新人教版高一(初升高)暑期數(shù)學(xué)銜接第06講基本不等式練習(xí)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.掌握基本不等式
2.結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值的問題．
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、幾個(gè)重要的不等式
1.eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)
2.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
3.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．
4.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
5.eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.
二、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq \f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq \r(ab)，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
三、利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則
1.如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq \r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)
2.如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq \f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)
3.應(yīng)用基本不等式時(shí)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)一正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù).
(2)二定值：只有ab為定值時(shí)才能應(yīng)用基本不等式，因此有時(shí)需要構(gòu)造定值.
(3)三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值.
4.在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．湊配法求最值的基本技巧：①配湊系數(shù)；②配湊常數(shù)；③配湊分子；④配湊分母； = 5 \* GB3 ⑤配湊項(xiàng)數(shù)
5.條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求最值．求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)型最值問題，常通過“1”來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但不是所有的最值都可以通過基本不等式解決，有一些看似可以通過基本不等式解決的問題，由于條件的限制，等號(hào)不能夠成立，這時(shí)就不能用基本不等式來解決，而要借助于其他求值域的方法來解決．
四、基本不等式的其他應(yīng)用
1.基本不等式除具有求最值的功能外，還具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”以及將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常用于比較數(shù)(式)的大小
2.一般地，對(duì)含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問題，對(duì)于“恒成立”的不等式，一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值．另外，要記住幾個(gè)常見的有關(guān)不等式的等價(jià)命題：(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.
3.利用基本不等式證明不等式的策略
從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 對(duì)不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.
4.構(gòu)造不等式求范圍
利用或ab≤將式子轉(zhuǎn)化為含ab或a+b的一元二次不等式，將ab，(a+b)作為整體解出范圍
5．函數(shù)法求最值：若利用基本不等式時(shí)等號(hào)取不到，則無法利用基本不等式求最值，則可將要求的式子看成一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.
6.利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟
解實(shí)際問題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題.用基本不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：
(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.
(4)正確寫出答案.
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：利用基本不等式判斷命題的真假
例1．(2022學(xué)年江西省贛州市贛縣高一下學(xué)期開學(xué)考試)下列說法正確的為( )
A．
B．函數(shù)的最小值為4
C．若則最大值為1
D．已知時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值8
考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小
例2．(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一上學(xué)期期中)若a＞0，b＞0，且a≠b，則( )
A．＜＜B．＜＜
C．＜＜D．＜＜
考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值
例3．(2022學(xué)年吉林省延邊州高一上學(xué)期期末)已知，則函數(shù)的最小值是( )
A．B．C．2D．
考點(diǎn)四：利用基本不等式求范圍
例4．(2022學(xué)年湖北省黃石市有色第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)設(shè)，，且，求的取值范圍
考點(diǎn)五：利用基本不等式證明不等式
例5．已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足證明：
(1)；
(2)．
考點(diǎn)六：利用基本不等式求解恒成立問題
例6. 已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8
考點(diǎn)七：基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例7. (2022學(xué)年河北省唐縣第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考)冬奧會(huì)期間，冰墩墩成熱銷商品，一家冰墩墩生產(chǎn)公司為加大生產(chǎn)，計(jì)劃租地建造臨時(shí)倉庫儲(chǔ)存貨物，若記倉庫到車站的距離為(單位：)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查了解到：每月土地占地費(fèi)(單位：萬元)與成反比，每月庫存貨物費(fèi)(單位：萬元)與成正比；若在距離車站處建倉庫，則與分別為萬元和萬元.記兩項(xiàng)費(fèi)用之和為.
(1)求關(guān)于的解析式；
(2)這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最??？求出最小值．
【真題演練】
1．(2020-2021學(xué)年陜西省榆林市第十中學(xué)高一下學(xué)期期末)若，且，則的最大值為( )
A．4B．2C．D．
2.(2022學(xué)年福建省三明第一中學(xué)高一上學(xué)期學(xué)段考)已知，，，則下列結(jié)論一定成立的是( )
A．B．C．D．
3．(2022學(xué)年貴州省六盤水紅橋?qū)W校高一上學(xué)期期中)設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是( )
A．4B．2C．D．
4.(2022學(xué)年安徽省阜陽市太和縣三校高一上學(xué)期期中聯(lián)考)下列命題中正確的是( )
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
5. (2022學(xué)年甘肅省金昌市永昌縣高一上學(xué)期期末)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對(duì)于，下列說法準(zhǔn)確的是( )
A．取得最小值時(shí)a＝B．最小值是5
C．取得最小值時(shí)b＝D．最小值是
6.(2022學(xué)年安徽省宣城市涇縣中學(xué)高一上學(xué)期10月月考)某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))與車流速度(假設(shè)車輛以相同速度行駛，單位：米/秒)，平均車長(zhǎng)(單位：米)的值有關(guān)，其公式為.如果不限定車型，，則最大車流量為__________輛/時(shí).
7. (2022學(xué)年廣西河池市高一上學(xué)期八校聯(lián)考)已知，求證.
8. (2022學(xué)年湖北省孝感市高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知且，求的最小值．
【過關(guān)檢測(cè)】
1. (2022學(xué)年四川省南充市白塔中學(xué)高一下學(xué)期月考)已知，，則的最小值為( )
A．B．C．D．
2. (2022學(xué)年江西省豐城中學(xué)高一下學(xué)期入學(xué)考試)已知都是正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為( )
A．2B．4C．6D．8
3. (2022學(xué)年四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)校高一下學(xué)期階段性測(cè)試)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．B．C．D．
4. (2022學(xué)年河南省開封市高一上學(xué)期期末)已知，都是正數(shù)，則下列命題為真命題的是( )
A．如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最大值
B．如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最小值
C．如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值
D．如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值
5.(多選)(2022學(xué)年山東省棗莊市滕州市高一上學(xué)期期末)設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則( )
A．的最小值為
B．的最小值為2
C．的最大值為1
D．的最小值為2
6.(多選)(2022學(xué)年湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體高一上學(xué)期期中)有下列4個(gè)關(guān)于不等式的結(jié)論，其中正確的是( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
7. (2022學(xué)年上海市延安中學(xué)高一上學(xué)期期中)已知，，，則在下列不等式①；②；③；④；⑤其中恒成立的是___________.(寫出所有正確命題的序號(hào))
8.已知，，，則的最小值為__．
9. (2022學(xué)年湖北省十堰市車城高中高一上學(xué)期9月月考)(1)已知，，，求的最小值；
(2)已知，求的最大值.
10.(2022學(xué)年江蘇省南通市海安市高一上學(xué)期期末)為宣傳2022年北京冬奧會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙(記為矩形，如圖)上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄(欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.
(1)當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；
(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少(即矩形的面積最小)？
第06講基本不等式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握基本不等式
2.結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值的問題．
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、幾個(gè)重要的不等式
1.eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)
2.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
3.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．
4.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
5.eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.
二、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq \f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq \r(ab)，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
三、利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則
1.如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq \r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)
2.如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq \f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)
3.應(yīng)用基本不等式時(shí)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)一正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù).
(2)二定值：只有ab為定值時(shí)才能應(yīng)用基本不等式，因此有時(shí)需要構(gòu)造定值.
(3)三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值.
4.在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．湊配法求最值的基本技巧：①配湊系數(shù)；②配湊常數(shù)；③配湊分子；④配湊分母； = 5 \* GB3 ⑤配湊項(xiàng)數(shù)
5.條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求最值．求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)型最值問題，常通過“1”來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但不是所有的最值都可以通過基本不等式解決，有一些看似可以通過基本不等式解決的問題，由于條件的限制，等號(hào)不能夠成立，這時(shí)就不能用基本不等式來解決，而要借助于其他求值域的方法來解決．
四、基本不等式的其他應(yīng)用
1.基本不等式除具有求最值的功能外，還具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”以及將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常用于比較數(shù)(式)的大小
2.一般地，對(duì)含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問題，對(duì)于“恒成立”的不等式，一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值．另外，要記住幾個(gè)常見的有關(guān)不等式的等價(jià)命題：(1)a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解?a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解?a＜f(x)max.
3.利用基本不等式證明不等式的策略
從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 對(duì)不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.
4.構(gòu)造不等式求范圍
利用或ab≤將式子轉(zhuǎn)化為含ab或a+b的一元二次不等式，將ab，(a+b)作為整體解出范圍
5．函數(shù)法求最值：若利用基本不等式時(shí)等號(hào)取不到，則無法利用基本不等式求最值，則可將要求的式子看成一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.
6.利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟
解實(shí)際問題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題.用基本不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：
(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值.
(4)正確寫出答案.
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：利用基本不等式判斷命題的真假
例1．(2022學(xué)年江西省贛州市贛縣高一下學(xué)期開學(xué)考試)下列說法正確的為( )
A．
B．函數(shù)的最小值為4
C．若則最大值為1
D．已知時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值8
答案:C
解析：對(duì)于選項(xiàng),只有當(dāng)時(shí)，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；
對(duì)于選項(xiàng),，令，
即在上單調(diào)遞增，則最小值為,
則不正確；對(duì)于選項(xiàng),，則正確；
對(duì)于選項(xiàng),當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，即，等號(hào)成立，則不正確.故選.
考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小
例2．(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高一上學(xué)期期中)若a＞0，b＞0，且a≠b，則( )
A．＜＜B．＜＜
C．＜＜D．＜＜
答案:B
解析：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，
∴＜，故選B
考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值
例3．(2022學(xué)年吉林省延邊州高一上學(xué)期期末)已知，則函數(shù)的最小值是( )
A．B．C．2D．
答案:D
解析：由題設(shè)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴函數(shù)最小值為.故選D.
考點(diǎn)四：利用基本不等式求范圍
例4．(2022學(xué)年湖北省黃石市有色第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)設(shè)，，且，求的取值范圍
解析：由得：，
又(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，，
解得：或(舍)，，即的取值范圍為
考點(diǎn)五：利用基本不等式證明不等式
例5．已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足證明：
(1)；
(2)．
解析： (1)均為正實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，
同理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，
又，
故.
(2)
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，
同理當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．
又由，
可知．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．
所以，
故．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．
考點(diǎn)六：利用基本不等式求解恒成立問題
例6. 已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8
答案:A
解析：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴(x+2y)()4≥4+28．(當(dāng)，即x＝2y時(shí)取等號(hào))，
∵不等式m2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故選A．
考點(diǎn)七：基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例7. (2022學(xué)年河北省唐縣第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考)冬奧會(huì)期間，冰墩墩成熱銷商品，一家冰墩墩生產(chǎn)公司為加大生產(chǎn)，計(jì)劃租地建造臨時(shí)倉庫儲(chǔ)存貨物，若記倉庫到車站的距離為(單位：)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查了解到：每月土地占地費(fèi)(單位：萬元)與成反比，每月庫存貨物費(fèi)(單位：萬元)與成正比；若在距離車站處建倉庫，則與分別為萬元和萬元.記兩項(xiàng)費(fèi)用之和為.
(1)求關(guān)于的解析式；
(2)這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最?。壳蟪鲎钚≈担?br>解析： (1)∵每月土地占地費(fèi)(單位：萬元)與成反比，
∴可設(shè)，
∵每月庫存貨物費(fèi)(單位：萬元)與(4x+1)成正比，
∴可設(shè)，
又∵在距離車站5km處建倉庫時(shí)，與分別為12.5萬元和7萬元，
∴，.
∴
∴.
(2)
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝6.5時(shí)等號(hào)成立，
∴這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站6.5千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小值為19萬元．
【真題演練】
1．(2020-2021學(xué)年陜西省榆林市第十中學(xué)高一下學(xué)期期末)若，且，則的最大值為( )
A．4B．2C．D．
答案:A
解析：因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；故選A
2.(2022學(xué)年福建省三明第一中學(xué)高一上學(xué)期學(xué)段考)已知，，，則下列結(jié)論一定成立的是( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故AB錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故D正確.故選D.
3．(2022學(xué)年貴州省六盤水紅橋?qū)W校高一上學(xué)期期中)設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是( )
A．4B．2C．D．
答案:A
解析：由題設(shè)，，∴，又x，y，z為正實(shí)數(shù)，則，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值是4.
4.(2022學(xué)年安徽省阜陽市太和縣三校高一上學(xué)期期中聯(lián)考)下列命題中正確的是( )
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
答案:ABCD
解析：A中，因?yàn)?，由基本不等式可知成立?br>B中，因?yàn)?，所以，所以，所以成立?br>C中，因?yàn)?，由基本不等式可知成立?br>D中，因?yàn)?，由基本不等式可得成?故選ABCD
5. (2022學(xué)年甘肅省金昌市永昌縣高一上學(xué)期期末)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對(duì)于，下列說法準(zhǔn)確的是( )
A．取得最小值時(shí)a＝B．最小值是5
C．取得最小值時(shí)b＝D．最小值是
答案:AD
解析：，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào).故AD正確，BC錯(cuò)誤.故選AD.
6.(2022學(xué)年安徽省宣城市涇縣中學(xué)高一上學(xué)期10月月考)某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))與車流速度(假設(shè)車輛以相同速度行駛，單位：米/秒)，平均車長(zhǎng)(單位：米)的值有關(guān)，其公式為.如果不限定車型，，則最大車流量為__________輛/時(shí).
答案:1900
解析：當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)且僅當(dāng)11米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車流量最大為1900輛/時(shí).
7. (2022學(xué)年廣西河池市高一上學(xué)期八校聯(lián)考)已知，求證.
解析：∵，①
，②
，③
①+②+③得；.
∴(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立).
8. (2022學(xué)年湖北省孝感市高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知且，求的最小值．
答案:17．
解析：因?yàn)?所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值為17．
【過關(guān)檢測(cè)】
1. (2022學(xué)年四川省南充市白塔中學(xué)高一下學(xué)期月考)已知，，則的最小值為( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：因?yàn)椋?，所?br>(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào))，即的最小值為4.故選D.
2. (2022學(xué)年江西省豐城中學(xué)高一下學(xué)期入學(xué)考試)已知都是正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為( )
A．2B．4C．6D．8
答案:D
解析：由可知
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)
以上三個(gè)不等式兩邊同時(shí)相乘，可得
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)
故選D
3. (2022學(xué)年四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)校高一下學(xué)期階段性測(cè)試)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．B．C．D．
答案:D
解析：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，對(duì)均成立．由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值等于3，
，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選D．
4. (2022學(xué)年河南省開封市高一上學(xué)期期末)已知，都是正數(shù)，則下列命題為真命題的是( )
A．如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最大值
B．如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最小值
C．如果積等于定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值
D．如果和等于定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值
答案:D
解析：由題意知，，
A：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
所以有最小值，故A錯(cuò)誤；
B：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
所以有最大值，故B錯(cuò)誤；
C：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
所以有最小值，故C錯(cuò)誤；
D：，則，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
所以有最大值，故D正確；故選D
5.(多選)(2022學(xué)年山東省棗莊市滕州市高一上學(xué)期期末)設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則( )
A．的最小值為
B．的最小值為2
C．的最大值為1
D．的最小值為2
答案:CD
解析：對(duì)于選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即，時(shí)取等號(hào)，則錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)， ,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立，則，即的最大值為2，則錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則正確；
對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)且僅
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則正確,故選.
6.(多選)(2022學(xué)年湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體高一上學(xué)期期中)有下列4個(gè)關(guān)于不等式的結(jié)論，其中正確的是( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
答案:ABC
解析：對(duì)A，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)B，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合選項(xiàng)A，時(shí)，則，C正確；對(duì)D，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.
故選ABC
7. (2022學(xué)年上海市延安中學(xué)高一上學(xué)期期中)已知，，，則在下列不等式①；②；③；④；⑤其中恒成立的是___________.(寫出所有正確命題的序號(hào))
答案:①②④
解析：①，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，所以正確；
②，要證，只需證只需證，顯然成立，所以正確；
③，只需證只需證只需證，與已知不符，所以錯(cuò)誤；
④，要證，只需證只需證，顯然成立，所以正確；
⑤，要證，只需證只需證只需證只需證，與①不符，所以錯(cuò)誤.故答案為：①②④
8.已知，，，則的最小值為__．
答案:
解析：
，當(dāng)且僅當(dāng)析，時(shí)，等號(hào)成立.
9. (2022學(xué)年湖北省十堰市車城高中高一上學(xué)期9月月考)(1)已知，，，求的最小值；
(2)已知，求的最大值.
解析：(1)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
當(dāng)時(shí)，的最小值為
(2)，求
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立
當(dāng)時(shí)，的最大值為
10.(2022學(xué)年江蘇省南通市海安市高一上學(xué)期期末)為宣傳2022年北京冬奧會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙(記為矩形，如圖)上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄(欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為.為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.
(1)當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙的面積；
(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少(即矩形的面積最小)？
解析： (1)宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為，直角梯形的高為，
則梯形長(zhǎng)的底邊，
海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，
，，
故海報(bào)面積為．
(2)直角梯形的高為，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為，
，
海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，
海報(bào)寬，海報(bào)長(zhǎng)，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
故當(dāng)海報(bào)紙寬為，長(zhǎng)為，可使用紙量最少．

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