人教版八年級數學下冊常考點微專題提分精練專題23菱形中的最值小題特訓30道(原卷版+解析)

這是一份人教版八年級數學下冊?？键c微專題提分精練專題23菱形中的最值小題特訓30道(原卷版+解析)，共40頁。

A．B．C．D．
2．如圖，菱形ABCD的邊長為6，，點E是AB的中點，點P是對角線AC上一動點，則的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
3．如圖，在中，AD＝4，＝120°，AC平分∠DAB，P是對角線上的一個動點，點Q是邊上的一個動點，則 PB＋PQ的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
4．如圖，在平行四邊形中，對角線平分，，，在對角線上有一動點P，邊上有一動點Q，使的值最小，則這個最小值為（ ）
A．4B．C．D．8
5．如圖，△ABC中，AC＝BC＝3，AB=2，將它沿AB翻折180°得到△ABD，點P、E、F分別為線段AB、AD、DB上的動點，則PE+PF的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，菱形的面積是，對角線交于點，，若點是的中點，點在線段上，則周長的最小值為（ ）
A．B．C．8D．16
7．如圖，菱形中，，，點E是線段上一點（不與A，B重合），作交于點F，且，則周長的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
8．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC＝12，BD＝16，點P為邊BC上一點，且點P不與點B、C重合．過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，連結EF，則EF的最小值為（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
9．如圖，兩條寬為1的紙帶交叉疊放，則重疊部分的面積（ ）
A．有最小值1B．有最大值1C．有最小值D．有最大值
10．如圖，菱形ABCD的的邊長為6，，對角線BD上有兩個動點E、F（點E在點F的左側），若EF=2，則AE+CF的最小值為（ ）
A．B．C．6D．8
11．如圖，在菱形中，，，點是線段上一動點，點是線段上一動點，則的最小值（ ）
A．B．C．D．
12．如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是 ( )
A．17B．16C．D．
13．如圖，由兩個長為8，寬為4的全等矩形疊合而得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD面積的最大值是( )
A．15B．16C．19D．20
14．如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是邊AB上的動點，過點P作PQ⊥AB交射線AD于點Q，連接CP，CQ，則△CPQ面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
15．如圖，已知菱形，，，為中點，為對角線上一點，則的最小值等于（ ）
A．B．C．D．8
16．如圖，在菱形中，，E為BC邊的中點，M為對角線BD上的一個動點．則下列線段的長等于最小值的是（ ）
A．ADB．AEC．BDD．BE
17．如圖，正的邊長為2，過點的直線，且與關于直線對稱，為線段上一動點，則的最小值是（ ）
A．B．2C．D．4
18．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，點D是BC上的一個動點，點D關于AB，AC的對稱點分別是點E，F，四邊形AEGF是平行四邊形，則四邊形AEGF面積的最小值是 （ ）
A．1B．C．D．
19．如圖，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，AC＋BD＝12，則四邊形ABCD的面積最大值是（ ）
A．12B．18C．24D．36
20．如圖，菱形ABCD中，∠DAB=60°，點P是對角線AC上的動點，點M在邊AB上，且AM=4，則點P到點M與到邊AB的距離之和的最小值是( )
A．4B．C．D．
21．如圖，OM＝2，MN＝6，A為射線ON上的動點，以OA為一邊作內角∠OAB＝120°的菱形OABC，則BM＋BN的最小值為 （ ）
A．B．6C．D．
22．如圖菱形ABCD的對角線AC=6，BD=8，點E為AB邊的中點，點F、P為BC、AC邊上的動點，則PE+PF的最小值為（ ）．
A．5B．4.8C．4.5D．4
23．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（ ）
A．2B．2C．4D．2+2
第II卷（非選擇題）
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二、填空題(共0分)
24．如圖，在菱形ABCD中，，，點M為邊中點，點E為菱形四條邊上的一個動點，沿的方向運動，連接，以為邊作直角三角形，其中，，在點E運動的過程中，線段長度的最大值為______．
25．兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對角線上的動點到三點距離之和的最小值是__________．
26．如圖，菱形ABCD的邊長為6，，對角線BD上有兩個動點E、F（點E在點F的左側），若，則的最小值為________．
27．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，點E，F分別是邊AB，AD上的動點，且AE＋AF＝a，則線段EF的最小值為_____．
28．如圖所示，四邊形中，于點，，，的面積為12，點為線段上的一個動點．過點分別作于點，作于點．連接，在點運動過程中，的最小值是______．
29．四邊形ABCD是軸對稱圖形，對稱軸為直線BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，點M、N分別為BD、BC的中點，點P、Q分別是線段AB、MN上的動點，則AP﹣PQ的最大值為______．
30．如圖所示，四邊形中，于點，，，點為線段上的一個動點．過點分別作于點，作于點．連接，在點運動過程中，的最小值等于_______．
專題23 菱形中的最值小題特訓30道
1．如圖，菱形的邊長為，，點為邊上的中點，點為對角線上一動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：找出點關于的對稱點，連接交于，則就是的最小值，求出即可．
【詳解】解：連接BD，交AC于O，連接DE交AC于P，
由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關于AC對稱，則PD＝PB，
∴PE＋PB＝PE＋PD＝DE，
即DE就是PE＋PB的最小值．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCB＝∠DAB＝60°，DC＝BC＝4，
∴△DCB是等邊三角形，
∵BE＝CE＝2，
∴DE⊥CB（等腰三角形三線合一的性質）．
在Rt△CDE中，DE＝．
即PB＋PE的最小值為．
故選D．
【點睛】本題主要考查軸對稱?最短路線問題，菱形的性質，勾股定理等知識點，確定P點的位置是解答本題的關鍵．
2．如圖，菱形ABCD的邊長為6，，點E是AB的中點，點P是對角線AC上一動點，則的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
答案：A
分析：連接，，當時，的值最小，再由所給條件可得，則即為所求．
【詳解】解：連接，，
四邊形是菱形，
點與點關于對稱，
，
，
當時，的值最小，
，
，
，
是等邊三角形，
是的中點，
，
，
，
的最小值為，
故選：A．
【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，菱形的性質，等邊三角形的性質．
3．如圖，在中，AD＝4，＝120°，AC平分∠DAB，P是對角線上的一個動點，點Q是邊上的一個動點，則 PB＋PQ的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
答案：B
分析：先根據題意證出四邊形ABCD是菱形，根據菱形的對稱性可得，線段AB與AD關于AC對稱，設點Q’是點Q的對稱點，則PB＋PQ =PB＋PQ’， 當點Q’運動到點Q’’時，即BQ’’⊥AD時，PB＋PQ’最小，解直角三角形即可．
【詳解】解：在中，AD＝4，AC平分∠DAB，
∴是菱形，AB＝AD＝4，
∵＝120°，
∴＝60°，
∵是菱形，
∴線段AB與AD關于AC對稱，
點Q關于AC對稱的點在AD上，
設點Q’是點Q的對稱點，則PB＋PQ =PB＋PQ’，
當點Q’運動到點Q’’時，即BQ’’⊥AD時，PB＋PQ’最小，
此時，BQ’’=ABsin∠DAB=，
∴PB＋PQ的最小值是，
故答案選：B．
【點睛】本題主要考查了軸對稱?最短路線問題，菱形的性質與判定，根據垂線段最短作出輔助線，確定點Q’’的位置是解答此題的關鍵．
4．如圖，在平行四邊形中，對角線平分，，，在對角線上有一動點P，邊上有一動點Q，使的值最小，則這個最小值為（ ）
A．4B．C．D．8
答案：B
分析：根據平行線的性質得到∠ADB＝∠CBD，由角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD，得到平行四邊形ABCD是菱形，推出點A，C關于BD對稱，過A作AQ⊥BC于Q交BD于P，則PQ＋PC最小值＝AQ，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．
【詳解】解∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∴點A，C關于BD對稱，
過A作AQ⊥BC于Q交BD于P，
則PQ＋PC最小值＝AQ，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∵AB＝BC＝8，
∴AQ＝AB＝，
∴這個最小值為，
故選：B．
【點睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題，菱形的判定和性質，平行四邊形的性質，等腰直角三角形的性質，準確的找到P與Q的位置是解題的關鍵．
5．如圖，△ABC中，AC＝BC＝3，AB=2，將它沿AB翻折180°得到△ABD，點P、E、F分別為線段AB、AD、DB上的動點，則PE+PF的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：首先證明四邊形是菱形，得，作出關于的對稱點，再過作，交于點，此時最小，求出即可．
【詳解】解：作出關于的對稱點，再過作，交于點，此時最小，此時，過點A作，于，
沿翻折得到，
，，
，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
由勾股定理可得，，
，
可得，
，
最小為．
故選C．
【點睛】本題考查翻折變換，等腰三角形的性質，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是將利用“將軍飲馬”模型對線段和轉化為平行線間的線段長．
6．如圖，菱形的面積是，對角線交于點，，若點是的中點，點在線段上，則周長的最小值為（ ）
A．B．C．8D．16
答案：B
分析：連接DE交AC于M，則DE就是MB+ME的最小值，進而即可求出△BME周長的最小值．
【詳解】解：連接DE交AC于M，連接DB，
由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關于AC對稱，則MD=MB，
∴ME+MB=ME+MD≥DE，
即DE就是ME+MB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三線合一的性質）．
設菱形的邊長為，即AD=AB=，
∴，
∵菱形ABCD的面積是32，
∴S△ABD=16，
∴，即，
解得m=8，
∴，
∴△BME周長的最小值為：DE+BE=4+4．
故選：B．
【點睛】本題主要考查軸對稱-最短路線問題，菱形的性質，解直角三角形等知識點，確定M點的位置是解答本題的關鍵．
7．如圖，菱形中，，，點E是線段上一點（不與A，B重合），作交于點F，且，則周長的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
答案：D
分析：只要證明得出是等邊三角形，因為的周長，所以等邊三角形的邊長最小時，的周長最小，只要求出的邊長最小值即可．
【詳解】解：連接，
菱形中，，
與是等邊三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
是等邊三角形，
的周長，
等邊三角形的邊長最小時，的周長最小，
當時，最小，
的周長最小值為，
故選：．
【點睛】本題考查菱形的性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、最小值問題等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質解決問題，學會轉化的思想解決問題，所以中考常考題型．
8．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC＝12，BD＝16，點P為邊BC上一點，且點P不與點B、C重合．過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，連結EF，則EF的最小值為（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
答案：B
分析：由菱形的性質可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的長，可證四邊形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC時，OP有最小值，由面積法可求解．
【詳解】連接OP，
∵四邊形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE=∠PEO=∠PFO=90°
∴四邊形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵當OP⊥BC時，OP有最小值，
此時S△OBC＝OBOC＝BCOP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值為4.8，
故選：B．
【點睛】本題考查了菱形的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，掌握菱形的性質是本題的關鍵．
9．如圖，兩條寬為1的紙帶交叉疊放，則重疊部分的面積（ ）
A．有最小值1B．有最大值1C．有最小值D．有最大值
答案：A
分析：首先過點B作BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，由題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，繼而求得AB＝BC的長，判定四邊形ABCD是菱形，則分析可求得答案．
【詳解】過點B作BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，
根據題意得：AD∥BC，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
設兩條紙帶的夾角為，
在Rt△AEB中，AB＝，
在Rt△BFC中，BC＝，
∴AB＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD＝
∵隨著的增大而增大，
∴當＝90°時，最大＝1，
此時，S菱形ABCD有最小值1，
故選A．
【點睛】此題考查了菱形的判定與性質以及勾股定理，難度適中，注意掌握輔助線的作法是關鍵．
10．如圖，菱形ABCD的的邊長為6，，對角線BD上有兩個動點E、F（點E在點F的左側），若EF=2，則AE+CF的最小值為（ ）
A．B．C．6D．8
答案：A
分析：作，使得，連接交于，由四邊形是平行四邊形，推出，推出，根據兩點之間線段最短可知，此時最短，由四邊形是菱形，在中，根據計算即可．
【詳解】解：如圖，作，使得，連接交于，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
根據兩點之間線段最短可知，此時最短，
四邊形是菱形，，
，
是等邊三角形，
，
在中，
的最小值為．
故選：A
【點睛】本題考查菱形的性質、平行四邊形的判定和性質、兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，把問題轉化為兩點之間線段最短解決．
11．如圖，在菱形中，，，點是線段上一動點，點是線段上一動點，則的最小值（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：先作點E關于AC的對稱點點G，再連接BG，過點B作BH⊥CD于H，運用勾股定理求得BH和GH的長，最后在Rt△BHG中，運用勾股定理求得BG的長，即為PE+PF的最小值．
【詳解】解：作點E關于AC的對稱點點G，連接PG、PE，則PE=PG，CE=CG=2，
連接BG，過點B作BH⊥CD于H，則∠BCH=∠CBH=45°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴
∴Rt△BHC中，BH=CH= ，
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，
∵當點F與點B重合時，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故選：D．
【點睛】本題以最短距離問題為背景，主要考查了菱形的性質與軸對稱的性質，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，一般情況要作點關于某直線的對稱點．注意：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．
12．如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是 ( )
A．17B．16C．D．
答案：A
分析：畫出圖形，設菱形的邊長為x，根據勾股定理求出周長即可．
【詳解】解：當兩張紙條如圖所示放置時，菱形周長最大，設這時菱形的邊長為x，
在Rt△ABC中，
由勾股定理：x2＝（8?x）2＋22，
解得：x＝，
∴4x＝17，
即菱形的最大周長為17．
故選：A．
【點睛】考查了菱形的性質，本題的解答關鍵是怎樣放置紙條使得到的菱形的周長最大，然后根據圖形列方程．
13．如圖，由兩個長為8，寬為4的全等矩形疊合而得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD面積的最大值是( )
A．15B．16C．19D．20
答案：D
分析：首先根據圖1，證明四邊形ABCD是菱形；然后判斷出菱形的一條對角線為矩形的對角線時，四邊形ABCD的面積最大，如圖2，設AB＝BC＝x，則BE＝8?x，利用勾股定理求出x的值，即可求出四邊形ABCD面積的最大值是多少．
【詳解】如圖1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵兩個矩形的寬都是4，
∴AE＝AF＝4，
∵S四邊形ABCD＝AE?BC＝AF?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
如圖2，當菱形的一條對角線為矩形的對角線時，四邊形ABCD的面積最大，
設AB＝BC＝x，則BE＝8?x，
∵BC2＝BE2＋CE2，
∴x2＝（8?x）2＋42，
解得x＝5，
∴四邊形ABCD面積的最大值是：5×4＝20．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了菱形的判定和性質，矩形的性質和應用，以及勾股定理的應用，要熟練掌握．
14．如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是邊AB上的動點，過點P作PQ⊥AB交射線AD于點Q，連接CP，CQ，則△CPQ面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：設菱形的高為h，解直角三角形求得h＝，設AP＝x，則PB＝1﹣x，AQ＝2x，PQ＝x，DQ＝1﹣2x，然后根據S△CPQ＝S菱形ABCD﹣S△PBC﹣S△PAQ﹣S△CDQ表示出△APQ的面積，根據二次函數的性質即可求得．
【詳解】解：設菱形的高為h，
∵在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
∴h＝，
若設AP＝x，則PB＝1﹣x，
∵PQ⊥AB，
AQ＝2x，PQ＝x，
∴DQ＝1﹣2x，
∴S△CPQ＝S菱形ABCD﹣S△PBC﹣S△PAQ﹣S△CDQ
＝1×﹣（1﹣x）?﹣x?x﹣（1﹣2x）?
＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴△CPQ面積有最大值為，
故選：D．
【點睛】本題是對菱形的綜合考查，熟練掌握菱形的性質定理和二次函數的運用是解決本題的關鍵.
15．如圖，已知菱形，，，為中點，為對角線上一點，則的最小值等于（ ）
A．B．C．D．8
答案：B
分析：在菱形ABCD中，B與D關于AC對稱，連接BE，BE即為PE＋PD的最小值，通過證明△ABD是等邊三角形，得到BE⊥AD，然后在Rt△ABE中利用勾股定理即可求解.
【詳解】解：在菱形ABCD中，B與D關于AC對稱，連接BE，BE即為PE＋PD的最小值，
∵AB＝AD＝4，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∵E為AD的中點，
∴AE＝2，BE⊥AD，
∴BE＝，
故選：B．
【點睛】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、勾股定理以及利用軸對稱求最短距離，通過菱形的軸對稱性確定BE為PE＋PD的最小值是解題的關鍵．
16．如圖，在菱形中，，E為BC邊的中點，M為對角線BD上的一個動點．則下列線段的長等于最小值的是（ ）
A．ADB．AEC．BDD．BE
答案：B
分析：過點M作PM⊥CB于P，根據菱形和直角三角形的性質可得PM=，從而可得=AM+PM，根據垂線段最短可知，AM+PM的最小值為AE的長；
【詳解】過點M作PM⊥CB于P，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠PBM=∠ABC=30°，AB=BC
∴PM=BM，
∴=AM+PM，
∵AB=BC,
∴是等邊三角形
∵E為BC邊的中點，
∴AE⊥BC；
根據垂線段最短可知，AM+PM的最小值為AE的長，
故選B．
【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，菱形的性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
17．如圖，正的邊長為2，過點的直線，且與關于直線對稱，為線段上一動點，則的最小值是（ ）
A．B．2C．D．4
答案：D
分析：連接CC'，根據△ABC、△A'BC'均為正三角形即可得出四邊形A'BCC'為菱形，進而得出點C關于BC'對稱的點是A'，以此確定當點D與點B重合時，AD＋CD的值最小，代入數據即可得出結論
【詳解】解：連接CC'，如圖所示：
∵△ABC、△A'BC'均為正三角形，
∴∠ABC＝∠A'＝60°，A'B＝BC＝A'C'，
∴A'C'∥BC，
∴四邊形A'BCC'為菱形，
∴點C關于BC'對稱的點是A'，
∴當點D與點B重合時，AD＋CD取最小值，
此時AD＋CD＝2＋2＝4．
故選D．
【點睛】本題考查了軸對稱中的最短線路問題以及等邊三角形的性質和菱形的判定，找出點C關于BC'對稱的點是A'是解題的關鍵．
18．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，點D是BC上的一個動點，點D關于AB，AC的對稱點分別是點E，F，四邊形AEGF是平行四邊形，則四邊形AEGF面積的最小值是 （ ）
A．1B．C．D．
答案：D
分析：由對稱的性質和菱形的定義證出四邊形AEGF是菱形，得出∠EAF=2∠BAC=120°，當AD⊥BC最小時，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面積最小，求出AD=，即可得出四邊形AEGF的面積的最小值．
【詳解】由對稱的性質得：AE=AD=AF，
∵四邊形AEGF是平行四邊形，
∴四邊形AEGF是菱形，
∴∠EAF=2∠BAC=120°，
當AD⊥BC最小時，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面積最小，
∵∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=，
∴四邊形AEGF的面積的最小值=．
故選D
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定與性質、對稱的性質；熟練掌握平行四邊形的性質，證明四邊形是菱形是解決問題的關鍵．
19．如圖，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，AC＋BD＝12，則四邊形ABCD的面積最大值是（ ）
A．12B．18C．24D．36
答案：B
分析：設AC=x，則BD=12-x，根據題意表示出四邊形ABCD的面積，根據二次函數的性質解答．
【詳解】解：設AC=x，則BD=12?x，
則四邊形ABCD的面積=AC×BD
=×x×(12?x)
=? x2+6x
=? (x?6)2+18，
∴當x=6時，四邊形ABCD的面積最大，最大值是18，
故選B．
【點睛】本題考查的是三角形的面積計算，掌握二次函數的性質、四邊形的面積公式是解題的關鍵．
20．如圖，菱形ABCD中，∠DAB=60°，點P是對角線AC上的動點，點M在邊AB上，且AM=4，則點P到點M與到邊AB的距離之和的最小值是( )
A．4B．C．D．
答案：B
【詳解】試題解析：作M關于AC的對稱點M′，
則M′在AD上,且AM′=AM=4，
過M′作M′N⊥AB交AC于P，
則此時,點P到點M與到邊AB的距離之和的最小,且等于M′N，
∴△AMM′是等邊三角形，
即點P到點M與到邊AB的距離之和的最小值是
故選B.
21．如圖，OM＝2，MN＝6，A為射線ON上的動點，以OA為一邊作內角∠OAB＝120°的菱形OABC，則BM＋BN的最小值為 （ ）
A．B．6C．D．
答案：C
【詳解】解：如圖，連接OB，OB1，
∵菱形OABC，∠OAB=120°，∴∠OBA=30°，
同理可證，∠OB1A1=30°，
在四邊形BAA1B1中，∠ABB1=360°－60°－30°－120°=150°，
∴∠OBA+∠ABB1=180°，
∴O、B、B1三點共線，
∴要求BM+BM最小，即要在射線OB1上找一點B使得B點到M、N點的距離之和最小，
如圖，作點N關于射線OD的對稱點N＇,連接M N＇交射線OD于點B，此時BM+BN最小，作MC⊥NN＇交NN＇于點C，
∵OA⊥NN＇，∴MC∥OA，∴∠O=∠CMN=30°，
∵OM=2，MN=6，∴ON=8，∴AN=AN＇=4，CN=3，∴MC=3，AC=1，∴CN＇=5，
∴BM+BN=BM+BN＇=M N＇,
（M N＇）2=（MC）2+（CN＇） 2=27+25=52，
∴M N＇=2．
故選C．
【點睛】本題考查求線段之和最小，可以往“將軍飲馬”問題上考慮，先找出使距離之和最小的點的位置，要求線段之和一般作垂線，借助勾股定理來求．
22．如圖菱形ABCD的對角線AC=6，BD=8，點E為AB邊的中點，點F、P為BC、AC邊上的動點，則PE+PF的最小值為（ ）．
A．5B．4.8C．4.5D．4
答案：B
【詳解】先根據菱形的性質求出其邊長，再作E關于AC的對稱點E′，過E′作AD的垂線交BC于點F′，連接E′F′，則E′F′的長度即為PE+PF的最小值，最后根據菱形的面積求出E′F的長度即可．
解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC=6，BD=8，
∴AD= =5，
作E關于AC的對稱點E′，過E′作AD的垂線交BC于點F′，連接E′F′，則E′F′的長度即為PE+PF的最小值，
∵
∴
即
故選B．
點睛： 本題主要考查菱形的性質及最短路徑. 解題的關鍵在于要利用菱形的軸對稱的特性將點E從AB邊變換到AD邊上，再根據平行線間的距離最短即可得到PE+PF的最小值.
23．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（ ）
A．2B．2C．4D．2+2
答案：B
【詳解】試題分析：根據軸對稱確定最短路線問題，作點P關于BD的對稱點P′，連接P′Q與BD的交點即為所求的點K，然后根據直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質可知P′Q⊥CD時，PK+QK的最小值，然后求解即可．
解：作點P關于BD的對稱點P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，
∵AB=4，∠A=120°，
∴點P′到CD的距離為4×=2，
∴PK+QK的最小值為2，
故選B．
考點：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質．
第II卷（非選擇題）
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二、填空題(共0分)
24．如圖，在菱形ABCD中，，，點M為邊中點，點E為菱形四條邊上的一個動點，沿的方向運動，連接，以為邊作直角三角形，其中，，在點E運動的過程中，線段長度的最大值為______．
答案：
分析：根據點E在菱形的邊、、、的運動，可確定點F的運動路徑，即可求得的最大值．
【詳解】如圖，當點E在上時，則點F在射線運動，當運動到點B時，點F點運動到點，且；當點E在上時，則點F在線段上運動，且；當點E在上時，則點F在線段上運動，且；當點E在上時，，則點F在線段上運動，且，；所以點F的運動路徑是一個菱形，其邊長為4，當點E與點D重合，點F與點重合時，最長；連結；
∵在菱形ABCD中，，，點M為邊中點，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴在中，；
所以線段長度的最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的性質與判定，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，確定點F的運動路徑是解題的關鍵與難點．
25．兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對角線上的動點到三點距離之和的最小值是__________．
答案：
分析：由題意易得四邊形是菱形，過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，易得，，然后根據勾股定理可得，則，，進而可得，要使為最小，即的值為最小，則可過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，最后根據“胡不歸”問題可求解．
【詳解】解：∵紙條的對邊平行，即，
∴四邊形是平行四邊形，
∵兩張紙條的寬度都為，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，如圖所示：
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖所示：
∴，
要使的值為最小，則需滿足為最小，根據三角不等關系可得：，所以當B、P、M三點共線時，取最小，即為BM的長，如圖所示：
∴，
∴，
∴的最小值為，即的最小值為；
故答案為．
【點睛】本題主要考查三角函數、菱形的性質與判定及含30°直角三角形的性質，解題的關鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據三角函數及菱形的性質進行求解即可．
26．如圖，菱形ABCD的邊長為6，，對角線BD上有兩個動點E、F（點E在點F的左側），若，則的最小值為________．
答案：
分析：作AM⊥AC，連接CM交BD于F，根據菱形的性質和等邊三角形的判定和性質以及勾股定理解答即可．
【詳解】如圖，連接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，連接CM交BD于F，
∵AC，BD是菱形ABCD的對角線，
∴BD⊥AC，
∵AM⊥AC，
∴AM∥BD，
∴AM∥EF，
∵AM＝EF，AM∥EF，
∴四邊形AEFM是平行四邊形，
∴AE＝FM，
∴AE＋CF＝FM＋FC＝CM，
根據兩點之間線段最短可知，此時AE＋FC最短，
∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°
∴BC＝AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝6，
在Rt△CAM中，CM＝
∴AE＋CF的最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查菱形的性質、平行四邊形的判定和性質、兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，屬于中考填空題中的壓軸題．
27．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，點E，F分別是邊AB，AD上的動點，且AE＋AF＝a，則線段EF的最小值為_____．
答案：
【詳解】解：連接AC、CE、CF，如圖所示：
∵四邊形ABCD是邊長為a的菱形，∠B＝60°，
∴△ABC、△CAD都是邊長為a的正三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°，
∵AE＋AF＝a，
∴AE＝a－AF＝AD－AF＝DE，
在△ACE和△DCF中，，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴∠ACE＝∠DCF，
∴∠ACE＋∠ACF＝∠DCF＋∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF，
當動點E運動到點B或點A時，CE的最大值為a，
當CE⊥AB，即E為BD的中點時，CE的最小值為a，
∵EF＝CE，
∴EF的最小值為a．
故答案為：．
28．如圖所示，四邊形中，于點，，，的面積為12，點為線段上的一個動點．過點分別作于點，作于點．連接，在點運動過程中，的最小值是______．
答案：7.8
分析：證四邊形ABCD是菱形，得CD=AD=5，連接PD，由三角形面積關系求出PM+PN=4.8，得當PB最短時，PM+PN+PB有最小值，則當BP⊥AC時，PB最短，即可得出答案．
【詳解】解：∵AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∵△ABD的面積為12，
∴BD?AO=12，
∴AO=CO=4，
∴AD=5，
∴CD=AD=5，
連接PD，如圖所示：
∵，
∴AD?PM+DC?PN=AC?OD，
即×5×PM+×5×PN=×8×3，
∴5（PM+PN）=8×3，
∴PM+PN=4.8，
∴當PB最短時，PM+PN+PB有最小值，
由垂線段最短可知：當BP⊥AC時，PB最短，
∴當點P與點O重合時，PM+PN+PB有最小值，最小值=4.8+3=7.8，
故答案為：7.8．
【點睛】本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理、最小值問題以及三角形面積等知識；熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．
29．四邊形ABCD是軸對稱圖形，對稱軸為直線BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，點M、N分別為BD、BC的中點，點P、Q分別是線段AB、MN上的動點，則AP﹣PQ的最大值為______．
答案：2
分析：如圖，連接CM，CP，CQ．證明△CMN是邊長為2的等邊三角形，再證明PA=PC，推出PA-PQ=PC-PQ≤CQ，求出CQ的最大值，可得結論．
【詳解】解：如圖，連接CM，CP，CQ．
∵四邊形ABCD是軸對稱圖形，對稱軸為直線BD，
∴AB=BC，AD=DC，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，
∵AB=AD=4，∠ABD=30°，
∴AB=BC=AD=DC=4，∠ABD=∠CBD=∠CDB=30°，
∴四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∵CB=CD=4，BM=DM，
∴CM⊥BD，
∴CM=BC=2，
∵BN=CN，
∴MN=BN=NC=2，
∴CM=CN=MN=2，
∴△CMN是等邊三角形，
∵A，C關于BD對稱，
∴PA=PC，
∴PA-PQ=PC-PQ≤CQ，
∵點Q在線段MN上，
∴當點Q與M或N重合時，CQ的值最大，最大值為2，
∴PA-PQ≤2，
∴PA-PQ的最大值為2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查軸對稱最短問題，菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題．
30．如圖所示，四邊形中，于點，，，點為線段上的一個動點．過點分別作于點，作于點．連接，在點運動過程中，的最小值等于_______．
答案：
分析：作點關于的對稱點，連接，根據題意先證明四邊形是菱形，則 ，，可知，進而可知，共線，根據等面積法求得，當時最短即的長，進而求得的最小值為．
【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接，
，，
于點，，，
四邊形是菱形，
，，，
在和中
，
（ASA），
，
，
，
，，
，
，
三點共線，
，
，
，
當時最短即的長，
的最小值為，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，菱形的判定與性質，勾股定理，軸對稱，找到的最小值為是解題的關鍵．