勾股定理 如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為 a，b，斜邊長(zhǎng)為 c，那么 a2+b2=c2．
如果將條件和結(jié)論反過(guò)來(lái)，這個(gè)命題還成立嗎？
　 據(jù)說(shuō)，古埃及人曾用如圖所示的方法畫(huà)直角.
在一根繩子上連續(xù)打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后用釘子將第1個(gè)與第13個(gè)結(jié)釘在一起，拉緊繩子，再在第4個(gè)和第8個(gè)結(jié)處各釘上一個(gè)釘子，如圖所示，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角就是直角.
用圓規(guī)、直尺作△ABC，使AB=5，AC=4，BC=3，如圖，量一量∠C，它是90°嗎？
勾股定理的逆定理 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
已知，在△ABC中， AB=c，AC=b，BC=a.且a2+b2=c2. 求證：△ABC是直角三角形.
證明:畫(huà)一個(gè)△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.
∵ ∠ C'=90°，∴ A'B'2= a2+b2=c2，
∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）.
∴ ∠C=∠C'=90°.
BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.
在△ABC和△A'B'C'中
例1　根據(jù)下列三角形的三邊a，b，c的值，判斷△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪條邊所對(duì)的角是直角. （1）a=7，b=24，c=25； （2）a=7，b=8，c=11.
解（1）∵最大邊是c=25，c2=625， a2+b2=72+242=625， ∴a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形，最大邊c所 對(duì)的角是直角.
（2）∵最大邊是c=11，c2=121， a2+b2=72+82=113， ∴a2+b2≠c2. ∴△ABC不是直角三角形.
判斷下列三邊組成的三角形是不是直角三角形.
（1）a=2，b=3，c=4. （ ）
（2）a=9，b=7，c=12. （ ）
（3）a=25，b=20，c=15. （ ）
1. 如果三條線段長(zhǎng)a,b,c滿足a2=c2-b2，這三條線段組成的三角形是不是直角三角形？為什么？
解：這三條線段組成的三角形是直角三角形.因?yàn)橛?a2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知這個(gè)三角形是直角三角形.
2. 下列各組數(shù)能否作為一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)？ （1）5，12，13 （2）6，8，10 （3）15，20，25
3. 如圖，在5×4的方格中，A、B為兩個(gè)格點(diǎn)，再選一個(gè)格點(diǎn)C，使∠ACB為直角，那么滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 6 B. 5C. 4 D. 3
4. 在△ABC中，a:b:c=9:15:12，試判斷△ABC是直角三角形.
解 依題意知b是最長(zhǎng)邊，設(shè)a=9k，b=15k，c=12k(k>0)，∵ a2+c2=(9k)2+(12k)2=225k2，b2=(15k)2=225k2,∴ a2+c2 = b2，△ABC是直角三角形.
解：由題意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
當(dāng)a=b時(shí)，△ABC為等腰三角形;當(dāng)a≠b時(shí)，△ABC為直角三角形.
6. 一個(gè)零件的形狀如圖所示，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如下(單位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出這個(gè)零件的面積嗎？
解：如圖，連接BD.在Rt△BAD中，
在△DBC中，BD2+BC2=52+122=132=CD2.
∴△DBC為直角三角形，∠DBC=90°.

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18.1 勾股定理

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