1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)在x軸正半軸上，且．．
(1)求AB；
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得最??？若存在，請(qǐng)求出的最小值；
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．
（1）畫出ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱的A1B1C1．
（2）A1B1C的面積為 ；
（3）y軸上存在一點(diǎn)P使得ABP的周長最小，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，周長最小值為 ．
3．如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像經(jīng)過A（1，4），B（4，1）兩點(diǎn)，并且交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．
(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若y軸存在一點(diǎn)P使PA＋PB的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA＋PB的最小值；
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使△MOA的面積等于△AOB的面積；若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．
4．定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)和直線，我們稱點(diǎn)是直線的反關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直線是點(diǎn)的反關(guān)聯(lián)直線．特別地，當(dāng)時(shí)，直線的反關(guān)聯(lián)點(diǎn)為．已知點(diǎn)，，．
(1)點(diǎn)B的反關(guān)聯(lián)直線的解析式為______，直線AC的反關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；
(2)設(shè)直線AC的反關(guān)聯(lián)點(diǎn)為點(diǎn)D；
①若點(diǎn)P在直線AC上，求的最小值；
②若點(diǎn)E在點(diǎn)B的反關(guān)聯(lián)直線上，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸上，已知點(diǎn)A（0，4）．以AB為直角邊在AB左側(cè)作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．
(1)當(dāng)點(diǎn)B在x軸正半軸上，且AB＝8時(shí)
①求AB解析式；
②求C點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OC，求AC+OC的最小值及此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)．
6．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，與過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)D，且．
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線的解析式；
(2)求的面積：
(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．如圖，一次函數(shù) y＝-x+6的圖像與正比例函數(shù) y＝2x 的圖像交于點(diǎn) A．
（1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn) B 在直線 y＝-x+6上，且橫坐標(biāo)為5，在 x 軸上確定點(diǎn) P，使 PA＋PB 的值最小，求出此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫出 PA+PB 的最小值．
8．如圖1，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，，平分交軸與點(diǎn)，，垂足為．
（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）求所在直線的解析式；
（3）如圖2，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，求的最小值．
9．在中，，點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，速度為．
(1)如圖1，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，在的邊上沿D→B→C的路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)的面積為（cm2），的面積為（），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（）． ，與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，根據(jù)題意解答下列問題：
①在圖1中， ， ；
②在圖2中，求和的交點(diǎn)H的坐標(biāo)；
(2)在（1）的條件下，如圖3，若點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在的邊上沿A→B→C的路徑勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．求t為何值時(shí)，最大？最大值為多少？
10．如圖1，直線和直線相交于點(diǎn)A，直線與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段上，軸于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)Q．已知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
(2)當(dāng)時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，平分線交x軸于點(diǎn)M；
①求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
②在線段上找一點(diǎn)N，使的周長最小，直接寫出周長最小值______．
11．【閱讀】已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，，根據(jù)勾股定理，可知兩點(diǎn)間的距離．特別地，如果點(diǎn)，所在的直線與坐標(biāo)軸重合或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，那么這兩點(diǎn)間的距離公式可簡化為或．例如：已知點(diǎn)，，則這兩點(diǎn)間的距離．
根據(jù)以上材料，解決下列問題：
(1)已知，，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________．
(2)已知點(diǎn)M，N在同一條平行于y軸的直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-2，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為3，則M，N兩點(diǎn)問的距離為________．
(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，試探究在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得的值最??？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
12．如圖1所示，直線：與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線：與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)E．
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)如圖2，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PE、PD，求的最大值；
(3)如圖1，將繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)后C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
13．如圖，直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，以線段為直角邊向右作等腰直角三角形，沿直線的方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．
（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在運(yùn)動(dòng)的過程中，為何值時(shí)，頂點(diǎn)落在直線上？請(qǐng)說明理由；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在實(shí)數(shù)，使得有最小值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
14．在進(jìn)行13.4《最短路徑問題》的學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們從一句唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題．同學(xué)們先研究了最特殊的情況，再利用所學(xué)的軸對(duì)稱知識(shí)，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，找到了問題的答案，并進(jìn)行了證明．下列圖形分別說明了以上研究過程．
證明過程如下：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)，連結(jié)，
∵點(diǎn)B，關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)C，在l上，
∴_________， _________，∴_________．
在中，∵，∴，即最?。?br>(1)請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整．（直接填在橫線上）
(2)課堂小結(jié)時(shí)，小明所在的小組同學(xué)提出，如圖1，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使的值最大呢？請(qǐng)你類比“將軍飲馬”問題的探究過程，先說明如何確定點(diǎn)P的位置，再證明你的結(jié)論是正確的．
(3)如圖，平面直角坐標(biāo)系中， ，P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，則的最大值為_________，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_________．（直接寫答案）
專題32 一次函數(shù)與將軍飲馬結(jié)合
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)在x軸正半軸上，且．．
(1)求AB；
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出的最小值；
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)．
答案：(1)5
(2)
(3)（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．
分析：（1）根據(jù)題意求出a、b的值，運(yùn)用勾股定理可求AB的值；
（2）首先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)連接，求解即可；
（3）根據(jù)AB是腰分類討論即可．
【詳解】（1）解：∵
∴a=4，b=3
∴OA=4，OB=3
根據(jù)勾股定理可得
∴
所以AB長度為5．
（2）解：存在點(diǎn)P，使得PB+PD最小值為
如圖；過點(diǎn)D作軸，交y軸于點(diǎn)E，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)連接，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，
∵
∴
在和中

∴
∴OB=AE=3，OA=DE=4
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，7）
∵，DF=7
根據(jù)勾股定理可得

∴
∴PB+PD最小值為．
（3）解：當(dāng)AB=AM時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（-3，0）
當(dāng)BA=BM時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（8，0）、（-2，0）
∴使以AB為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理、對(duì)稱求線段和最小、等腰三角形的判定．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．
（1）畫出ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱的A1B1C1．
（2）A1B1C的面積為 ；
（3）y軸上存在一點(diǎn)P使得ABP的周長最小，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，周長最小值為 ．
答案：（1）見解析；（2）7；（3），
分析：（1）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）利用待定系數(shù)法求出AB1所在直線解析式，從而得出點(diǎn)P坐標(biāo)，再利用勾股定理可得三角形ABP周長最小值．
【詳解】解：（1）如圖所示，△即為所求．
（2）如圖所示，連接，△的面積為，
故答案為：7；
（3）如圖所示，連接，與軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，
設(shè)所在直線解析式為，
則，
解得，
，
當(dāng)時(shí)，，
；
，，
周長最小值為，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵掌握軸對(duì)稱變換的定義和性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對(duì)稱點(diǎn)．
3．如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像經(jīng)過A（1，4），B（4，1）兩點(diǎn)，并且交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．
(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若y軸存在一點(diǎn)P使PA＋PB的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA＋PB的最小值；
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使△MOA的面積等于△AOB的面積；若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．
答案：(1)y＝-x＋5
(2)；
(3)存在，或
分析：(1)把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，求出k、b的值，即可寫出一次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)先作出A(1，4)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-1，4)，連接A′B與y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．求出直線A′B的函數(shù)表達(dá)式，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出A′B的長，即PA+PB的最小值．
(3)先求出△AOB的面積，再根據(jù)△MOA的面積等于△AOB的面積列方程求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）
把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得
，解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x+5；
（2）
作A(1，4)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-1，4)，連接A′B交y軸于P點(diǎn)，連接PA，此時(shí)PA+PB的值最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B，
設(shè)A′B的表達(dá)式為y=mx+n，則
，解得，
∴直線A′B的表達(dá)式為，
當(dāng)x=0時(shí)，y=，
∴P(0， )，
且
，
∴PA+PB的最小值為；
（3）
由y=-x+5得C(5，0)，
∴S△AOB=S△AOC-S△BOC
，
設(shè)M(xM，yM)，
∵S△MOA=S△AOB，
，
∴，
∴或，
∴M(，0)或（，0），
∴存在一點(diǎn)M，使△MOA的面積等于△AOB的面積，且M點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)或（，0）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式，求兩條線段之和的最小值(即將軍飲馬)，兩點(diǎn)之間距離公式，以及利用面積法求點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4．定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)和直線，我們稱點(diǎn)是直線的反關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直線是點(diǎn)的反關(guān)聯(lián)直線．特別地，當(dāng)時(shí)，直線的反關(guān)聯(lián)點(diǎn)為．已知點(diǎn)，，．
(1)點(diǎn)B的反關(guān)聯(lián)直線的解析式為______，直線AC的反關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)為______；
(2)設(shè)直線AC的反關(guān)聯(lián)點(diǎn)為點(diǎn)D；
①若點(diǎn)P在直線AC上，求的最小值；
②若點(diǎn)E在點(diǎn)B的反關(guān)聯(lián)直線上，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
答案：(1)，
(2)①；②或
分析：（1）根據(jù)反關(guān)聯(lián)點(diǎn)，反關(guān)聯(lián)直線的定義解決問題即可；
（2）①作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交AC于P，連接PB，此時(shí)PD＋PB的值最小，然后利用勾股定理求解即可；
②設(shè)E（m，?4m），根據(jù)構(gòu)建方程求出m即可．
(1)
解：∵B（0，?4），
∴點(diǎn)B的反關(guān)聯(lián)直線的解析式為：y＝?4x，
∵A（?2，2），C（0，0），
∴直線AC的解析式為y＝?x，
∴直線AC的反關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，?1），
故答案為：y＝?4x，（0，?1）；
(2)
由（1）可知，，
①如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接DB'交AC于P，連接PB，此時(shí)的值最小，
∵，，
∴的最小值為：；
②設(shè)，
由題意得：，
解得：，
∴或．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸上，已知點(diǎn)A（0，4）．以AB為直角邊在AB左側(cè)作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．
(1)當(dāng)點(diǎn)B在x軸正半軸上，且AB＝8時(shí)
①求AB解析式；
②求C點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接OC，求AC+OC的最小值及此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)．
答案：(1)①；②
(2)，
分析：（1）①根據(jù)，，推出，所以，，設(shè)直線的解析式為，將、坐標(biāo)代入即可求出解析式；
②過點(diǎn)作軸的平行線，分別過點(diǎn)、作軸的平行線，交于、．則，所以，，即；
（2）由可知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以，的最小值為的長度，此時(shí)，即可求出坐標(biāo)．
（1）
解：①，，
，
，，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
解析式：；
②過點(diǎn)作軸的平行線，與分別過點(diǎn)、作軸的平行線交于、．
則
，，
；
（2）
由可知，在軸負(fù)半軸同理可說明）
點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
，，
．
的最小值為，
此時(shí)，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、利用軸對(duì)稱求最短線路．這里構(gòu)造三角形全等找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)鍵．
6．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，與過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)D，且．
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線的解析式；
(2)求的面積：
(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
答案：(1)，；
(2)；
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，的最大值為
分析：（1）作軸于點(diǎn)，可證得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直線的解析式；
（2）由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）延長交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即是所求的點(diǎn)，此時(shí)的最大值為線段的長度，由可得出：點(diǎn)P ．由勾股定理可得，，即可得出答案．
【詳解】（1）作軸于點(diǎn)，
由題意，，，
∵，
∴，
∴，，
由，令，得，
∴，，
令，得，得，
∴，，
∴，，
，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析表達(dá)式為，
代入和，
得，
解得，
∴直線的解析表達(dá)式為；
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，直線的解析表達(dá)式為；
（2）由題意得，，，
∴；
（3）存在，理由如下：
延長交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即是所求的點(diǎn)，此時(shí)的最大值為線段的長度．
令，代入，
解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
在中，由勾股定理得，
．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點(diǎn)之間線段最短，構(gòu)造三角形全等求線段長度，三角形面積，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，一次函數(shù) y＝-x+6的圖像與正比例函數(shù) y＝2x 的圖像交于點(diǎn) A．
（1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn) B 在直線 y＝-x+6上，且橫坐標(biāo)為5，在 x 軸上確定點(diǎn) P，使 PA＋PB 的值最小，求出此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫出 PA+PB 的最小值．
答案：（1）點(diǎn) A 的坐標(biāo)(2，4)；（2）P 點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，PA＋PB 的最小值為．
分析：(1)把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，即可求得交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)作點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交軸于P，連接PB，此時(shí)PA+PB的值最小，利用兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即可求得最小值．
【詳解】(1)解方程組，
得：，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4)；
(2) ∵點(diǎn)B在直線上，且橫坐標(biāo)為5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，1)，
作B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)C，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，-1)，
連接AC交軸于P，連接PB，此時(shí)PA+PB的值最小，
設(shè)直線AC的表達(dá)式為，
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)(2，4)、(5，-1)代入，得：，
解得：，
∴直線AC的表達(dá)式為，
令，則，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，
∴PA+PB的最小值=AC=．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短問題，一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，一次函數(shù)的應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題．
8．如圖1，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，，平分交軸與點(diǎn)，，垂足為．
（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）求所在直線的解析式；
（3）如圖2，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，求的最小值．
答案：（1）A（8，0）；B（0，）；（2）；（3）．
分析：（1）直接令x=0和y=0，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）由角平分線的性質(zhì)定理，設(shè)，由面積法求出m=3，然后得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)，求出，即可求出CD所在直線的解析式；
（3）由題意，作點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，則，點(diǎn)恰好落在直線AB上，則求出的最小值，即為求的最小值，當(dāng)⊥AB時(shí)，為最小，再利用面積法，即可求出答案．
【詳解】解：（1）在一次函數(shù)中，
令，則，
令，則，
∴點(diǎn)A為（8，0），點(diǎn)B為（0，）；
（2）根據(jù)題意，如圖，設(shè)CD=m，
∵平分，OC⊥OB，CD⊥BD，
∴，
∵OA=8，OB=6，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴設(shè)直線CD的解析式為，
把點(diǎn)C（3，0）代入，則，
∴直線CD的解析式為；
（3）根據(jù)題意，作點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，則，如圖：
∵BC是角平分線，
∴點(diǎn)恰好落在直線AB上，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
當(dāng)⊥時(shí)，為最小值；
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，最短路徑問題，以及勾股定理求兩點(diǎn)的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分析，從而進(jìn)行解題．
9．在中，，點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，速度為．
(1)如圖1，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，在的邊上沿D→B→C的路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)的面積為（cm2），的面積為（），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（）． ，與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，根據(jù)題意解答下列問題：
①在圖1中， ， ；
②在圖2中，求和的交點(diǎn)H的坐標(biāo)；
(2)在（1）的條件下，如圖3，若點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在的邊上沿A→B→C的路徑勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．求t為何值時(shí)，最大？最大值為多少？
答案：(1)①5，6；②點(diǎn)
(2)時(shí)，最大值為5.5
分析：（1）①由圖象可求解；②由勾股定理可求的長，由三角形的面積公式可求，即可求點(diǎn)H坐標(biāo)；
（2）分三種情況討論，由線段的和差關(guān)系可求解．
【詳解】（1）①由圖2可知，，，
∴（），
故答案為：5，6；
②如圖1，過點(diǎn)A作于T，
∵，，
∴（），
∴（），
∴（），
∴當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)點(diǎn)P是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴點(diǎn)；
（2）①當(dāng)時(shí)，P，Q均在上，
∴當(dāng)時(shí)，最大，
②當(dāng)時(shí)，P在上，Q在上，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，最大，
③當(dāng)時(shí)，P，Q均在上，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，最大，
∴綜上，時(shí)，最大值為5.5．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了函數(shù)圖象的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．
10．如圖1，直線和直線相交于點(diǎn)A，直線與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段上，軸于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)Q．已知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
(2)當(dāng)時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，平分線交x軸于點(diǎn)M；
①求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
②在線段上找一點(diǎn)N，使的周長最小，直接寫出周長最小值______．
答案：(1)
(2)
(3)①；②
分析：（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后再求出b的值，最后求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，根據(jù)列出關(guān)于m的方程，解方程即可；
（3）①過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，設(shè)，則，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，證明，得出，代入求出t的值，即可得出答案；
②作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，連接交直線于點(diǎn)F，連接，交于一點(diǎn)，當(dāng)N點(diǎn)在此點(diǎn)上時(shí)，的周長最小，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的長，即可得出答案．
【詳解】（1）解：把代入得：，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，
把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：．
故答案為：．
（2）解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，
，
∵，
∴，
解得：，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．
（3）解：①過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，如圖所示：
∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，
∴，，
∴，
設(shè)，則，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②如圖所示，作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，連接交直線于點(diǎn)F，連接，交于一點(diǎn)，當(dāng)N點(diǎn)在此點(diǎn)上時(shí)，的周長最小，
∵點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
即的周長最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．
11．【閱讀】已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，，根據(jù)勾股定理，可知兩點(diǎn)間的距離．特別地，如果點(diǎn)，所在的直線與坐標(biāo)軸重合或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，那么這兩點(diǎn)間的距離公式可簡化為或．例如：已知點(diǎn)，，則這兩點(diǎn)間的距離．
根據(jù)以上材料，解決下列問題：
(1)已知，，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________．
(2)已知點(diǎn)M，N在同一條平行于y軸的直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-2，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為3，則M，N兩點(diǎn)問的距離為________．
(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，試探究在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得的值最??？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
答案：(1)
(2)5
(3)存在；P（2，0）；
分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)平行于y軸的兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先做出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) ，連接與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，即為的最小值．
【詳解】（1）解：
，
故答案為：；
（2）解：
，
故答案為：5；
（3）解：存在．如圖所示：作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn) ，連接與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，即為的最小值．
設(shè)直線的解析式為：
則：
解得：
∴直線的解析式為：
當(dāng) 時(shí)，
∴P的坐標(biāo)為：（2，0）

【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，以及求線段和的最小值．在坐標(biāo)系下求線段和的最小值，屬于將軍飲馬問題，需要作已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，然后將對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)已知點(diǎn)連接所成的線段即為最短．
12．如圖1所示，直線：與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線：與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)E．
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)如圖2，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PE、PD，求的最大值；
(3)如圖1，將繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)后C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
答案：(1)
(2)
(3)或
分析：（1）通過聯(lián)立直線解析式求解即可得出答案；
（2）如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E交x軸于點(diǎn)P，則PD=PD′，|PE-PD|=|PE-PD′|=D′E最大，再運(yùn)用勾股定理即可求得答案；
（3）分兩種情況：①將△OCD繞平面內(nèi)某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，設(shè)O′（m，-m+3），由O′D′=OD=4，建立方程求解即可；②將△OCD繞平面內(nèi)某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同理即可求得答案．
【詳解】（1）由題意得：，
解得：，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)（2，2）；
（2）如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E交x軸于點(diǎn)P，
則PD=PD′，
∴|PE-PD|=|PE-PD′|=D′E最大，
∵直線l2：y=3x-4與y軸分別交于D點(diǎn)，
∴D（0，-4），
∴D′（0，4），
過點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，則EG=2，D′G=2，
∴
∴|PE-PD|的最大值為；
（3）∵直線l2：y=3x-4與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，
∴C（，0），D（0，-4），
∴OC=，OD=4，OD⊥x軸，OC⊥y軸，
∴O′D⊥y軸，O′C⊥x軸，
①將△OCD繞平面內(nèi)某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2，
∵O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'落在直線l1上，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在直線l2上，
設(shè)O′（m，m+3），
則點(diǎn)D′的縱坐標(biāo)為m+3，
∴m+3=3x-4，
解得
，
∵O′D′=OD=4，
解得
，
②將△OCD繞平面內(nèi)某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖3，
∵O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'落在直線l1上，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在直線l2上，
設(shè)O′（m，m+3），
則點(diǎn)D′的縱坐標(biāo)為m+3，
∴m+3＝3x﹣4，
∴x，
∴D′（，m+3），
∵O′D′＝OD＝4，
∴m﹣（）＝4，解得：m，
∴O′（，），
∵OC′＝OC，
∴C′（，）；
綜上所述，旋轉(zhuǎn)后C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（，）或（，）．
【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到點(diǎn)的對(duì)稱性、勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、分類討論思想的運(yùn)用等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．
13．如圖，直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，以線段為直角邊向右作等腰直角三角形，沿直線的方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．
（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在運(yùn)動(dòng)的過程中，為何值時(shí)，頂點(diǎn)落在直線上？請(qǐng)說明理由；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在實(shí)數(shù)，使得有最小值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
答案：（1）A（6，0），B（0，3）；（2）t=1；（3）存在實(shí)數(shù)t，使得有最小值，此時(shí)t為2秒．
分析：（1）利用直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)性質(zhì)即可求解；
（2）確定出經(jīng)過秒，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+t，2），落在直線l上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式，即可求出時(shí)間t；
（3）定點(diǎn)O，A到動(dòng)點(diǎn)D距離和的最小值問題，作出A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接OA'，與CD交于點(diǎn)D’，只需要求出移動(dòng)距離就可以求出時(shí)間t．
【詳解】解：（1）∵直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝6，
∴A（6，0），B（0，3）；
（2）∵，
∴BC=3-2=1，
∵以線段為直角邊向右作等腰直角三角形，
∴D（1，2），
∵經(jīng)過秒，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+t，2），
∴，解得：t=1；
（3）存在實(shí)數(shù)t，使得有最小值，
理由如下：
∵點(diǎn)D向右移動(dòng)所在的直線：y＝2，
作點(diǎn)A關(guān)于直線CD對(duì)稱點(diǎn)A'，則A'（6，4），
連接OA'，交于直線CD于點(diǎn)D'，此時(shí)O D'＋D'A最小，
∵O（0，0），A'（6，4），
∴直線OA'：y＝x，
與直線CD：y＝2聯(lián)立解得點(diǎn)D'（3，2），
如圖DD'＝3?1＝2，
t＝2÷1＝2（秒），
答：存在實(shí)數(shù)t，使得有最小值，此時(shí)t為2秒．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及等腰昊直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)“馬飲水”問題確定出滿足最小值的點(diǎn)D．
14．在進(jìn)行13.4《最短路徑問題》的學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們從一句唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題．同學(xué)們先研究了最特殊的情況，再利用所學(xué)的軸對(duì)稱知識(shí)，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，找到了問題的答案，并進(jìn)行了證明．下列圖形分別說明了以上研究過程．
證明過程如下：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)，連結(jié)，
∵點(diǎn)B，關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)C，在l上，
∴_________， _________，∴_________．
在中，∵，∴，即最?。?br>(1)請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整．（直接填在橫線上）
(2)課堂小結(jié)時(shí)，小明所在的小組同學(xué)提出，如圖1，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使的值最大呢？請(qǐng)你類比“將軍飲馬”問題的探究過程，先說明如何確定點(diǎn)P的位置，再證明你的結(jié)論是正確的．
(3)如圖，平面直角坐標(biāo)系中， ，P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，則的最大值為_________，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_________．（直接寫答案）
答案：(1)
(2)連結(jié)并延長，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；證明見解析
(3)或；或
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B，關(guān)于直線l對(duì)稱，可得，，從而得到．在中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可；
（2）連結(jié)并延長，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
延長交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；此時(shí)的最大值為；當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，連接，延長交y軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，此時(shí)的最大值為，即可求解．
【詳解】（1）解：證明：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)，連結(jié)，
∵點(diǎn)B，關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)C，在l上，
∴，，
∴．
在中，∵，
∴，即最?。?br>故答案為：
（2）解：連結(jié)并延長，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
證明：如圖，在直線l上任取任一點(diǎn)，連結(jié)，
在中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得：，
而當(dāng)點(diǎn)B，A，P共線時(shí)，，
所以此時(shí)最大；
（3）解：如圖，當(dāng)時(shí)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
延長交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；此時(shí)的最大值為，
∵，
∴點(diǎn)，
∵，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)，代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，連接，延長交y軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，此時(shí)的最大值為，
設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述，的最大值為或，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或．
故答案為：或；或
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際，最短距離問題，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

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