人教版七年級數(shù)學(xué)上冊專題04雙角平分線模型與角n等分線模型(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

如果掌握了這個模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的角的和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊灸Ｐ偷恼莆占瓤梢钥焖俚贸鲂☆}的答案，又可以為大題的解決確立方向。
模型1. 雙角平分線模型

圖1 圖2 圖3
1）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；
結(jié)論：.
2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；
結(jié)論：.
3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）
條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
結(jié)論：.
例1．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，點O為直線上一點，平分，平分，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
例2．（2023春·遼寧遼陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線平分，射線平分，則下列等式中成立的有（）
①；②；③；④．
A．①②B．①③C．②③D．②④
例3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級校考期末）如圖，是的平分線，射線在內(nèi)部，是的平分線，已知，那么的大小等于 °．
例4．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個結(jié)論：① ；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號）．

例5．（2023·湖北七年級課時練習(xí)）如圖所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，則∠AOA4的大小為（）
A．1°B．2°C．4°D．8°
例6．（2022秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請從A，B兩題中任選一題作答．
A．當(dāng)∠BOC＝30°時，∠EOD的度數(shù)為．
B．當(dāng)∠BOC＝α°時，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．
例7．（2023秋·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末）平面內(nèi)，，C為內(nèi)部一點，射線平分，射找平分，射線平分，當(dāng)時，求的度數(shù)？
例8．（2023秋·江蘇無錫·七年級?？计谀┙獯痤}：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；
(2)若，是平面內(nèi)兩個角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）
例9．（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）解答下列問題
如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

課后專項訓(xùn)練
1．（2023春·北京海淀·七年級?？计谥校┤鐖D，直線，相交于點，分別作，的平分線，．，則的度數(shù)是（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（）．
A．B．C．D．
3．（2022秋·山西臨汾·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，是內(nèi)一條射線，平分，平分，，則．

4．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校聯(lián)考期末）如圖．平分，平分．若，，則．

5．（2023秋·廣東梅州·七年級校考階段練習(xí)）已知，由定點引一條射線，使得，、分別是和的平分線，則度．
6．（2023秋·安徽六安·七年級?？计谀┤鐖D，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．
7．（2023春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，，是的平分線，是的平分線，且，則度．
8．（2023·黑龍江·七年級校聯(lián)考期末）如圖，，，平分，平分．(1)如圖1，求度數(shù)；(2)如圖2，若，其他條件不變，請直接寫出的度數(shù)．

9．（2023·廣東·七年級假期作業(yè)）如圖，是的平分線，是的平分線，．
(1)求的度數(shù)是多少？(2)如果，求的度數(shù)．

10．（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，為直角，，且OM平分，ON平分，求的度數(shù)．（2）如圖2，，，且OM平分，ON平分．直接寫出的度數(shù)．

解：（1）因為，，所以______°；
因為，OM平分，所以∠____________°；
因為，ON平分，所以∠____________°；
所以______°；
（2）______°．
11．（2023·廣東江門·七年級期末）如圖，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，，求．

12．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知：射線在內(nèi)部，平分．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作平分，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，作射線的反向延長線，在的下方，且，反向延長射線得到射線，射線在內(nèi)部，是的平分線，若，，求的度數(shù)．

13．（2023春·天津南開·七年級?？奸_學(xué)考試）（1）如圖1，已知O為上一點，與互補(bǔ)，分別為與的平分線，若，試求與度數(shù)．（2）已知如圖2，，是的平分線，是的平分線，且，求的度數(shù)．
14．（2023秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）點O為直線上一點，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．(1)如圖1，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；
(2)如圖2，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，求出與的數(shù)量關(guān)系；
(3)過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，若，求出的度數(shù)．
15．（2023秋·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的平分線，是的平分線．
(1)如圖1，當(dāng)是直角．時，的度數(shù)是多少？
(2)如圖2，當(dāng)，時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖3，當(dāng)，時，猜想：與、有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，寫出結(jié)論并說明理由．
16．（2023秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）若將（1）中的條件“平分，平分”改為“，”，且，求的度數(shù)；（3）如圖2，若、在的外部時，平分，平分，當(dāng)，時，猜想：與的大小有關(guān)系嗎？如果沒有，指出結(jié)論并說明理由．
17．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）問題情境：是一條射線，分別是和的角平分線．當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時，我們可以發(fā)現(xiàn)的度數(shù)是___；當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時，的度數(shù)是___°．
探索發(fā)現(xiàn)：分別是和的角平分線，當(dāng)射線在的外面時．若是直角，，求出的大?。蝗羰侵苯?，，寫出的度數(shù)；數(shù)學(xué)思考：分別是和的角平分線，若的度數(shù)是，，直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）

18．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖①，已知線段，，線段CD在線段AB上運動，E，F(xiàn)分別是的中點．
(1)若cm，則______；(2)我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動，分別平分和，若，，則______．直接寫出，和的數(shù)量關(guān)系：_____________．
19．（2023秋·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期末）已知，以射線為起始邊，按順時針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.
(1)如圖1，當(dāng)時，若，求的度數(shù)；
(2)備用圖①，當(dāng)時，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)備用圖②，當(dāng)時，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).
20．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┤鐖D，點O在直線上，在直線上方，且，射線在內(nèi)部，．
(1)如圖1，若是的平分線，求的度數(shù)；
(2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時，與的數(shù)量關(guān)系保持不變．請你用等式表示出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
專題04 雙角平分線模型與角n等分線模型
對于剛接觸幾何的七年級學(xué)生來說，關(guān)于角的計算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對這類題時具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來講，這類題通常由問題出發(fā)，先由角的和差確定解題方向，然后輔以角平分線來解決。但是，對于有公共部分的雙角平分線模型，可以寫出角的和差種類較多，這就增加了思考的難度。
如果掌握了這個模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的角的和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊灸Ｐ偷恼莆占瓤梢钥焖俚贸鲂☆}的答案，又可以為大題的解決確立方向。
模型1. 雙角平分線模型

圖1 圖2 圖3
1）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；
結(jié)論：.
2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；
結(jié)論：.
3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）
條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
結(jié)論：.
例1．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，點O為直線上一點，平分，平分，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)平分，平分，求出，再根據(jù)，求出，即可得出答案．
【詳解】解：∵點O為直線上一點，平分，平分，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，故C正確．故選：C．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解角平分線的定義，求出．
例2．（2023春·遼寧遼陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，射線平分，射線平分，則下列等式中成立的有（）
①；②；③；④．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】B
【分析】利用角平分線的性質(zhì)計算角之間的數(shù)量關(guān)系即可．
【詳解】解：平分，平分，
故①正確；
故②錯誤；
故③正確；
故④錯誤；故選B．
【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)以及熟練運用角的和差表示角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
例3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級校考期末）如圖，是的平分線，射線在內(nèi)部，是的平分線，已知，那么的大小等于 °．
【答案】40
【分析】據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵是的平分線，∴，
設(shè)，，則，
又∵是的平分線，∴
∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案為：40．
【點睛】本題考查角平分線的定義和圖中各角之間的和差關(guān)系，解題關(guān)鍵是找出圖中各角之間的和差關(guān)系．
例4．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個結(jié)論：① ；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號）．

【答案】①②④
【分析】①根據(jù)平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結(jié)論；②根據(jù)角度之間的關(guān)系得出，得出，即可得出結(jié)論；③無法證明；④根據(jù)，得出，，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：①∵平分，平分，平分，
∴，，，
，，
即，故①正確；
②∵
，，
∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯誤；
④根據(jù)解析②可知，，∴，
∵，∴，故④正確；
綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．
【點睛】本題考查角平分線的有關(guān)計算，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出是解題的關(guān)鍵．
例5．（2023·湖北七年級課時練習(xí)）如圖所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，則∠AOA4的大小為（）
A．1°B．2°C．4°D．8°
【答案】C
【分析】根據(jù)角平分線定義求出∠AOA1=∠AOB=32°，同理即可求出答案．
【詳解】∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，∴∠AOA1=∠AOB=32°，
∵OA2平分∠AOA1，∴∠AOA2=∠AOA1=16°，同理∠AOA3=8°，∠AOA4=4°，故選：C．
【點睛】本題考查了角平分線的應(yīng)用，掌握角平分線的定義是關(guān)鍵．
【點睛】本題主要考查垂直的定義、余角的性質(zhì)、等分線等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．
例6．（2022秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請從A，B兩題中任選一題作答．
A．當(dāng)∠BOC＝30°時，∠EOD的度數(shù)為．
B．當(dāng)∠BOC＝α°時，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．
【答案】 110°或130° 或
【分析】A、根據(jù)角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類討論，當(dāng)∠AOE=∠AOB=20°，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=20°，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；
B、根據(jù)角的和差得到∠AOB，根據(jù)OE是∠AOB的一條三等分線，分類討論，當(dāng)∠AOE=∠AOB，②當(dāng)∠BOE′=∠AOB，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．
【詳解】解：A、如圖，
∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OE是∠AOB的一條三等分線，
∴①當(dāng)∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，
②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，
綜上所述，∠EOD的度數(shù)為130°或110°，故答案為：130°或110°；
B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，
∵OE是∠AOB的一條三等分線，
∴①當(dāng)∠AOE=∠AOB=30°-α°，∴∠BOE=90°-α-（30-α）°=60°-α°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-α°，
②當(dāng)∠BOE′=∠AOB=30°-α°，∴∠DOE′=90°+30°-α°=120°-α°，
綜上所述，∠EOD的度數(shù)為150°-α°或120°-α°，故答案為：150°-α°或120°-α°；
【點睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，角的倍分，熟練掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例7．（2023秋·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末）平面內(nèi)，，C為內(nèi)部一點，射線平分，射找平分，射線平分，當(dāng)時，求的度數(shù)？
【答案】或
【分析】根據(jù)角平分線得出，，然后分兩種情況分析：若射線在外部時，若射線在內(nèi)部時，結(jié)合圖形求解即可．
【詳解】解：∵射線平分，射找平分，
∴，，
∴，
∵射線平分，∴，
若射線在外部時，如圖1，

則，即，
∵，∴，解得：或；
若射線在內(nèi)部時，如圖2，則，
∴，即，不滿足，
綜上，或．
【點睛】題目考查角平分線的計算，理解題意，分類討論作出圖形求解是解題關(guān)鍵．
例8．（2023秋·江蘇無錫·七年級?？计谀┙獯痤}：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；
(2)若，是平面內(nèi)兩個角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）
【答案】(1)(2)所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時，；當(dāng)射線在的外部時，．
【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，即可得出答案；（2）由于無法確定射線的位置，所以需要分類討論：若射線在的內(nèi)部時，根據(jù)角平分線定義得出，，求出；若射線在的外部時，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．
【詳解】（1）∵，平分，∴
∵分別平分，．∴
∴．
（2）若射線在的內(nèi)部，如圖2

∵，，、分別平分、．
∴∴．
所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時，．
若射線在外部時，如圖3
∵，，、分別平分、．
∴∴．
所以當(dāng)射線在的外部時，．
【點睛】本題考查的是角平分線的定義和角的有關(guān)計算，利用角平分線的定義求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
例9．（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）解答下列問題
如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或
【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個角的平分線將一個角均分成兩個等角，大角是這兩個角的兩倍即可解答；(2)根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可；(3) 根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可．
【詳解】（1）解：如圖1：∵平分，∴,
∴根據(jù)巧分線定義可得是這個角的“巧分線”．故答案為：是．

（2）解：如圖3：①當(dāng)時，則；
②當(dāng)，則，解得：；
③當(dāng)，則，解得：．
綜上，可以為．
（3）解：如圖3：①當(dāng)時，則；
②當(dāng)，則，解得：；
③當(dāng)，則，解得：．
綜上，可以為．

【點睛】本題主要考查了新定義下的計算、角平分線的定義等知識點，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．
課后專項訓(xùn)練
1．（2023春·北京海淀·七年級?？计谥校┤鐖D，直線，相交于點，分別作，的平分線，．，則的度數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)角平分線定義得，，再根據(jù)得出答案．
【詳解】∵，平分，，∴，，
∴．故選：D．
【點睛】本題主要考查了角平分線定義，平角的定義，掌握各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平分，平分，可得，，從而得到，即可求解．
【詳解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，
∴，
∵，∴．故選：B
【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·山西臨汾·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，是內(nèi)一條射線，平分，平分，，則．

【答案】/25度
【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，再由，可求得，進(jìn)一步利用角平分線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：平分，，，
，，
平分，，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，角的和差計算，仔細(xì)觀察圖形找到數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校聯(lián)考期末）如圖．平分，平分．若，，則．

【答案】/82度
【分析】證明，，求解，再利用角的和差關(guān)系可得答案．
【詳解】解：∵平分，平分，∴，，
∴，
∴．故答案為：
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及角的運算，運用整體代換的思想是解題關(guān)鍵．
5．（2023秋·廣東梅州·七年級校考階段練習(xí)）已知，由定點引一條射線，使得，、分別是和的平分線，則度．
【答案】或
【分析】分兩種情況討論，當(dāng)射線在的內(nèi)部時，當(dāng)射線在的外部時，根據(jù)角平分線的定義得出，結(jié)合圖形即可求解．
【詳解】解：分兩種情況討論，當(dāng)射線在的內(nèi)部時，如圖所示，

∵，，、分別是和的平分線，
∴ ∴；
當(dāng)射線在的外部時，如圖所示，
∵，，、分別是和的平分線，
∴∴；
綜上所述，或，故答案為：或．
【點睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計算，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋·安徽六安·七年級校考期末）如圖，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．
【答案】 120
【分析】①利用角平分線的定義可得，，易得，利用，可得結(jié)果；
②由角的加減可得，可得，再利用可得結(jié)果
【詳解】解：①，，，
，平分，平分，
，，，
，故答案為120；
②，，，
，
，故答案為：
【點睛】本題考查的是角平分線的定義有關(guān)知識，利用角平分線的定義找出角的數(shù)量關(guān)系是解決本題關(guān)鍵．
7．（2023春·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）已知，如圖，，是的平分線，是的平分線，且，則度．
【答案】
【分析】設(shè)，，根據(jù)是的平分線，是的平分線，得到，，由可得到關(guān)于的方程，求解即可．
【詳解】解：設(shè)，，∴，
∵是的平分線，是的平分線，，
∴，，
∵，∴，解得：，
∴．故答案為：．
【點睛】本題考查角平分線定義和角的有關(guān)計算的應(yīng)用，運用了方程的思想．根據(jù)題意并結(jié)合圖形建立等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·黑龍江·七年級校聯(lián)考期末）如圖，，，平分，平分．(1)如圖1，求度數(shù)；(2)如圖2，若，其他條件不變，請直接寫出的度數(shù)．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)、的度數(shù)可得出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可得出、的度數(shù)，再根據(jù)與、之間的關(guān)系通過角的計算即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)、的度數(shù)可得出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可得出、的度數(shù)，再根據(jù)與、之間的關(guān)系通過角的計算即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵，，∴，
∵平分，∴，
∵平分，∴
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵平分，∴，
∵平分，∴，
∴．
【點睛】本題考查了角的計算以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是求出、的度數(shù)．
9．（2023·廣東·七年級假期作業(yè)）如圖，是的平分線，是的平分線，．

(1)求的度數(shù)是多少？(2)如果，求的度數(shù)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，，那么；（2）先根據(jù)求出的度數(shù)，再根據(jù)求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）是的平分線，是的平分線，
，，
；
（2）是的平分線，，，
，，
是的平分線，．
【點睛】本題考查的是角平分線的定義，熟知各角之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
10．（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，為直角，，且OM平分，ON平分，求的度數(shù)．（2）如圖2，，，且OM平分，ON平分．直接寫出的度數(shù)．

解：（1）因為，，所以______°；
因為，OM平分，所以∠____________°；
因為，ON平分，所以∠____________°；
所以______°；
（2）______°．
【答案】（1），，，，，；（2）
【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和各個角的度數(shù)求出，即可求出的度數(shù)；
（2）根據(jù)角平分線定義和各個角的度數(shù)求出，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解（1）因為，，所以；
因為OM平分，所以；
因為，ON平分，所以；所以；
故答案為：，，，，，
（2）如圖，，，，
OM平分，ON平分，，
，故答案為：．
【點睛】本題考查的是角的有關(guān)計算和角平分線的定義，正確理解并靈活運用角平分線的定義是解題關(guān)鍵．
11．（2023·廣東江門·七年級期末）如圖，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，，求．

【答案】
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，然后由角的和差倍分關(guān)系可得問題的答案．
【詳解】解：是的角平分線，，
是的角平分線，，
，，
，，
是的角平分線，．
【點睛】此題考查的是角平分線的定義，角的和差倍分關(guān)系，能夠根據(jù)定義正確表達(dá)出關(guān)系式是解決此題的關(guān)鍵．
12．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知：射線在內(nèi)部，平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作平分，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，作射線的反向延長線，在的下方，且，反向延長射線得到射線，射線在內(nèi)部，是的平分線，若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)
【分析】（1）通過角平分線的定義計算即可證明；（2）通過角平分線的定義計算即可證明；
（3）設(shè)，，通過角平分線的定義以及垂直的定義求得，，計算得出，等，再求得，據(jù)此即可求解．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，∴；
（2）證明：∵平分，∴，
∴
=；
（3）解：設(shè)，，
∵平分，∴，
∵，∴，，
∵，∴，
∴，，即，，，
∵，平分，∴，，
∵，∴，
∵是的平分線，∴，
∵反向延長射線得到射線，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，， ∴．
【點睛】本題考查的是角平分線的含義，垂直的定義，角的和差運算，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，利用方程思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
13．（2023春·天津南開·七年級校考開學(xué)考試）（1）如圖1，已知O為上一點，與互補(bǔ)，分別為與的平分線，若，試求與度數(shù)．（2）已知如圖2，，是的平分線，是的平分線，且，求的度數(shù)．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）由角平分線定義和補(bǔ)角定義得出方程，解方程即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)設(shè)，．則．由角平分線定義和已知條件求出，即可得出所求角的度數(shù)．
【詳解】解：（1）設(shè)，∵與互補(bǔ)，則．
由題意，得．解得：，∴，．
（2）解：設(shè)，．則．
∵是的平分線，∴，
∴，
∵，∴，解得：，
∵是的平分線，∴，
∴．
【點睛】此題考查了補(bǔ)角的定義、角平分線的定義及角的運算．熟練掌握補(bǔ)角定義和角平分線定義，根據(jù)題意得出方程是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2023秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）點O為直線上一點，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．
(1)如圖1，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；
(2)如圖2，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，求出與的數(shù)量關(guān)系；
(3)過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，若，求出的度數(shù)．
【答案】(1)45(2)(3)為或
【分析】（1）直接通過角平分線的定義直接求解即可．
（2）用同一個角度表示不同的角，直接求解即可．
（3）分類討論H，K的位置關(guān)系直接求解即可．
【詳解】（1）平分，平分，
，
（2）
平分，
，
根據(jù)圖形有：，
，
，
，
，
（3）當(dāng)H在K左側(cè)時
平分
平分
當(dāng)K在H左側(cè)時
平分
平分
綜上所述：為或
【點睛】此題考查角度的計算，解題關(guān)鍵是分類討論H和K的位置．
15．（2023秋·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的平分線，是的平分線．
(1)如圖1，當(dāng)是直角．時，的度數(shù)是多少？
(2)如圖2，當(dāng)，時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖3，當(dāng)，時，猜想：與、有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，寫出結(jié)論并說明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由見解析；
(3)，與的大小無關(guān)，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)角的和差，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，即可求出的度數(shù)；
（2）根據(jù)角的和差，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，求出的度數(shù)，Ike得到結(jié)論；
（3）根據(jù)角的和差，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，求出的度數(shù)，即可得到結(jié)論；
【詳解】（1）解：，，
，
是的平分線，是的平分線，
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
是的平分線，是的平分線，
，，
，
；
（3）解：，理由如下：
，，
，
是的平分線，是的平分線，
，，
，
．
【點睛】本題考查了角的有關(guān)計算，角平分線的定義，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關(guān)鍵．
16．（2023秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分，若，求的度數(shù)；
（2）若將（1）中的條件“平分，平分”改為“，”，且，求的度數(shù)；
（3）如圖2，若、在的外部時，平分，平分，當(dāng)，時，猜想：與的大小有關(guān)系嗎？如果沒有，指出結(jié)論并說明理由．
【答案】（1）（2）（3）沒有關(guān)系，，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可求，根據(jù)即可解答；
（2）由題意可得進(jìn)而求出；
（3）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，，進(jìn)而求出．
【詳解】解：（1）∵平分，平分，
∴，，
∴，
；
（2）∵，，，
∴，
∴；
（3）與的大小無關(guān)．理由：∵，，∴，
∵是的平分線，是的平分線，
∴，，
∴，即．
【點睛】此題考查了角的計算，以及角平分線，解決本題的關(guān)鍵是利用角的和與差．
17．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）問題情境：是一條射線，分別是和的角平分線．
當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時，我們可以發(fā)現(xiàn)的度數(shù)是_____；
當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時，的度數(shù)是____°．
探索發(fā)現(xiàn)：分別是和的角平分線，當(dāng)射線在的外面時．

若是直角，，求出的大?。?br>若是直角，，寫出的度數(shù)；
數(shù)學(xué)思考：分別是和的角平分線，若的度數(shù)是，，直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）
【答案】問題情境：；；探索發(fā)現(xiàn)：；；數(shù)學(xué)思考：
【分析】問題情境：根據(jù)，分別是和的角平分線，計算即可得到答案；根據(jù)，分別是和的角平分線，計算即可得到答案；
探索發(fā)現(xiàn)：根據(jù)，，分別是和的角平分線，計算即可得到答案；根據(jù)，，分別是和的角平分線，計算即可得到答案；
數(shù)學(xué)思考：分兩種情況討論：當(dāng)在內(nèi)部時；當(dāng)在外部時，計算得出答案即可．
【詳解】解：問題情境：，分別是和的角平分線，
，
故答案為：；
，分別是和的角平分線，
，
故答案為：；
探索發(fā)現(xiàn)：，分別是和的角平分線，
，為；
，，分別是和的角平分線，
，為；
數(shù)學(xué)思考：分兩種情況
當(dāng)在內(nèi)部時，如圖所示，
，
的度數(shù)是，，
，
當(dāng)在外部時，如圖所示，
，
，∴．
【點睛】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的角度的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)，分清所求角的構(gòu)成．
18．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖①，已知線段，，線段CD在線段AB上運動，E，F(xiàn)分別是的中點．
(1)若cm，則______；(2)我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動，分別平分和，若，，則______．直接寫出，和的數(shù)量關(guān)系：_____________．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）先求出的長度，在根據(jù)線段中點的定義，分別求出的長度，即可求解；
（2）先求出和的和，再根據(jù)角平分線的定義，求出和的和，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，，∴，
∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴，
∴，故答案為：．
（2）∵，，∴，
∵分別平分和，∴，
∴，
∴．
由圖可知：，，
∵分別平分和，∴，
∴，整理得：．
故答案為：，．
【點睛】本題主要考查了中點和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中點和角平分線的定義，根據(jù)線段和角度的和差關(guān)系進(jìn)行求解．
19．（2023秋·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期末）已知，以射線為起始邊，按順時針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.
(1)如圖1，當(dāng)時，若，求的度數(shù)；
(2)備用圖①，當(dāng)時，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)備用圖②，當(dāng)時，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).
【答案】(1)；(2)；理由見解析；(3)
【分析】（1）根據(jù)圖形可知，繼而根據(jù)，即可求解；
（2）根據(jù)圖形得出，計算，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況討論，①當(dāng)時，射線與重合，射線與互為反向延長線，②當(dāng)時，如圖4，射線、在的外部，結(jié)合圖形分析即可求解．
【詳解】（1）如圖1，，在內(nèi)部，
，，，
，；
（2）；理由如下：如圖2，
，射線、分別在內(nèi)、外部，
，，
，；
（3）①當(dāng)時，射線與重合，射線與互為反向延長線，
則，，如圖3，
，，，
，；
②當(dāng)時，如圖4，射線、在的外部，如圖4，
則，，
，，，
，
，
.綜合①②得．
【點睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
20．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┤鐖D，點O在直線上，在直線上方，且，射線在內(nèi)部，．
(1)如圖1，若是的平分線，求的度數(shù)；
(2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時，與的數(shù)量關(guān)系保持不變．請你用等式表示出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)(2)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得答案；
（2）設(shè)，則，再利用，然后整理可得結(jié)論．
【詳解】（1）∵是的平分線，
∴，∴．
∵，
∴，∴，∴．
（2），設(shè)，則，
∵，∴，
∴，∴．
【點睛】此題主要考查了鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．

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