請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得AP＋BP的值最小．小明的思路是：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線l的交點(diǎn)P即為所求．
請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
(1)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，設(shè)與直線l的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作，垂足為D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，寫出AP＋BP的值；
(2)將（1）中的條件“AC＝1”去掉，換成“”，其它條件不變，寫出此時(shí)AP＋BP的值；
(3)請(qǐng)結(jié)合圖形，求出的最小值．
(1)解：如圖2，
∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴△APC為等腰直角三角形，
∴PA＝，∠APO=45°，
∵作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，
∴PA′＝PA＝，∠A′PC=∠APC=45°，∵，
∴∠B=90°-∠BPD=90°-45°=45°，∴∠BPD=∠B，∴PD=BD=2，
∴BP=，∴AP+PB＝+2＝3；
(2)解：作A′E∥l，交BD的延長(zhǎng)線于E，如圖3，
∵A′C⊥l，BD⊥l，
∴∠A′CD=∠EDC=90°，
∵A′E∥l，∴A′C⊥A′E，
∴∠CA′E=90°，
∴∠A′CD=∠EDC=∠CA′E=90°，，
∴四邊形A′EDC是矩形，
∴A′E＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，∴BD+AC＝BD+DE＝4，即BE＝4，在RT△A′BE中，A′B＝＝5，
∴AP+BP＝5，
(3)解：如圖3，設(shè)AC＝2m﹣2，PC＝1，則PA＝；設(shè)BD＝8﹣2m，PD＝2，則PB＝，∵DE＝A′C＝AC=2m﹣2，
∴BE＝BD+DE＝2m-2+8-2m=6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，
∴PA+PB＝A′B＝＝．
即的最小值為．
【綜合解答】
1．如圖所示，有一個(gè)長(zhǎng)、寬各2米，高為3米的無蓋長(zhǎng)方體紙盒放在桌面上，一只昆蟲從頂點(diǎn)要爬到頂點(diǎn)，那么這只昆蟲爬行的最短路程為（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
2．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B在棱上且離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（ ）
A．25B．5C．D．5
3．如圖，點(diǎn)，分別為軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，，過作軸．點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．9C．D．
4．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，連接對(duì)角線AC，將△ADC沿射線CA的方向平移得到△A'D'C'，分別連接BC'，AD'，BD'，則BC'＋BD'的最小值為________．
5．已知△ABC的面積等于3，AB=3，則AC+BC的最小值等于___________．
6．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD＝120°，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF'，連接AF'、BF'，則△ABF'的周長(zhǎng)的最小值是________________．
7．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)．且，連接、，則的最小值為___．
8．如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過，作，，連接，，已知，，，設(shè)．請(qǐng)用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)為_________，根據(jù)上述方法，求出的最小值為_____．
9．如圖，在中，是邊上的高，垂足為，已知上方有一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等，則的周長(zhǎng)最小值為_________________．
10．如圖，，、分別在、上，且，，點(diǎn)、分別在、上，則的最小值是______．
11．如圖，動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)，且AM⊥BM，P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，則線段PE+PM的最小值為_______．
12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)M在AC邊上，且AM=1，MC=3，動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上，連接PC，PM，則PC+PM的最小值是________．
13．如圖，將邊長(zhǎng)為6的正三角形紙片ABC按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開后，得折痕AD、BE．(如圖①)，點(diǎn)O為其交點(diǎn)．如圖②，若P、N分別為BE、BC上的動(dòng)點(diǎn)．如圖③，若點(diǎn)Q在線段BO上，BQ=1，則QN+NP+PD的最小值=_______．
三、解答題(共0分)
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)在x軸正半軸上，且．．
(1)求AB；
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得最小？若存在，請(qǐng)求出的最小值；
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)．
15．請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得AP＋BP的值最?。∶鞯乃悸肥牵喝鐖D2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線l的交點(diǎn)P即為所求．
請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
(1)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，設(shè)與直線l的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作，垂足為D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，寫出AP＋BP的值；
(2)將（1）中的條件“AC＝1”去掉，換成“”，其它條件不變，寫出此時(shí)AP＋BP的值；
(3)請(qǐng)結(jié)合圖形，求出的最小值．
16．問題背景：在中，已知，，三邊長(zhǎng)為，，，求這個(gè)三角形的面積．
小輝在答題時(shí)先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法．
(1)若三邊的長(zhǎng)分別為，，（），請(qǐng)運(yùn)用構(gòu)圖法求出的面積；
(2)若三邊的長(zhǎng)分別為，，（，，且），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出的面積；
(3)已知，都是正數(shù)，，求的最小值．
專題12 將軍飲馬與勾股定理
【例題講解】
請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得AP＋BP的值最?。∶鞯乃悸肥牵喝鐖D2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線l的交點(diǎn)P即為所求．
請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
(1)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，設(shè)與直線l的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作，垂足為D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，寫出AP＋BP的值；
(2)將（1）中的條件“AC＝1”去掉，換成“”，其它條件不變，寫出此時(shí)AP＋BP的值；
(3)請(qǐng)結(jié)合圖形，求出的最小值．
(1)解：如圖2，
∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴△APC為等腰直角三角形，
∴PA＝，∠APO=45°，
∵作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，
∴PA′＝PA＝，∠A′PC=∠APC=45°，∵，
∴∠B=90°-∠BPD=90°-45°=45°，∴∠BPD=∠B，∴PD=BD=2，
∴BP=，∴AP+PB＝+2＝3；
(2)解：作A′E∥l，交BD的延長(zhǎng)線于E，如圖3，
∵A′C⊥l，BD⊥l，
∴∠A′CD=∠EDC=90°，
∵A′E∥l，∴A′C⊥A′E，
∴∠CA′E=90°，
∴∠A′CD=∠EDC=∠CA′E=90°，，
∴四邊形A′EDC是矩形，
∴A′E＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，∴BD+AC＝BD+DE＝4，即BE＝4，在RT△A′BE中，A′B＝＝5，
∴AP+BP＝5，
(3)解：如圖3，設(shè)AC＝2m﹣2，PC＝1，則PA＝；設(shè)BD＝8﹣2m，PD＝2，則PB＝，∵DE＝A′C＝AC=2m﹣2，
∴BE＝BD+DE＝2m-2+8-2m=6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，
∴PA+PB＝A′B＝＝．
即的最小值為．
【綜合解答】
1．如圖所示，有一個(gè)長(zhǎng)、寬各2米，高為3米的無蓋長(zhǎng)方體紙盒放在桌面上，一只昆蟲從頂點(diǎn)要爬到頂點(diǎn)，那么這只昆蟲爬行的最短路程為（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
答案：C
【解析】
分析：
分別畫出三個(gè)路徑的示意圖，利用勾股定理求出路程，再?gòu)闹姓页鲎疃搪烦碳纯桑?br>【詳解】
解：由題意，有以下三個(gè)路徑：
①如圖，路徑一：
則這只昆蟲爬行的路程為（米）；
②如圖，路徑二：
則這只昆蟲爬行的路程為（米）；
③如圖，路徑三：
則這只昆蟲爬行的路程為（米）；
因?yàn)椋?br>所以這只昆蟲爬行的最短路程為5米，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確畫出三個(gè)路徑的示意圖是解題關(guān)鍵．
2．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B在棱上且離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（ ）
A．25B．5C．D．5
答案：A
【解析】
分析：
要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．
【詳解】
只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖
∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：
∴；
只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：
∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：
∴；
只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖：
∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：
∴；
∵25＜＜，
∴螞蟻爬行的最短距離是25，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．
3．如圖，點(diǎn)，分別為軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，，過作軸．點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．9C．D．
答案：B
【解析】
分析：
作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)，求得的最小值，進(jìn)而求得的最小值
【詳解】
解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，
，，
當(dāng)共線時(shí)，最短
則的最小值為
是直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
點(diǎn)，，
即的最小值為9
故選B
【點(diǎn)睛】
本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和最小值，圖形與坐標(biāo)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值問題是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，連接對(duì)角線AC，將△ADC沿射線CA的方向平移得到△A'D'C'，分別連接BC'，AD'，BD'，則BC'＋BD'的最小值為________．
答案：
【解析】
分析：
構(gòu)造平行四邊形將線段轉(zhuǎn)為，利用最短路徑即可解決問題．
【詳解】
如圖，連接，當(dāng)?shù)妊谥本€上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，
，且，
四邊形為平行四邊形，
，
作點(diǎn)關(guān)于直線DD'對(duì)稱到點(diǎn)，
，
構(gòu)造，根據(jù)勾股定理，得
．
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題考查動(dòng)態(tài)幾何，軸對(duì)稱最短路線問題，正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)以及最短路徑．
5．已知△ABC的面積等于3，AB=3，則AC+BC的最小值等于___________．
答案：5
【解析】
分析：
由△ABC的面積等于3，AB=3，可知AB邊上的高為2，過點(diǎn)C作CD∥AB，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，交CD于點(diǎn)D，連接，此時(shí)與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AC，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．
【詳解】
解：過點(diǎn)C作CD∥AB，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交CD于點(diǎn)D，連接，此時(shí)與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AC，此時(shí)AC+BC的值最小，如圖，
由題可知，，，
∴，
∴AC+BC的最小值，
在中，，
∴AC+BC的最小值=5．
故答案為5．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路徑問題以及勾股定理．
6．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD＝120°，E是邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF'，連接AF'、BF'，則△ABF'的周長(zhǎng)的最小值是________________．
答案：4+2
【解析】
分析：
取AD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)'G，BE，作BH⊥DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，利用全等三角形的性質(zhì)證明∠F'GA＝60°，點(diǎn)F'的軌跡為射線GF'，易得A、E關(guān)于GF'對(duì)稱，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解決周長(zhǎng)最小問題．
【詳解】
解：取AD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)'G，BE，作BH⊥DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴△ACD為等邊三角形，
又∵DE＝DG，
∴△DEG也為等邊三角形．
∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，
∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，
即∠DEF＝∠GEF'，
由線段EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF'，
所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，
，
∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，
∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
則點(diǎn)F'的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線GF'．
觀察圖形，可得A，E關(guān)于GF'對(duì)稱，
∴AF'＝EF'，
∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，
∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，
∴，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，
∴BF'+EF'≥2，
∴△ABF'的周長(zhǎng)的最小值為AB+BF'+EF'＝4+2，
故答案為：4+2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形等知識(shí)，解題關(guān)鍵在于學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
7．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)．且，連接、，則的最小值為___．
答案：
【解析】
分析：
連接，證，的最小值等于的最小值．作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接，求出即可．
【詳解】
解：如圖1，連接，
∵四邊形是正方形，
∴．
又∵
的最小值等于的最小值．
如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接，則A、B、H三點(diǎn)共線，連接 與的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)E．根據(jù)對(duì)稱性可知
．
在中，，
∴的最小值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、最短路徑問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)證明三角形全等，利用軸對(duì)稱得出最短路徑為．
8．如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過，作，，連接，，已知，，，設(shè)．請(qǐng)用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)為_________，根據(jù)上述方法，求出的最小值為_____．
答案： 13
【解析】
分析：
由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最??；于是可作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值．
【詳解】
解：AC+CE=；
當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最?。?
如右圖所示，作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，
設(shè)BC=x，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式的最小值．
過點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，
則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE==13，
即的最小值為13，
故答案為：；13．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了軸對(duì)稱求最短路線以及勾股定理等知識(shí)，本題利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．
9．如圖，在中，是邊上的高，垂足為，已知上方有一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等，則的周長(zhǎng)最小值為_________________．
答案：
【解析】
分析：
取AD的中點(diǎn)H，作HF//BC，作B關(guān)于HF的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE與直線FH交于P，點(diǎn)P即為所求，然后根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】
∵P到AD兩點(diǎn)的距離相同，
∴P在線段AD的垂直平分線上，
取AD的中點(diǎn)H，作HF//BC，作B關(guān)于HF的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE與直線FH交于P，點(diǎn)P即為所求
∴∠BFH=90°，BF=EF，EP=BP
∵要使△BCP的周長(zhǎng)最小，
∴BP+CP最小，即為CE長(zhǎng)，
又∵EF//BC，∠ADC=90°
∴∠FHD=∠HDB=90°
∴四邊形BDHF是矩形，
∴BF=DH=EF=，∠FBD=90°，
∴
∵，
∴，
△BCP的周長(zhǎng)最小值=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
10．如圖，，、分別在、上，且，，點(diǎn)、分別在、上，則的最小值是______．
答案：
【解析】
分析：
作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值，由勾股定理求出M′N′即可．
【詳解】
解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接，，如圖所示：
∴根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=40°，，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，
過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于E，則，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了軸對(duì)稱—最短路徑問題，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)，且AM⊥BM，P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，則線段PE+PM的最小值為_______．
答案：
【解析】
分析：
作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E'，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OE'，交DC于點(diǎn)P，連接PE，由軸對(duì)稱的性質(zhì)及90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，可知線段PE+PM的最小值為OE'的值減去以AB為直徑的圓的半徑OM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】
解：作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E'，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OE'，交DC于點(diǎn)P，連接PE，如圖所示：
∵動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)，且AM⊥BM，
∴點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，OM=AB=2，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴DE=AD=×4=2，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)E'關(guān)于DC對(duì)稱，
∴DE'=DE=2，PE=PE'，
∴AE'=AD+DE'=4+2=6，
在Rt△AOE'中，，
∴線段PE+PM的最小值為：
PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路線問題、圓周角定理的推論、正方形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，作出輔助線，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理，是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)M在AC邊上，且AM=1，MC=3，動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上，連接PC，PM，則PC+PM的最小值是________．
答案：
【解析】
分析：
如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，則當(dāng)P、M、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為，證明即可利用勾股定理求解．
【詳解】
解：如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，
∴，
∴，
要使最小，則最小，
∴當(dāng)P、M、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱最短路徑問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，將邊長(zhǎng)為6的正三角形紙片ABC按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開后，得折痕AD、BE．(如圖①)，點(diǎn)O為其交點(diǎn)．如圖②，若P、N分別為BE、BC上的動(dòng)點(diǎn)．如圖③，若點(diǎn)Q在線段BO上，BQ=1，則QN+NP+PD的最小值=_______．
答案：
【解析】
分析：
如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q1，點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D1，連接D1Q1，交BE于P，BC于N，連接BQ1，QN、PD，由等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠CBE=∠Q1BN=∠ABE=30°，BQ=BQ1，BD=BD1，PD=PD1，NQ=NQ1，即可得Q1D1是QN+NP+PD的最小值，可得△BQ1Q和△BD1D是等邊三角形，根據(jù)∠CBE=∠Q1BN=∠ABE=30°，可得∠ABQ1=90°，由AD是折痕可得BD=BC，利用勾股定理求出Q1D1的長(zhǎng)即可得答案．
【詳解】
如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q1，點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D1，連接D1Q1，交BE于P，BC于N，連接BQ1，QN、PD，
∵△ABC是等邊三角形，AD、BE是折痕，
∴∠CBE=∠Q1BN=∠ABE=30°，點(diǎn)D1在AB上，BD=BC=3，∠ABC=60°，
∴∠ABQ1=90°，∠Q1BQ=60°，
∵點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D1，點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D1，
∴BQ=BQ1，BD=BD1，PD=PD1，NQ=NQ1，
∴△BQ1Q和△BD1D是等邊三角形，Q1D1是QN+NP+PD的最小值，
∴BQ1=BQ=1，BD1=BD=3，
∴Q1D1==．
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱——最短路徑問題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義得出相等的線段是解題關(guān)鍵．
三、解答題(共0分)
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)在x軸正半軸上，且．．
(1)求AB；
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得最??？若存在，請(qǐng)求出的最小值；
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)．
答案：(1)5
(2)
(3)（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【解析】
分析：
（1）根據(jù)題意求出a、b的值，運(yùn)用勾股定理可求AB的值；
（2）首先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)連接，求解即可；
（3）根據(jù)AB是腰分類討論即可．
(1)
解：∵
∴a=4，b=3
∴OA=4，OB=3
根據(jù)勾股定理可得
∴
所以AB長(zhǎng)度為5．
(2)
解：存在點(diǎn)P，使得PB+PD最小值為
如圖；過點(diǎn)D作軸，交y軸于點(diǎn)E，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)連接，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，
∵
∴
在和中

∴
∴OB=AE=3，OA=DE=4
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，7）
∵，DF=7
根據(jù)勾股定理可得

∴
∴PB+PD最小值為．
(3)
解：當(dāng)AB=AM時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（-3，0）
當(dāng)BA=BM時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（8，0）、（-2，0）
∴使以AB為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【點(diǎn)睛】
本題是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理、對(duì)稱求線段和最小、等腰三角形的判定．
16．問題背景：在中，已知，，三邊長(zhǎng)為，，，求這個(gè)三角形的面積．
小輝在答題時(shí)先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法．
(1)若三邊的長(zhǎng)分別為，，（），請(qǐng)運(yùn)用構(gòu)圖法求出的面積；
(2)若三邊的長(zhǎng)分別為，，（，，且），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出的面積；
(3)已知，都是正數(shù)，，求的最小值．
答案：(1)；
(2)
(3)
【解析】
分析：
（1）用三角形所在的長(zhǎng)方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積即可；
（2）先畫出圖形，然后再用三角形所在的長(zhǎng)方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積即可；
（3）由題意可得已知，，，，，當(dāng)在一條直線上時(shí)，最小，過點(diǎn)A作AF∥BD，交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可得，，最后運(yùn)用勾股定理解答即可．
(1)
解：構(gòu)造所示，
．
(2)
解：構(gòu)造所示，
．
(3)
解：如圖，已知，，，，，當(dāng)在一條直線上時(shí)，最小，過點(diǎn)A作AF∥BD，交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∴，，
∴，
∴AC+CE的最小值為，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了勾股定理、求三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．

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