一次函數(shù)的圖象，點P是兩直線的交點，點A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標軸的交點．若四邊形PQOB的面積是5.5，且，若存在一點D，使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為________．
2．已知：在平面直角坐標系中，點A（1，0），點B（4，0），點C在y軸正半軸上，且OB=2OC．
（1）試確定直線BC的解析式；
（2）在平面內(nèi)確定點M，使得以點M、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標．
3．已知直線：y1=x+m與直線：y2=2x+n相交于點A（2，3）．
(1)求m，n的值；
(2)請在所給坐標系中畫出直線和，并根據(jù)圖像回答：當滿足____時，．
(3)設交軸于點B，交y軸于點C，若點D與點A，B，C能構成平行四邊形，則點D的坐標為_____．
4．如圖，已知函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點、，與函數(shù)的圖象交于點，點的坐標為．
（1）直接寫出和的值：______，______．
（2）在軸上有一動點（其中），過點作軸的垂線，分別交函數(shù)和的圖象于點、．
①若，求的值；
②是否存在這樣的點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
5．如圖，直線l1：y＝x+3與過點A（3，0）的直線l2交于點C（1，m），與x軸交于點B．
（1）求直線l2對應的函數(shù)解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）請你找到圖象中直線l1在直線l2上方的部分，直接寫出此時自變量x的取值范圍；
（4）在坐標平面內(nèi)是否存在點P，使以點A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
6．已知點A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及點D是一個平行四邊形的四個頂點，則線段CD的長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在同一平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線與直線交于點P．
(1)求P點的坐標．
(2)設直線與直線在第一象限內(nèi)的圖象為G，若直線與圖象G只有兩個交點，請寫出m的取值范圍．
(3)在平面內(nèi)是否存在一點Q，使得以點O，A，B，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在請直接寫出Q點的坐標，若不存在請說明理由．
第II卷（非選擇題）
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二、填空題(共0分)
8．如圖，的兩直角邊、分別在軸和軸上，，，將繞點順時針旋轉得到，直線、交于點．點為直線上的動點，點為軸上的點，若以，，，四點為頂點的四邊形是平行四邊，則符合條件的點的坐標為______．
9．在平面直角坐標系中，已知，，，D是平面內(nèi)的一點，以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則的最小值是___________．
三、解答題(共0分)
10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與交于點A，兩直線與x軸分別交于點B和點C，D是直線AC上的一動點，E是直線AB上的一動點．若以E，D，O，A為頂點的四邊形恰好為平行四邊形，則點E的坐標為________．
11．如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B．點C為OB的中點，點D在線段OA上，，點E為線段AB上一動點，連接CD、CE、DE．
(1)求線段CD的長；
(2)若的面積為4，求點E的坐標；
(3)在（2）的條件下，點P在y軸上，點Q在直線CD上，是否存在以D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．若存在，直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由．
12．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+5與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的另一直線交x軸正半軸于C，且△ABC面積為15．
（1）求點C的坐標及直線BC的表達式；
（2）若M為線段BC上一點，且△ABM的面積等于△AOB的面積，求M的坐標；
（3）在（2）的條件下，點E為直線AM上一動點，在x軸上是否存在點D，使以點D、E、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
13．如圖，直線 y＝－2x＋4分別與 y 軸、x 軸交于點 A、點 B，點 C 的坐標為(－2，0)，D 為線段 AB上一動點，連接 CD 交 y 軸于點 E．
（1）求出點 A、點 B 的坐標；
（2）若，求點 D 的坐標；
（3）在（2）的條件下，點 N 在 x 軸上，直線 AB 上是否存在點 M，使以 M，N，D，E 為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出 M 點的坐標;若不存在，請說明理由．
14．定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A（a，b），B（c，d），若點T（x，y）滿足x＝，y＝，那么稱點T是點A，B的三分點．
例如：A（﹣1，5），B（7，7），當點T（x，y）滿足x＝＝2，y＝＝4時，則點T（2，4）是點A，B的三分點．
（1）已知點C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），請說明其中一個點是另外兩個點的三分點．
（2）如圖，點A為（3，0），點B（t，2t+3）是直線l上任意一點，點T（x，y）是點A，B的三分點．
①試確定y與x的關系式．
②若①中的函數(shù)圖象交y軸于點M，直線l交y軸于點N，當以M，N，B，T為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點B的坐標．
③若直線AT與線段MN有交點，直接寫出t的取值范圍．
專題29 一次函數(shù)與平行四邊形結合
1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線PA是一次函數(shù)的圖象，直線PB是一次函數(shù)的圖象，點P是兩直線的交點，點A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標軸的交點．若四邊形PQOB的面積是5.5，且，若存在一點D，使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為________．
答案：，或，或，
分析：已知直線解析式，令，求出的值，可求出點，的坐標．聯(lián)立方程組求出點的坐標；先根據(jù)得到、的關系，然后求出，并都用字母表示，根據(jù)，列式求出與的值，得出點的坐標；根據(jù)圖形以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，如圖所示，求出滿足題意，，的坐標．
【詳解】解：在直線中，令，得，
點，
在直線中，令，得，
點，，
由，得，
點，，
，
，
整理得，
，
，
由題意得：，
解得：，
，
，
，
，，，，，，
存在一點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，
過點作直線平行于軸，過點作的平行線交于點，過點作的平行線交于點，過點、分別作、的平行線交于點．
①且，
是平行四邊形．此時，由點的平移規(guī)律可知P點向右平移6個單位得到，；
②且，
是平行四邊形．此時，由點的平移規(guī)律可知P點向左平移6個單位得到，；
③且，此時是平行四邊形．由點的平移規(guī)律可知A點向右平移個單位，向下平移得到，．
故答案為，或，或，，
【點睛】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)圖象的交點，坐標與圖形性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和平面內(nèi)點的平移坐標變化規(guī)律是解本題的關鍵．
2．已知：在平面直角坐標系中，點A（1，0），點B（4，0），點C在y軸正半軸上，且OB=2OC．
（1）試確定直線BC的解析式；
（2）在平面內(nèi)確定點M，使得以點M、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標．
答案：（1）y=﹣x+2．（2）M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．
【詳解】試題分析：（1）易求B（4，0），C（0，2）．把它們的坐標分別代入直線BC的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），列出關于k、b的方程組，通過解該方程組即可求得它們的值；
（2）需要分類討論：以AB為邊的平行四邊形和以AB為對角線的平行四邊形．
試題解析：（1）∵B（4，0），∴OB=4，
又∵OB=2OC，C在y軸正半軸上，
∴C（0，2）．
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）．
∵過點B（4，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y=﹣x+2．
（2）如圖，①當BC為對角線時，易求M1（3，2）；
②當AC為對角線時，CM∥AB，且CM=AB．所以M2（﹣3，2）；
③當AB為對角線時，AC∥BM，且AC=BM．則|My|=OC=2，|Mx|=OB+OA=5，所以M3（5，﹣2）．
綜上所述，符合條件的點M的坐標是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．
考點：一次函數(shù)綜合題．
3．已知直線：y1=x+m與直線：y2=2x+n相交于點A（2，3）．
(1)求m，n的值；
(2)請在所給坐標系中畫出直線和，并根據(jù)圖像回答：當滿足____時，．
(3)設交軸于點B，交y軸于點C，若點D與點A，B，C能構成平行四邊形，則點D的坐標為_____．
答案：(1)m=，n=-1；
(2)函數(shù)圖象見解析，x>2；
(3)（0，4）或（4，2）或（-4，-4）
分析：（1）將點A（2，3）分別代入直線和的解析式中，即可求出m，n的值；
（2）由（1）可得函數(shù)解析式，然后可以畫出函數(shù)圖象，觀察圖象可得x的取值范圍；
（3）求出點B、C的坐標，然后分BC是邊和BC是對角線兩種情況，分別作出平行四邊形，即可得到點D位置．
【詳解】（1）解：將點A（2，3）分別代入，中，
得：，，
∴m＝，n＝?1；
（2）∵m＝，n＝?1，
∴，，
畫出兩直線如圖，
由函數(shù)圖象得：當x＞2時．
故答案為：x＞2；
（3）當時，解得：，
∴B（－2，0），
在中，當x＝0時，y＝－1，
∴C（0，－1），
如圖，當BC是平行四邊形的邊時，
點D坐標為（0，4）或（4，2），
當BC是平行四邊形的對角線時，點D坐標為（?4，?4），
故答案為：（0，4）或（4，2）或（?4，?4）．
【點睛】本題考查待定系數(shù)法，畫一次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象的交點與不等式的關系，平行四邊形的判定等知識，解題關鍵是通過數(shù)形結合分類討論．
4．如圖，已知函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點、，與函數(shù)的圖象交于點，點的坐標為．
（1）直接寫出和的值：______，______．
（2）在軸上有一動點（其中），過點作軸的垂線，分別交函數(shù)和的圖象于點、．
①若，求的值；
②是否存在這樣的點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
答案：（1）3，2；（2）①；②存在，．
分析：（1）先根據(jù)函數(shù)求出點的坐標，再代入函數(shù)即可得；
（2）①先分別求出點的坐標，再根據(jù)可得的長，由此即可得；
②先由（2）①可得，再根據(jù)平行四邊形的判定可得，由此建立方程求出的值即可得．
【詳解】解：（1）由題意，將點代入函數(shù)得：，
則，
將點代入函數(shù)得：，解得，
故答案為：3，2；
（2）①由（1）可知，直線的解析式為，
當時，，即，
，
，
，且軸，
，
，
則，
解得；
②由（2）①已求：，
軸，軸，
，
要使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，則，
則，
解得，
則點的坐標為，
故存在這樣的點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的幾何應用、平行四邊形的判定等知識點，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關鍵．
5．如圖，直線l1：y＝x+3與過點A（3，0）的直線l2交于點C（1，m），與x軸交于點B．
（1）求直線l2對應的函數(shù)解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）請你找到圖象中直線l1在直線l2上方的部分，直接寫出此時自變量x的取值范圍；
（4）在坐標平面內(nèi)是否存在點P，使以點A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
答案：（1）y＝﹣2x+6；（2）12；（3）x＞1；（4）存在，（﹣1，﹣4）或（7，4）或（﹣5，4）．
分析：（1）求出C（1，4），用待定系數(shù)法即可得到直線l2對應的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+6；
（2）過點C作CD⊥x軸于點D，由解析式可得B（﹣3，0），故AB＝6，根據(jù)C（1，4），即得△ABC的面積為12；
（3）數(shù)形結合即得x＞1；
（4）設P（m，n），分三種情況：①以AB、CP為對角線，則AB的中點與CP的中點重合，，即得P（﹣1，﹣4）；②以AC、BP為對角線，同理可得：，故此時P（7，4）；③以AP、BC為對角線，同理可得：，從而P（﹣5，4）．
【詳解】解：（1）把x＝1代入y＝x+3，得y＝4，
∴C（1，4），
設直線l2對應的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
則由點C（1，4）、A（3，0）得：，
解得：，
∴直線l2對應的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+6；
（2）過點C作CD⊥x軸于點D，如圖：
當y＝0時，x+3＝0，解得 x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
又A（3，0），
∴AB＝6，
∵C（1，4），
∴CD＝4，
∴，
故△ABC的面積為12；
（3）由圖可得：直線l1在直線l2上方時，x＞1；
（4）存在，理由如下：
設P（m，n），而A（3，0），B（﹣3，0），C（1，4），以點A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：
①以AB、CP為對角線，則AB的中點與CP的中點重合，如圖：
∴，
解得，
∴P（﹣1，﹣4）；
②以AC、BP為對角線，如圖：
同理可得：，
解得：，
∴P（7，4）；
③以AP、BC為對角線，如圖：
同理可得：，
解得：，
∴P（﹣5，4）；
綜上所述：以點A、B、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，P的坐標為：（﹣1，﹣4）或（7，4）或（﹣5，4）．
【點睛】本題考查一次函數(shù)及綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、比較函數(shù)值大小、平行四邊形性質(zhì)及判定等知識，解題的關鍵是根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題．
6．已知點A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及點D是一個平行四邊形的四個頂點，則線段CD的長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根據(jù)題意可判定此題需分兩種情況討論，如果AB、CD為對角線，AB與CD交于點F，當FC⊥直線y＝2x時，CD最小，根據(jù)垂直及F點坐標可先求的直線FC的函數(shù)解析式，進而通過求得點C坐標來求CD；如果CD是平行四邊形的邊，則CD＝AB＝，對比兩種情況即可求得CD最小值.
【詳解】解：如圖，由題意點C在直線y＝2x上，
如果AB、CD為對角線，AB與CD交于點F，當FC⊥直線y＝2x時，CD最小，
易知直線AB為y＝x﹣4，
∵AF＝FB，
∴點F坐標為（2，﹣2），
∵CF⊥直線y＝2x，
設直線CF為y＝﹣x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1
∴直線CF為y＝﹣x﹣1，
由 解得，
∴點C坐標（，）．
∴CD＝2CF＝2×＝．
如果CD是平行四邊形的邊，則CD＝AB＝＞，
∴CD的最小值為．
故選B．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與平行四邊形的綜合題，解本題的關鍵是找到何時CD最短.
7．如圖，在同一平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線與直線交于點P．
(1)求P點的坐標．
(2)設直線與直線在第一象限內(nèi)的圖象為G，若直線與圖象G只有兩個交點，請寫出m的取值范圍．
(3)在平面內(nèi)是否存在一點Q，使得以點O，A，B，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在請直接寫出Q點的坐標，若不存在請說明理由．
答案：(1)點P的坐標為
(2)或．（且）
(3)存在，；；
分析：（1）聯(lián)立二元一次方程組求解即可；
（2）根據(jù)圖像判斷即可；
（3）如圖，分別過點A，B，O點作軸，軸，直線的平行線，交點分別為，則點即為所求作的點．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得
解得
∴點P的坐標為．
（2）解：如圖，把y=0代入得，，
解得，，
點A的坐標為（3，0），
由點P的坐標為，
或．（且）
（3）解：存在Q，使得以點O，A，B，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
如圖，分別過點A，B，O點作軸，軸，直線的平行線，交點分別為，則點即為所求作的點，
點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，3），
，，
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何的綜合題，一次函數(shù)的交點坐標，一次函數(shù)與坐標軸的交點，一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與不等式，正確理解一次函數(shù)的相關性質(zhì)是解本題的關鍵．
8．如圖，的兩直角邊、分別在軸和軸上，，，將繞點順時針旋轉得到，直線、交于點．點為直線上的動點，點為軸上的點，若以，，，四點為頂點的四邊形是平行四邊，則符合條件的點的坐標為______．
答案：（4，4）或（8，?4）．
分析：由A、B的坐標可求得AO和OB的長，由旋轉的性質(zhì)可求得OC、OD的長，由B、D坐標可求得直線BD解析式，當M點在x軸上方時，則有CM∥AN，則可求得M點縱坐標，代入直線BD解析式可求得M點坐標，當M點在x軸下方時，同理可求得M點縱坐標，則可求得M點坐標．
【詳解】解：∵，，
∴OA＝4，OB＝8，
∵將△OAB繞O點順時針旋轉90°得△OCD，
∴OC＝OA＝4，OD＝OB＝8，AB＝CD，
∵OD＝OB＝8，
∴D（8，0），且B（0，8），
∴直線BD解析式為y＝?x＋8，
當M點在x軸上方時，則有CM∥AN，即CM∥x軸，
∴M點到x軸的距離等于C點到x軸的距離，
∴M點的縱坐標為4，
在y＝?x＋8中，令y＝4可得x＝4，
∴M（4，4）；
當M點在x軸下方時，同理可得M點的縱坐標為?4，
在y＝?x＋4中，令y＝?4可求得x＝8，
∴M點的坐標為（8，?4）；
綜上可知M點的坐標為（4，4）或（8，?4），
故答案為：（4，4）或（8，?4）．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)、掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，進行分類討論，是解題的關鍵．
9．在平面直角坐標系中，已知，，，D是平面內(nèi)的一點，以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則的最小值是___________．
答案：.
分析：根據(jù)題意，點C在直線上，則可分為兩種情況進行討論：①當AB與CD是對角線時，②AB與CD是邊時；CD是對角線時CF⊥直線時，CD最?。瓹D是邊時，CD=AB=10，通過比較即可得出結論．
【詳解】解：根據(jù)題意，點在直線圖像上，
①當AB與CD是對角線時，AB與CD相交于點F，
則當CF⊥直線時，CD最??；如圖：
∵，，
由平行四邊形的性質(zhì)，點F為AB的中點，
∴點F為（-3,4），
∵CF⊥直線，
設CF的直線解析式為：，
把點F代入，得：，
解得：，
∴CF的直線解析式為：；
∴，解得：，
∴點C坐標為：，
∴，
∴；
②當AB與CD是邊時，如圖：
∴CD=AB=；
∵，
∴CD的最小值為：；
故答案為.
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，勾股定理，以及坐標與圖形，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).注意對CD邊進行分情況討論.
三、解答題(共0分)
10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與交于點A，兩直線與x軸分別交于點B和點C，D是直線AC上的一動點，E是直線AB上的一動點．若以E，D，O，A為頂點的四邊形恰好為平行四邊形，則點E的坐標為________．
答案：或
分析：當OEAC時，由相互平行的兩條直線的一次項系數(shù)相同，可得到直線OE的解析式，然后將OE和AB的解析式聯(lián)立，組成方程組從而可求得點E的坐標；當DEOA時，ODAB時，先求得OD的解析式，然后聯(lián)立OD、AC，求得點D的坐標，然后再求得DE的解析式，將DE和AB聯(lián)立，組成方程組可解得點E的坐標．
【詳解】解：①如圖1：當OEAD時，
∵OEAC，
所以直線OE的解析式為y=-2x，
聯(lián)立OE、AB，得
，解得，
即E1(-,)；
②如圖2：當DEOA時，ODAB時，
∵ODAB，
∴直線OD的解析式為y=x，
聯(lián)立OD、AC，得，
解得，
∴D(,)．
聯(lián)立AB、AC得
，
解得，
A(1，2)．
OA的解析式為y=2x，
∵DEOA，
∴設直線DE的解析式為y=2x+b，
將點D的坐標代入直線的解析式得：y=2x-，
聯(lián)立DE、AB得
，
解得，
E2(,)．
③當OA為對角線時，則OEAC，如圖1，
E(-,)
綜上所述：點E的坐標為(-,)或(,)．
故答案為：(-,)或(,)．
【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，掌握相互平行的兩條直線的一次項系數(shù)相同是解題的關系，解答本題主要應用了分類討論的思想．
11．如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B．點C為OB的中點，點D在線段OA上，，點E為線段AB上一動點，連接CD、CE、DE．
(1)求線段CD的長；
(2)若的面積為4，求點E的坐標；
(3)在（2）的條件下，點P在y軸上，點Q在直線CD上，是否存在以D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．若存在，直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由．
答案：(1)2；
(2)(4，2) ；
(3)點Q坐標為( 10，-)或(2，)或(-2，)；
分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式，可以求出OB與OA的長度，再根據(jù)OD=3A D和點C為OB的中點來確定OC與OD的長度，然后根據(jù)勾股定理可以計算出CD的長；
（2）根據(jù)△CDE的面積= △A BO的面積- △OCD的面積-△CBE的面積- △ADE的面積，求解即可；
（3）先求出直線CD的解析式，設點P (0， m)，點Q (n，-n+2)，分情況討論∶①以DE， PQ為對角線，②以DP， EQ為對角線，③以DQ， PE為對角線分別列二元一次方程組，求解即可．
（1）
解∶∵直線y=--x+4交x軸于點A，交y軸于點B，
∴點B(0，4)，
∴OB=4，
∵點C為OB的中點，
∴OC=2，
當y=0時， -x+4=0，
∴x=8，
∴A (8，0)，
∵OD=3AD，
∴OD=6，
根據(jù)勾股定理，得CD=2；
（2）
解：設點E(t，-t+4)，
∵OB=4， OA=8，
∴△ABO的面積=，
∵BC=2， AD=2，
∴△BCE的面積，△OCD的面積，△ADE的面積，
∴△CDE的面積=△A BO的面積-△BCE的面積-△OC D的面積- △ADE的面積，
∴，
解得t=4，
∴點E坐標為(4，2) ；
（3）
解：存在以D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，設直線CD的解析式： y=kx+b ( k≠0)，
將點C (0，2) ，點D (6，0)代入直線解析式得
，
解得 ，
∴直線CD的解析式為y=-x +2，
∴設點P (0， m)，點Q (n， -n+2)，
①當四邊形以DE， PQ為對角線時，
∵點D (6，0) ，E(4，2)，
∴，
解得n= 10，
∴點Q ( 10，-) ；
②當四邊形以DP， EQ為對角線，
∵點D (6，0) ，E(4，2)，
∴
解得n=2，
∴點Q (2，)，
③當四邊形以DQ， PE為對角線，
，
解得n=-2，
∴點Q ( -2，)
綜上，滿足條件的點Q坐標為( 10，-)或(2，)或(-2，)；
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法求解析式，圖象上點的坐標特征，三角形的面積，平行四邊形的判定等，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
12．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+5與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的另一直線交x軸正半軸于C，且△ABC面積為15．
（1）求點C的坐標及直線BC的表達式；
（2）若M為線段BC上一點，且△ABM的面積等于△AOB的面積，求M的坐標；
（3）在（2）的條件下，點E為直線AM上一動點，在x軸上是否存在點D，使以點D、E、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
答案：（1）C（4，0），y＝﹣x+5；（2）M；（3）存在，滿足條件的點D的坐標為（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．
分析：（1）先求出A、B的坐標，然后根據(jù)三角形的面積求出C，設直線BC的表達式為y＝kx+b，將B、C的坐標代入求解即可；
（2）根據(jù)S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝S△ABC﹣S△ABO求解即可；
（3）設直線AM的表達式為，，求出AM的解析式，然后分三種情況：①當BC為平行四邊形的邊，四邊形BCDE為平行四邊形時；②當BC為平行四邊形的邊，四邊形BDEC為平行四邊形時；③當BC為平行四邊形的對角線時，討論求解即可.
【詳解】解：（1）直線y＝x+5與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（﹣2，0），B（0，5），
即OA＝2，OB＝5，
∵△ABC面積為15，
∴（OA+OC）?OB＝15，
∴OC＝4，
∴C（4，0），
設直線BC的表達式為y＝kx+b，
將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式得：
解得：
∴直線BC的表達式為：y＝﹣x+5；
（2）∵S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝S△ABC﹣S△ABO＝15﹣×2×5＝10，
∴S△ACM＝×6×ym＝10，解得：ym＝，
∴
解得：xm＝，
∴M（，）；
（3）∵A（﹣2，0），M（，），
設直線AM的表達式為，
將點A、M的坐標代入一次函數(shù)表達式得：，
解得：
∴直線AM的表達式為：y＝x+2．
①當BC為平行四邊形的邊，四邊形BCDE為平行四邊形時，如圖：
∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴點E的縱坐標是5，
∵點E為直線AM上一動點，直線AM的表達式為：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（7，0）；
②當BC為平行四邊形的邊，四邊形BDEC為平行四邊形時，如圖：過點E作EF⊥x軸于F，
∵四邊形BDEC為平行四邊形，
∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC，
∴△BDC≌△ECD（SAS），
∴EF＝OB，
∵B（0，5），
∴EF＝OB＝5，
∴點E的縱坐標是﹣5，
∵點E為直線AM上一動點，直線AM的表達式為：y＝x+2．
∴x+2＝﹣5，解得：x＝﹣7，
∴OF＝7，
在Rt△BOC和Rt△EFD中，
∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL），
∴DF＝OC，
∵C（4，0），
∴DF＝4，
∴OD＝4+7＝11，
∴D（﹣11，0）；
③當BC為平行四邊形的對角線時，
∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴點E的縱坐標是5，
∵點E為直線AM上一動點，直線AM的表達式為：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（1，0）．
綜上，存在，滿足條件的點D的坐標為（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.
13．如圖，直線 y＝－2x＋4分別與 y 軸、x 軸交于點 A、點 B，點 C 的坐標為(－2，0)，D 為線段 AB上一動點，連接 CD 交 y 軸于點 E．
（1）求出點 A、點 B 的坐標；
（2）若，求點 D 的坐標；
（3）在（2）的條件下，點 N 在 x 軸上，直線 AB 上是否存在點 M，使以 M，N，D，E 為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出 M 點的坐標;若不存在，請說明理由．
答案：（1）A(0，4)，B(2，0) ；（2）D(1，2)；（3）存在，M( , )或 M( ,-)．
分析：(1)先令求出y的值，再令y=0求出x的值即可得出A、B兩點的坐標；
(2)根據(jù)題意得，利用三角形面積公式可求得=2，從而求得點D的坐標；
(3)利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，得到點E的坐標，分點N在線段OB上、點N在OB延長線上兩種情況討論，求得直線MN的解析式，利用求得兩直線交點的方法即可求得點M的坐標．
【詳解】(1)對于直線 y=-2x+4，
令，則，令，則，
∴A、B兩點的坐標分別為(0，4)、(2，0)；
(2)∵，
∴，
∴×4×yD=×4×2，
∴=2，
∴點D的坐標為(1，2)；
(3)設直線CD的解析式為，
把點C、D的坐標(-2，0)、(1，2)代入得：，
解得：，
∴直線CD的解析式為，
令，則，
∴點E的坐標為(0，)；
①當點N在線段OB上時，DENM為平行四邊形，如圖：
過E作EF∥OB交AB于點F，
∵點F在直線 y=-2x+4上，
∴點F的縱坐標與點E的縱坐標相等，
∴=-2x+4，
∴點F的坐標為(，)，
∵DENM為平行四邊形，
∴EN∥DM，EN=DM，DE=MN，MN∥CD，
∵EF∥OB，
∴四邊形EFBN也為平行四邊形，
∴BN=EF=，
∴ON=2-=，
∴點N的坐標為(，0)，
設直線MN的解析式為，
將點N的坐標為(，0)代入得：，
∴直線MN的解析式為，
解方程組得：，
∴點M的坐標為(，)；
②當點N在OB延長線上時，DENM為平行四邊形，如圖：
同理：BN=EF=，
∴ON=2+=，
∴點N的坐標為(，0)，
設直線MN的解析式為，
將點N的坐標為(，0)代入得：，
∴直線MN的解析式為，
解方程組得：，
∴點M的坐標為(，)；
綜上，點M的坐標為(，)或(，) ．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與平面圖形的性質(zhì)，涉及到的考點包括待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等，對解題能力要求較高．難點在于第(3)問，這是一個存在性問題，注意平行四邊形有兩種可能的情形，需要一一分析并求解，避免遺漏．
14．定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A（a，b），B（c，d），若點T（x，y）滿足x＝，y＝，那么稱點T是點A，B的三分點．
例如：A（﹣1，5），B（7，7），當點T（x，y）滿足x＝＝2，y＝＝4時，則點T（2，4）是點A，B的三分點．
（1）已知點C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），請說明其中一個點是另外兩個點的三分點．
（2）如圖，點A為（3，0），點B（t，2t+3）是直線l上任意一點，點T（x，y）是點A，B的三分點．
①試確定y與x的關系式．
②若①中的函數(shù)圖象交y軸于點M，直線l交y軸于點N，當以M，N，B，T為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點B的坐標．
③若直線AT與線段MN有交點，直接寫出t的取值范圍．
答案：（1）見解析；（2）①y＝2x﹣1；②點B的坐標（，6）或（﹣，）；③﹣3≤t≤1
分析：（1）由“三分點”的定義可求解；
（2）①由“三分點”定義可得：，消去t即可求解；
②先求出點M，點N的坐標，分兩種情況：MN為一邊或MN為對角線，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解；
（3）利用特殊位置，分別求出AT過點M和過點N時，t的值，即可求解．
【詳解】（1）∵，，
∴點D（1，2）是點C，點E的三分點；
（2）①∵點A為（3，0），點B（t，2t+3）是直線l上任意一點，點T（x，y）是點A，B的三分點，
∴，
∴y＝2x﹣1；
②∵y＝2x﹣1圖象交y軸于點M，直線l交y軸于點N，
∴點M（0，﹣1），點N（0，3），
當四邊形MTBN是平行四邊形時，
∴BT∥MN，
∵B（t，2t+3），T（，），
∴t＝，
∴t＝，
∴點B的坐標（，6）；
當四邊形MTNB是平行四邊形時，
設BT與MN交于點P，則點P為BT與MN的中點，
∴點P（0，1），
∵B（t，2t+3），T（，），
∴t+＝0，
∴t＝﹣，
∴點B（﹣，），
綜上所述：點B的坐標為（，6）或（﹣，）；
（3）當直線AT過點M時，
∵點A（3，0），點M（0，﹣1），
∴直線AM解析式為y＝x﹣1，
∵點T是直線AM上，
∴＝×﹣1
∴t＝﹣3，
當直線AT過點N時，
∵點A（3，0），點M（0，3），
∴直線AN解析式為y＝﹣x+3，
∵點T是直線AN上，
∴＝﹣+3，
∴t＝1，
∵直線AT與線段MN有交點，
∴﹣3≤t≤1．
【點睛】本題新定義考題，題目中給出一個新的概念，嚴格利用新的概念進行求解；但是，新定義問題實質(zhì)上是課程內(nèi)知識點的綜合應用，比如本題考查了消元法，平行四邊形的性質(zhì)和一次函數(shù)，本類題目一定要注意分類討論，利用合適條件確定邊界條件是解題的關鍵．

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