(1) 元素與集合的含義
元素:一般地,把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,常用小寫拉丁字母 a,b,c,… 表示.
集合: 把一些元素組成的總體叫做集合 (簡(jiǎn)稱集). 用大寫拉丁字母 A、B、C… 表示.
(2) 集合相等: 只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的, 我們就稱這兩個(gè)集合是相等的; 反過(guò)來(lái), 當(dāng)這兩個(gè)集合相等 時(shí), 這兩個(gè)集合中的元素是完全相同的.
2、元素與集合的關(guān)系
3、集合中元素的三個(gè)特性（判斷是否是集合的依據(jù)）
(1) : 對(duì)任意一個(gè)元素, 要么它屬于某個(gè)指定集合, 要么它不屬于該集合, 二者必居其一;
(2) (同一個(gè)集合中的元素是互不相同的, 相同的元素只能出現(xiàn)一次;
(3) _____ : 集合中的元素沒(méi)有先后順序.
4、集合的分類
(1) 按元素屬性分類: 數(shù)集、點(diǎn)集、圖形集等;
(2) 按元素個(gè)數(shù)分類: 有限集、無(wú)限集
5、集合表示方法
(1) 列舉法:
(2) 描述法:
描述法表示集合的基本形式: {x∈A∣Px}
(3) 圖示法: Venn 圖和數(shù)軸表示集合.
6、常用數(shù)集符號(hào)
7、集合間的基本關(guān)系
(1) 集合間的關(guān)系:
(2) 空集: 把不含任何元素的集合叫做空集,記作: ? ; 規(guī)定: 空集是任何集合的子集: 空集是任何非空集合的 真子集.
(3) 用 Venn 圖表示集合間的基本關(guān)系:
(4) 含有 n 個(gè)元素的集合
8、集合的基本運(yùn)算
(1) 集合的基本運(yùn)算
(2) 全集: 如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素,就稱這個(gè)集合為全集,通常記作 U .
(3) 德?摩根定律:
(1) CUA∩B=CUA∪CUB (2) CUA∪B=CUA∩CUB ?vA∩B
?vA∪?vB
(4) 集合中元素個(gè)數(shù)計(jì)算 (閱讀課本人教 A 版 P15-P16)
(1) cardA∪B=cardA+cardB?cardA∩B ;
(2) cardA∪B∪C=cardA+cardB+cardC?cardA∩B?cardA∩C?cardB∩C+cardA∩B∩C
9、充分條件與必要條件
(1) 充分條件與必要條件
一般地,“若 p ,則 q ” 為真命題,是指由 p 通過(guò)推理可以得出 q . 即由 p 退出 q ,記作:
并說(shuō)________的充分條件，_______的必要條件. (2) 充分條件、必要條件、充要條件的判斷
注: 把 p 研究的范圍看成集合 A ,把 q 研究的范圍看成集合 B ,記 A={x∣px},B={x∣qx}
(3) 充要條件的證明:
(1)證明 “ p 是 q 充要條件”,要分別從 “ p?q ” 和 “ q?p ” 兩個(gè)方面證明,即要分別證明充分性和必要 性兩個(gè)方面, 但是, 在表述中要注意充分性與必要性對(duì)應(yīng)的關(guān)系.
(2)要分清命題中的條件和結(jié)論,防止把充分性和必要性弄顛倒,由條件 ? 結(jié)論是證明充分性,由結(jié)論 ? 條 件是證明必要性.
10、全稱量詞與存在量詞
(1) 全稱量詞與全稱量詞命題
(2) 存在量詞與存在量詞命題
(3) 量詞的否定
【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】
新人教 A 版必修一 P14
6. 已知全集 U=A∪B={x∈N∣0≤x≤10},A∩?UB={1,3,5,7} ,試求集合 B .
新人教 A 版必修一 P23
5. 設(shè) a,b,c∈R . 證明: a2+b2+c2=ab+ac+bc 的充要條件是 a=b=c .
6. 設(shè) a,b,c 分別是 △ABC 的三條邊,且 a≤b≤c . 我們知道,如果 △ABC 為直角三角形,那 么 a2+b2=c2 (勾股定理). 反過(guò)來(lái),如果 a2+b2=c2 ,那么 △ABC 為直角三角形 (勾股定理 的逆定理). 由此可知, △ABC 為直角三角形的充要條件是 a2+b2=c2 .
請(qǐng)利用邊長(zhǎng) a,b,c 分別給出 △ABC 為銳角三角形和鈍角三角形的一個(gè)充要條件,并證明.
新人教 A 版必修一 P35
11. 學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí), 高一 (1) 班共有 28 名同學(xué)參加比賽, 有 15 人參加游泳比賽, 有 8 人參 加田徑比賽, 有 14 人參加球類比賽, 同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有 3 人, 同時(shí)參加游泳 比賽和球類比賽的有 3 人, 沒(méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽. 同時(shí)參加田徑和球類比賽的有多少人? 只參加游泳一項(xiàng)比賽的有多少人?
12. 根據(jù)下述事實(shí), 分別寫出含有量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題:
(第 12 (2) 題)
(1) 1=12 ,
1+3=22,
1+3+5=32,
1+3+5+7=42,
1+3+5+7+9=52,
(2) 如圖,在 △ABC 中, AD,BE 與 CF 分別為 BC,AC 與 AB 邊上的高,則 AD,BE 與 CF 所在的直線交于一點(diǎn) O .新人教 B 版必修一 P22
(1) 已知集合 A={1,3,m},B=m2,1 ,且 A∪B=A ,求 m 的值.
(2) 已知集合 P=x∣x2≤1,M=a ,若 P?M=P ,求 a 的取值范圍.
(3) 已知 U=?∞,+∞,A=(?∞,a],B=?∞,1 ,且 ?UA∪B=U , 求 a 的取值范圍.
(3) 已知 M,N 為全集 U 的非空真子集,且 M 與 N 不相等,若 ?UM∩N=? , 試判斷集合 M 和 N 的關(guān)系,并求出 M∪N .
新人教 B 版必修一 P31
(3) 已知區(qū)間 M=[a,a+1] ,且 “ ?x∈M,x+1>0 ” 是真命題,求實(shí)數(shù) a 的取 值范圍.
新人教 B 版必修一 P38
Q 判斷下列命題的真假:
(1) ?x∈R,1x2+1

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