1 反比例函數(shù)的定義
一、反比例函數(shù)的定義
函數(shù)（為常數(shù)，）叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)，是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)．
【例題精選】
例1 (2023秋?呼蘭區(qū)期末）下列函數(shù)中 y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
例2 (2023秋?遵化市期末）已知y＝2x2m是反比例函數(shù)，則m的值是（ ）
A．m＝B．m＝﹣C．m≠0D．一切實數(shù)
【隨堂練習】
1．(2023秋?諸城市期末）若函數(shù)y＝m是反比例函數(shù)，則m＝_________．
2．(2023秋?興國縣期末）已知函數(shù)y＝（k+2）x是反比例函數(shù)，則k＝_______．
3．(2023秋?宜春期末）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則n的值為_______．
2反比例函數(shù)的圖象與性質
反比例函數(shù)的圖象
反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象由兩條曲線組成，每條曲線隨著的不斷增大（或減?。┰絹碓浇咏鴺溯S，反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線．
反比例函數(shù)與（）的圖象關于軸對稱，也關于軸對稱．
反比例函數(shù)的性質
反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象是雙曲線；
當時，函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第一、三象限內，它們關于原點對稱，在每一個象限內，隨的增大而減??；
當時，函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第二、四象限內，它們關于原點對稱，在每一個象限內，隨的增大而增大．
注意：
⑴反比例函數(shù)（）的取值范圍是．因此，
①圖象是斷開的兩條曲線，畫圖象時，不要把兩個分支連接起來．
②敘述反比例函數(shù)的性質時，一定要加上“在每一個象限內”，
如當時，雙曲線的兩支分別在一、三象限，在每一個象限內，隨的增大而減小．
這是由于，即或的緣故．
如果籠統(tǒng)地敘述為時，隨的增大而增大就是錯誤的．
⑵由于反比例函數(shù)中自變量和函數(shù)的值都不能為零，所以圖象和軸、軸都沒有交點，但畫圖時要體現(xiàn)出圖象和坐標軸無限貼近的趨勢．
⑶在畫出的圖象上要注明函數(shù)的解析式．
【例題精選】
例1 (2023?長寧區(qū)二模）關于反比例函數(shù)y＝，下列說法不正確的是（ ）
A．點（﹣2，﹣1）在它的圖象上
B．它的圖象在第一、三象限
C．它的圖象關于原點中心對稱
D．y 的值隨著 x 的值的增大而減小
例2(2023?銅仁市一模）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象位于二、四象限，則一次函數(shù)y＝x+k圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【隨堂練習】
1．(2023?普陀區(qū)二模）關于函數(shù)y＝﹣，下列說法中錯誤的是（ ）
A．函數(shù)的圖象在第二、四象限
B．y的值隨x的值增大而增大
C．函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點
D．函數(shù)的圖象關于原點對稱
2．(2023春?江陰市期中）下列函數(shù)：①y＝﹣x；②y＝2x；③y＝；④y＝x2．當x＜0時，y隨x的增大而減小的函數(shù)有（ ）
A．1 個B．2 個C．3 個D．4 個
3 k的幾何意義
反比例函數(shù)的幾何意義
1.反比例函數(shù)的幾何意義：如圖，在反比例函數(shù)圖象上任選一點，向兩坐標軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成矩形的面積為。如圖二，所圍成三角形的面積為
2.如圖，四條雙曲線、、、對應的函數(shù)解析式分別為：、、、，那么、、、的大小順序為
【例題精選】
例1(2023?南崗區(qū)模擬）如圖，函數(shù)y＝和y＝﹣的圖象分別是C1和C2．點P在C1上，PC⊥x軸，垂足為點C，與C2相交于點A，PD⊥y軸，垂足為點D，與C2相交于點B，則△PAB的面積為________．
例2(2023?井研縣一模）如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點A、D在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為4，且BF＝2AF，則k值為________．
【隨堂練習】
1.(2023秋?雨花區(qū)校級期末）如圖所示，A為反比例函數(shù)圖象上一點，AB垂直x軸，垂足為B點，若S△AOB＝3，則k的值為_______．
2．(2023?長豐縣一模）如圖所示，點A是反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，若△ABP的面積是2，則k＝________．
4反比例函數(shù)的實際應用
【例題精選】
例1(2023秋?漣源市期末）一定質量的二氧化碳，其體積V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反
比例函數(shù)，請你根據(jù)圖中的已知條件，寫出反比例函數(shù)的關系式，當V＝1.9m3時，ρ＝
____________．
例2(2023春?吳江區(qū)期中）某氣球內充滿了一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的壓強P（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式；
（2）當氣球內的體積為氣體1.6m3時，求氣體壓強P的值；
（3）當氣球內的氣體壓強大于150kPa時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣體的體積不小于多少？
【隨堂練習】
1.(2023?北碚區(qū)模擬）在一個可以改變體積的密閉容器內裝有一定質量的某種氣體，當改變容器的體積時，氣體的密度也會隨之改變，密度ρ（單位：kg/m3）與體積v（單位：m3）滿足函數(shù)關系式ρ＝（k為常數(shù)，k≠0）其圖象如圖所示，則k的值為_________．
2．(2023春?常熟市期中）碼頭工人往一艘輪船上裝載貨物，裝完貨物所需時間y（分鐘）與裝載速度x（噸/分鐘）之間的函數(shù)關系如圖．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達式；
（2）若要求在2小時至2.5小時內（包括2小時與2.5小時）裝完這批貨物，求裝貨速度的范圍．
3．(2023?莆田二模）實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）與時間x（時）變化的圖象，如圖（圖象由線段OA與部分雙曲線AB組成）．國家規(guī)定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．
（1）求部分雙曲線AB的函數(shù)解析式；
（2）參照上述數(shù)學模型，假設某駕駛員晚上22：30在家喝完50毫升該品牌白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由．
綜合應用
一．選擇題
1．若點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
2．如圖，已知反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上有一點P，過P作PA⊥x軸，垂足為A，則△POA的面積是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．
3．反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點（2，﹣1），則下列點一定在其圖象上的是（ ）
A．（1，2）B．（4，﹣）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
4．如圖，將邊長為10的等邊三角形OAB位于平面直角坐標系第一象限中，OA落在x軸正半軸上，C是AB邊上的動點（不與端點A、B重合），作CD⊥OB于點D，若點C、D都在雙曲線y＝（k＞0，x＞0）上，則k的值為（ ）
A．9B．18C．25D．9
5．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點C．若點A為線段BC的中點，則k的值為（ ）
A．1B．C．2D．3
二．解答題
6．如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）兩點．
（1）求直線的解析式；
（2）連接OA，OB，求△AOB的面積．
7．如圖，已知反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象交于點A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函數(shù)解析式；
（2）求△AOB的面積．
8．在同一平面直角坐標系中，設一次函數(shù)y1＝mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，m≠﹣n）與反比例函數(shù)y2＝．
（1）若y1與y2的圖象有交點（1，5），且n＝4m，當y1≥5時，y2的取值范圍；
（2）若y1與y2的圖象有且只有一個交點，求的值．
9．如圖，在平面直角坐標中，點O是坐標原點，一次函數(shù)y1＝kx+b與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點．
（1）求直線AB的解析式及△OAB面積；
（2）根據(jù)圖象寫出當y1＜y2時，x的取值范圍；
（3）若點P在x軸上，求PA+PB的最小值．
第10講反比例函數(shù)
1 反比例函數(shù)的定義
一、反比例函數(shù)的定義
函數(shù)（為常數(shù)，）叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)，是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)．
【例題精選】
例1 (2023秋?呼蘭區(qū)期末）下列函數(shù)中 y是x的反比例函數(shù)的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，可得答案．
【解答】解：A、y＝是正比例函數(shù)，故A錯誤；
B、y＝不符合反比例函數(shù)的定義，故B錯誤；
C、y＝是反比例函數(shù)，故C正確；
D、y＝不符合反比例函數(shù)的定義，故D錯誤；
故選：C．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)，形如y＝ （k是不等于零的常數(shù)）是反比例函數(shù)．
例2 (2023秋?遵化市期末）已知y＝2x2m是反比例函數(shù)，則m的值是（ ）
A．m＝B．m＝﹣C．m≠0D．一切實數(shù)
分析：根據(jù)反比例函數(shù)的一般式是（k≠0）或y＝kx﹣1（k≠），即可求解．
【解答】解：y＝2x2m是反比例函數(shù)，則2m＝﹣1，所以．
故選：B．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的一般形式（k≠0），也可轉化為y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特別注意不要忽略k≠0這個條件．
【隨堂練習】
1．(2023秋?諸城市期末）若函數(shù)y＝m是反比例函數(shù)，則m＝_________．
【解答】解：∵函數(shù)y＝m是反比例函數(shù)，
∴m2+3m﹣1＝﹣1，m≠0，
解得：m＝﹣3．
故答案為：﹣3．
2．(2023秋?興國縣期末）已知函數(shù)y＝（k+2）x是反比例函數(shù)，則k＝_______．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（k+2）x為反比例函數(shù)，
∴k2﹣5＝﹣1且k+2≠0．
解得k＝2．
故答案是：2．
3．(2023秋?宜春期末）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，則n的值為_______．
【解答】解：∵函數(shù)是反比例函數(shù)，
∴n+1≠0且n2﹣2＝﹣1，
∴n＝1，
故答案為：1．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布
2反比例函數(shù)的圖象與性質
反比例函數(shù)的圖象
反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象由兩條曲線組成，每條曲線隨著的不斷增大（或減小）越來越接近坐標軸，反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線．
反比例函數(shù)與（）的圖象關于軸對稱，也關于軸對稱．
反比例函數(shù)的性質
反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象是雙曲線；
當時，函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第一、三象限內，它們關于原點對稱，在每一個象限內，隨的增大而減小；
當時，函數(shù)圖象的兩個分支分別位于第二、四象限內，它們關于原點對稱，在每一個象限內，隨的增大而增大．
注意：
⑴反比例函數(shù)（）的取值范圍是．因此，
①圖象是斷開的兩條曲線，畫圖象時，不要把兩個分支連接起來．
②敘述反比例函數(shù)的性質時，一定要加上“在每一個象限內”，
如當時，雙曲線的兩支分別在一、三象限，在每一個象限內，隨的增大而減小．
這是由于，即或的緣故．
如果籠統(tǒng)地敘述為時，隨的增大而增大就是錯誤的．
⑵由于反比例函數(shù)中自變量和函數(shù)的值都不能為零，所以圖象和軸、軸都沒有交點，但畫圖時要體現(xiàn)出圖象和坐標軸無限貼近的趨勢．
⑶在畫出的圖象上要注明函數(shù)的解析式．
【例題精選】
例1 (2023?長寧區(qū)二模）關于反比例函數(shù)y＝，下列說法不正確的是（ ）
A．點（﹣2，﹣1）在它的圖象上
B．它的圖象在第一、三象限
C．它的圖象關于原點中心對稱
D．y 的值隨著 x 的值的增大而減小
分析：根據(jù)反比例函數(shù)y＝和反比例函數(shù)的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝，
∴當x＝﹣2時，y＝﹣1，即點（﹣2，﹣1）在它的圖象上，故選項A正確；
它的圖象在第一、三象限，故選項B正確；
它的圖象關于原點中心對稱，故選項C正確；
在每個象限內，y的值隨著x的值的增大而減小，故選項D不正確；
故選：D．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質解答．
例2(2023?銅仁市一模）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象位于二、四象限，則一次函數(shù)y＝x+k圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根據(jù)正比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限判定k＜0，由此可以推知一次函數(shù)y＝x+k的圖象與y軸交于負半軸，且經(jīng)過第一、三象限．
【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴一次函數(shù)y＝x+k的圖象與y軸交于負半軸，且經(jīng)過第一、三象限．
觀察選項，只有B選項正確．
故選：B．
【點評】此題考查一次函數(shù)，正比例函數(shù)中系數(shù)及常數(shù)項與圖象位置之間關系．解題時需要“數(shù)形結合”的數(shù)學思想．
【隨堂練習】
1．(2023?普陀區(qū)二模）關于函數(shù)y＝﹣，下列說法中錯誤的是（ ）
A．函數(shù)的圖象在第二、四象限
B．y的值隨x的值增大而增大
C．函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點
D．函數(shù)的圖象關于原點對稱
【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣，
∴該函數(shù)的圖象在第二、四象限，故選項A正確；
在每個象限內，y隨x的增大而增大，故選項B錯誤；
函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點，故選項C正確；
函數(shù)的圖象關于原點對稱，故選項D正確；
故選：B．
2．(2023春?江陰市期中）下列函數(shù)：①y＝﹣x；②y＝2x；③y＝；④y＝x2．當x＜0時，y隨x的增大而減小的函數(shù)有（ ）
A．1 個B．2 個C．3 個D．4 個
【解答】解：①y＝﹣x中k＝﹣1＜0，y隨x的增大而減小，正確；
②y＝2x中k＞0，y隨x的增大而增大，錯誤；
③y＝中k＞0，當x＜0時，y隨x的增大而減小，正確；
④y＝x2的對稱軸為直線x＝0，開口向上，當x＜0時，y隨x的增大而減小，正確；
故選：C．
3 k的幾何意義
反比例函數(shù)的幾何意義
1.反比例函數(shù)的幾何意義：如圖，在反比例函數(shù)圖象上任選一點，向兩坐標軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成矩形的面積為。如圖二，所圍成三角形的面積為
2.如圖，四條雙曲線、、、對應的函數(shù)解析式分別為：、、、，那么、、、的大小順序為
【例題精選】
例1(2023?南崗區(qū)模擬）如圖，函數(shù)y＝和y＝﹣的圖象分別是C1和C2．點P在C1上，PC⊥x軸，垂足為點C，與C2相交于點A，PD⊥y軸，垂足為點D，與C2相交于點B，則△PAB的面積為________．
分析：設P的坐標是（a，），推出A的坐標和B的坐標，求出∠APB＝90°，求出PA、PB的值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．
【解答】解：設P的坐標（a，），
則A（a，），B（﹣3a，），
∴BP＝4a，AP＝，
△PAB的面積＝AP?BP＝××4a＝8．
故答案為8．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)和三角形面積公式的應用，關鍵是能根據(jù)P點的坐標得出A、B的坐標．
例2(2023?井研縣一模）如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點A、D在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B、E在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為4，且BF＝2AF，則k值為________．
分析：先由正方形ADEF的面積為4，得出邊長為2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再設B點坐標為（t，6），則E點坐標（t﹣2，2），根據(jù)點B、E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，利用根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．
【解答】解：∵正方形ADEF的面積為4，
∴正方形ADEF的邊長為2，
∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．
設B點坐標為（t，6），則E點坐標（t﹣2，2），
∵點B、E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴k＝6t＝2（t﹣2），
解得t＝﹣1，k＝﹣6．
故答案為﹣6．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．
【隨堂練習】
1.(2023秋?雨花區(qū)校級期末）如圖所示，A為反比例函數(shù)圖象上一點，AB垂直x軸，垂足為B點，若S△AOB＝3，則k的值為_______．
【解答】解：由于點A是反比例函數(shù)圖象上一點，則S△AOB＝|k|＝3；
又由于函數(shù)圖象位于一、三象限，則k＝6．
故答案為6．
2．(2023?長豐縣一模）如圖所示，點A是反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，若△ABP的面積是2，則k＝________．
【解答】解：設反比例函數(shù)的解析式為 y＝．
∵△AOB的面積＝△ABP的面積＝2，△AOB的面積＝|k|，
∴|k|＝2，
∴k＝±4；
又∵反比例函數(shù)的圖象的一支位于第二象限，
∴k＜0．
∴k＝﹣4．
故答案為：﹣4．
4反比例函數(shù)的實際應用
【例題精選】
例1(2023秋?漣源市期末）一定質量的二氧化碳，其體積V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反
比例函數(shù)，請你根據(jù)圖中的已知條件，寫出反比例函數(shù)的關系式，當V＝1.9m3時，ρ＝
____________．
分析：由圖象可得k＝9.5，進而得出V＝1.9m3時，ρ的值．
【解答】解：設函數(shù)關系式為：V＝，由圖象可得：V＝5，ρ＝1.9，代入得：
k＝5×1.9＝9.5，
故V＝，
當V＝1.9時，ρ＝5kg/m3．
故答案為：5kg/m3．
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的應用，正確得出k的值是解題關鍵．
例2(2023春?吳江區(qū)期中）某氣球內充滿了一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的壓強P（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式；
（2）當氣球內的體積為氣體1.6m3時，求氣體壓強P的值；
（3）當氣球內的氣體壓強大于150kPa時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣體的體積不小于多少？
分析：（1）設出反比例函數(shù)解析式，把A坐標代入可得函數(shù)解析式；
（2）把v＝1代入（1）得到的函數(shù)解析式，可得p；
（3）把P＝200代入得到V即可．
【解答】解：（1）設p＝，
由題意知120＝，
所以k＝96，
故p＝；
（2）當v＝1.6m3時，p＝＝60，
∴氣球內氣體的氣壓是60kPa；
（3）當p＝150kPa時，v＝＝0.64．
所以為了安全起見，氣體的體積應不少于0.64m3．
【點評】考查反比例函數(shù)的應用；應熟練掌握符合反比例函數(shù)解析式的數(shù)值的意義．
【隨堂練習】
1.(2023?北碚區(qū)模擬）在一個可以改變體積的密閉容器內裝有一定質量的某種氣體，當改變容器的體積時，氣體的密度也會隨之改變，密度ρ（單位：kg/m3）與體積v（單位：m3）滿足函數(shù)關系式ρ＝（k為常數(shù)，k≠0）其圖象如圖所示，則k的值為_________．
【解答】解：由圖象可知，函數(shù)圖象經(jīng)過點（6，1.5），
設反比例函數(shù)為ρ＝，
則1.5＝，
解得k＝9，
故答案為：9．
2．(2023春?常熟市期中）碼頭工人往一艘輪船上裝載貨物，裝完貨物所需時間y（分鐘）與裝載速度x（噸/分鐘）之間的函數(shù)關系如圖．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達式；
（2）若要求在2小時至2.5小時內（包括2小時與2.5小時）裝完這批貨物，求裝貨速度的范圍．
【解答】解：（1）設y與x的函數(shù)關系式是y＝，
400＝，得k＝600，
即y與x的函數(shù)關系式是y＝；
（2）當120≤y≤150時，即120≤≤150，
解得4≤x≤5．
故如果要在2小時至2.5小時內（包括2小時與2.5小時）裝完這批貨物，則裝貨速度至少為每分鐘4≤x≤5噸．
3．(2023?莆田二模）實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）與時間x（時）變化的圖象，如圖（圖象由線段OA與部分雙曲線AB組成）．國家規(guī)定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．
（1）求部分雙曲線AB的函數(shù)解析式；
（2）參照上述數(shù)學模型，假設某駕駛員晚上22：30在家喝完50毫升該品牌白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由．
【解答】解：（1）依題意，直線OA過（，20），則直線OA的解析式為y＝80x，
當x＝時，y＝120，即A（，120），
設雙曲線的解析式為y＝，將點A（，120）代入得：k＝180，
∴y＝（x≥）；
由y＝得當y＝20時，x＝9，
從晚上22：30到第二天早上7：00時間間距為8.5小時，
∵8.5＜9，
∴第二天早上7：00不能駕車去上班．
綜合應用
一．選擇題
1．若點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵點A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2．
故選：A．
2．如圖，已知反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上有一點P，過P作PA⊥x軸，垂足為A，則△POA的面積是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．
【解答】解：設點P的坐標為（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，
∴xy＝﹣2，
∴△OPM的面積S△POA＝|xy|＝1，
故選：B．
3．反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點（2，﹣1），則下列點一定在其圖象上的是（ ）
A．（1，2）B．（4，﹣）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：將點（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，
可知函數(shù)解析式為y＝﹣，
則xy＝﹣2，
A、1×2＝2≠﹣2，故本選項錯誤；
B、4×（﹣）＝2，故本選項正確；
C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本選項錯誤；
D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本選項錯誤；
故選：B．
4．如圖，將邊長為10的等邊三角形OAB位于平面直角坐標系第一象限中，OA落在x軸正半軸上，C是AB邊上的動點（不與端點A、B重合），作CD⊥OB于點D，若點C、D都在雙曲線y＝（k＞0，x＞0）上，則k的值為（ ）
A．9B．18C．25D．9
【解答】解：過點D作DE⊥x軸于點E，過C作CF⊥x軸于點F，如圖所示．
可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，
設OE＝a，則OD＝2a，DE＝a，
∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，
∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，
∴點D（a，a），點C[15﹣2a，（2a﹣5）]．
∵點C、D都在雙曲線y＝（k＞0，x＞0）上，
∴a?a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），
解得：a＝3或a＝5．
當a＝5時，DO＝OB，AC＝AB，點C、D與點B重合，不符合題意，
∴a＝5舍去．
∴點D（3，3），
∴k＝3×3＝9．
故選：A．
5．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點C．若點A為線段BC的中點，則k的值為（ ）
A．1B．C．2D．3
【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴A（，0），B（0，﹣2）．
設C（x，），
∵點A為線段BC的中點，
∴，
解得．
故選：C．
二．解答題
6．如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與雙曲線y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）兩點．
（1）求直線的解析式；
（2）連接OA，OB，求△AOB的面積．
【解答】解：（1）∵雙曲線y＝經(jīng)過點A（1，m）．
∴m＝2，即A（1，2）．由點A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直線y＝kx+b上，得，
解得：，
∴直線的解析式為：y＝x+1．
（2）設直線AB與y軸交于點C．
在y＝x+1中，令x＝0得：y＝1，
∴C（0，1）．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．
7．如圖，已知反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象交于點A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函數(shù)解析式；
（2）求△AOB的面積．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象交于點A（1，8），B（﹣4，m）．
∴k1＝8，m＝﹣2，則B（﹣4，﹣2），
由題意得，
解得：k2＝2，b＝6；
∴一次函數(shù)解析式為：y＝2x+6．
綜上所述，m的值為﹣2，一次函數(shù)解析式為y＝2x+6；
（2）∵一次函數(shù)y＝2x+6與y軸的交點坐標為（0，6），
∴△AOB的面積＝×6×4+×6×1＝15．
8．在同一平面直角坐標系中，設一次函數(shù)y1＝mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠0，m≠﹣n）與反比例函數(shù)y2＝．
（1）若y1與y2的圖象有交點（1，5），且n＝4m，當y1≥5時，y2的取值范圍；
（2）若y1與y2的圖象有且只有一個交點，求的值．
【解答】解：（1）把（1，5）代入y1＝mx+n，得 m+n＝5．
又∵n＝4m，
∴m＝1，n＝4．
∴y1＝x+4，y2＝．
∴當y1≥5時，x≥1．
此時，0＜y2≤5．
（2）令＝mx+n，得mx2+nx﹣（m+n）＝0．
由題意得，△＝n2+4m（m+n）＝（m+2n）2＝0，即m+2n＝0．
∴＝﹣2．
9．如圖，在平面直角坐標中，點O是坐標原點，一次函數(shù)y1＝kx+b與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于A（1，m）、B（n，1）兩點．
（1）求直線AB的解析式及△OAB面積；
（2）根據(jù)圖象寫出當y1＜y2時，x的取值范圍；
（3）若點P在x軸上，求PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）A（1，m）、B（n，1）兩點坐標分別代入反比例函數(shù)y2＝，可得
m＝3，n＝3，
∴A（1，3）、B（3，1），
把A（1，3）、B（3，1）代入一次函數(shù)y1＝kx+b，可得
，
解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4．
∴M（0，4），N（4，0）．
∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝××＝4．
（2）從圖象看出0＜x＜1或x＞3時，正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，
∴當y1＜y2時，x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞3．
（3）如圖，作點A關于y軸的對稱點C，連接BC交y軸于點P，則PA+PB的最小值等于BC的長，
過C作x軸的平行線，過B作y軸的平行線，交于點D，則
Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝2
∴PA+PB的最小值為2．

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