(1)判斷的形狀，并說明理由．
(2)求的面積．
2．如圖，長方形紙片，，將長方形紙片折疊，使點D與點B重合，點C落在點C'處，折痕為，
（1）求證：．
（2）若，求的度數(shù)．
（3）若，，求的面積．
3．如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，，，在上取一點，將紙片沿AE翻折，使點D落在BC邊上的點F處．
(1)AF的長=______；
(2)BF的長=______；
(3)CF的長=______；
(4)求DE的長．
4．如圖，現(xiàn)將一張矩形ABCD的紙片一角折疊，若能使點D落在AB邊上F處，折痕為CE，恰好∠AEF=60°，延長EF交CB的延長線于點G．
(1)求證：△CEG是等邊三角形；
(2)若矩形的一邊AD=3，求另一邊AB的長．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，矩形的頂點，，將矩形的一個角沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與軸交于點．

(1)線段的長度為________；
(2)求線段的長，以及直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；
(3)若點為該平面內(nèi)一點，且使得，直接寫出滿足條件的直線的解析式．
6．將一個矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，邊、分別在軸、軸上，點坐標(biāo)是且、滿足，點是線段上的動點，將沿翻折得到．
（1）求點和的坐標(biāo)．
（2）如圖①，當(dāng)點落在線段上時，求點的坐標(biāo)．
（3）如圖②，當(dāng)點為線段中點時，求線段的長度．
7．如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點在軸上，點在軸上，將邊沿直線折疊，使點落在邊上的點處．
的大小 （度）；
若，用含的代數(shù)式表示．則
在的條件下，已知折痕的長為，求點的坐標(biāo)．
8．如圖，將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），動點F從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿OC向終點C運動，運動秒時，動點E從點A出發(fā)以相同的速度沿AO向終點O運動，當(dāng)點E、F其中一點到達終點時，另一點也停止運動設(shè)點E的運動時間為t：（秒）
（1）OE= ，OF= （用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)t=1時，將△OEF沿EF翻折，點O恰好落在CB邊上的點D處
①求點D的坐標(biāo)及直線DE的解析式；
②點M是射線DB上的任意一點，過點M作直線DE的平行線，與x軸交于N點，設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，當(dāng)點M與點B不重合時，S為△MBN的面積，當(dāng)點M與點B重合時，S=0．求S與b之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量b的取值范圍．
9．長方形ABCD中，AD=10，AB=8，將長方形ABCD折疊，折痕為EF.
（1）當(dāng)A′與B重合時（如圖1），EF= ；
（2）當(dāng)直線EF過點D時（如圖2），點A的對應(yīng)點A′落在線段BC上，求線段EF的長；
（3）如圖3，點A的對應(yīng)點A′落在線段BC上，E點在線段AB上，同時F點也在線段AD上，則A′在BC上的運動距離是 ；
10．將一張矩形的紙片放到平面直角坐標(biāo)系中，使矩形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸上．如圖，將△OAB沿對角線OB翻折到△ONB，ON與CB交于點M．
(1)重疊部分△OBM是什么形狀的三角形，請說明你的理由；
(2)已知OC＝3，，請直接寫出點M坐標(biāo)（______，______）．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，矩形的頂點，，將矩形的一個角沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與軸交于點．
(1)線段的長度______；
(2)求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；
(3)若點在線段上，在線段上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
12．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE沿BE折疊后得到GBE，且G點在矩形ABCD內(nèi)部，延長BG交DC于點F．
(1)求證：GF＝DF；
(2)若DC＝9，DE＝2CF，求AD的長；
(3)若DC＝n?DF，那么n?是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
13．如圖，四邊形OABC為矩形，A點在x軸上，C點在y軸上，矩形一角經(jīng)過翻折后，頂點B落在OA邊的點G處，折痕為EF，F(xiàn)點的坐標(biāo)是(4，1)，∠FGA=30°
(1)求B點坐標(biāo).
(2)求直線EF解析式.
(3)若點M在y軸上，直線EF上是否存在點N，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出N點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
14．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折疊紙片使B點落在邊AD上的點E處，折痕為PQ．過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．
（1）求證：四邊形PBFE為菱形；
（2）當(dāng)點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．
①當(dāng)點Q與點C重合時（如圖2），求菱形PBFE的邊長；
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，菱形PBFE的面積有最值嗎？若有，請寫出，若沒有，填“無”．最大值為 ；最小值為 ．
15．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到到的位置，與CD交于點E．
（1）求證：；
（2）若，點P為線段AC上任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥CD于H．求PG + PH的值．
16．如圖①，在矩形OACB中，點A、B分別在x軸、y軸正半軸上，點C在第一象限，OA＝8，OB＝6．
（1）請直接寫出點C的坐標(biāo)；
（2）如圖②，點F在BC上，連接AF，把ACF沿著AF折疊，點C剛好與線段AB上一點重合，求線段CF的長度；
（3）如圖③，動點P(x，y)在第一象限，且y＝2x﹣6，點D在線段AC上，是否存在直角頂點為P的等腰直角BDP，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
專題25 矩形的折疊
1．如圖所示，在矩形中，，，將矩形沿折疊后，點落在點 處，且與交于F．
(1)判斷的形狀，并說明理由．
(2)求的面積．
答案：(1)等腰三角形，理由見解析
(2)
分析：（1）由折疊的性質(zhì)得到，再由得，從而得到，進而證得結(jié)論
（2）設(shè)，則，由勾股定理建立關(guān)于x的方程解出x，進而可求得面積
（1）
解：矩形沿折疊，
是等腰三角形．
（2）
解：由折疊的性質(zhì)知，，
，
由（1）知：，
設(shè)，
則，
在 中，由勾股定理得，

即 ，
解得：，
【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用勾股定理建立等量關(guān)系求出AF．
2．如圖，長方形紙片，，將長方形紙片折疊，使點D與點B重合，點C落在點C'處，折痕為，
（1）求證：．
（2）若，求的度數(shù)．
（3）若，，求的面積．
答案：（1）見解析；（2）54°；（3）
分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)證明，即可利用等腰三角形的判定得出結(jié)論；
（2）根據(jù)四邊形是長方形，可得，則可求出及（1）中所得結(jié)論即可求解；
（3）根據(jù)折疊性質(zhì)及勾股定理列出關(guān)于線段AE的方程，求解后則可得出，即可求出的面積．
【詳解】解：（1）∵，
∴．
由折疊性質(zhì)得：，
∴．
∴．
（2）∵四邊形是長方形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）由折疊性質(zhì)可得：．
設(shè)，則，
由勾股定理得：
，
解得： ．
即．
∴．
∴．
【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點來解題．
3．如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，，，在上取一點，將紙片沿AE翻折，使點D落在BC邊上的點F處．
(1)AF的長=______；
(2)BF的長=______；
(3)CF的長=______；
(4)求DE的長．
答案：(1)10
(2)6
(3)4
(4)5
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得；
（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理即可得；
（3）根據(jù)即可得；
（4）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，再在中，利用勾股定理即可得．
(1)
解：由折疊的性質(zhì)得：，
故答案為：10．
(2)
解：四邊形是矩形，，，
，
由折疊的性質(zhì)得：，
，
故答案為：6．
(3)
解：，
，
故答案為：4．
(4)
解：由折疊的性質(zhì)得：，
四邊形是矩形，
，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得，
即的長為5．
【點睛】本題考查了矩形與折疊問題、勾股定理等知識點，熟練掌握矩形與折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4．如圖，現(xiàn)將一張矩形ABCD的紙片一角折疊，若能使點D落在AB邊上F處，折痕為CE，恰好∠AEF=60°，延長EF交CB的延長線于點G．
(1)求證：△CEG是等邊三角形；
(2)若矩形的一邊AD=3，求另一邊AB的長．
答案：(1)見解析
(2)
分析：（1）根據(jù)補角性質(zhì)求出∠FED=180°-∠AEF=180°-60°=120°，根據(jù)折疊△EDC≌△EFC，得出∠DEC=∠FDC=，∠DCE=∠FCE，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，∠D=90°，∠DCB=90°，再求∠GCE=∠DCB-∠DCE=90°-30°=60°即可；
（2）先根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出EF=2AE，利用折疊性質(zhì)FE=ED，得出ED=2AE，根據(jù)AD=AE+ED=3AE=3，求出AE=1，ED=2AE=2，利用30°直角三角形性質(zhì)和勾股定理即可求解．
(1)
解：∵∠AEF=60°，
∴∠FED=180°-∠AEF=180°-60°=120°，
∵折疊，△EDC≌△EFC，
∴∠DEC=∠FEC=，∠DCE=∠FCE，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=90°，∠DCB=90°，
∴∠DCE=90°-∠DEC=90°-60°=30°，
∴∠FCE=∠DCE=30°，
∴∠GCE=∠DCB-∠DCE=90°-30°=60°，
∴∠GCE=∠GEC=60°，
∴△ECG為等邊三角形；
(2)
解：∵∠AEF=60°，∠A=90°
∴∠AFE=90°-∠AEF=30°，
∴EF=2AE，
∵FE=ED，
∴ED=2AE，
∵AD=AE+ED=3AE=3，
∴AE=1，ED=2AE=2，
∵∠DCE=30°，∠D=90°，
∴CE=2ED=2×2=4，
∴CD=，
∴矩形的另一邊長為AB=CD=．
【點睛】本題考查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形判定，一元一次方程掌握折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形判定是解題關(guān)鍵．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，矩形的頂點，，將矩形的一個角沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與軸交于點．

(1)線段的長度為________；
(2)求線段的長，以及直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；
(3)若點為該平面內(nèi)一點，且使得，直接寫出滿足條件的直線的解析式．
答案：(1)15
(2)，
(3)或
分析：（1）先根據(jù)點坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)可得，，再利用勾股定理即可得；
（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理可得的長，從而可得點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可得直線的解析式；
（3）如圖（見解析），分①直線與軸的交點在點的右側(cè)和②直線與軸的交點在點的下方兩種情況，第①種情況利用三角形的面積公式建立方程、利用平方根解方程求出與軸的交點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；第②種情況，在第①種情況的基礎(chǔ)上，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可．
(1)
解：，
，
四邊形是矩形，
，
，
故答案為：15．
(2)
解：由折疊的性質(zhì)得：，
，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為，
將點代入得：，解得，
則直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為．
(3)
解：由題意，分以下兩種情況：
①如圖，直線與軸的交點在點的右側(cè)，設(shè)交點為點，則，
過點作于點，
則是等腰直角三角形，且，
，
，
在中，，即，
，
設(shè)點的坐標(biāo)為，則，
，
，
，
整理得：，
解得或（舍去），
，
設(shè)直線的解析式為，
將點代入得：，解得，
則此時直線的解析式為；
②如圖，直線與軸的交點在點的下方，設(shè)交點為點，則，
，
，
，
在上截取點，使，過點作于點，
，
，
在和中，，
，
，
點的坐標(biāo)為，即為，
設(shè)直線的解析式為，
將點代入得：，解得，
則此時直線的解析式為，
綜上，滿足條件的直線的解析式為或．
【點睛】本題考查了矩形與折疊問題、勾股定理、求一次函數(shù)的解析式、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
6．將一個矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，邊、分別在軸、軸上，點坐標(biāo)是且、滿足，點是線段上的動點，將沿翻折得到．
（1）求點和的坐標(biāo)．
（2）如圖①，當(dāng)點落在線段上時，求點的坐標(biāo)．
（3）如圖②，當(dāng)點為線段中點時，求線段的長度．
答案：（1），；（2）；（3）．
分析：（1）先根據(jù)二次根式和平方根的非負性列式求出a、b的值，再通過矩形的特點確定A、C的坐標(biāo)即可；
（2）通過折疊和矩形的平行線推出AO=AP，再在Rt△ABP中利用勾股定理求出BP的長，再確定點P的坐標(biāo)即可；
（3）連接CC'交PO于點D，再利用折疊性質(zhì)易知D為CC'中點，再利用三角形中位線性質(zhì)即可求出BC'的長即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴，解得，
∴，
∴，；
（2）∵，點，
∴，，
由翻折可知：，∵，
∴，∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴；
（3）如圖②，連接交于，
在中，∵，，
∴，
∵垂直平分線段，∴，
∴，，
∵，，
∴．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了折疊的基本性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
7．如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點在軸上，點在軸上，將邊沿直線折疊，使點落在邊上的點處．
的大小 （度）；
若，用含的代數(shù)式表示．則
在的條件下，已知折痕的長為，求點的坐標(biāo)．
答案：（1）90°；（2）5k，5k；（3）點的坐標(biāo)為
分析：（1）利用折疊的性質(zhì)：對應(yīng)角相等即可得出答案；
（2）在中，利用勾股定理得出的長度，進而得出的長度；
（3）設(shè)，在中得出，在中得出，進而求出點的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：（1）∵邊沿直線折疊，使點落在邊上的點處，
∵由折疊的性質(zhì)可知：，
∵，
故答案為：；
（2）由題意可知：，
∴在中，由勾股定理得：，即：，
解得：，
由折疊的性質(zhì)可知：，
∴，
故答案為：；
設(shè)
四邊形是矩形，
，
，，
由折疊后點與點重合，由折疊的性質(zhì)可知：，
在中，由勾股定理得：
即：，解得：，
在中，由勾股定理得：，即：，
解得，
，
點的坐標(biāo)為．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，點的坐標(biāo)的表示，涉及的基礎(chǔ)知識較多，解決本題的關(guān)鍵是折疊前后的兩個圖形全等的靈活應(yīng)用以及合理的使用勾股定理．
8．如圖，將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），動點F從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿OC向終點C運動，運動秒時，動點E從點A出發(fā)以相同的速度沿AO向終點O運動，當(dāng)點E、F其中一點到達終點時，另一點也停止運動設(shè)點E的運動時間為t：（秒）
（1）OE= ，OF= （用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)t=1時，將△OEF沿EF翻折，點O恰好落在CB邊上的點D處
①求點D的坐標(biāo)及直線DE的解析式；
②點M是射線DB上的任意一點，過點M作直線DE的平行線，與x軸交于N點，設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，當(dāng)點M與點B不重合時，S為△MBN的面積，當(dāng)點M與點B重合時，S=0．求S與b之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量b的取值范圍．
答案：（1）6-t，+t；（2）①直線DE的解析式為：y=-；②
分析：(1)由O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)，可得：OA=6，OC=3，根據(jù)矩形的對邊平行且相等，可得：AB=OC=3，BC=OA=6，進而可得點B的坐標(biāo)為：(6，3)，然后根據(jù)E點與F點的運動速度與運動時間即可用含t的代數(shù)式表示OE，OF；
(2)①由翻折的性質(zhì)可知：△OPF≌△DPF，進而可得：DF=OF，然后由t=1時，DF=OF=，CF=OC-OF=，然后利用勾股定理可求CD的值，進而可求點D和E的坐標(biāo)；利用待定系數(shù)可得直線DE的解析式；
②先確定出k的值，再分情況計算S的表達式，并確認(rèn)b的取值．
【詳解】(1)∵O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)，
∴OA=6，OC=3，
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC=3，BC=OA=6，
∴B(6，3)，
∵動點F從O點以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動秒時，動點E從點A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點O運動，
∴當(dāng)點E的運動時間為t(秒)時，
AE=t，OF=+t，
則OE=OA-AE=6-t，
故答案為6-t，+t；
(2)①當(dāng)t=1時，OF=1+=，OE=6-1=5，則CF=OC-OF=3-=，
由折疊可知：△OEF≌△DEF，
∴OF=DF=，
由勾股定理，得：CD=1，
∴D(1，3)；
∵E(5，0)，
∴設(shè)直線DE的解析式為：y=mx+n(k≠0)，
把D(1，3)和E(5，0)代入得：，解得：，
∴直線DE的解析式為：y=-；
②∵MN∥DE，
∴MN的解析式為：y=-，
當(dāng)y=3時，-=3，x=(b-3)=b-4，
∴CM=b-4，
分三種情況：
i)當(dāng)M在邊CB上時，如圖2，
∴BM=6-CM=6-(b-4)=10-b，
DM=CM-1=b-5，
∵0≤DM＜5，即0≤b-5＜5，
∴≤b＜，
∴S=BM?AB=×3(10?b)=15-2b=-2b+15(≤b＜)；
ii)當(dāng)M與點B重合時，b=，S=0；
iii)當(dāng)M在DB的延長線上時，如圖3，
∴BM=CM-6=b-10，
DM=CM-1=b-5，
∵DM＞5，即b-5＞5，
∴b＞，
∴S=BM?AB=×3(b?10)=2b-15(b＞)；
綜上，．
【點睛】本題是四邊形和一次函數(shù)的綜合題，考查了動點的問題、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解(1)的關(guān)鍵是：明確動點的時間和速度；解(2)的關(guān)鍵是：由翻折的性質(zhì)可知：△OEF≌△DEF，并采用了分類討論的思想，注意確認(rèn)b的取值范圍．
9．長方形ABCD中，AD=10，AB=8，將長方形ABCD折疊，折痕為EF.
（1）當(dāng)A′與B重合時（如圖1），EF= ；
（2）當(dāng)直線EF過點D時（如圖2），點A的對應(yīng)點A′落在線段BC上，求線段EF的長；
（3）如圖3，點A的對應(yīng)點A′落在線段BC上，E點在線段AB上，同時F點也在線段AD上，則A′在BC上的運動距離是 ；
答案：（1）EF=10（2）5（3）4≤BA′≤8
分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形直接寫出答案即可解決問題；
（2）根據(jù)勾股定理首先求出A′C的長度；再次利用勾股定理求出AE的長度，即可解決問題；
（3）當(dāng)E與B重合時，可得BA′使得最大值為8，當(dāng)F與D重合時，可得BA′的最小值為4.
【詳解】（1）如圖1，當(dāng)A′與B重合時，EF=10；
（2）如圖2，設(shè)AE=x，則BE=8-x；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD=10，DC=AB=8；∠B=∠C=90°，
由題意得：A′D=AD=10，
由勾股定理得：A′C2=A′D2-DC2=100-64=36，
∴A′C=6，BA′=10-6=4，
在直角△A′BE中，由勾股定理得：x2=（8-x）2+42，
解得：x=5，
由勾股定理得：EF2=102+52=125，
∴EF＝5；
（3）當(dāng)E與B重合時，可得BA′使得最大值為8，
當(dāng)F與D重合時，可得BA′的最小值為4，
∴4≤BA′≤8，
【點睛】該命題主要考查了翻折變換及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)準(zhǔn)確找出命題圖形中隱含的等量關(guān)系，靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．
10．將一張矩形的紙片放到平面直角坐標(biāo)系中，使矩形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸上．如圖，將△OAB沿對角線OB翻折到△ONB，ON與CB交于點M．
(1)重疊部分△OBM是什么形狀的三角形，請說明你的理由；
(2)已知OC＝3，，請直接寫出點M坐標(biāo)（______，______）．
答案：(1)等腰三角形，見解析；
(2)1，3
分析：（1）△OBM是等腰三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA∥BC，證得∠AOB=∠OBC，由折疊得∠AOB=∠BON，即可證得OM=BM，由此得到△OBM是等腰三角形；
（2）由矩形得到∠OCB=90°，OA=BC，勾股定理求出CM即可．
（1）解：△OBM是等腰三角形，理由如下，∵四邊形OABC是矩形，∴OA∥BC，∴∠AOB=∠OBC，由折疊得∠AOB=∠BON，∴∠OBC=∠BON，∴OM=BM，∴△OBM是等腰三角形；
（2）∵四邊形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OA=BC，∵OC＝3，OM=，∴CM=，∴點M的坐標(biāo)為（1，3），故答案為：1，3．
【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理，勾股定理，正確理解折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，矩形的頂點，，將矩形的一個角沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與軸交于點．
(1)線段的長度______；
(2)求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；
(3)若點在線段上，在線段上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
答案：(1)
(2)
(3)存在，點的坐標(biāo)是
分析：（1）利用勾股定理即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)，則，利用折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出值，進而求出點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（3）過點作交于，過點作交于點，過點作于點，則四邊形是平行四邊形，利用等積法求出，利用勾股定理，求出的長，進而求出點的坐標(biāo)，再求出直線函數(shù)表達式即可解決問題．
（1）∵，，∴，，∵四邊形是矩形，∴，，∴．在中，∴．故答案為：
（2）設(shè)，則∵沿直線折疊得到，點落在對角線上的點處，∴，，∴，在中∵，∴，∴，∴，設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為∵，∴∴∴直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為．
（3）過點作交于，過點作交于點，過點作于點，∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∵，∴，∵，∴，∴．∵，直線的函數(shù)表達式是，∴設(shè)直線函數(shù)表達式是．∵在直線上，∴，∴，∴直線函數(shù)表達式是，令，則，∴，∴．故答案為：在線段上存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標(biāo)是．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)模型解決問題是解本題的關(guān)鍵．
12．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE沿BE折疊后得到GBE，且G點在矩形ABCD內(nèi)部，延長BG交DC于點F．
(1)求證：GF＝DF；
(2)若DC＝9，DE＝2CF，求AD的長；
(3)若DC＝n?DF，那么n?是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
答案：(1)見解析
(2)AD=；
(3)4
分析：（1）利用HL證明△EGF≌△EDF，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)CF=x，則DF=9-x，DE=2CF=2x，BC=AD=2DE=4x，求得BF =18-x，根據(jù)勾股定理得BC2+CF2=BF2，列得（4x）2+x2=（18-x）2，求出x即可得到AD的長；
（3）由DC＝n?DF得到DF、BF的長，根據(jù)勾股定理得BC2+CF2=BF2，列得BC2+()2=()2，求出，即可得到答案．
（1）
證明：連接EF，
由折疊得AE=EG，∠EGB=∠A=90°，
∵E是AD的中點，
∴DE=AE=EG，
∵∠D=90°，
∴∠D=∠EGF=90°，
∵EF=EF，
∴△EGF≌△EDF，
∴GF=DF；
（2）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=BG=9，AD=BC，
設(shè)CF=x，則DF=9-x，DE=2CF=2x，BC=AD=2DE=4x，
∵GF=DF，
∴GF=9-x，
∴BF=BG+GF=9+9-x=18-x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴（4x）2+x2=（18-x）2，
解得x=或x=（舍去），
∴AD=4x=；
（3）
n?是定值．
∵DC＝n?DF，
∴，
∴FC=DC-DF=DC-=，
∵DF=GF，AB=BG=CD，
∴BF=BG+GF=，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴BC2+()2=()2，
∴，
∴，
∴n?=4．
【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確掌握全等三角形的判定及性質(zhì)結(jié)合勾股定理進行論證是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，四邊形OABC為矩形，A點在x軸上，C點在y軸上，矩形一角經(jīng)過翻折后，頂點B落在OA邊的點G處，折痕為EF，F(xiàn)點的坐標(biāo)是(4，1)，∠FGA=30°
(1)求B點坐標(biāo).
(2)求直線EF解析式.
(3)若點M在y軸上，直線EF上是否存在點N，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出N點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
答案：(1)4，3）
(2)
(3)點N的坐標(biāo)為或或
分析：（1）利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)先求出，再由折疊的性質(zhì)求出AB=3，再由矩形的性質(zhì)得到CB=OA=4，則B點坐標(biāo)為（4，3）；
（2）先求出點E的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可；
（3）當(dāng)FN是以M、N、F、G為頂點的四邊形的對角線時，當(dāng)FN是以M、N、F、G為頂點的四邊形的邊時，兩種情形討論求解即可．
(1)
解：∵F點的坐標(biāo)是（4，1），
∴FA=1，OA=4，
∴，
由折疊的性質(zhì)知BF=FG=2，
∴AB=3，
∵四邊形OABC為矩形，
∴CB=OA=4，
∴B點坐標(biāo)為（4，3）；
(2)
解：∵∠FAG=90°，∠AGF=30°，
∴∠AFG=60°，
∴由折疊的性質(zhì)可得，
∴∠BEF=30°，
∴，
∴，
∴點E的坐標(biāo)為，
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
∴，
∴，
∴直線EF的解析式為；
(3)
解：設(shè)點N的坐標(biāo)為，
由（1）得，點G的坐標(biāo)為
如圖1所示，當(dāng)FN是以M、N、F、G為頂點的四邊形的對角線時，
∵平行四邊形對角線的中點相同，即NF與MG的中點坐標(biāo)相同，
∴，
∴，
∴點N的坐標(biāo)為；
如圖2所示，當(dāng)FN是以M、N、F、G為頂點的四邊形的邊時，
同理可得，
∴，
∴點N的坐標(biāo)為
同理如圖3所示，當(dāng)FN是以M、N、F、G為頂點的四邊形的邊時，同理可得，
∴，
∴點N的坐標(biāo)為，
綜上所述，點N的坐標(biāo)為或或．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
14．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折疊紙片使B點落在邊AD上的點E處，折痕為PQ．過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．
（1）求證：四邊形PBFE為菱形；
（2）當(dāng)點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．
①當(dāng)點Q與點C重合時（如圖2），求菱形PBFE的邊長；
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，菱形PBFE的面積有最值嗎？若有，請寫出，若沒有，填“無”．最大值為 ；最小值為 ．
答案：（1）見解析；（2）①；②36，
分析：（1）由折疊的性質(zhì)得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行線的性質(zhì)得出∠BPF＝∠EFP，證出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求得AE的長，再在Rt△APE中求得PE，即菱形的邊長；
②當(dāng)點Q與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時AE＝2；當(dāng)點P與點A重合時，點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案．
【詳解】解：（1）證明：∵折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，
∴點B與點E關(guān)于PQ對稱，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∵EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四邊形BFEP為菱形；
（2）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°，
∵點B與點E關(guān)于PQ對稱，
∴CE＝BC＝10，
在Rt△CDE中，DE＝＝8，
∴AE＝AD﹣DE＝2；
在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE，
∴，解得：，
∴菱形BFEP的邊長為；
②當(dāng)點Q與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時AE＝2，，
，
當(dāng)點P與點A重合時，點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE＝AB＝6，
，
∴菱形的面積范圍：．
菱形PBFE面積的最大值是36，最小值是．
【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，求出PE是本題的關(guān)鍵．
15．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到到的位置，與CD交于點E．
（1）求證：；
（2）若，點P為線段AC上任意一點，PG⊥AE于G，PH⊥CD于H．求PG + PH的值．
答案：（1）證明見解析；（2）．
分析：（1）由折疊的性質(zhì)知，，，，則由得到；
（2）由，可得，又由，即可求得的長，然后在中，利用勾股定理即可求得的長，再過點作于，由角平分線的性質(zhì)，可得，易證得四邊形是矩形，繼而可求得答案．
【詳解】（1）四邊形為矩形，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到到B′的位置，
，，
又，
；
（2），
，
，
，
在中，，
過點作于，
，，
，
，，
，
、、共線，
，
四邊形是矩形，
，
．
【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握輔助線的作法和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
16．如圖①，在矩形OACB中，點A、B分別在x軸、y軸正半軸上，點C在第一象限，OA＝8，OB＝6．
（1）請直接寫出點C的坐標(biāo)；
（2）如圖②，點F在BC上，連接AF，把ACF沿著AF折疊，點C剛好與線段AB上一點重合，求線段CF的長度；
（3）如圖③，動點P(x，y)在第一象限，且y＝2x﹣6，點D在線段AC上，是否存在直角頂點為P的等腰直角BDP，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
答案：（1）C(8，6)；（2）CF＝3；（3）存在，P(4，2)或(，)
分析：（1）由矩形的性質(zhì)可得BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，即可求解；
（2）由折疊的性質(zhì)的可得AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝60°，由勾股定理可求CF的長；
（3）分兩種情況討論，利用全等三角形的性質(zhì)可求PF＝BE，EP＝DF，即可求解．
【詳解】解：（1）∵四邊形OACB是矩形，
∴BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，
∴點C的坐標(biāo)（8，6）；
（2）∵BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵把△ACF沿著AF折疊，點C剛好與線段AB上一點C'重合，
∴AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝60°，
∴BC'＝AB﹣AC'＝4，
∵BF2＝C'F2+C'B2，
∴（8﹣CF）2＝CF2+16，
∴CF＝3；
（3）設(shè)點P（a，2a﹣6），
當(dāng)點P在BC下方時，如圖③，過點P作EF∥BC，交y軸于E，交AC于F，
∵△BPD是等腰直角三角形，
∴BP＝PD，∠BPD＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠BEP＝∠BOA＝90°，∠PFD＝∠CAO＝90°，
∴∠BPE+∠DPF＝∠DPF+∠PDF，
∴∠BPE＝∠PDF，
∴△BPE≌△PDF（AAS），
∴PF＝BE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，EP＝DF，
∵EF＝EP+PF＝a+12﹣2a＝8，
∴a＝4，
∴點P（4，2）；
當(dāng)點P在BC的上方時，如圖④，過點P作EF∥BC，交y軸于E，交AC的延長線于F，
同理可證△BPE≌△PDF，
∴BE＝PF＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，
∵EF＝EP+PF＝a+2a﹣12＝8，
∴a＝，
∴點P（，），
綜上所述：點P坐標(biāo)為(4，2)或(，)．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．

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