【知識儲備】
①求A、B兩點(diǎn)間的距離：若能確定左右位置：右—左；若無法確定左右位置：；
②求A、B的中點(diǎn)：；
③數(shù)軸動點(diǎn)問題主要步驟：
1）畫圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動情況：運(yùn)動方向和速度；
2）寫點(diǎn)——寫出所有點(diǎn)表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運(yùn)動用“+”表示，向左運(yùn)動用“-”表示；
3）表示距離——右—左，若無法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對值；
4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。
注意：要注意動點(diǎn)是否會來回往返運(yùn)動。
模型1.左右跳躍模型（動態(tài)規(guī)律模型）
【模型解讀】
例1．（2022·湖北鄂州·七年級期末）已知點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a，b，c，其中a滿足，b滿足，點(diǎn)P位于該數(shù)軸上．(1)求出a，b的值，并求出A，B兩點(diǎn)之間的距離AB；
(2)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離為24個單位長度，且，若PB＝2PC，求點(diǎn)P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)p；
(3)設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度……以此類推，問點(diǎn)P能移動到與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合的位置嗎？若能，請?zhí)骄啃枰苿佣嗌俅尾拍苤睾?？若不能，請說明理由．
例2．（2022·浙江嘉興·七年級期末）一個機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運(yùn)動，設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，表示第n秒時機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號是_______．
變式1．（2022·福建龍巖·七年級期末）如圖，A點(diǎn)的初始位置在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)上，先對A做如下移動：第一次向右移動3個單位長度到達(dá)點(diǎn)B，第二次從B點(diǎn)出發(fā)向左移動6個單位長度到達(dá)點(diǎn)C，第三次從C點(diǎn)出發(fā)向右移動9個單位長度到達(dá)點(diǎn)D，第四次從D點(diǎn)出發(fā)向左移動12個單位長度到達(dá)點(diǎn)E，……．以此類推，按照以上規(guī)律第（ ）次移動到的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為20.
A．7B．10C．14D．19
變式2．（2022·江蘇·泰州七年級階段練習(xí)）在如圖的數(shù)軸上，一動點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒鐘4個單位長度的速度來回移動，其移動方式是先向右移動1個單位長度，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度，又向右移動5個單位長度…
（1）求出2.5秒鐘后動點(diǎn)Q所處的位置；（2）求出7秒鐘后動點(diǎn)Q所處的位置；
（3）如果在數(shù)軸上有一個定點(diǎn)A，且A與原點(diǎn)O相距48個單位長度，問：動點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，可能與點(diǎn)A重合嗎？若能，則第一次與點(diǎn)A重合需多長時間？若不能，請說明理由．
模型2.點(diǎn)的常規(guī)運(yùn)動模型
【模型解讀】
例1．（2023·江蘇、·七年級期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別對應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)C移動，同時，動點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向終點(diǎn)C移動，設(shè)點(diǎn)P的移動時間為t秒．
（1）當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為 ，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為 ；P、Q兩點(diǎn)間的距離為 ．
（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為 ．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動到C點(diǎn)的過程中（點(diǎn)Q運(yùn)動到C點(diǎn)后停止運(yùn)動），請用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)間的距離．
變式1.（2022·河北石家莊·七年級期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，M，N始終為AP，BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
①B對應(yīng)的數(shù)是－4；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，t＝6；③BP＝2時，t＝5；④在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段MN的長度不變
A．1個B．2個C．3個D．4個
變式2.（2022·江西贛州·七年級期中）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是的美好點(diǎn)．
例如；如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距高是2，那么點(diǎn)D就不是的美好點(diǎn)，但點(diǎn)D是的美好點(diǎn)．
如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2．
（1）點(diǎn)E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是，6.5，11，其中是美好點(diǎn)的是________；寫出美好點(diǎn)H所表示的數(shù)是___________．（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動．當(dāng)t為何值時，點(diǎn)P恰好為M和N的美好點(diǎn)？
模型3.中點(diǎn)與n等分點(diǎn)模型
【模型解讀】
例1．（2022·山東·七年級專題練習(xí)）“幸福是奮斗出來的”，在數(shù)軸上，若C到A的距離剛好是3，則C點(diǎn)叫做A的“幸福點(diǎn)”，若C到A、B的距離之和為6，則C叫做A、B的“幸福中心”．

（1）如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，則A的幸福點(diǎn)C所表示的數(shù)應(yīng)該是______；
（2）如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為4，點(diǎn)N所表示的數(shù)為-2，點(diǎn)C就是M、N的幸福中心，則C所表示的數(shù)可以是______（填一個即可）；（3）如圖3，A、B、P為數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為-1，點(diǎn)B所表示的數(shù)為4，點(diǎn)P所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動，秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心嗎？請說明理由．
例2．（2022·四川綿陽·七年級?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x．(1)請直接寫出P所表示的數(shù)，使P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10．
(2)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時向左運(yùn)動，他們的速度分別為每秒1、2、1個（單位長度/秒）．
①幾秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)？并求出此時x的值；②是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)，若存在請求出x的值；若不存在，請說明理由．
變式1．（2022秋·成都市·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），點(diǎn)C是數(shù)軸上不與A，B兩點(diǎn)重合的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，如果點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，求線段MN的長度．下列關(guān)于甲、乙、丙的說法判斷正確的是（ ）
甲說：若點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動時，線段MN的長度為；
乙說：若點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動時，線段MN的長度為；
丙說：若點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動時，線段MN的長度為．
A．只有甲正確B．只有乙正確C．只有丙正確D．三人均不正確
變式2．（2023·吉林·七年級期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)如圖所示，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向右以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)B停止運(yùn)動；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，到點(diǎn)A停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，P、Q兩點(diǎn)的距離為d（d≥0）個單位長度．（1）當(dāng)t＝1時，d＝ ；（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一個點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)時，求d的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AB的3等分點(diǎn)時，直接寫出d的值；（4）當(dāng)d＝5時，直接寫出t的值．
模型4.動態(tài)定值（無參型）模型
【模型解讀】設(shè)未知數(shù)并表示各動點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，若是行程問題一般設(shè)運(yùn)動時間為t，從而表示出兩點(diǎn)之間的距離。當(dāng)計(jì)算結(jié)果中不含有未知數(shù)，則為定值。
例1．（2022·四川阿壩·七年級期末）如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)點(diǎn)示數(shù)點(diǎn)表示數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處。 ； ； ；
若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與數(shù)_ __表示的點(diǎn)重合；
點(diǎn)開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點(diǎn)以每秒個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運(yùn)動，假設(shè)秒鐘過后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，則_ _，_ _，__ _；（用含的代數(shù)式表示）
請問:的值是否隨著時間的變化而改變﹖若變化，請說明理由；若不變，請求其值．
例2．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別為－2、1、6（點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．（2）若點(diǎn)A以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運(yùn)動．請問：2BC－AC的值是否隨著運(yùn)動時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，求其值．（3）若點(diǎn)C以每秒3個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向右運(yùn)動．求隨著運(yùn)動時間t的變化，AB、BC、AC之間的數(shù)量關(guān)系．
變式1．（2023·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為b，且a，b滿足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求線段AB的長；（2）如圖①，點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)；若不存在，說明理由；
（3）如圖②，若N點(diǎn)是B點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，NA的中點(diǎn)為Q，P為NB的三等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，當(dāng)N在B的右側(cè)運(yùn)動時，請直接判斷的值是不變的還是變的，如果不變請直接寫出其值，如果是變的請說明理由．
變式2.（2022·福建·廈門市七年級期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點(diǎn)；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，經(jīng)過3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，求點(diǎn)C的運(yùn)動速度？（結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分析.）
(3) 若點(diǎn)D以2個單位每秒的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動，同時點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以3個單位每秒的速度向左運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以6個單位每秒的速度向右運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，M、N分別為PD、OQ的中點(diǎn)，問的值是否發(fā)生變化，請說明理由.（注：PD指的是點(diǎn)P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長度的差.類似的，其它的兩個大寫字母寫在一起時意義一樣 .
模型5.折線數(shù)軸（雙動點(diǎn)）模型
【模型解讀】
例1．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校?shù)軸上點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示6，點(diǎn)C表示12，點(diǎn)D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離．例如，點(diǎn)A和點(diǎn)D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個單位長度．動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動，從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點(diǎn)C后繼續(xù)以原來的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時，點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負(fù)方向向終點(diǎn)A運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．
(1)當(dāng)秒時，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；
(2)當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動到折線段上時，O、M兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時，M、N兩點(diǎn)相遇；(3)當(dāng)__________時，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度；當(dāng)__________時，M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．
變式1．（2023·廣東·七年級專題練習(xí)）如下圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，在點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)D在數(shù)軸上相距20個長度單位，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動，它們在“水平路線”射線BA和射線CD上的運(yùn)動速度相同均為2個單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，問：(1)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B需要的時間為______秒；(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至D點(diǎn)需要的時間為多少秒？(3)當(dāng)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度相等時，求出動點(diǎn)P在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)．
變式2．（2022·重慶·七年級期中）數(shù)軸上點(diǎn)A表示－12，點(diǎn)B表示12，點(diǎn)C表示24，如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離，那么我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在折線數(shù)軸上的和諧距離為36個單位長度．動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以3個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動，從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，過點(diǎn)B后繼續(xù)以原來的速度向正方向運(yùn)動；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動，從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點(diǎn)O后繼續(xù)以原來的速度向負(fù)方向運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．
（1）當(dāng)秒時，求M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離；
（2）當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度時，求運(yùn)動時間t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)C時，立即以原速返回，從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?；?dāng)點(diǎn)N運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)M、N立即停止運(yùn)動，是否存在某一時刻t使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等？若存在，請直接寫出t的取值；若不存在，請說明理由．
模型6.動點(diǎn)往返運(yùn)動模型
【模型解讀】
例1．（2022秋·重慶·七年級專題練習(xí)）如圖，A、O、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為﹣20、0、40，C點(diǎn)在A、B之間，在A、B兩點(diǎn)處各放一個擋板，M、N兩個小球同時從C處出發(fā)，M以2個單位/秒的速度向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，N以4個單位/秒的速度向數(shù)軸正方向運(yùn)動，碰到擋板后則反方向運(yùn)動，速度大小不變．設(shè)兩個小球運(yùn)動的時間為t秒鐘（0＜t＜40），當(dāng)M小球第一次碰到A擋板時，N小球剛好第一次碰到B擋板．則：①C點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為0；②當(dāng)10＜t＜25時，N在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)可以表示為80﹣4t；③當(dāng)25＜t＜40時，2MA+NB始終為定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上結(jié)論正確的有（ ）
A．①②③④B．①③C．②③D．①②④
例2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┮阎獢?shù)軸上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣8，M、N、P為數(shù)軸上三個動點(diǎn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)速度為每秒2個單位長度，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)速度為點(diǎn)M的3倍，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)速度為每秒1個單位長度．（1）求A、B兩點(diǎn)的距離為 個單位長度．
（2）若點(diǎn)M向右運(yùn)動，同時點(diǎn)N向左運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個單位長度？
（3）若點(diǎn)M、N、P同時都向右運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇后，點(diǎn)M、P繼續(xù)以原來的速度向右運(yùn)動，點(diǎn)N改變運(yùn)動方向，以原來的速度向左運(yùn)動，求從開始運(yùn)動后，經(jīng)過多長時間點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等？
變式1.（2022·陜西·西安七年級期中）如圖：在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，且a，b滿足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝ ，b＝ ；（2）點(diǎn)P為數(shù)軸上一動點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x，則當(dāng)x 時，代數(shù)式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值為 ；
（3）點(diǎn)P從點(diǎn)A處以1個單位/秒的速度向左運(yùn)動；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B處以2個單位/秒的速度也向左運(yùn)動，在點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后，以原來的速度向相反的方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t（t≤8）秒，求第幾秒時，點(diǎn)P、Q之間的距離是點(diǎn)B、Q之問距離的2倍？
變式2．（2022·江蘇無錫·七年級期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示20，動點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)．(1)如圖1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它們的速度之比是2：3（速度單位：1個單位長度/秒），則點(diǎn)P的速度為 個單位長度/秒，點(diǎn)Q的速度為 個單位長度/秒；
(2)如圖2，若在原點(diǎn)O處放一塊擋板．P、Q均以（1）中的速度同時向左運(yùn)動，點(diǎn)Q在碰到擋板后（忽略球的大小）改變速度并向相反方向運(yùn)動，設(shè)它們的運(yùn)動時間為t（秒），試探究：
①若點(diǎn)Q兩次經(jīng)過數(shù)軸上表示12的點(diǎn)的間隔是5秒，求點(diǎn)Q碰到擋板后的運(yùn)動速度；
②若點(diǎn)Q碰到擋板后速度變?yōu)樵俣鹊?倍，求運(yùn)動過程中P、Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等的時間t．
模型7.線段和差且含參模型
【模型解讀】
例1．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)C表示數(shù)c，且．我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離用表示兩點(diǎn)的大寫字母一起標(biāo)記．比如：點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離記作AB．
（1）求BC的值；（2）在數(shù)軸上有一動點(diǎn)M滿足MB＋MC＝51，直接寫出點(diǎn)M表示的數(shù)；
（3）動點(diǎn)A從數(shù)3對應(yīng)的點(diǎn)開始向右運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度，同時點(diǎn)B，C在數(shù)軸上運(yùn)動，點(diǎn)B，C的速度分別為每秒3個單位長度、每秒5個單位長度，運(yùn)動時間為t秒．
①若點(diǎn)B向右運(yùn)動，點(diǎn)C向左運(yùn)動，BA＝ＢC，求t的值；
②若點(diǎn)B向右運(yùn)動，點(diǎn)C向右運(yùn)動，（不考慮點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），是否存在一個常數(shù)使得的值在一定時間范圍內(nèi)不隨t的變化而變化？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
例2．（2022春·湖南衡陽·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，滿足，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒，動點(diǎn)表示的數(shù)是．
(1)直接寫______，______，______用含的代數(shù)式表示；
(2)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，若點(diǎn)、同時出發(fā)，
①問點(diǎn)運(yùn)動多少秒時追上點(diǎn)？②問點(diǎn)運(yùn)動多少秒時與點(diǎn)相距個單位長度？并求出此時點(diǎn)表示的數(shù)；(3)點(diǎn)、以（2）中的速度同時分別從點(diǎn)、向右運(yùn)動，同時點(diǎn)從原點(diǎn)以每秒個單位的速度向右運(yùn)動，是否存在常數(shù)，使得的值為定值，若存在請求出值以及這個定值；若不存在，請說明理由．
變式1．（2022秋·福建廈門·七年級?？计谥校┮阎欣頂?shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，且滿足，．
(1)分別求a，b，c的值；(2)若點(diǎn)D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)A、D間距離是B、C間距離的4倍時，請求出x的值；(3)若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒2個單位長度和每秒1個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向右運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，是否存在一個常數(shù)k，使得的值在一定時間范圍內(nèi)不隨運(yùn)動時間t的改變而改變？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
變式2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級校聯(lián)考期中）已知：如圖數(shù)軸上有三點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B間距20個單位長度且點(diǎn)A、B表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，，數(shù)軸上有一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個單位秒的速度向右沿?cái)?shù)軸運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
(1)點(diǎn)A表示的有理數(shù)是______，點(diǎn)C表示的有理數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是______用含的式子表示．
(2)當(dāng)___秒時，兩點(diǎn)之間相距8個單位長度？(3)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C與點(diǎn)P同時在數(shù)軸上運(yùn)動，點(diǎn)A以個單位秒的速度向左運(yùn)動，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以3個單位秒和4個單位秒的速度向右運(yùn)動，是否存在常數(shù)，使得為一個定值，若存在，請求出值以及這個定值；若不存在，請說明理由．
模型8.數(shù)軸折疊（翻折）模型
【模型解讀】
例1．（2022秋·河南漯河·七年級統(tǒng)考期中）操作探究：已知在紙上有一數(shù)軸（如圖所示）．
(1)操作一：折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與________表示的點(diǎn)重合．
(2)操作二：折疊紙面，若使表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：
①5表示的點(diǎn)與數(shù)________表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間距離為10（A在B左側(cè)），且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)為________，點(diǎn)B表示的數(shù)為________；
(3)操作三：點(diǎn)E以每秒3個單位長度的速度從數(shù)5對應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，點(diǎn)F以每秒1個單位長度的速度從數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，且兩個點(diǎn)同時出發(fā)，請直接寫出多少秒后，折疊紙面，使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時，點(diǎn)E與點(diǎn)F也恰好重合．
變式1．（2023·浙江·七年級期中）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖）折疊紙面．
（1）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與數(shù)_____表示的點(diǎn)重合；
（2）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：
①13表示的點(diǎn)與數(shù)_____表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2022（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？
變式2．（2022·山東·七年級月考）在數(shù)軸上，已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．
（1）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則4表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；
（2）若-1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，-3表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；
（3）若數(shù)p表示的點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時折線與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的有理數(shù)是______；
（3）若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為m個單位長度，點(diǎn)A表示的有理數(shù)是a，并且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，請寫出此時折線與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的有理數(shù)是______．
模型9.數(shù)軸上的線段移動模型
【模型解讀】
例1．（2022·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）如圖，有兩條線段，（單位長度），（單位長度）在數(shù)軸上，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．
（1）點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，線段的長=______；
（2）若線段以1個單位長度秒的速度向右勻速運(yùn)動，同時線段以2個單位長度秒的速度向左勻速運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)與重合時，點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？
（3）若線段以1個單位長度秒的速度向左勻速運(yùn)動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒，當(dāng)為何值時，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為1個單位長度？
變式1．（2022·山東濟(jì)南·七年級期末）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課上，小亮同學(xué)借助于兩根小木棒m、n研究數(shù)學(xué)問題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．
(1)求m和n的長度；(2)小亮把木棒m、n同時沿x軸正方向移動，m、n的速度分別為4個單位/s和3個單位/s，設(shè)平移時間為t（s）①若在平移過程中原點(diǎn)O恰好是木棒m的中點(diǎn)，則t＝ （s）；
②在平移過程中，當(dāng)木棒m、n重疊部分的長為2個單位長度時，求t的值．
變式2．（2022·遼寧撫順·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上有兩個長方形和，這兩個長方形的寬都是2個單位長度，長方形的長是4個單位長度，長方形的長是8個單位長度，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，且兩點(diǎn)之間的距離為12．
（1）填空:點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是_________ ，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是_________．
（2）若線段的中點(diǎn)為，線段EH上有一點(diǎn)，， 以每秒4個單位的速度向右勻速運(yùn)動，以每秒3個單位的速度向左運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒，求當(dāng)多少秒時，．
（3）若長方形以每秒2個單位的速度向右勻速運(yùn)動，長方形固定不動，當(dāng)兩個長方形重疊部分的面積為6時，求長方形運(yùn)動的時間．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2022·福建·廈門市七年級期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是-6，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是-2，點(diǎn)O對應(yīng)的數(shù)是0.動點(diǎn)P、Q分別從A、B同時出發(fā)，以每秒3個單位，每秒1個單位的速度向右運(yùn)動。在運(yùn)動過程中，線段PQ的長度始終是另一線段長的整數(shù)倍，這條線段是（ ）
A．PBB．OPC．OQD．QB
2．（2023·廣西·七年級課時練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)P、點(diǎn)Q所表示的數(shù)分別是和3，點(diǎn)P以每秒4個單位長度的速度，點(diǎn)Q以每秒3個單位長度的速度，同時沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動．經(jīng)過______秒，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別與原點(diǎn)的距離相等．
2．（2022·浙江·七年級期中）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝16，有一根木棒PQ沿?cái)?shù)軸向左水平移動，當(dāng)點(diǎn)Q移動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P所對應(yīng)的數(shù)為3，當(dāng)點(diǎn)Q移動到線段AB的中點(diǎn)時，點(diǎn)P所對應(yīng)的數(shù)為____．
3．（2022·江蘇·蘇州市七年級階段練習(xí)）如圖，有一根木棒MN放置在數(shù)軸上，它的兩端M、N分別落在點(diǎn)A、B．將木棒在數(shù)軸上水平移動，當(dāng)點(diǎn)M移動到點(diǎn)B時，點(diǎn)N所對應(yīng)的數(shù)為20，當(dāng)點(diǎn)N移動到點(diǎn)A時，點(diǎn)M所對應(yīng)的數(shù)為5．（單位：cm）則木棒MN長為 _____cm．
4．（2023·陜西·七年級期末）【新知理解】
如圖1，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)將線段分成兩條不相等的線段，，如果較長線段是較短線段的倍，即，則稱點(diǎn)是線段的一個圓周率點(diǎn)，此時，線段，稱為互為圓周率伴侶線段．由此可知，一條線段的圓周率點(diǎn)有兩個，一個在線段中點(diǎn)的左側(cè)(如圖中點(diǎn))，另一個在線段中點(diǎn)的右側(cè)．
(1)如圖1，若，則 ；若點(diǎn)是線段的不同于點(diǎn)的圓周率點(diǎn)，則 (填“”或“”)；(2)如果線段，點(diǎn)是線段的圓周率點(diǎn)，則 ；
【問題探究】(3)如圖2，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動的滾動一周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．若點(diǎn)是線段的兩個不同的圓周率點(diǎn)，求線段的長；
【問題解決】(4)如圖3，將直徑為1個單位長度的圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示2的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動的滾動一周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．若點(diǎn)在射線上，且線段與以、中某兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓周率伴侶線段，請你直接寫出點(diǎn)所表示的數(shù)．
5．（2023·廣東廣州·七年級?？计谥校┒x：若線段上的一個點(diǎn)把這條線段分成1：2的兩條線段，則稱這個點(diǎn)是這條線段的三等分點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，且AC：CB＝1：2，則點(diǎn)C是線段AB的一個三等分點(diǎn)，顯然，一條線段的三等分點(diǎn)有兩個．
（1）已知：如圖2，DE＝15cm，點(diǎn)P是DE的三等分點(diǎn)，求DP的長．
（2）已知，線段AB＝15cm，如圖3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度在射線AB上向點(diǎn)B方向運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動，當(dāng)與點(diǎn)P重合后立馬改變方向與點(diǎn)P同向而行且速度始終為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
①若點(diǎn)P點(diǎn)Q同時出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時，求t的值．
②若點(diǎn)P點(diǎn)Q同時出發(fā)，且當(dāng)點(diǎn)P是線段AQ的三等分點(diǎn)時，求t的值．
6．（2022秋·重慶·七年級?？计谥校?shù)軸是一種特定的幾何圖形，利用數(shù)軸能形象地表示數(shù)，在數(shù)軸的問題中，我們常常用到數(shù)形結(jié)合的思想，并借助方程解決問題．已知a、b為常數(shù)，且關(guān)于x、y的多項(xiàng)式的值與字母x取值無關(guān)，其中a、b分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)，如圖1所示，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在原點(diǎn)右側(cè)，且點(diǎn)C與點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離相等．
(1)則a=______，b=_______．(2)如圖2，我們將圖1的數(shù)軸在點(diǎn)O和點(diǎn)C處各彎折一次，彎折后CB與AO處于水平位置，線段O處產(chǎn)生了一個坡度，我們稱這樣的數(shù)軸為“折坡數(shù)軸”，其中O為“折坡數(shù)軸”原點(diǎn)，在“折坡數(shù)軸”上，每個點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)就是把“折坡數(shù)軸”拉直后對應(yīng)的數(shù)，記為“折坡數(shù)軸”拉直后點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離：即，其中AO、OC、CB代表線段的長度．定義“折坡數(shù)軸”上，上坡時點(diǎn)的移動速度變?yōu)樗铰肪€上移動速度的一半，下坡時移動速度變?yōu)樗铰肪€上移動速度的2倍，動點(diǎn)M從點(diǎn)A處沿“折坡數(shù)軸”以每秒1個單位長度的速度向右移動到點(diǎn)O，再下坡到點(diǎn)C，然后再沿CB方向移動，在點(diǎn)M出發(fā)的同時，動點(diǎn)N從點(diǎn)B處沿“折坡數(shù)軸”以每秒2個單位長度的速度向左移動到點(diǎn)C，再上坡移動，當(dāng)移到點(diǎn)O時，立即掉頭返回（掉頭時間不計(jì)），當(dāng)點(diǎn)N重新回到點(diǎn)B時所有運(yùn)動結(jié)束，設(shè)點(diǎn)N運(yùn)動時間為t秒，在移動過程中：①若M，N兩點(diǎn)在點(diǎn)Q處相遇，則點(diǎn)Q在“折坡數(shù)軸”上所表示的數(shù)是多少．
②是否存在某一時刻t，使得？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
7．（2023·江蘇連云港·七年級校考期中）已知M、N兩點(diǎn)在數(shù)軸上所裝示的數(shù)分別為m、n，且m、n滿足：
(1)則m = _________ ，n = _________ ；
(2)①情境：有一個玩具汽車如圖所示，放置在數(shù)軸上，將汽車沿?cái)?shù)軸左右水平移動，
當(dāng)點(diǎn)A移動到點(diǎn)B時，點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為m，當(dāng)點(diǎn)B移動到點(diǎn)A時，點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為n．則玩具汽車的長為 _________ 個單位長度；②應(yīng)用：一天，小陽問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢；若是我現(xiàn)在這么大，我已是老壽星，116歲了!”小陽心想：爺爺?shù)哪挲g到底是多少歲呢?聰明的你能幫小陽求出來嗎?(3)在（2）①的條件下，當(dāng)汽車以每秒2個單位長度的速度向右運(yùn)動，同時點(diǎn)P和點(diǎn)Q從N、M出發(fā)，分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向左和向右運(yùn)動．記汽車運(yùn)動后對應(yīng)的位置為．是否存在常數(shù)使得的值與它們的運(yùn)動時間無關(guān)?若存在，請直接寫出k的值；若不存在，請說明理由．
8．（2023秋·廣東廣州·七年級?？计谀┤鐖D，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且a，b滿足|a+10|+（b﹣5）2＝0．（1）a＝ ，b＝ ；（2）點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為10，在數(shù)軸上存在點(diǎn)P，使得PA+PB＝PC，請求出點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；（3）點(diǎn)A、B分別以2個單位/秒和3個單位/秒的速度同時向右運(yùn)動，點(diǎn)M從原點(diǎn)O以5個單位/秒的速度同時向右運(yùn)動，是否存在常數(shù)m，使得3AM+2OB﹣mOM為定值，若存在，請求出m值以及這個定值；若不存在，請說明理由．
9．（2022·四川·成都市七年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為和，且．（1）線段的長為 ；（2）點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為，且是方程的解，在線段上是否存在點(diǎn)使得?若存在，請求出點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)，若不存在，請說明理由；（3）在(2)的條件下，線段和分別以6個單位長度/秒和5個單位長度/秒的速度同時向右運(yùn)動，運(yùn)動時間為秒，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，求的值．
10．（2022·北京西城·七年級?？计谥校c(diǎn)A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn)，如果點(diǎn)C在A、B之間且到A的距離是點(diǎn)C到B的距離3倍，那么我們就稱點(diǎn)C是的奇點(diǎn)．
例如，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為1．表示0的C點(diǎn)到點(diǎn)A的距離是3，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)是的奇點(diǎn)；又如，表示的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是3，那么點(diǎn)D就不是的奇點(diǎn)，但點(diǎn)D是的奇點(diǎn)．（1）P、Q為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)P所表示的數(shù)為，點(diǎn)Q所表示的數(shù)為7．則數(shù)_______所表示的點(diǎn)是的奇點(diǎn)；數(shù)_______所表示的點(diǎn)是的奇點(diǎn)；
（2）M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為m，點(diǎn)N所表示的數(shù)為n，．現(xiàn)有一動點(diǎn)H從點(diǎn)M出發(fā)向右運(yùn)動，當(dāng)H點(diǎn)運(yùn)動到數(shù)軸上的什么位置時，H、M、N中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇點(diǎn)？
11．（2022秋·江蘇·七年級期末）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．一般地，數(shù)軸上越往右邊的點(diǎn)表示的數(shù)越大，例如：若數(shù)軸上點(diǎn)M表示數(shù)m，則點(diǎn)M向右移動n個單位到達(dá)的點(diǎn)N表示的數(shù)為m+n，若點(diǎn)M向左移動n個單位到達(dá)的點(diǎn)表示的數(shù)為m-n．如圖1，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為10，點(diǎn)B與點(diǎn)A距離18個單位，且在點(diǎn)A的左邊，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．
（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為 ，點(diǎn)P表示的數(shù)為 ．（用含t的式子表示）；
（2）動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，若點(diǎn)P，Q同時出發(fā)．
①求點(diǎn)P運(yùn)動多少秒追上點(diǎn)Q？②求點(diǎn)P運(yùn)動多少秒時與點(diǎn)Q相距6個單位？并求出此時點(diǎn)P表示的數(shù)；
（3）如圖2，若點(diǎn)P，Q以（2）中的速度同時分別從點(diǎn)A，B向右運(yùn)動，同時點(diǎn)R從原點(diǎn)O以每秒4個單位的速度向右運(yùn)動，是否存在常數(shù)m，使得QR-OP+mOR為定值，若存在，請求出m的值以及這個定值；若不存在，請說明理由．（其中QR表示數(shù)軸上點(diǎn)Q與點(diǎn)R之間的距離，OP表示數(shù)軸上點(diǎn)O與點(diǎn)P的距離，OR表示數(shù)軸上點(diǎn)O與點(diǎn)R的距離．）
12．（2022秋·重慶璧山·七年級校考期末）如圖，數(shù)軸上有三個點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)分別是a，b，c，其中a，b，c滿足，c是最小的正整數(shù)．
(1)___________；___________；___________；(2)為使A，B兩點(diǎn)的距離與C，B兩點(diǎn)距離相等，可將點(diǎn)B向左移動幾個單位長度？(3)若動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個單位長度和每秒3個單位長度的速度向左勻速運(yùn)動，動點(diǎn)R從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)P，Q，R同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①若動點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后，速度變?yōu)槊棵?個單位長度，繼續(xù)向左運(yùn)動，當(dāng)t為何值時，點(diǎn)P與點(diǎn)Q距離3個單位長度？②記點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為，點(diǎn)Q與點(diǎn)R之間的距離為，請用含t的代數(shù)式表示和，并判斷是否存在一個常數(shù)m，使的值不隨t的變化而改變，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
13．（2022秋·江蘇·七年級期末）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是【A，B】的美好點(diǎn)．
例如：如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為－1，點(diǎn)B表示的數(shù)為2.表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是【A，B】的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是2，那么點(diǎn)D就不是【A，B】的美好點(diǎn)，但點(diǎn)D是【B，A】的美好點(diǎn)．
如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為－7，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2
(1)點(diǎn)E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點(diǎn)的是 ；寫出【N，M】美好點(diǎn)H所表示的數(shù)是 ．
(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動．當(dāng)t為何值時，P，M和N中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的美好點(diǎn)？
14．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）“幸福是奮斗出來的”，在數(shù)軸上，若C到A的距離剛好是3，則C點(diǎn)叫做A的“幸福點(diǎn)”，若C到A、B的距離之和為6，則C叫做A、B的“幸福中心”．

（1）如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，則A的幸福點(diǎn)C所表示的數(shù)應(yīng)該是______；
（2）如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為4，點(diǎn)N所表示的數(shù)為-2，點(diǎn)C就是M、N的幸福中心，則C所表示的數(shù)可以是______（填一個即可）；（3）如圖3，A、B、P為數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為-1，點(diǎn)B所表示的數(shù)為4，點(diǎn)P所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動，秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心嗎？請說明理由．
15.（2022·江西南昌·七年級?？计谥校┤鐖D，記數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間線段長為，（單位長度），（單位長度），在數(shù)軸上，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．
(1)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，線段BC的長＝_____．
(2)若線段以1個單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)B與C重合時，點(diǎn)B與點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？
(3)若線段以1個單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)時，M為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)．
①若數(shù)軸上兩個數(shù)為a、b，則它們的中點(diǎn)可表示為．則點(diǎn)M表示的數(shù)為_____，點(diǎn)N表示的數(shù)為______．（用代數(shù)式表示）②線段MN的長是否為定值，如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．
專題02 數(shù)軸中的九類動態(tài)模型
數(shù)軸中的動態(tài)問題屬于七年級上冊必考壓軸題型，主要以數(shù)軸為載體，體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合等思想，考查學(xué)生的分析與綜合能力。解題時，一般遵循“點(diǎn)、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動點(diǎn)的出發(fā)位置，移動方向和速度，用含t的式子表示動點(diǎn)，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動點(diǎn)的含t表達(dá)式表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關(guān)系，列出式子，然后求解（注意：要檢驗(yàn)解是否符合動點(diǎn)的運(yùn)動時間范圍）。
【知識儲備】
①求A、B兩點(diǎn)間的距離：若能確定左右位置：右—左；若無法確定左右位置：；
②求A、B的中點(diǎn)：；
③數(shù)軸動點(diǎn)問題主要步驟：
1）畫圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動情況：運(yùn)動方向和速度；
2）寫點(diǎn)——寫出所有點(diǎn)表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運(yùn)動用“+”表示，向左運(yùn)動用“-”表示；
3）表示距離——右—左，若無法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對值；
4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。
注意：要注意動點(diǎn)是否會來回往返運(yùn)動。
模型1.左右跳躍模型（動態(tài)規(guī)律模型）
【模型解讀】
例1．（2022·湖北鄂州·七年級期末）已知點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a，b，c，其中a滿足，b滿足，點(diǎn)P位于該數(shù)軸上．(1)求出a，b的值，并求出A，B兩點(diǎn)之間的距離AB；
(2)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離為24個單位長度，且，若PB＝2PC，求點(diǎn)P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)p；
(3)設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度……以此類推，問點(diǎn)P能移動到與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合的位置嗎？若能，請?zhí)骄啃枰苿佣嗌俅尾拍苤睾?？若不能，請說明理由．
【答案】(1)a=8，b=-14，AB=22(2)點(diǎn)P對應(yīng)數(shù)為-18或者
(3)第8次移動時，即向右移動15個單位與點(diǎn)A重合，不能移動到與點(diǎn)B重合理由見解析
【分析】（1）根據(jù)平方的非負(fù)性和解一元一次方程即可求出a、b從而求出AB；
（2）先求出C點(diǎn)表示的數(shù)，然后根據(jù)PB=2PC，得到，，由此求解即可；
（3）根據(jù)題意可知，每兩次運(yùn)動點(diǎn)P向右移動2個單位長度，點(diǎn)P第（k為正整數(shù)）次移動后，P在原點(diǎn)左邊距離原點(diǎn)的位置，由此求解即可．
(1)解：∵，∴，∴；
∵，∴，∴，∴；
(2)解：∵，∴，∵點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離為24個單位長度，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為-16，
∵PB=2PC，∴，，∴，
∴或，解得或；
(3)解：由題意可知，每兩次運(yùn)動點(diǎn)P向右移動2個單位長度，
∵點(diǎn)A表示的數(shù)為8，∴點(diǎn)P在第8次移動時，即向右移動15個單位與點(diǎn)A重合；
根據(jù)題意可知點(diǎn)P第（k為正整數(shù)）次移動后，P在原點(diǎn)左邊距離原點(diǎn)的位置，
∴，解得不符合題意，∴點(diǎn)P不能運(yùn)動到B點(diǎn)；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，解一元一次方程，數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
例2．（2022·浙江嘉興·七年級期末）一個機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運(yùn)動，設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，表示第n秒時機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號是_______．
【答案】①②④
【分析】“前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，先根據(jù)題意列出幾組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)找尋規(guī)律：第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，第m個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)就是第5m個數(shù)，即x5m=m．然后再根據(jù)“前進(jìn)3步后退2步”的運(yùn)動規(guī)律來求取對應(yīng)的數(shù)值．
【詳解】根據(jù)題意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，
x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列舉知①②正確，符合題意；
由上可知：第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，即第m個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，
∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③錯誤，不合題意；
∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，
故x2019＞x2020，故④正確．符合題意．故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型——數(shù)字的變化類，主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上點(diǎn)的移動規(guī)律是“左減右加”．把數(shù)和點(diǎn)對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來．前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，讓n÷5看余數(shù)，余數(shù)是幾，那么第n秒時就是循環(huán)節(jié)中對應(yīng)的第幾個數(shù)．
變式1．（2022·福建龍巖·七年級期末）如圖，A點(diǎn)的初始位置在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)上，先對A做如下移動：第一次向右移動3個單位長度到達(dá)點(diǎn)B，第二次從B點(diǎn)出發(fā)向左移動6個單位長度到達(dá)點(diǎn)C，第三次從C點(diǎn)出發(fā)向右移動9個單位長度到達(dá)點(diǎn)D，第四次從D點(diǎn)出發(fā)向左移動12個單位長度到達(dá)點(diǎn)E，……．以此類推，按照以上規(guī)律第（ ）次移動到的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為20.
A．7B．10C．14D．19
【答案】C
【分析】次數(shù)的序號為奇數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的右邊，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次增加3，序號為偶數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的左側(cè)，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次減少3，用n的代數(shù)式表示出一般規(guī)律，即可解答．
【詳解】解：第1次點(diǎn)A向右移動3個單位長度至點(diǎn)B，則B表示的數(shù)，1+3=4；
第2次從點(diǎn)B向左移動6個單位長度至點(diǎn)C，則C表示的數(shù)為46=2；
第3次從點(diǎn)C向右移動9個單位長度至點(diǎn)D，則D表示的數(shù)為2+9=7；
第4次從點(diǎn)D向左移動12個單位長度至點(diǎn)E，則E表示的數(shù)為712=5；
第5次移動后表示的數(shù)為5+15=10；第6次移動后表示的數(shù)為1018=8；…；
當(dāng)移動次數(shù)為奇數(shù)時，對應(yīng)的數(shù)是4，7，10，…，第n次移動后表示的數(shù)是，
當(dāng)時，解得，n=（不符合題意，舍去）．當(dāng)移動次數(shù)為偶數(shù)時，對應(yīng)的數(shù)是2，5，8，…，
第n次移動后表示的數(shù)是，當(dāng)時，解得，n=14．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給點(diǎn)的運(yùn)動關(guān)系，探索出對應(yīng)點(diǎn)所表示數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022·江蘇·泰州七年級階段練習(xí)）在如圖的數(shù)軸上，一動點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒鐘4個單位長度的速度來回移動，其移動方式是先向右移動1個單位長度，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度，又向右移動5個單位長度…
（1）求出2.5秒鐘后動點(diǎn)Q所處的位置；（2）求出7秒鐘后動點(diǎn)Q所處的位置；
（3）如果在數(shù)軸上有一個定點(diǎn)A，且A與原點(diǎn)O相距48個單位長度，問：動點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，可能與點(diǎn)A重合嗎？若能，則第一次與點(diǎn)A重合需多長時間？若不能，請說明理由．
【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒．
【分析】（1）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出2.5秒鐘走過的路程，然后根據(jù)左減右加列式計(jì)算即可得解；
（2）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出7秒鐘走過的路程，然后根據(jù)左減右加列式計(jì)算即可得解；
（3）分點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊與右邊兩種情況分別求出動點(diǎn)走過的路程，然后根據(jù)時間=路程÷速度計(jì)算即可得解．
【詳解】解：（1）∵4×2.5=10，∴點(diǎn)Q走過的路程是1+2+3+4=10，Q處于：1-2+3-4=4-6=-2；
（2）∵4×7=28，∴點(diǎn)Q走過的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q處于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；
（3）①當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)右邊時，設(shè)需要第n次到達(dá)點(diǎn)A，則，解得n=95，
∴動點(diǎn)Q走過的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560，
∴時間=4560÷4=1140(秒)；
②當(dāng)點(diǎn)A原點(diǎn)左邊時，設(shè)需要第n次到達(dá)點(diǎn)A，則=48，解得n=96，
∴動點(diǎn)Q走過的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656，
∴時間=4656÷4=1164(秒) ．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的知識，弄清題中的移動規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．（3）題注意要分情況討論求解，弄清楚跳到點(diǎn)A處的次數(shù)的計(jì)算方法是關(guān)鍵，可以動手操作一下便不難得解．
模型2.點(diǎn)的常規(guī)運(yùn)動模型
【模型解讀】
例1．（2023·江蘇、·七年級期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別對應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)C移動，同時，動點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向終點(diǎn)C移動，設(shè)點(diǎn)P的移動時間為t秒．
（1）當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為 ，點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為 ；P、Q兩點(diǎn)間的距離為 ．
（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為 ．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動到C點(diǎn)的過程中（點(diǎn)Q運(yùn)動到C點(diǎn)后停止運(yùn)動），請用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)間的距離．
【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時，PQ＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時，PQ＝2t－16；當(dāng)12＜t≤20時，PQ＝20－t．
【分析】（1）由題意根據(jù)數(shù)軸上動點(diǎn)向正方向移動用加法以及兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行分析計(jì)算；
（2）根據(jù)題意點(diǎn)P的移動時間為t秒列出代數(shù)式即可；
（3）根據(jù)題意分當(dāng)0≤t≤8時，當(dāng)8＜t≤12時，當(dāng)12＜t≤20時三種情況進(jìn)行分析即可.
【詳解】解：（1）由題意可得當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為：，
點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為：，P、Q兩點(diǎn)間的距離為：，
故答案為：－5, －11； 6．
（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為：－10＋t．故答案為：－10＋t．
（3）當(dāng)0≤t≤8時，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16；
當(dāng)8＜t≤12時，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；
當(dāng)12＜t≤20時，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，熟練掌握列代數(shù)式表示動點(diǎn)以及兩點(diǎn)間距離公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維和分類討論思維進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.
變式1.（2022·河北石家莊·七年級期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，M，N始終為AP，BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
①B對應(yīng)的數(shù)是－4；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，t＝6；③BP＝2時，t＝5；④在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段MN的長度不變
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】①根據(jù)兩點(diǎn)間距離進(jìn)行計(jì)算即可；②利用路程除以速度即可；③分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，由題意求出AP的長，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，利用線段的中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是x，∵點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為8，且AB=12，
∴8-x=12，∴x=-4，∴點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是-4，故①正確；
由題意得：12÷2=6（秒），∴點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，t=6，故②正確；
分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時，
∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2時，t=5，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，
∴14÷2=7（秒），∴BP=2時，t=7，綜上所述，BP=2時，t=5或7，故③錯誤；
分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時，
∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，
∴在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段MN的長度不變，故④正確；
所以，上列結(jié)論中正確的有3個，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．
變式2.（2022·江西贛州·七年級期中）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是的美好點(diǎn)．
例如；如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距高是2，那么點(diǎn)D就不是的美好點(diǎn)，但點(diǎn)D是的美好點(diǎn)．
如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2．
（1）點(diǎn)E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是，6.5，11，其中是美好點(diǎn)的是________；寫出美好點(diǎn)H所表示的數(shù)是___________．（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)N開始出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動．當(dāng)t為何值時，點(diǎn)P恰好為M和N的美好點(diǎn)？
【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】（1）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點(diǎn)E，F(xiàn)，G到點(diǎn)M，N的距離，只有點(diǎn)G符合條件．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點(diǎn)的定義，在數(shù)軸上尋找到點(diǎn)N的距離是到點(diǎn)M的距離2倍的點(diǎn)，在點(diǎn)的移動過程中注意到兩個點(diǎn)的距離的變化．（2）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，分情況分別確定P點(diǎn)的位置，進(jìn)而可確定t的值．
【詳解】解：（1）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點(diǎn)E，F(xiàn)，G到點(diǎn)M，N的距離，只有點(diǎn)G符合條件，故答案是：G．
結(jié)合圖2，根據(jù)美好點(diǎn)的定義，在數(shù)軸上尋找到點(diǎn)N的距離是到點(diǎn)M的距離2倍的點(diǎn)，點(diǎn)N的右側(cè)不存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)M和N之間靠近點(diǎn)M一側(cè)應(yīng)該有滿足條件的點(diǎn)，進(jìn)而可以確定-4符合條件．點(diǎn)M的左側(cè)距離點(diǎn)M的距離等于點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離的點(diǎn)符合條件，進(jìn)而可得符合條件的點(diǎn)是-16．
故答案是：-4或-16．
（2）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，P，M和N中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的美好點(diǎn)分6種情況，
第一情況：當(dāng)P為【M，N】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖1，

當(dāng)MP=2PN時，PN=3，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二種情況，當(dāng)P為【N，M】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖2，
當(dāng)2PM=PN時，NP=6，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2-6=-4，因此t=3秒；
第三種情況，P為【N，M】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M左側(cè)，如圖3，
當(dāng)PN=2MN時，NP=18，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2-18=-16，因此t=9秒；綜上所述，t的值為：1.5或3或9．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、美好點(diǎn)的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．
模型3.中點(diǎn)與n等分點(diǎn)模型
【模型解讀】
例1．（2022·山東·七年級專題練習(xí)）“幸福是奮斗出來的”，在數(shù)軸上，若C到A的距離剛好是3，則C點(diǎn)叫做A的“幸福點(diǎn)”，若C到A、B的距離之和為6，則C叫做A、B的“幸福中心”．

（1）如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，則A的幸福點(diǎn)C所表示的數(shù)應(yīng)該是______；
（2）如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為4，點(diǎn)N所表示的數(shù)為-2，點(diǎn)C就是M、N的幸福中心，則C所表示的數(shù)可以是______（填一個即可）；
（3）如圖3，A、B、P為數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為-1，點(diǎn)B所表示的數(shù)為4，點(diǎn)P所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運(yùn)動，秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心嗎？請說明理由．
【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的數(shù)可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）當(dāng)經(jīng)過秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心．
【分析】（1）根據(jù)幸福點(diǎn)的定義即可求解；
（2）根據(jù)幸福中心的定義即可求解；
（3）根據(jù)幸福中心的定義即可求解．
【詳解】解：（1）A的幸福點(diǎn)C所表示的數(shù)應(yīng)該是-1-3=-4或-1+3=2；
故答案為：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，
∴M，N之間的所有數(shù)都是M，N的幸福中心．
故C所表示的數(shù)可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）經(jīng)過秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心，理由是：
8-2-4+（8-2+1）=6，
故當(dāng)經(jīng)過秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸及數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離、動點(diǎn)問題，熟練掌握動點(diǎn)中三個量的數(shù)量關(guān)系式：路程=時間×速度，認(rèn)真理解新定義．
例2．（2022·四川綿陽·七年級校考階段練習(xí)）已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x．(1)請直接寫出P所表示的數(shù)，使P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10．
(2)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時向左運(yùn)動，他們的速度分別為每秒1、2、1個（單位長度/秒）．
①幾秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)？并求出此時x的值；②是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)，若存在請求出x的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)或(2)①2秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)；②或
【分析】(1)分計(jì)算即可．
（2）①根據(jù)題意,點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，
根據(jù)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，得到，化簡計(jì)算即可．
②分兩種情況計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x，P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10，
當(dāng)時，則，解得，符合題意；
當(dāng)時，則，解得，符合題意；
當(dāng)時，則，不符號題意，故或．
（2）①根據(jù)題意,點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，
因?yàn)辄c(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，所以，解得．
②因?yàn)閿?shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為和4，所以，
當(dāng)時，則，解得．
當(dāng)時，則，解得．
當(dāng)或時，點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的動點(diǎn)問題，兩點(diǎn)間的距離，線段的中點(diǎn)即線段上一點(diǎn)把線段分成相等的兩條相等，線段的三等分點(diǎn)，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2022秋·成都市·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），點(diǎn)C是數(shù)軸上不與A，B兩點(diǎn)重合的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，如果點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，求線段MN的長度．下列關(guān)于甲、乙、丙的說法判斷正確的是（ ）
甲說：若點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動時，線段MN的長度為；
乙說：若點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動時，線段MN的長度為；
丙說：若點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動時，線段MN的長度為．
A．只有甲正確B．只有乙正確C．只有丙正確D．三人均不正確
【答案】A
【分析】分別求得點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動時，點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動時和點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動時，線段的長度，判定即可．
【詳解】解：點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動時，如下圖：
甲說法正確；
當(dāng)點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動時，如下圖：
乙說法不正確；
當(dāng)點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動時，如下圖：
丙說法不正確 故選A
【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)軸上的動點(diǎn)以及兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是對點(diǎn)C的位置進(jìn)行分類討論分別求解．
變式2．（2023·吉林·七年級期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)如圖所示，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向右以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)B停止運(yùn)動；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，到點(diǎn)A停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，P、Q兩點(diǎn)的距離為d（d≥0）個單位長度．（1）當(dāng)t＝1時，d＝ ；（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一個點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)時，求d的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AB的3等分點(diǎn)時，直接寫出d的值；（4）當(dāng)d＝5時，直接寫出t的值．
【答案】（1）d＝3；（2）d的值為3或；（3）所求d的值為0或4；（4）所求t的值為或5．
【分析】（1）當(dāng)t＝1時，求出AP＝1，BQ＝2，根據(jù)PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；
（2）分①P點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)；②Q點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AB的3等分點(diǎn)時，分①AP＝AB；②AP＝AB兩種情況進(jìn)行討論；
（4）當(dāng)d＝5時，分①P與Q相遇之前；②P與Q相遇之后兩種情況進(jìn)行討論．
【詳解】（1）當(dāng)t＝1時，AP＝1，BQ＝2，
∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝3，即d＝3．故答案為3；
（2）線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)是：＝1．
①如果P點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，
BQ＝2×3＝6，即Q運(yùn)動到A點(diǎn)，此時d＝PQ＝PA＝3；
②如果Q點(diǎn)恰好運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1×＝，
則d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值為3或；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AB的3等分點(diǎn)時，分兩種情況：
①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此時BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原點(diǎn)，則d＝PQ＝0；
②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，
∵動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，到點(diǎn)A停止運(yùn)動，
∴此時BQ＝6，即Q運(yùn)動到A點(diǎn)，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值為0或4；
（4）當(dāng)d＝5時，分兩種情況：
①P與Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝；
②P與Q相遇之后，∵P點(diǎn)運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)時，t＝3，此時Q運(yùn)動到A點(diǎn)，停止運(yùn)動，
∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值為或5．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離，理解題意，分清動點(diǎn)P與動點(diǎn)Q的運(yùn)動方向、運(yùn)動速度與運(yùn)動時間，從而正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
模型4.動態(tài)定值（無參型）模型
【模型解讀】設(shè)未知數(shù)并表示各動點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，若是行程問題一般設(shè)運(yùn)動時間為t，從而表示出兩點(diǎn)之間的距離。當(dāng)計(jì)算結(jié)果中不含有未知數(shù)，則為定值。
例1．（2022·四川阿壩·七年級期末）如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)點(diǎn)示數(shù)點(diǎn)表示數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處。 ； ； ；
若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與數(shù)_ __表示的點(diǎn)重合；
點(diǎn)開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點(diǎn)以每秒個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運(yùn)動，假設(shè)秒鐘過后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，則_ _，_ _，__ _；（用含的代數(shù)式表示）
請問:的值是否隨著時間的變化而改變﹖若變化，請說明理由；若不變，請求其值．
【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不會隨著時間t的變化而改變，該值是21．
【分析】（1）根據(jù)b為最大的負(fù)整數(shù)可得出b的值，再根據(jù)在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處即可得出a、c的值；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合a、b、c的值，即可找出與點(diǎn)B重合的數(shù)；
（3）根據(jù)運(yùn)動的方向和速度結(jié)合a、b、c的值，即可找出t秒后點(diǎn)A、B、C分別表示的數(shù)，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即可求出AB、AC、BC的值；
（4））將（3）的結(jié)論代入中，可得出的值不會隨著時間的變化而變化，即為定值，此題得解．
【詳解】（1）b是最大的負(fù)整數(shù)，
在左邊兩個單位長度處，在右邊個單位處，
（2）將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合
（3）點(diǎn)以每秒個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運(yùn)動t秒鐘過后，根據(jù)得：，，
又，，
點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為，
，，；
（4）由（3）可知：，
的值為定值21．
故答案為：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不會隨著時間t的變化而改變，該值是21．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動的方向和速度找出點(diǎn)A、B、C運(yùn)動后代表的數(shù)是解題的關(guān)鍵．
例2．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別為－2、1、6（點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．（2）若點(diǎn)A以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運(yùn)動．請問：2BC－AC的值是否隨著運(yùn)動時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，求其值．（3）若點(diǎn)C以每秒3個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向右運(yùn)動．求隨著運(yùn)動時間t的變化，AB、BC、AC之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）3，5，8；（2）不會，理由見解析；（3）當(dāng)t2時，AB+AC=BC
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上的位置，寫出AB、BC、AC的長度；
（2）求出BC和AC的值，然后求出2BC?AC的值，判斷即可；
（3）分別表示出AB、BC、AC的長度，然后分情況討論得出之間的關(guān)系．
【詳解】解：（1）由圖可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，故答案為：3，5，8；
（2）2BC?AC的值不會隨著時間t的變化而改變．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，
則2BC?AC＝2[6＋5t?（1＋2t）]?[6＋5t?（?2?t）]＝12＋10t?2?4t?8?6t＝2，
故2BC?AC的值不會隨著時間t的變化而改變；
（3）由題意得，AB＝t＋3，BC＝5?5t（t＜1時）或BC＝5t?5（t≥1時），
AC＝8?4t（t≤2時）或AC＝4t?8（t＞2時），
當(dāng)t＜1時，AB＋BC＝（t＋3）＋（5?5t）＝8?4t＝AC；
當(dāng)1≤t≤2時，BC＋AC＝（5t?5）＋（8?4t）＝t＋3＝AB；
當(dāng)t＞2時，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t?8）＝5t?5＝BC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是能求出兩點(diǎn)間的距離．
變式1．（2023·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為b，且a，b滿足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求線段AB的長；（2）如圖①，點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)；若不存在，說明理由；
（3）如圖②，若N點(diǎn)是B點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，NA的中點(diǎn)為Q，P為NB的三等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，當(dāng)N在B的右側(cè)運(yùn)動時，請直接判斷的值是不變的還是變的，如果不變請直接寫出其值，如果是變的請說明理由．
【答案】（1）線段AB的長為5；（2）存在，當(dāng)點(diǎn)M表示的數(shù)為﹣5或4時，MA+MB＝BC+AB；（3）的值不變，為.
【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可確定出AB的長；
（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是m，由MA+MB＝BC+AB確定出M位置，即可做出判斷；
（3）設(shè)N點(diǎn)所表示的數(shù)為n，就有NA=n+3，NB=n﹣2，根據(jù)條件就可以表示出NQ＝NA＝，BP＝NB＝（n﹣2），再代入求出其值即可．
【詳解】（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，∴a+3=0，b﹣2=0，∴a=﹣3，b=2，
∴AB=|﹣3﹣2|=5．答：線段AB的長為5；
（2）存在，∵x+1＝x﹣2，∴x=﹣6，∴BC=8．
設(shè)點(diǎn)M在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是m，
∵M(jìn)A+MB＝BC+AB，∴|m+3|+|m﹣2|＝×8+5，
令m+3=0，m﹣2=0，∴m=﹣3或m=2．
①當(dāng)m≤﹣3時，﹣m﹣3+2﹣m=9， m=﹣5；
②當(dāng)﹣3＜m≤2時，m+3+2﹣m=9（舍去）；
③當(dāng)m＞2時，m+3+m﹣2=9，m=4．
∴當(dāng)點(diǎn)M表示的數(shù)為﹣5或4時，MA+MB＝BC+AB；
（3）設(shè)N點(diǎn)所表示的數(shù)為n，∴NA=n+3，NB=n﹣2．
∵NA的中點(diǎn)為Q，∴NQ＝NA＝，
P為NB的三等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，∴BP＝NB＝（n﹣2），
∴×-×(n-2)=，故的值是不變的．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的運(yùn)用，數(shù)軸的運(yùn)用，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間的距離的運(yùn)用，去絕對值的運(yùn)用，解答時靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求解是關(guān)鍵．
變式2.（2022·福建·廈門市七年級期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點(diǎn)；(1) a＝ ，b＝ .(2) 若點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，經(jīng)過3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，求點(diǎn)C的運(yùn)動速度？（結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分析.）
(3) 若點(diǎn)D以2個單位每秒的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動，同時點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以3個單位每秒的速度向左運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以6個單位每秒的速度向右運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，M、N分別為PD、OQ的中點(diǎn)，問的值是否發(fā)生變化，請說明理由.（注：PD指的是點(diǎn)P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長度的差.類似的，其它的兩個大寫字母寫在一起時意義一樣 .
【答案】（1）-3、9；（2）點(diǎn)C的速度為每秒1個單位長度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個數(shù)都是0，建立關(guān)于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根據(jù)點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，經(jīng)過3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，可表示，，再由CA=CB建立關(guān)于x的方程求解即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動速度和方向，分別用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)D、P、Q、M、N對應(yīng)的數(shù)，再分別求出PQ、OD、MN的長，然后求出的值為常量，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；
（2）設(shè)3秒后點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為x，則，，∵CA=CB，∴，
當(dāng)，無解；
當(dāng)，解得x=3，此時點(diǎn)C的速度為3÷3=1個單位每秒，
∴點(diǎn)C的速度為每秒1個單位長度；
（3）的值沒有發(fā)生變化，理由如下：設(shè)運(yùn)動時間為t秒，
則點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)為2t；點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為-3-3t；點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為9+6t；
點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為-1.5-0.5t；點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為4.5+3t；則PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，
∴，為定值，即的值沒有發(fā)生變化.
【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸表示的數(shù)正確列出代數(shù)式.
模型5.折線數(shù)軸（雙動點(diǎn)）模型
【模型解讀】
例1．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校?shù)軸上點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示6，點(diǎn)C表示12，點(diǎn)D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離．例如，點(diǎn)A和點(diǎn)D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個單位長度．動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動，從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點(diǎn)C后繼續(xù)以原來的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時，點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負(fù)方向向終點(diǎn)A運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．
(1)當(dāng)秒時，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；
(2)當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動到折線段上時，O、M兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時，M、N兩點(diǎn)相遇；(3)當(dāng)__________時，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度；當(dāng)__________時，M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．
【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或
【分析】（1）當(dāng)秒時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，即的M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為；
（2）當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動到折線段上，即時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，而M、N兩點(diǎn)相遇時，M、N表示的數(shù)相同，即得，可解得答案；
（3）根據(jù)M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，得，可解得或，由時，M運(yùn)動到O，同時N運(yùn)動到C，可知時，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，當(dāng)，即M在從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，有，可解得或，當(dāng)時，M在從C運(yùn)動到D，速度變?yōu)?個單位/秒，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，即可得答案．
【詳解】（1）當(dāng)秒時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，
∴M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為，故答案為：12；
（2）由（1）知，2秒時M運(yùn)動到O，N運(yùn)動到C，∴當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動到折線段上，
即時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，
∴O、M兩點(diǎn)間的和諧距離，C、N兩點(diǎn)間的和諧距離，
∵M(jìn)、N兩點(diǎn)相遇時，M、N表示的數(shù)相同，∴，解得，
故答案為：，，；
（3）∵M(jìn)、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，
∴，即，∴或，
解得或，由（1）知，時，M運(yùn)動到O，同時N運(yùn)動到C，
∴時，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，
當(dāng)，即M在從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)C時，，即，
∴或，解得或，
當(dāng)時，M在從C運(yùn)動到D，速度變?yōu)?個單位/秒，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，故答案為：或；8或．
【點(diǎn)睛】本題考查一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)運(yùn)動后表示的數(shù)及分類討論．
變式1．（2023·廣東·七年級專題練習(xí)）如下圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，在點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)D在數(shù)軸上相距20個長度單位，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動，它們在“水平路線”射線BA和射線CD上的運(yùn)動速度相同均為2個單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，問：(1)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B需要的時間為______秒；(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至D點(diǎn)需要的時間為多少秒？(3)當(dāng)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度相等時，求出動點(diǎn)P在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)．
【答案】(1)2.5(2)15(3)
【分析】（1）求出BC長度，“下坡路段”速度是4個單位/秒，即得動點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B的時間；
（2）先求出AB，BC，CD的長度，再根據(jù)“水平路線”速度是2個單位/秒，從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，即得動點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至D點(diǎn)需要的時間；（3）設(shè)運(yùn)動時間為秒，分四種情況：①當(dāng)0≤t≤2，②當(dāng)2＜t≤3，③當(dāng)3

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