模型1. 線段與角度的等量代換模型
【模型解讀】“等量代換”是在數(shù)學(xué)幾何中常用的一種推理證明方法，應(yīng)用于角度或線段相等關(guān)系的推導(dǎo)。
1）線段的等量代換

條件：如圖，已知：EG=HF； 結(jié)論：EH=GF.
2）角度的等量代換

（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）
條件1：如圖，已知∠AOB=∠DOC；結(jié)論：∠1=∠2.
條件2：如圖，已知∠AOB=∠DOC=90°；結(jié)論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.
利用等量代換我們還可以推導(dǎo)三個(gè)重要的性質(zhì)：
①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補(bǔ)角相等；③對(duì)頂角相等；
例1．（2023·重慶七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C, D在線段AB上，若AC=DB, 則（ ）
A．AC=CD B．CD=DB C．AD=2DB D．AD=CB
例2．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)、、在同一直線上，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法：，其中正確的是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023秋·河南漯河·七年級(jí)校考期末）如圖，D、E順次為線段上的兩點(diǎn)，，C是的中點(diǎn)，則的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
例5．（2023·廣東廣州·七年級(jí)校考期末）如圖，
（1）若，則 ；
（2）若，則 ．
例6．（2023·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，已知，，則的度數(shù)是（ ）

A．30°B．80°C．40°D．45°
例7．（2023秋·福建廈門(mén)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列推理錯(cuò)誤的是（ ）
A．因?yàn)?，所? B．因?yàn)?，所?br>C．因?yàn)?，所?D．因?yàn)椋?br>例8．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是一條直線，若，則，其理由是（ ）
A．內(nèi)錯(cuò)角相等B．等角的補(bǔ)角相等C．同角的補(bǔ)角相等D．等量代換
例9．（2023·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面內(nèi)，平分，則以下結(jié)論：①；②；③；④平分．
其中正確的是 ．（填序號(hào)）
例10．（2023.黑龍江省哈爾濱市七年級(jí)期末）如圖，已知．

(1)試說(shuō)明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)正確畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出的度數(shù)．
例11．（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題．
數(shù)學(xué)課上，老師提出了如下問(wèn)題：已知點(diǎn)在直線上，，在同一平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作射線，滿足．當(dāng)時(shí)，如圖1所示，求的度數(shù)．

甲同學(xué)：以下是我的解答過(guò)程（部分空缺）
解：如圖2，∵點(diǎn)O在直線上，
∴ ，
∵，
∴ ，
，
∴平分，
∴ ，
∵，，
∴ ．
乙同學(xué)：“我認(rèn)為還有一種情況．”
請(qǐng)完成以下問(wèn)題：(1)請(qǐng)將甲同學(xué)解答過(guò)程中空缺的部分補(bǔ)充完整．
(2)判斷乙同學(xué)的說(shuō)法是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)，寫(xiě)出解答過(guò)程；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將題目中“”的條件改成“”，其余條件不變，當(dāng)在到之間變化時(shí)，如圖3所示，為何值時(shí)，成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的值．
例12．（2023秋·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)，．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)如果，那么與互相垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上有C，D兩點(diǎn)，其中D是BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB－AC＝BD B．CD＋BD＝AC C．CD＝AB D．AD－AC＝DB
2．（2023·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AC>BD，比較線段AB與線段CD的大小（ ）
A．AB＝CDB．AB>CDC．AB＜CDD．無(wú)法比較
3．（2023秋·湖北隨州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C、D是線段AB上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DB的中點(diǎn)，若，，則線段CD的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江蘇·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)P，Q，C都在直線AB上，且P是AC的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，若AC＝m，BC＝n，則線段PQ的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，則圖中互補(bǔ)的角共有（ ）

A．7對(duì)B．6對(duì)C．5對(duì)D．4對(duì)
6．（2023云南七年級(jí)期末）如圖所示，，且與關(guān)系為（ ）
A．互補(bǔ)B．互余C．和為D．和為
7．（2023春·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果，，那么與的關(guān)系是（ ）
A．互余B．互補(bǔ)C．相等D．無(wú)法確定
8．（2023秋·山東濱州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，用量角器度量一些角的度數(shù)．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C．與的大小相同 D．與互余
9．（2023春·山西太原·七年級(jí)?？计谥校W(xué)完第二章后，同學(xué)們對(duì)“對(duì)頂角相等”進(jìn)行了如圖所示的推理，其中“”處的依據(jù)為（ ）
A．同角的余角相等B．同角的補(bǔ)角相等C．同位角相等D．平角的定義
10．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，將三個(gè)大小相同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則、、三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為（ ）

A． B． C． D．
11．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)、；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；……連續(xù)這樣操作20次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和（ ）
A．B．C．D．
12．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）在同一平面內(nèi)，，與互余，則為 ．
13．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是 ．

14．（2023秋·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段上有、兩點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，若，則 ．

15．（2023春·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和都是直角，則 （填，，）．
16．（2023秋·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C，D是線段上兩點(diǎn)，若，，且D是的中點(diǎn)，則 ．

17．（2023秋·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為 ．
18．（2023·福建莆田·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)C、D為線段AB上兩點(diǎn)，AC+BD＝8，AD+BC＝AB，則CD等于 ．
19．（2023秋·山西長(zhǎng)治·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，M，N分別是線段，的中點(diǎn)．若，，則AB的長(zhǎng)為 ．
20．（2023.湖北武漢江岸區(qū)七年級(jí)期末）已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上，點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，D、E分別為線段中點(diǎn)，直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91，則 ．
22．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，過(guò)點(diǎn)作射線，，使，則 ．
23．（2023春·河北滄州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線AB和直線CD相交于點(diǎn)O，，有下列結(jié)論：①與互為余角；②；③；④與互為補(bǔ)角；⑤與互為補(bǔ)角；⑥與互為余角，其中錯(cuò)誤的有 （填序號(hào)）．
24．（2023春·綿陽(yáng)市七年級(jí)期中）如圖，O是直線上一點(diǎn)，平分，且．
(1)圖中存在____________組互補(bǔ)的角；與互補(bǔ)的角為_(kāi)___________；
(2)求證：平分．
下面給出平分的證明過(guò)程，請(qǐng)你將過(guò)程補(bǔ)充完整．
證明：∵平分，
∴____________（ ）．
∵O是直線上一點(diǎn)，
∴（ ）．
∵，
∴．
∵，
∵，
∴____________（ ）．
∴平分．
25．（2022秋·北京·七年級(jí)?？计谀┩瓿上铝姓f(shuō)理過(guò)程（括號(hào)中填寫(xiě)推理的依據(jù)）：
已知：如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，．
求證：．
證明：平分，
．（ ① ）
，
．
直線，相交于點(diǎn)，
．
．
② ．（ ③ ）
直線，相交于，
，．
④ ．（ ⑤ ）
．
26．（2023·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題：
數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：
如圖1，，OC平分．若，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)．
同學(xué)一：以下是我的解答過(guò)程（部分空缺）
解：如圖2，
∵，OC平分，
∴（1）°
∵，
∴（2）=（3）°．
同學(xué)二：“符合題目要求的圖形還有一種情況．”
請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：
(1)將同學(xué)一的解答過(guò)程空缺部分補(bǔ)充完整．
(2)判斷同學(xué)二的說(shuō)法是否正確，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若正確，請(qǐng)你在圖1中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)．
(3)若，直接寫(xiě)出的度數(shù)
27．（2023·廣東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問(wèn)題：如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段CB上，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，若EC=3，求線段DB的長(zhǎng)．
請(qǐng)補(bǔ)全以下解答過(guò)程．
解：因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，_________，
所以_________，AD=2AE．
因?yàn)镈B=AB?_________，
所以DB=_________?2AE=2(AC?AE)=2EC．
因?yàn)镋C=3，
所以DB=_________．
28．（2023·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)度為的線段上有兩點(diǎn)C、D，這兩點(diǎn)將線段分成．
(1)求線段的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．
29．（2023.湖北省蘄春縣七年級(jí)期末）已知C為線段AB的中點(diǎn)，D是線段AC的中點(diǎn)．
（1）畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并寫(xiě)出圖中線段的條數(shù)和名稱(chēng)；
（2）若圖中所有線段的長(zhǎng)度和為26，求線段AC的長(zhǎng)度；
（3）若E為線段BC上的點(diǎn)，M為EB的中點(diǎn)，，求線段AB的長(zhǎng)度（用含的代數(shù)式表示）．
30．（2023·廣東珠?！て吣昙?jí)開(kāi)學(xué)考試）對(duì)“如果和都是的余角，那么”的說(shuō)理過(guò)程，在括號(hào)內(nèi)填上依據(jù)．
理由：因?yàn)椋ㄒ阎?br>所以（等式的性質(zhì)）．
因?yàn)? ，
所以（ ）．
所以（ ）．
31．（2023春·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，在內(nèi)部，．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若平分，請(qǐng)說(shuō)明：；
(3)如圖3，若在的外部分別作，的余角，，求的度數(shù)．
32．（2023秋·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀╅喿x材料并回答問(wèn)題：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：已知，如圖1，，平分．若，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)．
同學(xué)一的解答如下：
解：如圖2，作
因?yàn)?，平分?br>所以______________，
因?yàn)椋?br>所以___________________________，
同學(xué)二說(shuō)：“符合題目要求的圖形還有一種情況．”
請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：(1)將同學(xué)一的解答過(guò)程空缺部分補(bǔ)充完整；(2)判斷同學(xué)二的說(shuō)法是否正確，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若正確，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)．
33．（2023秋·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，為銳角，平分，射線在內(nèi)部．(1)圖中共有多少個(gè)小于平角的角？(2)若，，求的度數(shù)．(3)若，，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷與的關(guān)系．
34．（2023秋·湖北鄂州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，平分，（）．(1)求的度數(shù)（用含的式子表示）；
請(qǐng)將以下解答過(guò)程補(bǔ)充完整：
解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>所以_____，（理由：_____），
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠椒?，所以_____，（理由：_____）
所以__________°．
(2)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
35．（2023秋·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知．
(1)如圖1，嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)如圖2，直線平分，則直線平分，請(qǐng)完成下面的說(shuō)理過(guò)程：
(3)如圖1，若，，畫(huà)出并求的大?。?br> 如圖，因?yàn)橹本€，相交于點(diǎn)，
所以與都是平角．
所以，．
所以（據(jù)：）
因?yàn)開(kāi)_______，所以．
又因?yàn)椋裕?br>即________________．
因?yàn)?，?br>根據(jù)________，所以，即直線平分．
專(zhuān)題06 線段與角的等量代換模型
等量代換是數(shù)學(xué)變形的最常見(jiàn)方式之一,它以處理問(wèn)題步驟簡(jiǎn)捷、巧妙靈活,給人留下深刻的印象。運(yùn)用它來(lái)解決中學(xué)代數(shù)和幾何的有關(guān)問(wèn)題（本專(zhuān)題主要涉及線段與角度的代換）,還可以避免繁雜運(yùn)算,具有計(jì)算量小的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn),因此有著廣泛的應(yīng)用。
模型1. 線段與角度的等量代換模型
【模型解讀】“等量代換”是在數(shù)學(xué)幾何中常用的一種推理證明方法，應(yīng)用于角度或線段相等關(guān)系的推導(dǎo)。
1）線段的等量代換

條件：如圖，已知：EG=HF； 結(jié)論：EH=GF.
2）角度的等量代換

（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）
條件1：如圖，已知∠AOB=∠DOC；結(jié)論：∠1=∠2.
條件2：如圖，已知∠AOB=∠DOC=90°；結(jié)論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.
利用等量代換我們還可以推導(dǎo)三個(gè)重要的性質(zhì)：
①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補(bǔ)角相等；③對(duì)頂角相等；
例1．（2023·重慶七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C, D在線段AB上，若AC=DB, 則（ ）
A．AC=CD B．CD=DB C．AD=2DB D．AD=CB
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余選項(xiàng)均無(wú)法判斷. 故選D.
【點(diǎn)睛】注意根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)、、在同一直線上，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法：，其中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和線段的和差分別計(jì)算即可.
【詳解】① ∵H是的中點(diǎn)，
∵分別是的中點(diǎn)，.
∴①正確.
② 由①知∴②錯(cuò)誤. ③
∴③正確.
④
∴④正確.綜上，①③④正確.故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差.根據(jù)線段的和差進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.
例4．（2023秋·河南漯河·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，D、E順次為線段上的兩點(diǎn)，，C是的中點(diǎn)，則的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】先根據(jù)題意得到，進(jìn)而推出，再由線段中點(diǎn)的定義得到，則．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵C是的中點(diǎn)，∴，
∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，正確理清線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
例5．（2023·廣東廣州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，
（1）若，則 ；
（2）若，則 ．
【答案】 / / /
【分析】（1）根據(jù)幾何圖形，結(jié)合等式的性質(zhì)即可求解．
（2）根據(jù)幾何圖形，結(jié)合等式的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：（1）∵，∴，即，
故答案為：；
（2）∵，∴，即，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
例6．（2023·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，已知，，則的度數(shù)是（ ）

A．30°B．80°C．40°D．45°
【答案】C
【分析】根據(jù)∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，先求出∠BOC，然后再求∠COD．
【詳解】解：∵∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=140°?90°=50°，
∴∠COD=∠BOD?∠BOC=90°?50°=40°，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是分清題中角之間的關(guān)系．
例7．（2023秋·福建廈門(mén)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列推理錯(cuò)誤的是（ ）
A．因?yàn)?，所? B．因?yàn)?，所?br>C．因?yàn)?，所?D．因?yàn)?，所?br>【答案】A
【分析】根據(jù)余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，利用等量代換思想逐項(xiàng)分析即可得出答案．
【詳解】解：與不一定相等，根據(jù)，不能推出，故A選項(xiàng)推理錯(cuò)誤，符合題意；，通過(guò)等量代換可得，故B選項(xiàng)推理正確，不合題意；
，通過(guò)等量代換可得，故C選項(xiàng)推理正確，不合題意；
，根據(jù)等角的余角相等可得，故D選項(xiàng)推理正確，不合題意；故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查余角、補(bǔ)角，掌握等量代換思想是解題的關(guān)鍵．
例8．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是一條直線，若，則，其理由是（ ）
A．內(nèi)錯(cuò)角相等B．等角的補(bǔ)角相等C．同角的補(bǔ)角相等D．等量代換
【答案】B
【分析】根據(jù)等角的補(bǔ)角相等判定即可.
【詳解】∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4(等角的補(bǔ)角相等)，故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等.
例9．（2023·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面內(nèi)，平分，則以下結(jié)論：①；②；③；④平分．
其中正確的是 ．（填序號(hào)）
【答案】①③④
【分析】由根據(jù)同角的余角相等得到，即可判斷①；
由，即可判斷②
由，即可判斷③
由平分，得出，再結(jié)合①，即可判斷④
【詳解】解：∵，∴，
∴，所以①正確；
∵不一定等于，所以②不正確；
∵，所以③正確；
∵平分，∴，由①知，
∴，∴，所以④正確．
∴平分故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分線的定義，熟練掌握補(bǔ)余角的性質(zhì)和角平分線的定義是關(guān)鍵．
例10．（2023.黑龍江省哈爾濱市七年級(jí)期末）如圖，已知．

(1)試說(shuō)明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)正確畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)圖見(jiàn)解析，的度數(shù)是或或 或
【分析】（1）觀察圖形，可知已知的兩等角存在公共部分，同時(shí)減去，即可得解；
（2）觀察圖形中角之間的位置關(guān)系，得，由角平分線，得；
（3）由，分情況：①在內(nèi)部：由，進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部，②在外部：進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部；分別求解．
【詳解】（1）解：，，
，；
（2）由（1）可知，，
，，
平分，，的度數(shù)是；
（3）的度數(shù)是或或或，
理由如下：如圖1，，
，，

，
又，，，
如圖2，，
即，又，，
，

如圖3，，，
又，，，
如圖，，
，，
綜上所述，的大小為或或 或．
【點(diǎn)睛】本題考查角的數(shù)量關(guān)系和計(jì)算，角平分線的定義；根據(jù)圖形得出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
例11．（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題．
數(shù)學(xué)課上，老師提出了如下問(wèn)題：已知點(diǎn)在直線上，，在同一平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作射線，滿足．當(dāng)時(shí)，如圖1所示，求的度數(shù)．

甲同學(xué)：以下是我的解答過(guò)程（部分空缺）
解：如圖2，∵點(diǎn)O在直線上，
∴ ，
∵，
∴ ，
，
∴平分，
∴ ，
∵，，
∴ ．
乙同學(xué)：“我認(rèn)為還有一種情況．”
請(qǐng)完成以下問(wèn)題：
(1)請(qǐng)將甲同學(xué)解答過(guò)程中空缺的部分補(bǔ)充完整．
(2)判斷乙同學(xué)的說(shuō)法是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)，寫(xiě)出解答過(guò)程；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)將題目中“”的條件改成“”，其余條件不變，當(dāng)在到之間變化時(shí)，如圖3所示，為何值時(shí)，成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的值．
【答案】(1)180，140，70，160(2)正確，理由見(jiàn)解析，或(3)或
【分析】（1）根據(jù)平角定義和角平分線的定義補(bǔ)充即可；
（2）由題意，還有在的外部時(shí)的情況，根據(jù)平角定義求解即可；
（3）由題意，，，分在的內(nèi)部和在的外部，由求出即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)O在直線上，∴，
∵，∴，
，∴平分，∴，
∵，，∴，故答案為：180；140；70；160；
（2）解：正確，理由如下：
當(dāng)在的外部時(shí)，如圖所示：

∵點(diǎn)O在直線上，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
，∴，綜上所述，或；
（3）解：∵，，∴，，
當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，如圖，∵，∴平分，
∴，即∴，解得：；
當(dāng)在的外部時(shí)，如圖，
∵，∴，
∵，∴，
解得：，綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題考查角的運(yùn)算、角平分線的有關(guān)計(jì)算、平角定義，能根據(jù)圖形進(jìn)行角度運(yùn)算，能利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．
例12．（2023秋·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，相交于點(diǎn)，．
(1)若，，求的度數(shù)；
(2)如果，那么與互相垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）利用余角、對(duì)頂角的定義計(jì)算即可；
（2）利用余角的定義，求得兩個(gè)角的和為即為垂直．
【詳解】（1）解：，，
， ，
，；
（2），
證明：，，
，即，．
【點(diǎn)睛】本題考查的是余角、垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余角、垂直以及對(duì)頂角的定義，會(huì)識(shí)別余角、垂直、對(duì)頂角．
課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上有C，D兩點(diǎn)，其中D是BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB－AC＝BD B．CD＋BD＝AC C．CD＝AB D．AD－AC＝DB
【答案】D
【分析】根據(jù)線段的中線性質(zhì)求解即可；
【詳解】∵D是BC的中點(diǎn)，∴，∴，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中線的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AC>BD，比較線段AB與線段CD的大小（ ）
A．AB＝CDB．AB>CDC．AB＜CDD．無(wú)法比較
【答案】B
【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，則AB>CD．
【詳解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了比較線段的長(zhǎng)短，比較兩條線段長(zhǎng)短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法．
3．（2023秋·湖北隨州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C、D是線段AB上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DB的中點(diǎn)，若，，則線段CD的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由，得，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得，最后由即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵，，∴，∴，
∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DB的中點(diǎn)，∴，，
∴，
∴．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)．
4．（2023·江蘇·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)P，Q，C都在直線AB上，且P是AC的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，若AC＝m，BC＝n，則線段PQ的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：P是AC的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，則
故選C．
考點(diǎn)：線段的中點(diǎn)．
5．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，則圖中互補(bǔ)的角共有（ ）

A．7對(duì)B．6對(duì)C．5對(duì)D．4對(duì)
【答案】A
【分析】首先求出，，然后根據(jù)互補(bǔ)的定義找出相加等于的角即可．
【詳解】解：，
，，
，，
，
綜上，互補(bǔ)的角共有7對(duì)，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差計(jì)算，互補(bǔ)的定義，如果兩個(gè)角的和等于，就說(shuō)這兩
6．（2023云南七年級(jí)期末）如圖所示，，且與關(guān)系為（ ）
A．互補(bǔ)B．互余C．和為D．和為
【答案】B
【分析】首先根據(jù)圖形可得，再表示出來(lái)求解即可．
【詳解】解：觀察圖形可知，，
，與關(guān)系為互余．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查余角和補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握余角和補(bǔ)角的定義．
7．（2023春·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果，，那么與的關(guān)系是（ ）
A．互余B．互補(bǔ)C．相等D．無(wú)法確定
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得和都是的余角，則根據(jù)同角的余角相等可知和的關(guān)系相等．
【詳解】解：∵，∴故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的余角相等，掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．
8．（2023秋·山東濱州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，用量角器度量一些角的度數(shù)．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C．與的大小相同 D．與互余
【答案】D
【分析】根據(jù)量角器的位置讀出個(gè)角的度數(shù)即可．
【詳解】解：A、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，，它們的大小不相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，它們互余，故選項(xiàng)正確．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角和補(bǔ)角，角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關(guān)鍵．
9．（2023春·山西太原·七年級(jí)?？计谥校W(xué)完第二章后，同學(xué)們對(duì)“對(duì)頂角相等”進(jìn)行了如圖所示的推理，其中“”處的依據(jù)為（ ）
A．同角的余角相等B．同角的補(bǔ)角相等C．同位角相等D．平角的定義
【答案】B
【分析】由補(bǔ)角的性質(zhì)：同角的補(bǔ)角相等，即可得到答案．
【詳解】解：因?yàn)橹本€，相交于點(diǎn)，
所以與都是平角，所以，．
由同角的補(bǔ)角相等，即可得到．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，將三個(gè)大小相同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則、、三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)同角的余角相等得到，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵將三個(gè)大小相同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，
∴，，∴，
又∵，∴，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查同角的余角相等，其關(guān)鍵要弄清哪兩個(gè)角互余及角的和差，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．
11．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)、；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；……連續(xù)這樣操作20次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)，分別為的中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)度，再由的長(zhǎng)度求出的長(zhǎng)度，找到的規(guī)律即可求出的值．
【詳解】解：∵，分別為的中點(diǎn)，
∴，
∵分別為的中點(diǎn)，
∴，根據(jù)規(guī)律得到，
∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題是對(duì)線段規(guī)律性問(wèn)題的考查，準(zhǔn)確根據(jù)題意找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，相對(duì)較難．
12．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在同一平面內(nèi)，，與互余，則為 ．
【答案】90或40/40或90
【分析】分在和之間，在和之間兩種情況，根據(jù)互余的定義和角的和差關(guān)系分別求解．
【詳解】解：分兩種情況：
當(dāng)在和之間時(shí)，如圖：

與互余，；
當(dāng)在和之間時(shí)，如圖：

與互余，，，
；
綜上可知，為或，故答案為：90或40．
【點(diǎn)睛】本題考查余角、角的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論，避免漏解．
13．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是 ．

【答案】
【分析】根據(jù)垂直的定義分別得到，，再利用同角的余角相等可得結(jié)果．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，即，
∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同角的余角相等．
14．（2023秋·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段上有、兩點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，若，則 ．

【答案】2
【分析】根據(jù)，，得出，求出，根據(jù)中點(diǎn)定義得出．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，
∵是的中點(diǎn)，∴．故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，，求出．
15．（2023春·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和都是直角，則 （填，，）．
【答案】
【分析】由和都是直角，得，，從而即可得到答案．
【詳解】解：和都是直角，
，，，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的余角（補(bǔ)角）相等，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023秋·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C，D是線段上兩點(diǎn)，若，，且D是的中點(diǎn)，則 ．

【答案】11
【分析】由、的長(zhǎng)度可求出的長(zhǎng)度，由點(diǎn)D是的中點(diǎn)可求出的長(zhǎng)度，再利用即可求出的長(zhǎng)度．
【詳解】解：∵，，∴，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，
∴．故答案為：11．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，由、的長(zhǎng)度結(jié)合點(diǎn)D是的中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)度，是解題的關(guān)鍵．
17．（2023秋·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】/24厘米
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，可得，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，
∴．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線段中點(diǎn)的定義，比較簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·福建莆田·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)C、D為線段AB上兩點(diǎn)，AC+BD＝8，AD+BC＝AB，則CD等于 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件分析出CD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，從而得到AC+BD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，即可求解AB的長(zhǎng)度，從而求出CD的長(zhǎng)度．
【詳解】∵AD+BC=AB+CD，AD+BC＝ AB，∴，∴，
∵AC+BD=8，∴，∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查線段之間的數(shù)量關(guān)系計(jì)算問(wèn)題，能夠準(zhǔn)確根據(jù)已知條件推理出部分線段與整體線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
19．（2023秋·山西長(zhǎng)治·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，M，N分別是線段，的中點(diǎn)．若，，則AB的長(zhǎng)為 ．
【答案】9
【分析】先M是線段的中點(diǎn)，得出，根據(jù)，得出，即可得出，從而得出．
【詳解】解：∵M(jìn)是線段的中點(diǎn)，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出．
20．（2023.湖北武漢江岸區(qū)七年級(jí)期末）已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上，點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，D、E分別為線段中點(diǎn)，直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91，則 ．
【答案】或13
【分析】畫(huà)出圖形，分兩種情況討論①；②．設(shè)，根據(jù)直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91，列方程，先求出x，即可求出的長(zhǎng).
【詳解】①當(dāng)時(shí)，如圖1
設(shè)，則，，，
∵直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91

②當(dāng)時(shí)，如圖2,
故答案為：或13
【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差，解題的關(guān)鍵是要弄清楚直線l上的線段的條數(shù)，及要進(jìn)行分類(lèi)討論.
22．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，過(guò)點(diǎn)作射線，，使，則 ．
【答案】或或
【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論，根據(jù)角度的和差進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
∵，，
∴；
如圖所示，
∵，，
∴；
如圖所示，
∵，，
∴；
故答案為：或或
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，分類(lèi)討是解題的關(guān)鍵．
23．（2023春·河北滄州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線AB和直線CD相交于點(diǎn)O，，有下列結(jié)論：①與互為余角；②；③；④與互為補(bǔ)角；⑤與互為補(bǔ)角；⑥與互為余角，其中錯(cuò)誤的有 （填序號(hào)）．
【答案】③⑤/⑤③
【分析】根據(jù)互余、互補(bǔ)的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對(duì)頂角的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】∵，∴∠AOE=90°，∴與互為余角；故①正確；
；故②正確；無(wú)法判定，故③錯(cuò)誤；
與互為補(bǔ)角；故④正確；無(wú)法判定與互為補(bǔ)角；故⑤錯(cuò)誤；
∵，∴∠AOE=90°，∴與互為余角；
∵；∴與互為余角，故⑥正確，故答案為：③⑤．
【點(diǎn)睛】本題考查了互余、互補(bǔ)的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，熟練掌握互余、互補(bǔ)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（2023春·綿陽(yáng)市七年級(jí)期中）如圖，O是直線上一點(diǎn)，平分，且．
(1)圖中存在____________組互補(bǔ)的角；與互補(bǔ)的角為_(kāi)___________；
(2)求證：平分．
下面給出平分的證明過(guò)程，請(qǐng)你將過(guò)程補(bǔ)充完整．
證明：∵平分，
∴____________（ ）．
∵O是直線上一點(diǎn)，
∴（ ）．
∵，
∴．
∵，
∵，
∴____________（ ）．
∴平分．
【答案】(1)，和
(2)，角平分線的定義，平角的定義，，等角的余角相等
【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義，進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義，平角的定義，等角的余角相等，將過(guò)程補(bǔ)充完整即可．
【詳解】（1）解：∵平分，∴，
∵是直線上一點(diǎn)，∴，
∵，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
又：，
∴圖中共有5組互補(bǔ)的角，且與互補(bǔ)的角為和．
故答案為：5；和；
（2）證明：∵平分，
∴（角平分線的定義）．
∵O是直線上一點(diǎn)，
∴（平角的定義）．
∵，
∴．
∵，
∵，
∴（等角的余角相等）．
∴平分．
故答案為：，角平分線的定義，平角的定義，，等角的余角相等．
【點(diǎn)睛】本題考查余、補(bǔ)角的計(jì)算，角平分線的計(jì)算．熟練掌握兩角之和等于，兩角互為補(bǔ)角，等角的余角相等，角平分線平分角，是解題的關(guān)鍵．
25．（2022秋·北京·七年級(jí)?？计谀┩瓿上铝姓f(shuō)理過(guò)程（括號(hào)中填寫(xiě)推理的依據(jù)）：
已知：如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，．
求證：．
證明：平分，
．（ ① ）
，
．
直線，相交于點(diǎn)，
．
．
② ．（ ③ ）
直線，相交于，
，．
④ ．（ ⑤ ）
．
【答案】①角平分線的定義；②；③等角的余角相等；④；⑤同角的補(bǔ)角相等．
【分析】先證明，再根據(jù)等角的余角相等證明，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明，即可證明．
【詳解】解：平分，
．（角平分線的定義）
，
．
直線，相交于點(diǎn)，
．
．
．（等角的余角相等）
直線，相交于，
，．
．（同角的補(bǔ)角相等）
．
故答案為：①角平分線的定義；②；③等角的余角相等；④；⑤同角的補(bǔ)角相等．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，等角的余角相等，同角的補(bǔ)角相等等知識(shí)，理解題意，根據(jù)圖形靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
26．（2023·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問(wèn)題：
數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：
如圖1，，OC平分．若，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)．
同學(xué)一：以下是我的解答過(guò)程（部分空缺）
解：如圖2，
∵，OC平分，
∴（1）°
∵，
∴（2）=（3）°．
同學(xué)二：“符合題目要求的圖形還有一種情況．”
請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：
(1)將同學(xué)一的解答過(guò)程空缺部分補(bǔ)充完整．
(2)判斷同學(xué)二的說(shuō)法是否正確，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若正確，請(qǐng)你在圖1中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)．
(3)若，直接寫(xiě)出的度數(shù)
【答案】(1)45，，110
(2)正確，見(jiàn)解析，20°
(3)或
【分析】（1）根據(jù)圖形，角平分線的定義，角度的和差關(guān)系即可求解，
（2）根據(jù)圖形，角平分線的定義，角度的和差關(guān)系即可求解，
（3）根據(jù)圖形，角平分線的定義，角度的和差關(guān)系即可求解．注意分情況討論．
【詳解】（1）∵，OC平分，
∴45°
∵，
∴=110°．
故答案為：45，，110
（2）如圖：，OC平分
∴
∴
（3）如圖，①當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，
∵，OC平分，
∴
∵，
∴=．
②當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，
∵，OC平分
∴
∵
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角度的和差，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·廣東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問(wèn)題：如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段CB上，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，若EC=3，求線段DB的長(zhǎng)．
請(qǐng)補(bǔ)全以下解答過(guò)程．
解：因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，_________，
所以_________，AD=2AE．
因?yàn)镈B=AB?_________，
所以DB=_________?2AE=2(AC?AE)=2EC．
因?yàn)镋C=3，
所以DB=_________．

【答案】點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)；AB=2AC；AD；2AC；6
【分析】根據(jù)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，即可知AC=BC，AB=2AC，AD=2AE，再根據(jù)DB=AB-AD，將AB和AD用2AC和2AE代替即可找到DB與EC的關(guān)系進(jìn)而求解．
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，
所以AB=2AC，AD=2AE，
因?yàn)镈B=AB-AD，
所以DB=2AC-2AE=2（AC-AE）=2EC．
因?yàn)镋C=3，
所以DB=6．
故答案為：點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)；AB=2AC；AD；2AC；6．
【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離以及推理過(guò)程的完整書(shū)寫(xiě)，理解DB=AB-AD，并將AB和AD用2AC和2AE代替是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)度為的線段上有兩點(diǎn)C、D，這兩點(diǎn)將線段分成．
(1)求線段的長(zhǎng)；
(2)點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．
【答案】(1)4cm
(2)14cm
【分析】（1）根據(jù)題意AC：CD：DB＝3：1：2，可得CD＝24計(jì)算即可得出答案；
（2）根據(jù)題意先計(jì)算出AC，BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)M為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BD的中點(diǎn)可計(jì)算出MN，DN的長(zhǎng)度，則根據(jù)MN＝CM＋CD＋DN即可得出答案．
【詳解】（1）∵AC：CD：DB＝3：1：2，AB=24cm，
∴；
（2）∵，
∴，
，
∵M(jìn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，
∴，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離和中點(diǎn)的定義，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
29．（2023.湖北省蘄春縣七年級(jí)期末）已知C為線段AB的中點(diǎn)，D是線段AC的中點(diǎn)．
（1）畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并寫(xiě)出圖中線段的條數(shù)和名稱(chēng)；
（2）若圖中所有線段的長(zhǎng)度和為26，求線段AC的長(zhǎng)度；
（3）若E為線段BC上的點(diǎn)，M為EB的中點(diǎn)，，求線段AB的長(zhǎng)度（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）見(jiàn)解析，6條，AD，AC，AB，DC，DB，CB；（2）4；（3）2a-b
【分析】（1）根據(jù)題目信息進(jìn)行畫(huà)圖；
（2）根據(jù)（1）的圖象列出相關(guān)等式進(jìn)行計(jì)算；
（3）根據(jù)題目信息作圖，再根據(jù)已知信息找到線段之間的等量關(guān)系，列出等式進(jìn)行作答．
【詳解】（1）如圖所示：
線段為：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6條；
（2）∵D、C分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴AC＝2AD，AB＝2AC，
設(shè)AC＝x，則有，
解得：x＝4，即AC＝4；
（3）∵M(jìn)為線段EB的中點(diǎn)，
∴EB＝2EM，
∴AB＝AC＋CE＋EB＝2CD＋2EM＋CE
＝2（DC＋EM）＋CE，
∵DM＝a，CE＝b，
∴AB＝2（a﹣b）＋b＝2a﹣b．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線、線段、射線，其中根據(jù)圖象找到線段的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
30．（2023春·廣東珠?！て吣昙?jí)開(kāi)學(xué)考試）對(duì)“如果和都是的余角，那么”的說(shuō)理過(guò)程，在括號(hào)內(nèi)填上依據(jù)．
理由：因?yàn)椋ㄒ阎?br>所以（等式的性質(zhì)）．
因?yàn)? ，
所以（ ）．
所以（ ）．
【答案】已知，等式的性質(zhì)，等量代換
【分析】根據(jù)各步前后式的邏輯關(guān)系寫(xiě)出依據(jù)．
【詳解】，理由如下：
因?yàn)椋ㄒ阎?br>所以（等式的性質(zhì)）．
因?yàn)椋ㄒ阎?br>所以（等式的性質(zhì)）．
所以（等量代換）．
故答案為：已知，等式的性質(zhì)，等量代換．
【點(diǎn)睛】本題考查推理步驟的應(yīng)用，根據(jù)各步前后式的邏輯關(guān)系寫(xiě)出推理依據(jù)是解題關(guān)鍵 ．
31．（2023春·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，在內(nèi)部，．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若平分，請(qǐng)說(shuō)明：；
(3)如圖3，若在的外部分別作，的余角，，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）由，，得到，而，即可求出的度數(shù)；
（2）由角平分線定義，得到，而，即可證明；
（3）由余角的定義，得到，而，，即可求出的度數(shù)，從而得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：，，
，
，
；
（2）平分，
，
，，
，
，，
，
；
（3），
，
，
，
，
，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查余角和補(bǔ)角，角平分線定義，關(guān)鍵是應(yīng)用角平分線定義，角的和差表示出有關(guān)的角．
32．（2023秋·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀╅喿x材料并回答問(wèn)題：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：已知，如圖1，，平分．若，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)．
同學(xué)一的解答如下：
解：如圖2，作
因?yàn)椋椒郑?br>所以______________，
因?yàn)椋?br>所以___________________________，
同學(xué)二說(shuō)：“符合題目要求的圖形還有一種情況．”
請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：(1)將同學(xué)一的解答過(guò)程空缺部分補(bǔ)充完整；(2)判斷同學(xué)二的說(shuō)法是否正確，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若正確，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出另一種情況對(duì)應(yīng)的圖形，并求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)正確，圖見(jiàn)解析．
【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義即可求得的度數(shù)；
(2)分為在直角內(nèi)部和外部?jī)煞N情況：再根據(jù)角平分線的定義即可求得的度數(shù)．
【詳解】（1）解：如圖2，作
∵，平分，∴，
∵，∴，

（2）解：正確，理由如下：
∵，平分，∴，
∵，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差倍運(yùn)算，理解角的平分線定義是解題的關(guān)鍵．
33．（2023秋·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，為銳角，平分，射線在內(nèi)部．(1)圖中共有多少個(gè)小于平角的角？(2)若，，求的度數(shù)．(3)若，，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷與的關(guān)系．
【答案】(1)10個(gè)(2)(3)
【分析】（1）分別以，，，為始邊，數(shù)出小于平角的角，即可求解；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)，，即可求解．
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)，，，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：以為始邊的角有：，
以為始邊的角有：，
以為始邊的角有：，
以為始邊的角有：，
∴圖中共有個(gè)小于平角的角，
（2）∵平分，，∴，
∵，∴
（3）∵平分，，∴，
∵，∴
∵，∴，
∵，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義，角平分線的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
34．（2023秋·湖北鄂州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，平分，（）．
(1)求的度數(shù)（用含的式子表示）；
請(qǐng)將以下解答過(guò)程補(bǔ)充完整：
解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以_____，（理由：_____），
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠椒?，所以_____，（理由：_____）
所以__________°．
(2)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)；同角的余角相等；；角平分線的定義；；
(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由同角的余角相等可得，結(jié)合角平分線的定義可得，進(jìn)而可求解的度數(shù)；（2）由角的和差問(wèn)題可求解，即可求解．
【詳解】（1）解：，，
，，
（理由：同角的余角相等），
，，平分，
（理由：角平分線的定義），
，
故答案為：；同角的余角相等；；角平分線的定義；；；
（2）解：，
理由是如下：，
，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，余角和補(bǔ)角，角的計(jì)算，靈活運(yùn)用角平分線的定義求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
35．（2023秋·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知．
(1)如圖1，嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)如圖2，直線平分，則直線平分，請(qǐng)完成下面的說(shuō)理過(guò)程：
(3)如圖1，若，，畫(huà)出并求的大小．
【答案】(1)，理由見(jiàn)解析
(2)直線平分；；；等角的補(bǔ)角相等 (3)見(jiàn)解析，或
【分析】（1）根據(jù)可得，由此即可得；（2）先根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得，由此即可得；（3）分兩種情況：在的上方和在的下方，根據(jù)角的和差即可得．
【詳解】（1）解：，理由如下：
，，即．
（2）解：因?yàn)橹本€平分，所以．
又因?yàn)椋?，即?br>因?yàn)?，?br>根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，所以，即直線平分．
故答案為：直線平分；；；等角的補(bǔ)角相等．
（3）解：①如圖，當(dāng)在的上方時(shí)，
，，；
②如圖，當(dāng)在的下方時(shí)，
，，；
綜上，的大小為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算、角的和差，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．
如圖，因?yàn)橹本€，相交于點(diǎn)，
所以與都是平角．
所以，．
所以（據(jù)：）
因?yàn)開(kāi)_______，所以．
又因?yàn)?，所以?br>即________________．
因?yàn)?，?br>根據(jù)________，所以，即直線平分．

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