1．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．
2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為 ，是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與端點(diǎn)不重合 ），于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，正方形ABCD，AB＝，E、F、G、H分別為DA、AB、BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且EG⊥FH，則四邊形EFGH的面積最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，、是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖邊長(zhǎng)為4的正方形中，為邊上一點(diǎn)，且， 為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段 ，連接，則的最小值為（ ）
A．B．4C．D．
7．如圖，在正方形中，、分別為、上的點(diǎn)，且平分，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，若正方形邊長(zhǎng)為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，E、F是正方形邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，連接交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，將其繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到正方形CEFG，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，則線段AE的最小值為（ ）
A．B．-1C．0．5D．
10．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M和N分別從B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD向終點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN，交于點(diǎn)P，連接PC，則PC長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．2－2B．2C．3－1D．2
11．如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA上，且D的坐標(biāo)為(2，0)，P是OB上的動(dòng)點(diǎn)，試求PD?PA和的最小值是（ ）
A．2B．C．2D．6
12．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，滿足則的最小值為（ ）

A．B．C．D．
13．如圖，E，F(xiàn)是正方形邊上的兩點(diǎn)，，以為邊向正方形內(nèi)作矩形，，若矩形在正方形內(nèi)可隨線段進(jìn)行自由滑動(dòng)，則正方形邊長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．4C．D．
14．如圖，正方形邊長(zhǎng)為，，分別為線段，上一點(diǎn)，且，，與相交于，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
15．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF＋DE的最小值為（）
A．B．C．D．
16．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上-動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段所在直線的解析式為，E是的中點(diǎn)、P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
18．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，線段PQ在斜邊AC上運(yùn)動(dòng)，且PQ=2．連接BP，BQ．則△BPQ周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．B．C．8D．
19．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
20．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為（ ）
A．B．5C．D．
21．如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形中，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，為中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．10B．C．D．
22．如圖，正方形的面積是4，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
A．2B．C．4D．
23．在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)分別在邊上，如果，，則四邊形周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
24．如圖，點(diǎn)E、F是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD邊AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AF＝DE，BE交CF于點(diǎn)P，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PA的最小值為（ ）
A．2B．2C．4﹣2D．2﹣2
25．如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊上，且，P為對(duì)角線上一點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于的最小值的是
A．B．C．D．
26．如圖，已知線段AB=12，點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=2，點(diǎn)P是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，分別以線段AP、BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APDC、正方形PBFE，點(diǎn)G、H分別是CD、EF的中點(diǎn)，點(diǎn)O是GH的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)從M點(diǎn)到N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OM+OB的最小值是（ ）
A．10B．12C．2 D．12
27．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3厘米，正方形AEFG的邊長(zhǎng)為1厘米．如果正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，那么C，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離的最大值為( )
A．cmB．3cmC．cmD．4cm
28．如圖，正方形ABCD與矩形EFGH在直線的同側(cè)，邊AD，EH在直線上，且AD=5 cm,EH=4 cm, EF=3 cm.保持正方形ABCD不動(dòng)，將矩形EFGH沿直線左右移動(dòng)，連接BF、CG，則BF+CG的最小值為（ ）
A．4B．C．D．5
29．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．
30．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，滿足AB=MN，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，連接AN、PM，若AB=6，則當(dāng)AN+PM取最小值時(shí)，線段AN的長(zhǎng)度為（ ）
A．4B．2C．6D．3
專題24 正方形中的最值小題特訓(xùn)30道
1．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．
答案：C
分析：由正方形的對(duì)稱性可知點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BM交AC于N′點(diǎn)，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，
連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，N′即為所求的點(diǎn)，
則BM的長(zhǎng)即為DN+MN的最小值，
∴AC是線段BD的垂直平分線，
又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，
在Rt△BCM中，BM＝ ，
故DN+MN的最小值是5．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題及正方形的性質(zhì)，先作出M關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，由軸對(duì)稱及正方形的性質(zhì)判斷出點(diǎn)M′在BC上是解答此題的關(guān)鍵．
2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為 ，是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與端點(diǎn)不重合 ），于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：連接 ，易證四邊形是矩形，可得；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，根據(jù)“垂線段最短” ，可知點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，則此時(shí)長(zhǎng)度的值最小．因?yàn)樗倪呅问钦叫?，可以證明此時(shí)的△是等腰直角三角形，據(jù)此即可求得答案 ．
【詳解】連接 ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，
又∵，，
∴四邊形ANOM是矩形，
∴，即AO取最小值時(shí)，MN最小，
當(dāng)時(shí)，AO最短，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴;
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形以及矩形的性質(zhì)，垂線段最短，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，正方形ABCD，AB＝，E、F、G、H分別為DA、AB、BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且EG⊥FH，則四邊形EFGH的面積最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作EN⊥BC于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥CD于點(diǎn)M，通過(guò)證明△FMH≌△ENG得出EG＝FH，再由求解．
【詳解】解：作EN⊥BC于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥CD于點(diǎn)M，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴EN＝FM＝AB＝BC＝，
∵EG⊥FH，∠D＝90°，
∴∠DEG+∠MHO＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠DEG+∠EGN＝180°，
∴∠MHO＝∠EGN，
∴△FMH≌△ENG（AAS），
∴EG＝FH，
∵，AB≤EG，
∴四邊形EFGH的面積最小值為AB2＝．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的面積計(jì)算．利用切割法求出是本題解題的關(guān)鍵．
4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，、是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：連接，，根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定EF+BG的最小值為PD的長(zhǎng)度，求出PD的值即可．
【詳解】解：如圖，連接，，
由題意得，為的中位線，
∴且，
∵正方形的邊長(zhǎng)為，
∴，
∴，，
∴且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知，，
∴，
當(dāng)，，在同一條直線上時(shí)，取得最小值，
即此時(shí)的最小值為線段的長(zhǎng)度．
在中，，，
∴,
故的最小值為.
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)及最短路線問(wèn)題，正確確定最短路線是解答此題的關(guān)鍵．
5．如圖，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：取的中點(diǎn)，連接MN，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可求出MN的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求出CM的最小值．
【詳解】解：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，
取的中點(diǎn)，連接MN，CN，
易得，
所以.
在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值不變，
因?yàn)椋?br>當(dāng)，，三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，最小，
此時(shí)．
故選：D
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由題意作出輔助線．
6．如圖邊長(zhǎng)為4的正方形中，為邊上一點(diǎn)，且， 為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段 ，連接，則的最小值為（ ）
A．B．4C．D．
答案：A
分析：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，可得，，利用易證，再根據(jù)四邊形是矩形，可得，,設(shè)，則，，，根據(jù)勾股定理可得，即當(dāng)時(shí)，有最小值．
【詳解】解：如圖示：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
∴，
∴，
又∵
∴
∵，四邊形是正方形，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，,
設(shè)，則，， ，
在中，，
即當(dāng)時(shí)，有最小值，
∴當(dāng)時(shí)，最小值是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，最值等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在正方形中，、分別為、上的點(diǎn)，且平分，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，若正方形邊長(zhǎng)為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：連接EG，BP，由題意得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，的值最小=BF，再證明，從而得是等腰直角三角形，設(shè)CF=BE=GE=x，則EC=，列方程求出x的值，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：連接EG，BP，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴=，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，的值最小=BF，
∵在正方形中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵，
∴，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABM=∠CBF+∠ABM=90°，
即：∠AMB=∠AMG=90°，
∵平分，
∴∠BAM=∠GAM，
又∵AM=AM，
∴
∴AB=AG，
又∵AE=AE，
∴
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴設(shè)CF=BE=GE=x，
則EC=，
∴x+=，
解得：，
∴BF=，
即：，
∴=．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形來(lái)求解．
8．如圖，E、F是正方形邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，連接交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：延長(zhǎng)AG交CD于M，如圖1，可證△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再證△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可證△ABE≌△ADM，可得H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)，取AB中點(diǎn)O，連接OD，OH，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得不等式，可解得DH長(zhǎng)度的最小值．
【詳解】解：延長(zhǎng)AG交CD于M，如圖1
∵ABCD是正方形
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC
∴△ADM≌△CDF
∴FD=DM且AE=DF
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°
∴△ABE≌△ADM
∴∠DAM=∠ABE
∵∠DAM+∠BAM=90°
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°
∴點(diǎn)H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)．
如圖2，取AB中點(diǎn)O，連接OD，OH
∵AB=AD=2，O是AB中點(diǎn)，∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是證點(diǎn)H是以AB為直徑的圓上一點(diǎn)．
9．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，將其繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到正方形CEFG，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，則線段AE的最小值為（ ）
A．B．-1C．0．5D．
答案：B
分析：分析題易可知點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以DC為半徑以C為圓心的圓，當(dāng)A，E，C三點(diǎn)共線且E在正方形ABCD內(nèi)部的時(shí)候AE值最?。?br>【詳解】解：如圖所示，連接AC
∵正方形邊長(zhǎng)為1
∴AC=
當(dāng)A，E，C三點(diǎn)共線且E在正方形ABCD內(nèi)部的時(shí)候AE值最小
∴AE=AC-CE=-1
故選：B
10．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M和N分別從B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD向終點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN，交于點(diǎn)P，連接PC，則PC長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．2－2B．2C．3－1D．2
答案：A
分析：先證明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，證出∠APB＝90°，得出點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑一條弧BG，連接OC交圓O于P，此時(shí)PC最小，OP＝OB＝2，即可求解．
【詳解】由題意得：BM＝CN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP＋∠CBN＝90°，
∴∠ABP＋∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，運(yùn)動(dòng)路徑一條弧BG，是這個(gè)圓的，
連接OC交圓O于P，此時(shí)PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC?OP＝2?2；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證出點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)是解題關(guān)鍵．
11．如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA上，且D的坐標(biāo)為(2，0)，P是OB上的動(dòng)點(diǎn)，試求PD?PA和的最小值是（ ）
A．2B．C．2D．6
答案：A
分析：根據(jù)題意作出D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，則D′的坐標(biāo)是（0，2）．則PD+PA的最小值就是AD′的長(zhǎng)，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：作出D關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D′，
則D′的坐標(biāo)是（0，2）．則PD+PA的最小值就是AD′的長(zhǎng)．
則OD′=2，
因而AD′=．
則PD+PA和的最小值是2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)以及最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意正確作出P的位置以及運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，滿足則的最小值為（ ）

A．B．C．D．
答案：D
分析：連接，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′、EA′，易得，當(dāng)D、E、A′在同一直線時(shí)，最小，利用勾股定理求解即可．
【詳解】連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)及，可得△DCE≌△ADF，
則有，
，
作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′、EA′，
則AE=A ′E，
即，
當(dāng)D、E、A′在同一直線時(shí)，最小，
AA′=2AB=4，
此時(shí)，在Rt△ADA′中，DA′=，
故的最小值為，
故答案為：D．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)和最短距離問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把兩條線段的和轉(zhuǎn)化在同一條線段上求解．
13．如圖，E，F(xiàn)是正方形邊上的兩點(diǎn)，，以為邊向正方形內(nèi)作矩形，，若矩形在正方形內(nèi)可隨線段進(jìn)行自由滑動(dòng)，則正方形邊長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．B．4C．D．
答案：B
分析：連接HF，如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得HF的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AB于點(diǎn)M，則MB≤HF，于是可得MB的最大值，進(jìn)而可得正方形邊長(zhǎng)的最小值．
【詳解】解：連接HF，如圖，∵四邊形EFGH是矩形，∴∠HEF=90°，
∴，
過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AB于點(diǎn)M，則MB≤HF，∴MB≤4，
根據(jù)題意，AB≥MB，
∴正方形邊長(zhǎng)的最小值為4．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，正確理解題意、熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，正方形邊長(zhǎng)為，，分別為線段，上一點(diǎn)，且，，與相交于，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)K，EI+IJ=KI+KJ，當(dāng)EJ⊥DF時(shí)有最小值，如下圖所示，延長(zhǎng)KJ交DC于N點(diǎn)，過(guò)N作NM∥AD，得到△KMN≌△FCD，再由△DJ0N∽△DCF求出J0N，最后KN減去J0N即為所求.
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)K，當(dāng)EJ⊥DF時(shí)EI+IJ有最小值為KJ0，此時(shí)設(shè)KN與DF、CD的交點(diǎn)分別為J0和N點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)作MN∥AD交AB于點(diǎn)M.
∵∠KND+∠FDC=90°，
∠DFC+∠FDC=90°
∴∠KND=∠DFC
又∵AB∥CD
∴∠MKN=∠KND=∠DFC
在△MKN和△CFD中
，∴△MKN≌△CFD(AAS)
∴,
又△DJ0N∽△DCF
∴，代入數(shù)據(jù)：，得
∴.
故答案為：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、線段最值問(wèn)題等，兩條折線段的最值問(wèn)題一般通過(guò)平移、對(duì)稱等轉(zhuǎn)移到一條線段上去，然后再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短或點(diǎn)到直線的距離垂線段最短求解即可.
15．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF＋DE的最小值為（）
A．B．C．D．
答案：D
分析：連接AE，利用△ABE≌△BCF轉(zhuǎn)化線段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，則通過(guò)作A點(diǎn)關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)H，連接DH交BC于E點(diǎn)，利用勾股定理求出DH長(zhǎng)即可．
【詳解】解：解：連接AE，如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H點(diǎn)，如圖2，
連接BH，則A、B、H三點(diǎn)共線，
連接DH，DH與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn)．
根據(jù)對(duì)稱性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝4
∴BF＋DE最小值為4
故選： D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、最短距離問(wèn)題，一般求兩條線段最短距離問(wèn)題，都轉(zhuǎn)化為一條線段．
16．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上-動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：連接 BF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，通過(guò)證明△AED≌△GFE（AAS），確定F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)；作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)C'，由三角形全等得到∠CBF=45°，從而確定C'點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上；當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF=DC'最小，在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，求出DC'=即可．
【詳解】解：連接 BF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF=DE，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG=AE，
∴F點(diǎn)在BF的射線上運(yùn)動(dòng)，
作點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)C'，
∵EG=DA，F(xiàn)G=AE，
∴AE=BG，
∴BG=FG，
∴∠FBG=45°，
∴∠CBF=45°，
∴C'點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，
當(dāng)D、F、C'三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF=DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，
∴DC'=，
∴DF+CF的最小值為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑；能夠?qū)⒕€段的和通過(guò)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段所在直線的解析式為，E是的中點(diǎn)、P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與的交點(diǎn)，即符和條件的點(diǎn)，再求出，的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出的值，即為的最小值．
【詳解】解：作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，
此時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，
∵線段所在直線的解析式為，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4；
當(dāng)y=0時(shí)，x=4；
∴，，
∴，，
是的中點(diǎn)，
∴，
∵是點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，
∴，，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴的最小值是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo)和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，勾股定理，掌握軸對(duì)稱最短路徑的確定方法是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，線段PQ在斜邊AC上運(yùn)動(dòng)，且PQ=2．連接BP，BQ．則△BPQ周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．B．C．8D．
答案：B
分析：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，且點(diǎn)E在AD上方，DE=2，連接BE交AC于點(diǎn)P，取PQ=2，連接BE，DQ，BD．B，P，E三點(diǎn)共線，此時(shí)△BPQ的周長(zhǎng)=BP+BQ+PQ=BE+2最小
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，兩直線相交于點(diǎn)點(diǎn)D；
過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，且點(diǎn)E在AD上方，DE=2，連接BE交AC于點(diǎn)P，取PQ=2，連接DQ，BD，
∴四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)Q是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，AB=6，
∴BQ=QD，BD⊥AC，BD=AC=6，
∵DE∥PQ，DE=PQ，
∵四邊形PQDE為平行四邊形，
∴PE=DQ=BQ，
∵B，P，E三點(diǎn)共線，
∴此時(shí)△BPQ的周長(zhǎng)=BP+BQ+PQ=BE+2最小．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥DE，即∠BDE=90°，
∴BE==2，
∴△BPQ周長(zhǎng)的最小值為2+2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟練運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)和平行四邊形、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
答案：D
分析：連接OD，AC，取OD中點(diǎn)F，由∠OED=90°可證得點(diǎn)E在以O(shè)D中點(diǎn)F為圓心，DF為半徑的圓上，進(jìn)而可知當(dāng)點(diǎn)C、E、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，CE取最小值，由正方形的性質(zhì)可得OD=OC=2，進(jìn)而可得OF=1，最后用勾股定理即可求得CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得CE的最小值．
【詳解】解：連接OD，AC，
由題意可知，在正方形中，OD⊥AC，
∵在△ODE中OD的長(zhǎng)為定值，∠OED始終為90°，
∴點(diǎn)E在以O(shè)D中點(diǎn)F為圓心，OD為直徑的圓上，
連接EF，CE，當(dāng)點(diǎn)C、E、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，CE取最小值，
∵正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)O為正方形中心，
∴，
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴CE的最小值為
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，直徑的判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助圓解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
20．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為（ ）
A．B．5C．D．
答案：A
分析：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，先證明，得到，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形的平行四邊形，得到四邊形為平行四邊形，從而得到，確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，再利用勾股定理求出AG即可．
【詳解】解析：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．
∵，
∴，
∵
∴．
∴，
又∵，

又∵，
∴四邊形為平行四邊形，
連接，交于點(diǎn)．當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)H重合，
∵，CD=AD=，
∵，
即的最小值為，
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)證明四邊形為平行四邊形，確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值．
21．如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形中，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，為中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．10B．C．D．
答案：B
分析：延長(zhǎng)CD到C′，使C′D＝CD，CP＋PM＝C′P＋PM，當(dāng)C′，P，N三點(diǎn)共線時(shí)，C′P＋PM的值最小，根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡是以B為圓心，3為半徑的圓弧上，圓外一點(diǎn)C′到圓上一點(diǎn)M距離的最小值C′M＝C′B?3，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】延長(zhǎng)CD到C′，使C′D＝CD，
CP＋PM＝C′P＋PM，
當(dāng)C′，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，C′P＋PM的值最小，
根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡是以B為圓心，3為半徑的圓弧上，
圓外一點(diǎn)C′到圓上一點(diǎn)M距離的最小值C′M＝C′B?3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B＝，
∴CP＋PM的最小值是?3，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，正方形的面積是4，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
A．2B．C．4D．
答案：B
分析：連接PD，根據(jù)△ADP≌△ABP，即可得出PD＝PB，進(jìn)而得到當(dāng)D，P，E在同一直線上時(shí)，BP＋EP的最小值等于線段DE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得DE的長(zhǎng)，即可得出PE＋PB的最小值為．
【詳解】解：如圖所示，連接，
四邊形是正方形，
，，
又，
，
，
，
當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，的最小值等于線段的長(zhǎng)，
正方形的面積是4，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，，
在中，，
的最小值為，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題和正方形的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．
23．在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)分別在邊上，如果，，則四邊形周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根據(jù)題意正方形ABCD，找出點(diǎn)E和F，然后分別找出點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交AD和CD分別交于點(diǎn)H和G，連接EF、EH和FG，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和垂線段最短即可得出此時(shí)四邊形周長(zhǎng)最小，且最長(zhǎng)值為EF＋，然后利用勾股定理求值即可．
【詳解】解：畫出正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)E，此時(shí)，在BC上找到點(diǎn)F，使，然后分別找出點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交AD和CD分別交于點(diǎn)H和G，連接EF、EH和FG
∴，，CF=
根據(jù)勾股定理可得EF=
根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)：EH=H，EA=A=，F(xiàn)G=G，F(xiàn)C=C=
∴四邊形周長(zhǎng)=EF＋FG＋GH＋EH=EF＋G＋GH＋H=EF＋，其中EF為定值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，此時(shí)四邊形周長(zhǎng)最小，且最長(zhǎng)值為EF＋
在Rt△B中，=AB＋A=，=BC＋C=
根據(jù)勾股定理可得
∴EF＋=
即四邊形周長(zhǎng)的最小值為
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查的是正方形的性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)應(yīng)用和勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)、垂線段最短，對(duì)稱的性質(zhì)和利用勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．
24．如圖，點(diǎn)E、F是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD邊AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AF＝DE，BE交CF于點(diǎn)P，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PA的最小值為（ ）
A．2B．2C．4﹣2D．2﹣2
答案：D
分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取BC的中點(diǎn)O，連接OP、OA，然后求出OP＝CB＝2，利用勾股定理列式求出OA，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，AP的長(zhǎng)度最?。?br>【詳解】解：在正方形ABCD中，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，
在△ABE和△BCF中，
∵，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE＝∠BCF，
∵∠ABE+∠CBP＝90°
∴∠BCF+∠CBP＝90°
∴∠BPC＝90°
如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OP、OA，
則OP＝BC＝2，
在Rt△AOB中，OA＝，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OP+AP≥OA，
∴當(dāng)O、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，AP的長(zhǎng)度最小，
AP的最小值＝OA﹣OP＝﹣2．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系. 確定出AP最小值時(shí)點(diǎn)P的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).
25．如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊上，且，P為對(duì)角線上一點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于的最小值的是
A．B．C．D．
答案：A
分析：連接交于點(diǎn)P，得出PB=PD，可得出PD+PE=PB+PE，線段BE即為所求，結(jié)合已知條件可證，有BE=AF，從而得出答案．
【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)P，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱，
∴，∴的最小值即為的最小值，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)P.
∵，∴，
∵，，
∴，
∴，∴線段的長(zhǎng)等于的最小值．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離等，屬于中等難度題．失分的原因有2個(gè)：（1）不能靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)；（2）對(duì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值掌握不到位．
26．如圖，已知線段AB=12，點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=2，點(diǎn)P是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，分別以線段AP、BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APDC、正方形PBFE，點(diǎn)G、H分別是CD、EF的中點(diǎn)，點(diǎn)O是GH的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)從M點(diǎn)到N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OM+OB的最小值是（ ）
A．10B．12C．2 D．12
答案：C
分析：作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接BM′，與XY交于點(diǎn)O，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)OM+OB=BM′最小，根據(jù)勾股定理即可求出BM'的值．
【詳解】解：作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接BM′，與XY交于點(diǎn)O．O′O″⊥A于O″B．GL⊥AB于L，HT⊥AB于T．
由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，此時(shí)OM+OB=BM′最?。∣′O″= （GL+HT）=6），
在Rt△BMM′中，MM′=2O′O″=2×6=12，BM=10，
由勾股定理得：BM′= =2，
∴OM+OB的最小值為2，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．
27．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3厘米，正方形AEFG的邊長(zhǎng)為1厘米．如果正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，那么C，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離的最大值為( )
A．cmB．3cmC．cmD．4cm
答案：A
分析：當(dāng)C、F的距離最大時(shí)，C、A、F三點(diǎn)在同一條直線上，即CF的最大值為兩個(gè)正方形對(duì)角線的和，由此得解．
【詳解】由圖知：當(dāng)F、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的值最大，且最大值為兩個(gè)正方形的對(duì)角線的和；
那么CFmax＝
故選A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，正確的判斷出CF最大時(shí)F點(diǎn)的位置是解答此題的關(guān)鍵．
28．如圖，正方形ABCD與矩形EFGH在直線的同側(cè)，邊AD，EH在直線上，且AD=5 cm,EH=4 cm, EF=3 cm.保持正方形ABCD不動(dòng)，將矩形EFGH沿直線左右移動(dòng)，連接BF、CG，則BF+CG的最小值為（ ）
A．4B．C．D．5
答案：B
分析：作點(diǎn)C關(guān)于FG的對(duì)稱點(diǎn)P，連接GP，以FG，PG為鄰邊作平行四邊形PGFQ，則BF＋CG＝BF＋QF，當(dāng)B，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線時(shí)，BF＋CG的最小值為BQ的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AB于N，依據(jù)勾股定理即可得到在Rt△BNQ中，BQ＝，即可得出BF＋CG的最小值為．
【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于FG的對(duì)稱點(diǎn)P，連接GP，
以FG，PG為鄰邊作平行四邊形PGFQ，則FQ＝PG＝CG，F(xiàn)G＝QP＝4，
∴BF＋CG＝BF＋QF，
∴當(dāng)B，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線時(shí)，BF＋CG的最小值為BQ的長(zhǎng)，
過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AB于N，
由題可得BN＝2（5?3）＝4，NQ＝5?4＝1，
∴Rt△BNQ中，BQ＝，
∴BF＋CG的最小值為，
故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形、矩形的性質(zhì)以及最短距離問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形；凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．
29．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．
答案：C
分析：過(guò)D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過(guò)D′作AP′⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可得出D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值．
【詳解】作D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)D′，再過(guò)D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，AD′=AD=4，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值為2，
故答案為C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)和軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的
30．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，滿足AB=MN，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，連接AN、PM，若AB=6，則當(dāng)AN+PM取最小值時(shí)，線段AN的長(zhǎng)度為（ ）
A．4B．2C．6D．3
答案：B
【詳解】分析：過(guò)P作PE∥BD交CD于E，連接AE交BD于N，過(guò)P作PM∥AE交BD于M，此時(shí)，AN+PM的值最小，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到PE=BD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EN=PM，根據(jù)勾股定理得到AE==3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
詳解：過(guò)P作PE∥BD交CD于E，連接AE交BD于N，過(guò)P作PM∥AE交BD于M，此時(shí)，AN+PM的值最小．
∵P是BC的中點(diǎn)，∴E為CD的中點(diǎn)，∴PE=BD．
∵AB=BD，AB=MN，∴MN=BD，∴PE=MN，∴四邊形PENM是平行四邊形，∴EN=PM．
∵AE==3．
∵AB∥CD，∴△ABN∽△EDN，∴==2，∴AN=2．
故選B．

點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃叹嚯x問(wèn)題，平行三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出M，N的位置是解題的關(guān)鍵．

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