【例題講解】
如圖，Rt△OAB的直角邊OA＝2，AB＝1，OA在數(shù)軸上，在OB上截取BC＝BA，以原點O為圓心，OC為半徑畫弧，交數(shù)軸于點P，則OP的中點D對應(yīng)的實數(shù)是_____．
解：∵Rt△OAB的直角邊OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝＝，
又∵BA＝BC，∴OC＝OB﹣BC＝﹣1＝OP，∵點D是OP的中點，
∴OD＝OP＝，即點D所表示的數(shù)為：，故答案為：．
【綜合解答】
1．如圖所示，數(shù)軸上點 A 所表示的數(shù)為 a，則 a 的值是( ).
A．B．C．D．
2．如圖，已知，以點A為圓心，線段長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點C，則點C的橫坐標是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，Rt△OAB的直角邊OA＝2，AB＝1，OA在數(shù)軸上，在OB上截取BC＝BA，以原點O為圓心，OC為半徑畫弧，交數(shù)軸于點P，則OP的中點D對應(yīng)的實數(shù)是_____．
4．正方形ABCD中，AB＝1，AB在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是﹣1，若以點A為圓心，對角線AC長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點M，則點M表示的數(shù)是_____．
三、解答題
5．如圖甲，這是由個同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為．

（1）當魔方體積時，求出這個魔方的棱長；
（2）①圖甲中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分正方形的邊長；
②把正方形放置在數(shù)軸上，如圖乙所示，使得點與數(shù)重合，求點在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少．
6．學習了無理數(shù)之后，我們已經(jīng)把數(shù)的領(lǐng)域擴大到了實數(shù)的范圍，下面讓我們在幾個具體的圖形中認識一下無理數(shù)．
（1）如圖1，直徑為1個單位長度的圓從原點O沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點P（開始滾動時與點O重合）由原點到達點O′，則OO′的長度就等于圓的周長，所以數(shù)軸上點O′代表的實數(shù)就是 ，它是一個無理數(shù)．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，根據(jù)勾股定理可以求得AB＝ ．
（3）你能在6×5的網(wǎng)格圖中（圖3）（每個小正方形邊長均為1），畫出一條長為的格點線段嗎？如果能，請在圖中表示出來．
（4）請你在數(shù)軸上（圖4）找到表示的點．
7．某課外學習小組在一次活動中．對如何畫出在數(shù)軸上表示“的整數(shù)”一類實數(shù)點的方法進行如下探討：
A同學說：按照下圖可畫出表示(第個數(shù))(第個數(shù))，（第個數(shù)），(第個數(shù))的點；
B同學說：我找到了表示點的畫法，如圖2
C同學說：以上兩位同學的方法都不能在數(shù)軸上畫出，表示等無理數(shù)點來．我可以在同學的基礎(chǔ)上完美地畫出表示“的整數(shù))”型實數(shù)的點
問題
按同學的畫法，第個數(shù)應(yīng)是 ．第個數(shù)是 ．
請你在圖2上補畫出表示的點；
C同學說的更完美的方法你能畫出嗎?若能使用直尺和圓規(guī)在同一數(shù)軸上畫出表示：的點來表達其畫法，若不能請說明理由，
8．如圖是網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都為1個單位長度，利用這個網(wǎng)格作出面積為5個平方單位的正方形，然后在數(shù)軸上準確表示實數(shù)和．
9．作圖：在數(shù)軸上作出表示﹣、3﹣的點（保留作圖痕跡，不寫作法）．
10．我們在學習“實數(shù)”時，畫了這樣一個圖，以數(shù)軸上的單位長為1的線段作一個正方形，然后以原點O為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交x軸于點A，請根據(jù)圖形回答下列問題：
（1）線段OA的長度是___________
（2）這種研究和解決問題的方式，體現(xiàn)了的數(shù)學思想方法（ ）．
A．數(shù)形結(jié)合B．歸納C．換元D．消元
（3）計算：﹣．
11．甲同學用如圖方法作出C點，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且點O、A、C在同一數(shù)軸上，OB＝OC．
（1）請求出甲同學所做的點C表示的數(shù)；
（2）仿照小明同學的做法，請你在如下所給數(shù)軸上描出表示－的點D．
12．利用勾股定理可以在數(shù)軸上畫出表示的點，請依據(jù)以下思路完成畫圖，并保留畫圖痕跡：
第一步：（計算）嘗試滿足，使其中a，b都為正整數(shù).你取的正整數(shù)a=____，b=________；
第二步：（畫長為的線段）以第一步中你所取的正整數(shù)a，b為兩條直角邊長畫Rt△OEF，使O為原點，點E落在數(shù)軸的正半軸上，，則斜邊OF的長即為.
請在下面的數(shù)軸上畫圖：（第二步不要求尺規(guī)作圖，不要求寫畫法）
第三步：（畫表示的點）在下面的數(shù)軸上畫出表示的點M，并描述第三步的畫圖步驟：_______________________________________________________________.
13．如圖1，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，將所得到的4個直角三角形進行拼接，可得到一個的大正方形．若將得到的直角三角形按如圖2所示放置在數(shù)軸上，使直角頂點A與數(shù)軸上的原點重合，
（1）圖1中大正方形的邊長為_______．
（2）如圖2，若將直角三角形繞頂點C按順時針方向翻轉(zhuǎn)，使頂點B落在數(shù)軸上，稱為第1次翻轉(zhuǎn)，將翻轉(zhuǎn)所得到的的圖形再繞頂點B按順時針方向翻轉(zhuǎn)，使頂點A落在數(shù)軸上，稱為第2次翻轉(zhuǎn)…．以此類推．
①第1次翻轉(zhuǎn)后得到的三角形頂點B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是_______．
②第2010次翻轉(zhuǎn)后得到的三角形頂點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是____________．
專題13 實數(shù)、數(shù)軸、勾股定理結(jié)合
【例題講解】
如圖，Rt△OAB的直角邊OA＝2，AB＝1，OA在數(shù)軸上，在OB上截取BC＝BA，以原點O為圓心，OC為半徑畫弧，交數(shù)軸于點P，則OP的中點D對應(yīng)的實數(shù)是_____．
解：∵Rt△OAB的直角邊OA＝2，AB＝1，∴OB＝＝＝，
又∵BA＝BC，∴OC＝OB﹣BC＝﹣1＝OP，∵點D是OP的中點，
∴OD＝OP＝，即點D所表示的數(shù)為：，故答案為：．
【綜合解答】
1．如圖所示，數(shù)軸上點 A 所表示的數(shù)為 a，則 a 的值是( ).
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
首先計算出直角三角形斜邊的長，然后再確定a的值．
【詳解】
解：∵，
∴，
故選：．
【點睛】
此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，關(guān)鍵是利用勾股定理計算出直角三角形斜邊長．
2．如圖，已知，以點A為圓心，線段長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點C，則點C的橫坐標是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC長即可．
【詳解】
解：∵點A，B的坐標分別為（-1，0），（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==，
∴AC=AB=，
∴OC=AC-AO=-1，
∴點C的坐標為（-1，0），
故選：D．
【點睛】
本題考查了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，解此題的關(guān)鍵是求出OC的長．
4．正方形ABCD中，AB＝1，AB在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是﹣1，若以點A為圓心，對角線AC長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點M，則點M表示的數(shù)是_____．
答案：﹣1
【解析】
分析：
根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ABC＝90，AB＝BC＝1，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)圖形即可求出答案．
【詳解】
解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝，
即AM＝AC＝，
∴點M所表示的數(shù)是AM﹣AB＝﹣1，
當正方形是四邊形AB′C′D時，同樣求出點M所表示的數(shù)是AM﹣AB＝﹣1，
在數(shù)軸的下方時，結(jié)果也是﹣1，
故答案為：﹣1．
【點睛】
本題考查了實數(shù)在數(shù)軸上的表示，勾股定理等知識點，題目有一定的代表性，是一道比較好的題目．
三、解答題
5．如圖甲，這是由個同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為．

（1）當魔方體積時，求出這個魔方的棱長；
（2）①圖甲中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分正方形的邊長；
②把正方形放置在數(shù)軸上，如圖乙所示，使得點與數(shù)重合，求點在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少．
答案：（1）魔方的棱長為4cm；（2）①陰影部分正方形ABCD的邊長為；②
【解析】
分析：
（1）由魔方體積V＝64cm3，開立方可求出魔方的棱長；
（2）①求出每個小立方體的棱長，再根據(jù)勾股定理可求出答案；②求出點D所表示數(shù)的絕對值，再得出點D所表示的數(shù)．
【詳解】
解：（1）當魔方體積V＝64cm3時，
（1）∵43＝64，
∴，
所以這個魔方的棱長為4cm；
（2）①因為魔方的棱長為4cm；
所以每個小立方體的棱長為4÷2＝2（cm），
所以陰影部分正方形ABCD的邊長為（cm），
S正方形ABCD＝＝8（cm2），
答：陰影部分正方形ABCD的邊長為；
②點D到原點的距離為：，
又因為點D在原點的左側(cè)，
所以點D所表示的數(shù)為，
故答案為：．
【點睛】
本題考查認識立方體，利用數(shù)軸表示數(shù)，立方根，掌握立方根的意義以及數(shù)軸表示的方法是解決問題的關(guān)鍵．
6．學習了無理數(shù)之后，我們已經(jīng)把數(shù)的領(lǐng)域擴大到了實數(shù)的范圍，下面讓我們在幾個具體的圖形中認識一下無理數(shù)．
（1）如圖1，直徑為1個單位長度的圓從原點O沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點P（開始滾動時與點O重合）由原點到達點O′，則OO′的長度就等于圓的周長，所以數(shù)軸上點O′代表的實數(shù)就是 ，它是一個無理數(shù)．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，根據(jù)勾股定理可以求得AB＝ ．
（3）你能在6×5的網(wǎng)格圖中（圖3）（每個小正方形邊長均為1），畫出一條長為的格點線段嗎？如果能，請在圖中表示出來．
（4）請你在數(shù)軸上（圖4）找到表示的點．
答案：（1）π；（2）；（3）見詳解；（4）見詳解．
【解析】
分析：
（1）由OO′的長度就等于圓的周長，即可得到數(shù)軸上點O’代表的實數(shù)就是無理數(shù)π；
（2）直接運用勾股定理求出AB即可；
（3）根據(jù)，結(jié)合勾股定理解決問題即可．
（4）在數(shù)軸上做一個兩直角邊分別為2，1的直角三角形；以原點為圓心，所畫直角邊的斜邊為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于一點A，這點就是所求的表示的點．
【詳解】
解：（1）OO’＝π?1＝π，
故答案為：π；
（2）∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
故答案為：；
（3）如圖，線段AB就是長為的線段；
（4）如圖，點A即為所求．
【點睛】
本題考查的知識點是實數(shù)與數(shù)軸，關(guān)鍵運用勾股定理求出所表示的無理數(shù)，無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來，一般應(yīng)把它整理為直角邊長為有理數(shù)的斜邊的長．
7．某課外學習小組在一次活動中．對如何畫出在數(shù)軸上表示“的整數(shù)”一類實數(shù)點的方法進行如下探討：
A同學說：按照下圖可畫出表示(第個數(shù))(第個數(shù))，（第個數(shù)），(第個數(shù))的點；
B同學說：我找到了表示點的畫法，如圖2
C同學說：以上兩位同學的方法都不能在數(shù)軸上畫出，表示等無理數(shù)點來．我可以在同學的基礎(chǔ)上完美地畫出表示“的整數(shù))”型實數(shù)的點
問題
按同學的畫法，第個數(shù)應(yīng)是 ．第個數(shù)是 ．
請你在圖2上補畫出表示的點；
C同學說的更完美的方法你能畫出嗎?若能使用直尺和圓規(guī)在同一數(shù)軸上畫出表示：的點來表達其畫法，若不能請說明理由，
答案：（1）；；（2）見解析；（3）見解析；
【解析】
分析：
（1）由題意可得，第4個數(shù)是以4，1為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長，根據(jù)勾股定理即可求解；第個數(shù)是以，1為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長，勾股定理求解即可；
（2）在-2處，作垂直于x軸且長度為2的線段，再畫弧即可，同理可求得；
（3）按照（1）中的方法，做出的點，過該點作垂直于x軸且長度為1的線段，然后畫弧與x軸正半軸交點即表示，同理可求．
【詳解】
解：（1）由題意可得，第4個數(shù)是以4，1為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長，
由勾股定理得，斜邊長為，即第四個數(shù)應(yīng)是，
第個數(shù)是以，1為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長，
由勾股定理得，斜邊長為，第個數(shù)是，
故答案為；
（2）∵
∴為以2，2為直角邊構(gòu)成的直角三角形斜邊長
同理可得：為以3，2為直角邊構(gòu)成的直角三角形的斜邊邊長，
為以4，2為直角邊構(gòu)成的直角三角形的斜邊邊長，
為以，2為直角邊構(gòu)成的直角三角形的斜邊邊長，
分別在-2、-3，-4，處，作垂直于x軸且長度為2的線段，原點為圓心，以對應(yīng)的斜邊長為半徑，畫弧，與負半軸的交點即表示，如下圖：
（3）按照（1）中的方法做出表示的點，過該點作垂直于x軸且長度為1的線段，
以為直角邊作直角三角形，此時斜邊長為，以原點為圓心，以長畫弧，與x軸正半軸交點即表示，
同理以過的點作垂直于x軸且長度為1的線段，
以為直角邊作直角三角形，此時斜邊長為，以原點為圓心，以長畫弧，與x軸正半軸交點即表示，如下圖：
【點睛】
此題考查了勾股定理在數(shù)軸上的應(yīng)用，理解題意找到無理數(shù)的平方對應(yīng)的整數(shù)平方和，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
8．如圖是網(wǎng)格，每個小正方形的邊長都為1個單位長度，利用這個網(wǎng)格作出面積為5個平方單位的正方形，然后在數(shù)軸上準確表示實數(shù)和．
答案：見解析
【解析】
分析：
根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式即可畫出圖形，再根據(jù)實數(shù)和在數(shù)軸上的位置即可畫出圖形．
【詳解】
解：如圖所示：
【點睛】
本題考查了三角形的面積，實數(shù)與數(shù)軸，用到的知識點是勾股定理，以及勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
9．作圖：在數(shù)軸上作出表示﹣、3﹣的點（保留作圖痕跡，不寫作法）．
答案：見解析
【解析】
分析：
因為10＝9+1，則首先作出以1和3為直角邊的直角三角形，則其斜邊的長即是．再以原點為圓心，以為半徑畫弧，和數(shù)軸的負半軸交于一點即可；
首先在數(shù)軸上利用勾股定理作出一條線段等于OB＝，再以O(shè)為圓心，BC的長為半徑畫弧交數(shù)軸于E即可，則點E為所求的點．
【詳解】
解：因為10＝9+1，則首先作出以1和3為直角邊的直角三角形，則其斜邊的長即是．再以原點為圓心，以為半徑畫弧，和數(shù)軸的負半軸交于一點，這點表示的數(shù)即為；
作出一條線段等于OB＝，再以O(shè)為圓心，BC的長為半徑畫弧交數(shù)軸于E即可，則點E為所求的點．
【點睛】
本題考查勾股定理及實數(shù)與數(shù)軸的知識，要求能夠正確運用數(shù)軸上的點來表示一個無理數(shù)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，并靈活運用勾股定理．
10．我們在學習“實數(shù)”時，畫了這樣一個圖，以數(shù)軸上的單位長為1的線段作一個正方形，然后以原點O為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交x軸于點A，請根據(jù)圖形回答下列問題：
（1）線段OA的長度是___________
（2）這種研究和解決問題的方式，體現(xiàn)了的數(shù)學思想方法（ ）．
A．數(shù)形結(jié)合B．歸納C．換元D．消元
（3）計算：﹣．
答案：（1）；（2）A；（3）
【解析】
分析：
（1）利用勾股定理求出OB，結(jié)合題意即可求出OA；
（2）根據(jù)常用的數(shù)學思想和題意即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)算術(shù)平方根的定義、絕對值的性質(zhì)和立方根的定義計算即可．
【詳解】
解：（1）∵正方形的邊長為1
∴OB=
∵以原點O為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交x軸于點A，
∴OA=OB=
故答案為：；
（2）利用勾股定理求出實數(shù)在數(shù)軸上的位置，
故體現(xiàn)了的數(shù)學思想方法為：數(shù)形結(jié)合
故選A．
（3）﹣
=4－
=
=
【點睛】
此題考查的是利用數(shù)軸表示實數(shù)、勾股定理和實數(shù)的混合運算，掌握勾股定理、數(shù)形結(jié)合思想、算術(shù)平方根的定義、絕對值的性質(zhì)和立方根的定義是解決此題的關(guān)鍵．
11．甲同學用如圖方法作出C點，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且點O、A、C在同一數(shù)軸上，OB＝OC．
（1）請求出甲同學所做的點C表示的數(shù)；
（2）仿照小明同學的做法，請你在如下所給數(shù)軸上描出表示－的點D．
答案：（1）；（2）見解析
【解析】
分析：
（1）依據(jù)勾股定理求得OB的長，從而得到OC的長，故此可得點C表示的數(shù)；
（2）由17=16+1，依據(jù)勾股定理即可作出表示的點D.
【詳解】
（1）解：由勾股定理得：
∴
∴點C表示的數(shù)是
（2）
【點睛】
本題為考查勾股定理、實數(shù)與數(shù)軸的綜合題，難度不大，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.
12．利用勾股定理可以在數(shù)軸上畫出表示的點，請依據(jù)以下思路完成畫圖，并保留畫圖痕跡：
第一步：（計算）嘗試滿足，使其中a，b都為正整數(shù).你取的正整數(shù)a=____，b=________；
第二步：（畫長為的線段）以第一步中你所取的正整數(shù)a，b為兩條直角邊長畫Rt△OEF，使O為原點，點E落在數(shù)軸的正半軸上，，則斜邊OF的長即為.
請在下面的數(shù)軸上畫圖：（第二步不要求尺規(guī)作圖，不要求寫畫法）
第三步：（畫表示的點）在下面的數(shù)軸上畫出表示的點M，并描述第三步的畫圖步驟：_______________________________________________________________.
答案：第一步：4，2；第二步：畫圖見解析；第三步：以原點O為圓心，OF長為半徑作弧，弧與數(shù)軸正半軸的交點即為點M，畫圖見解析.
【解析】
【詳解】
解：第一步： ,
∴a=4,b=2；
第二步，畫圖如下：
第三步，作圖如上，以原點O為圓心，OF長為半徑作弧，弧與數(shù)軸正半軸的交點即為點M．
13．如圖1，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，將所得到的4個直角三角形進行拼接，可得到一個的大正方形．若將得到的直角三角形按如圖2所示放置在數(shù)軸上，使直角頂點A與數(shù)軸上的原點重合，
（1）圖1中大正方形的邊長為_______．
（2）如圖2，若將直角三角形繞頂點C按順時針方向翻轉(zhuǎn)，使頂點B落在數(shù)軸上，稱為第1次翻轉(zhuǎn)，將翻轉(zhuǎn)所得到的的圖形再繞頂點B按順時針方向翻轉(zhuǎn)，使頂點A落在數(shù)軸上，稱為第2次翻轉(zhuǎn)…．以此類推．
①第1次翻轉(zhuǎn)后得到的三角形頂點B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是_______．
②第2010次翻轉(zhuǎn)后得到的三角形頂點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是____________．
答案：（1）（2）①②
【解析】
分析：
（1）根據(jù)勾股定理求出的長即為大正方形的邊長；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)以后點B的位置可判斷B代表的數(shù)即為的長度，據(jù)此計算即可；
②根據(jù)翻轉(zhuǎn)規(guī)律可知每翻轉(zhuǎn)三次為一個循環(huán)，每個循環(huán)點C代表的數(shù)都增加個單位，據(jù)此解答即可．
【詳解】
解：（1）∵小正方形的邊長為1，即,
∴,
則大正方形的邊長為；
（2）①∵直角頂點A與數(shù)軸上的原點重合，,
∴點A表示的數(shù)為0，點C表示的數(shù)為1，
第一次翻轉(zhuǎn)以后點B表示的數(shù)為的長度，
即為，
故答案為：；
②根據(jù)圖形翻轉(zhuǎn)規(guī)律，每翻轉(zhuǎn)三次為一個循環(huán)，
每一個循環(huán)，點C代表的數(shù)增加個單位，
個循環(huán)，
∵點C的初始位置為1，
∴經(jīng)過2010次翻轉(zhuǎn)后點C代表的數(shù)為：，
即，
故答案為：．
【點睛】
本題主要考查勾股定理、實數(shù)與數(shù)軸、以及結(jié)合數(shù)軸的規(guī)律探索問題，結(jié)合圖形找出翻轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

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這是一份人教版八年級數(shù)學下冊常考點微專題提分精練專題31一次函數(shù)與菱形結(jié)合(原卷版+解析)，共50頁。試卷主要包含了已知等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教版八年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練專題30一次函數(shù)與矩形結(jié)合(原卷版+解析)：

這是一份人教版八年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練專題30一次函數(shù)與矩形結(jié)合(原卷版+解析)，共50頁。

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