新人教版高一(初升高)暑期數(shù)學(xué)銜接第03講充分條件與必要條件練習(xí)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系
2.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系
3.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、 “?”及“?”的含義
“?”是推斷符號(hào),p?q即如果p成立,那么q一定成立,
“?”表示“等價(jià)”,如“p ?q”指的是“如果p ,那么q”,同時(shí)有“如果q,那么p ”,或者說“從p 推出q”,同時(shí)可“從q推出p ”.
二、充分條件與必要條件
1.如果p?q,則p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件；
2.如果p?q,但q?p,則p是q的充分不必要條件；
3.如果p?q,且q?p,則p是q的充要條件；
4.如果q?p,且p?q,則p是q的必要不充分條件；
5.如果p?q,且q?p,則p是q的既不充分也不必要條件．
6.充分條件與必要條件的理解
充分條件:說條件是充分的,也就是說條件是充足的,條件是足夠的,條件是足以保證的.“有之必成立,無之未必不成立”.
必要條件:必要就是必須,必不可少.“有之未必成立,無之必不成立”
7.從集合角度理解充分條件與必要條件
若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為
(1)若A?B,則p是q的充分條件；
(2)若A?B,則p是q的必要條件；
(3)若A＝B,則p是q的充要條件；
(4)若AB,則p是q的充分不必要條件；
(5)若AB,則p是q的必要不充分條件；
(6)若AB且A?B,則p是q的既不充分也不必要條件．
三、判斷充分條件、必要條件的注意點(diǎn)
1.明確條件與結(jié)論.
2.判斷若p,則q是否成立時(shí)注意利用等價(jià)命題.
3.可以用反例說明由p推不出q,但不能用特例說明由p可以推出q.
四、充要條件一定要分清誰是條件誰是結(jié)論,注意下面兩種敘述方式的區(qū)別：
1.p是q的充分條件；
2.p的充分條件是q.
五、充分條件、必要條件的應(yīng)用,一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時(shí)需注意：
1.把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．
2.要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．
六、充要條件的證明策略
1.要證明一個(gè)條件p是否是q的充要條件,需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行,即證明兩個(gè)命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真.
2.在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明,證明p與q的解集是相同的,證明前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.
【基礎(chǔ)知識(shí)】
考點(diǎn)一：充分條件與必要條件的判斷
例1．(2020-2021學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一上學(xué)期第一次段考)“三角形的某兩條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
考點(diǎn)二：與充分條件必要條件命題真假的判斷
例2．(多選)(2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一上學(xué)期期末)下列四個(gè)命題中為真命題的是( )
A．“”是“”的既不充分也不必要條件
B．“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條件
C．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是
D．若集合，則是的充分不必要條件
考點(diǎn)三：根據(jù)充分條件與必要條件求參數(shù)范圍
例3．(2022學(xué)年上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期期中)設(shè)，，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.
考點(diǎn)四：充分條件與必要條件的推理
例4．(2022學(xué)年安徽省A10聯(lián)盟高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，下列命題正確的是( )
A．是的必要不充分條件B．是的充要條件
C．是的充分不必要條件D．是的充要條件
【真題演練】
1．(2020-2021學(xué)年重慶市青木關(guān)中學(xué)高一上學(xué)期12月月考)“”是“”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2.(2022學(xué)年安徽省蚌埠第三中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)測(cè)試)設(shè)P：，q：，則p是q成立的( )
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
3.(2022學(xué)年遼寧省撫順市撫順縣高中高一上學(xué)期10月月考)下列說法正確的是( )
A．是的充分不必要條件
B．是的充要條件
C．若，則是的充分條件
D．一個(gè)四邊形是矩形的充分條件是它是平行四邊形
4.(多選)(2022學(xué)年浙江省寧波市金蘭教育合作組織高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有( )
A．B．C．D．
5.(2022學(xué)年湖北省武漢市水果湖高中高一上學(xué)期10月月考)若“或”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)k的值可以是( )
A．B．C．1D．4
6.(2022學(xué)年湖北省高一上學(xué)期期末調(diào)考)若命題p是命題“”的充分不必要條件，則p可以是___________.(寫出滿足題意的一個(gè)即可)
7. (2022學(xué)年江西省豐城市第九中學(xué)高一上學(xué)期第一次月考)給出下列命題：
①已知集合，且，則集合的真子集個(gè)數(shù)是4；
②“”是“”的必要不充分條件；
③“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件
④設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件
其中所有正確命題的序號(hào)是__________．
8.(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期末)已知非空集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【過關(guān)檢測(cè)】
1.(2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)金海學(xué)校高一上學(xué)期期中)“”是“”的( )
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2. 使“0＜x＜4”成立的一個(gè)必要不充分條件是( )
A．x＞0B．x＜0或x＞4
C．0＜x＜3D．x＜0
3.(2022學(xué)年湖南省益陽市箴言中學(xué)高一上學(xué)期10月月考)設(shè)，則“或”是“”的( )
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．非充分非必要條件
4. (2022學(xué)年福建省福州市閩侯縣一中學(xué)高一上學(xué)期月考)在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC為直角三角形的( )條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
5．(多選)(2020-2021學(xué)年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高一上學(xué)期期中)p是q的必要條件的是( )
A．B．
C．p：四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D．，q：關(guān)于x的方程有唯一解
6.(多選)設(shè)全集為，在下列選項(xiàng)中，是的充要條件的有( )
A．B．
C．D．
7. (多選)已知，都是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，則( )
A．是的充分條件B．是的必要條件
C．是的必要不充分條件D．是的充要條件
8.下列命題：
①“且”是“”的充要條件；
②當(dāng)時(shí)，“”是“方程有解”的充要條件；
③“或”是“方程”的充要條件．其中正確的序號(hào)為______．
9．已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．
10.(2022學(xué)年貴州省畢節(jié)市金沙縣高一10月月考)已知集合，，其中，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得“”是“”的充要條件？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求a的取值范圍.
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第03講充分條件與必要條件
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系
2.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系
3.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、 “?”及“?”的含義
“?”是推斷符號(hào),p?q即如果p成立,那么q一定成立,
“?”表示“等價(jià)”,如“p ?q”指的是“如果p ,那么q”,同時(shí)有“如果q,那么p ”,或者說“從p 推出q”,同時(shí)可“從q推出p ”.
二、充分條件與必要條件
1.如果p?q,則p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件；
2.如果p?q,但q?p,則p是q的充分不必要條件；
3.如果p?q,且q?p,則p是q的充要條件；
4.如果q?p,且p?q,則p是q的必要不充分條件；
5.如果p?q,且q?p,則p是q的既不充分也不必要條件．
6.充分條件與必要條件的理解
充分條件:說條件是充分的,也就是說條件是充足的,條件是足夠的,條件是足以保證的.“有之必成立,無之未必不成立”.
必要條件:必要就是必須,必不可少.“有之未必成立,無之必不成立”
7.從集合角度理解充分條件與必要條件
若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為
(1)若A?B,則p是q的充分條件；
(2)若A?B,則p是q的必要條件；
(3)若A＝B,則p是q的充要條件；
(4)若AB,則p是q的充分不必要條件；
(5)若AB,則p是q的必要不充分條件；
(6)若AB且A?B,則p是q的既不充分也不必要條件．
三、判斷充分條件、必要條件的注意點(diǎn)
1.明確條件與結(jié)論.
2.判斷若p,則q是否成立時(shí)注意利用等價(jià)命題.
3.可以用反例說明由p推不出q,但不能用特例說明由p可以推出q.
四、充要條件一定要分清誰是條件誰是結(jié)論,注意下面兩種敘述方式的區(qū)別：
1.p是q的充分條件；
2.p的充分條件是q.
五、充分條件、必要條件的應(yīng)用,一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時(shí)需注意：
1.把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．
2.要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．
六、充要條件的證明策略
1.要證明一個(gè)條件p是否是q的充要條件,需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行,即證明兩個(gè)命題“若p,則q”為真且“若q,則p”為真.
2.在證明的過程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來證明,證明p與q的解集是相同的,證明前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.
【基礎(chǔ)知識(shí)】
考點(diǎn)一：充分條件與必要條件的判斷
例1．(2020-2021學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一上學(xué)期第一次段考)“三角形的某兩條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
答案:B
解析：三角形的某兩條邊相等則三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，所以充分性不成立；三角形為等邊三角形則其三邊相等，能得到三角形的任意兩邊也是相等的，所以必要性成立.
故選B.
考點(diǎn)二：與充分條件必要條件命題真假的判斷
例2．(多選)(2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高一上學(xué)期期末)下列四個(gè)命題中為真命題的是( )
A．“”是“”的既不充分也不必要條件
B．“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條件
C．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是
D．若集合，則是的充分不必要條件
答案:AC
解析：且，所以A正確；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；一元二次方程有實(shí)根則，反之亦然，故C正確；
當(dāng)集合A=B時(shí)，應(yīng)為充要條件，故D不正確.故選AC.
考點(diǎn)三：根據(jù)充分條件與必要條件求參數(shù)范圍
例3．(2022學(xué)年上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期期中)設(shè)，，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.
答案:
解析：由已知可得，所以，.
考點(diǎn)四：充分條件與必要條件的推理
例4．(2022學(xué)年安徽省A10聯(lián)盟高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，下列命題正確的是( )
A．是的必要不充分條件B．是的充要條件
C．是的充分不必要條件D．是的充要條件
答案:BD
解析：由題意得，，，，，，所以，，，
所以是的充要條件，是的充要條件，是的充要條件，故選BD.
【真題演練】
1．(2020-2021學(xué)年重慶市青木關(guān)中學(xué)高一上學(xué)期12月月考)“”是“”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
答案:B
解析：因?yàn)椋士傻没?，若，則不一定有，故充分性不滿足；
若，則一定有，故必要性成立，綜上所述：“”是“”的必要不充分條件.
故選.
2.(2022學(xué)年安徽省蚌埠第三中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)測(cè)試)設(shè)P：，q：，則p是q成立的( )
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
答案:B
解析：由不能推出，例如，但必有，
所以：是：的必要不充分條件.故選B.
3.(2022學(xué)年遼寧省撫順市撫順縣高中高一上學(xué)期10月月考)下列說法正確的是( )
A．是的充分不必要條件
B．是的充要條件
C．若，則是的充分條件
D．一個(gè)四邊形是矩形的充分條件是它是平行四邊形
答案:B
解析：A. 由? ，所以是的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；
B. 時(shí)，則，反過來也成立，所以是的充要條件，故B正確；
C. ，則p是q的必要條件，故C錯(cuò)誤；
D. 矩形是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形，所以一個(gè)四邊形是矩形的必要條件是它是平行四邊形，故D錯(cuò)誤.故選B
4.(多選)(2022學(xué)年浙江省寧波市金蘭教育合作組織高一上學(xué)期期中聯(lián)考)已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有( )
A．B．C．D．
答案:CD
解析：由得，即，故能使成立的充分不必要條件有CD.故選CD.
5.(2022學(xué)年湖北省武漢市水果湖高中高一上學(xué)期10月月考)若“或”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)k的值可以是( )
A．B．C．1D．4
答案:ACD
解析：若“或”是“”的必要不充分條件，所以或，
所以或.故選ACD
6.(2022學(xué)年湖北省高一上學(xué)期期末調(diào)考)若命題p是命題“”的充分不必要條件，則p可以是___________.(寫出滿足題意的一個(gè)即可)
答案:，(答案不唯一).
解析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，一定成立，而當(dāng)時(shí)，可能，可能，
所以是的充分不必要條件，故答案為：(答案不唯一)
7. (2022學(xué)年江西省豐城市第九中學(xué)高一上學(xué)期第一次月考)給出下列命題：
①已知集合，且，則集合的真子集個(gè)數(shù)是4；
②“”是“”的必要不充分條件；
③“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件
④設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件
其中所有正確命題的序號(hào)是__________．
答案:③④
解析：①，故真子集個(gè)數(shù)為個(gè)，錯(cuò)誤；
②由，可得或，故“”是“”的充分不必要條件，錯(cuò)誤；③由開口向上且對(duì)稱軸為，只需即可保證原方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，故“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件，正確；
④當(dāng)，時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，且，故“”是“”的必要不充分條件，正確.故答案為③④
8.(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期末)已知非空集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解析： (1)由已知，或，
所以或＝；
(2)“”是“”的充分不必要條件，則，解得，
所以的范圍是．
【過關(guān)檢測(cè)】
1.(2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)金海學(xué)校高一上學(xué)期期中)“”是“”的( )
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
答案:A
解析：由題，將代入，等式成立，所以“”是“”的充分條件；
求解，得到，故“”是“”的不必要條件；故選A
2. 使“0＜x＜4”成立的一個(gè)必要不充分條件是( )
A．x＞0B．x＜0或x＞4
C．0＜x＜3D．x＜0
答案:A
解析：設(shè)p: 0＜x＜4，所求的命題為q，則原表述可以改寫為q是p的必要不充分條件，即q推不出p，但p?q.，顯然由: 0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，
故選A
3.(2022學(xué)年湖南省益陽市箴言中學(xué)高一上學(xué)期10月月考)設(shè)，則“或”是“”的( )
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．非充分非必要條件
答案:B
解析：若“或”則“”為真，等價(jià)于若“”則“且”為真，顯然該命題為假，
“或”推不出“”，反之，若“”，則“或”為真，等價(jià)于若“且”則“”為真，顯然成立，“”可推出“或”，
“或”是“”的必要非充分條件，故選B
4. (2022學(xué)年福建省福州市閩侯縣一中學(xué)高一上學(xué)期月考)在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC為直角三角形的( )條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
答案:A
解析：在△ABC中，若AB2+BC2=AC2，，則，即△ABC為直角三角形，
若△ABC為直角三角形，推不出，所以AB2+BC2=AC2不一定成立，
綜上，AB2+BC2=AC2是△ABC為直角三角形的充分不必要條件，故選A
5．(多選)(2020-2021學(xué)年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高一上學(xué)期期中)p是q的必要條件的是( )
A．B．
C．p：四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D．，q：關(guān)于x的方程有唯一解
答案:CD
解析：對(duì)于A，，，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要條件；對(duì)于B，；當(dāng)時(shí)，滿足但q推不出p，故p是q的充分不必要條件；對(duì)于C，若“兩條對(duì)角線互相垂直平分”成立推不出“四邊形是正方形”；
反之，若“四邊形是正方形”成立“兩條對(duì)角線互相垂直平分”成立，故p是q的必要條件；
對(duì)于D，關(guān)于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要條件.故選CD.
6.(多選)設(shè)全集為，在下列選項(xiàng)中，是的充要條件的有( )
A．B．
C．D．
答案:BCD
解析：
由圖可知，B，C，D都是的充要條件，故選BCD．
7. (多選)已知，都是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，則( )
A．是的充分條件B．是的必要條件
C．是的必要不充分條件D．是的充要條件
答案:AD
解析：由已知得：；.是的充分條件；是的充分條件；
是的充要條件；是的充要條件.故選AD
8.下列命題：
①“且”是“”的充要條件；
②當(dāng)時(shí)，“”是“方程有解”的充要條件；
③“或”是“方程”的充要條件．其中正確的序號(hào)為______．
答案:③
解析：①且時(shí)，成立，反之不一定成立，如，，所以“且”是“”的充分不必要條件，故①錯(cuò)誤；
②方程有解的充要條件是，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)或時(shí)，方程一定成立，
反過來，方程成立時(shí)，或，故③正確．
9．已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．
答案:
解析：∵“”是”的必要條件，∴，
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，
由圖可知或，解得或，
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
10.(2022學(xué)年貴州省畢節(jié)市金沙縣高一10月月考)已知集合，，其中，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得“”是“”的充要條件？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求a的取值范圍.
解析： (1)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，則，即，.
因?yàn)?，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，
即，解得，即當(dāng)時(shí)，“”是“”的充要條件.
(2)由題意可知，關(guān)于x的方程的兩根分別為和.
因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以B ?A .
當(dāng)，即時(shí)，，
則解得；
當(dāng)，即時(shí)，，
則解得.
綜上，a的取值范圍是或.

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