1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容.2.會初步運用勾股定理進行簡單的計算.3.在探索勾股定理的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-歸納-驗證”的數(shù)學(xué)思想，并體會數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法.4. 感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，體驗合作學(xué)習(xí)成功的喜悅，增強民族自豪感，感受數(shù)學(xué)對社會發(fā)展的推動作用.
直角三角形是一類特殊的三角形．它的三邊在滿足“任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊”以外，是否還具有特殊性呢？
在行距、列距都是1的方格網(wǎng)中，任意作出幾個以格點為頂點的直角三角形，分別以三角形的各邊為正方形的一邊，向形外作正方形，如圖.并以 S1， S2與S3分別表示幾個正方形的面積.
S1=____個單位面積；S2=____個單位面積； S3=____個單位面積.
4個等腰直角三角形的面積
3×3÷2×4=18(個)
4個小直角三角形+1個小正方形
圖(1)，(2)中，三個正方形面積具有怎樣的關(guān)系呢？用它們的邊長表示，是 .
下面請同學(xué)們在你們的方格紙上再畫出幾個不同的直角三角形，看一下這個關(guān)系“a2+b2=c2”是否依然成立.
你能用自己的語言歸納出直角三角形三邊長度存在的關(guān)系嗎？
a2 + b2 = c2
這個結(jié)論是由我們畫的有限個直角三角形猜想推導(dǎo)出來的，是否正確呢？如何確定它的正確性呢？
方法二：面積計算
已知：如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.
求證：a2+b2=c2.
證明：取4個與Rt△ABC全等的直角三角形，把它們拼成如圖(2)所示的邊長為a+b的正方形EFGH.
從圖中可見，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.
∵∠B1A1E+ ∠A1B1E=90°，
因此∠B1A1E+ ∠D1A1H=90°，
∠D1A1B1=90°.
同理∠A1B1C1=∠B1C1D1 =∠C1D1A1=90°
所以四邊形A1B1C1D1 是一個邊長為c 的正方形.
正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面積分別記作S正方形EFGH和S正方形A1B1C1D1，則
a2 + b2 +2ab ? 2ab= c2
a2 + b2 = c2
這樣我們就證明了上述結(jié)論成立，即得定理.
直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方．
a2 = c2 ? b2;
b2 = c2 ? a2;
已知直角三角形任意兩邊長，求第三邊長.
【例1】求出圖中字母所代表的正方形的面積.
(1) (2)
解：(1) SA?225?144?81； (2) SA?80?24?56；SB?24?56?80.
【例2】設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.
(1) 已知a?5，b?12，求c；(2) 已知a?6，c?10，求b；(3) 已知c?25，b?15，求a.
1.在△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.
(1) a?6，b=8，求c； (2) a?8，c=17，求b.
(1)∵在Rt △ABC中，∠C=90°，
(2)∵在Rt △ABC中，∠C=90°，
2.如圖，樓梯的高度為2m，樓梯坡面的長度為4m，要在樓梯的表面鋪上地毯，那么地毯的長度至少需要多少米？(精確到0.1m)
AB2? AC2+ BC2，
答：地毯的長度至少需要5.5米.
3.已知：Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，則BC= .
當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊.
1.勾股定理的適用條件：在直角三角形中；2.熟悉常見的公式變形；3.當(dāng)不能確定哪條邊是斜邊時，需分類討論.
教科書第55頁練習(xí)第1題第57頁練習(xí)第1題.

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18.1 勾股定理

版本： 滬科版（2024）

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