（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所?
故選：C
2．已知集合，，，，若，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，?br>則由題意可設(shè)，，其中，
則，且，
故，
故選：D．
3．已知向量，則“”是“與的夾角為銳角”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若與的夾角為銳角，則且與不共線，
所以，解得且，
所以“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件.
故選：B．
4．“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上所述，不等式恒成立時(shí)，，
所以選項(xiàng)中“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是.
故選：D.
5．設(shè)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．0B．C．-1D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故選：C.
6．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，其中. ：“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”，則下列條件是的充分不必要條件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，則，
若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，解得，
即：，
因?yàn)檫x項(xiàng)中只有為的真子集，
所以選項(xiàng)中只有是的充分不必要條件.
故選：D.
7．已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，可得或，
由，即，得，，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為，
此時(shí)不等式組的解集為，
又因?yàn)椴坏仁浇M僅有一個(gè)整數(shù)解，
則，解得；
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為，
又因?yàn)椴坏仁浇M僅有一個(gè)整數(shù)解，
則，解得；
綜上所述，的取值范圍為.
故選：B.
8．設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意的，有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若、是Z的兩個(gè)沒(méi)有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同時(shí)，任意的，有，則下列結(jié)論恒成立的是( )
A．、中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的
B．、中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的
C．、中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的
D．、中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的
【答案】A
【解析】若為奇數(shù)集，為偶數(shù)集，滿足題意，此時(shí)與關(guān)于乘法都是封閉的，排除B、C；
若為負(fù)整數(shù)集，為非負(fù)整數(shù)集，也滿足題意，此時(shí)只有關(guān)于乘法是封閉的，排除D；
從而可得、中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的，A正確.
故選：A．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知表示集合的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)，若集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由，
因此，
由，
因此.
A：因?yàn)榧现械恼麛?shù)有，共10個(gè)，
所以，因此本選項(xiàng)正確；
B：因?yàn)椋?br>所以本選項(xiàng)不正確；
C：因?yàn)榧现械恼麛?shù)有，共9個(gè)，
所以，因此本選項(xiàng)正確；
D：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確，
故選：ACD
10．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若a，b為正實(shí)數(shù)，，則
B．若a，b，m為正實(shí)數(shù)，，則
C．若，則“”是“”的充分不必要條件
D．不等式成立的充分不必要條件是，則m的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，，
所以，所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，，為正?shí)數(shù)，，所以，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，可得或，故由可得，
但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要條件，故C正確；
對(duì)于D，由可得，由于成立的充分不必要條件是，
所以或，解得，故D正確．
故選：ACD
11．設(shè)，，是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，則或B．若且，則
C．若，則D．若，則
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A：，則，則或，
即或，故A正確；
對(duì)于B：，，且，
所以，，故B正確；
對(duì)于C：設(shè)，則，
，，故C正確；
對(duì)于D，取，，則，但，，
則，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC
12．若，，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．有最大值B．有最大值2
C．有最小值4D．有最小值
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以有最大值，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以有最大值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以有最小值4，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以有最小值，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．設(shè)命題：，.寫出一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得為真命題.
【答案】(答案不唯一)
【解析】若正確，時(shí),有解，
時(shí),則或，
所以，
綜上，真，則，即中任取一個(gè)值都可以.
故答案為：(答案不唯一)
14．“生命在于運(yùn)動(dòng)”，某學(xué)校教師在普及程度比較高的三個(gè)體育項(xiàng)目——乒乓球、羽毛球、籃球中，會(huì)打乒乓球的教師人數(shù)為30，會(huì)打羽毛球的教師人數(shù)為60，會(huì)打籃球的教師人數(shù)為20，若會(huì)至少其中一個(gè)體育項(xiàng)目的教師人數(shù)為80，且三個(gè)體育項(xiàng)目都會(huì)的教師人數(shù)為5，則會(huì)且僅會(huì)其中兩個(gè)體育項(xiàng)目的教師人數(shù)為 ．
【答案】20
【解析】首先設(shè)是會(huì)打乒乓球的教師，是會(huì)打羽毛球球的教師，
是會(huì)打藍(lán)球的教師，
根據(jù)題意得，，，，，
再使用三元容斥原理得：
，
有，
而中把的區(qū)域計(jì)算了3次，
于是要減掉這3次，才能得到會(huì)且僅會(huì)其中兩個(gè)體育項(xiàng)目的教師人數(shù).
因此會(huì)且僅會(huì)其中兩個(gè)體育項(xiàng)目的教師人數(shù)為.
故答案為：20.
15．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為
【答案】/
【解析】設(shè)，（不同時(shí)為0），
，
由題意可知，得或，
當(dāng)時(shí)，的軌跡是軸（除原點(diǎn)外），此時(shí)的幾何意義表示復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)和的距離，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，如圖，
根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點(diǎn)到的距離，如圖可知，
的最小值是點(diǎn)與的距離.
故答案為：.
16．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 ．
【答案】12
【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，符合題意，
故的最小值為12，
故答案為：12
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
17．（10分）
設(shè)命題：“對(duì)任意，恒成立”．且命題為真命題．
(1)求實(shí)數(shù)的取值集合；
(2)在（1）的條件下，設(shè)非空集合，若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）對(duì)任意，恒成立，即，
即對(duì)任意恒成立，
而，即，故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故，則實(shí)數(shù)的取值集合.
（2）解，即，得或，
由于“”是“”的充分條件，故,
故，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
18．（12分）
已知復(fù)數(shù)，，其中i為虛數(shù)單位，且滿足，且為純虛數(shù).
(1)若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求復(fù)數(shù)z；
(2)求；
(3)若在（1）中條件下的復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，n的值.
【解析】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，
又為純虛數(shù)，所以，
又，所以，
又因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，
所以，故.
（2）由（1）可知
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
（3）法一：由（1）可知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，
所以把，代入得，
化簡(jiǎn)得，
即，解得：，
法二：由（1）可知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，
所以此方程的另一根為：，則，
解得：，
19．（12分）
第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年7月28日至8月8日在四川成都舉行，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估．該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件．
(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？
(2)為了抓住此次契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到元．公司擬投入萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用．試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．
【解析】（1）設(shè)每件定價(jià)為元，依題意得，
整理得，
解得．
所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元．
（2）依題意知當(dāng)時(shí)，不等式有解，
等價(jià)于時(shí)，有解．
由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．
故當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，
才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元．
20．（12分）
已知關(guān)于的不等式的解集為或.
(1)求，的值；
(2)當(dāng)，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍?br>所以1和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，
所以，解得，
即，.
（2）由（1）知，于是有，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，
依題意有，即，
得，即，
所以的取值范圍為.
21．（12分）
已知函數(shù)．
(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，解不等式；
(3)若不等式的解集為D，若，求m的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，即，則由 ，得，不合題意，
當(dāng)，即時(shí)，由不等式的解集為得
，解得，
所以的取值范圍為；
（2）因?yàn)?，所以，即?br>當(dāng)，即時(shí)，解得，所以不等式的解集為，
當(dāng)，即時(shí)，，
因?yàn)?，所以不等式的解集為?br>當(dāng)，即時(shí)，，
因?yàn)椋?，所以?br>所以不等式的解集為，
綜上，當(dāng)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
（3）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，且?br>所以對(duì)任意的，不等式恒成立，
即，
因?yàn)椋?br>所以恒成立，
令，則，，
所以，
由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，
所以的取值范圍為.
22．（12分）
已知集合的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則．
(1)若，求出中其它所有元素；
(2)0是不是集合中的元素？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)，再求出中的所有元素？
(3)根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論．
【解析】（1）由題意，可知，
則，，，，
所以A中其他所有元素為，，2．
（2）假設(shè)，則，
而當(dāng)時(shí)，不存在，假設(shè)不成立，
所以0不是A中的元素．
取，則，，，，
所以當(dāng)時(shí)，A中的元素是3，，，．
（3）猜想：A中沒(méi)有元素，0，1；A中有4個(gè)元素，其中2個(gè)元素互為負(fù)倒數(shù)，另外2個(gè)元素也互為負(fù)倒數(shù)．
由（2）知0，，
若，則，與矛盾，
則有，即，0，1都不在集合A中．
若實(shí)數(shù)，則，，
，．
結(jié)合集合中元素的互異性知，A中最多只有4個(gè)元素，，，且，．
顯然，否則，即，無(wú)實(shí)數(shù)解．
同理，，即A中有4個(gè)元素．
所以A中沒(méi)有元素，0，1；A中有4個(gè)元素，其中2個(gè)元素互為負(fù)倒數(shù)，另外2個(gè)元素也互為負(fù)倒數(shù)．

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